Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)2224710.22363/2413-3639-2019-65-1-137-155New ResultsНовые результатыResearch ArticleThe Cyclical Compactness in Banach C∞(Q)-ModulesЦиклическая компактность в банаховых C∞(Q)-модуляхChilinV IЧилинВ Иvladimirchil@gmail.comKarimovJ AКаримовЖ Аkarimovja@mail.ruNational University of Uzbekistan named after M. UlugbekНациональный университет Узбекистана им. М. УлугбекаV. I. Romanovskii Institute of Mathematics, Acad. Sci. of UzbekistanИнститут математики им. В. И. Романовского, АН Респ15122019651Contemporary Problems in Mathematics and PhysicsСовременные проблемы математики и физики13715527112019Copyright ©; 2019, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2019, Современная математика. Фундаментальные направления2019Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/22247In this paper, we study the class of laterally complete commutative unital regular algebras A over arbitrary fields. We introduce a notion of passport Γ(X) for a faithful regular laterally complete A- modules X, which consist of uniquely defined partition of unity in the Boolean algebra of all idempotents in A and of the set of pairwise different cardinal numbers. We prove that A-modules X and Y are isomorphic if and only if Γ(X)= Γ(Y ). Further we study Banach A-modules in the case A = C∞(Q) or A = C∞(Q)+ i · C∞(Q). We establish the equivalence of all norms in a finite-dimensional (respectively, σ-finite-dimensional) A-module and prove an A-version of Riesz Theorem, which gives the criterion of a finite-dimensionality (respectively, σ-finite-dimensionality) of a Banach A-module.В данной работе мы изучаем класс дизъюнктно полных коммутативных унитарных регулярных алгебр A над произвольными полями. Мы вводим понятие паспорта Γ(X) для точных регулярных дизъюнктно полных A-модулей X, которое состоит из однозначно определенного разбиения единицы в булевой алгебре всех идемпотентных элементов из A и из множества попарно различных кардинальных чисел. Мы доказываем, что A-модули X и Y являются изоморфными тогда и только тогда, когда Γ(X) = Γ(Y ). Далее мы изучаем банаховы A-модули в случае, если A = C∞(Q) или A = C∞(Q)+ i · C∞(Q). Также мы устанавливаем отношение эквивалентности для всех норм в конечномерном (и, соответственно, σ-конечномерном) A-модуле и доказываем A-версию теоремы Рисса, которая дает критерий конечномерности (и σ-конечномерности, соответственно) банахова A-модуля.1.Ганиев И. Г., Худайбергенов К. К. Конечномерные модули над кольцом измеримых функций// Узб. мат. ж. - 2004. -№ 4. - С. 3-9.2.Каримов Ж. А. Модули Капланского-Гильберта над алгеброй измеримых функций// Узб. мат. ж. - 2010. - № 4. - С. 74-81.3.Каримов Ж. А. Эквивалентность норм в конечномерных C∞(Q)-модулях// Вестн. НУУз. - 2017. - № 2/1. - С. 100-108.4.Кусраев А. Г. Векторная двойственность и ее приложения. - Новосибирск: Наука, 1985.5.Муратов М. А., Чилин В. И. Алгебры измеримых и локально измеримых операторов. - Киев: Iнст. мат. НАН Укр., 2007.6.Скорняков Л. А. Дедекиндовы структуры с дополнениями и регулярные кольца. - М.: Физматгиз, 1961.7.Чилин В. И. Частично упорядоченные бэровские инволютивные алгебры// Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Нов. достиж. - 1985. - 27. - С. 99-128.8.Чилин В. И., Каримов Ж. А. Дизъюнктно полные C∞(Q)-модули// Владикавказ. мат. ж. - 2014. - 16, № 2. - С. 69-78.9.Berberian S. K. The regular ring of a finite AW ∗-algebra// Ann. Math. - 1957. - 65, № 2. - С. 224-240.10.Chilin V. I., Karimov J. A. Strictly homogeneous laterally complete modules// J. Phys. Conf. Ser. - 2016. - 697. - 012002.11.Clifford A. N., Preston G. B. The algebraic theory of semigroups. Vol. 1. - Providence: Am. Math. Soc., 1961.12.Kaplansky J. Projections in Banach algebras// Ann. Math. - 1951. - 53. - С. 235-249.13.Kaplansky J. Algebras of type I// Ann. Math. - 1952. - 56. - С. 450-472.14.Kaplansky J. Modules over operator algebras// Amer. J. Math. - 1953. - 75, № 4. - С. 839-858.15.Kusraev A. G. Dominated operators. - Dordrecht: Kluwer, 2000.16.Maeda F. Kontinuierliche Geometrien. - Berlin-Heidelberg: Springer, 1958.17.Saito K. On the algebra of measurable operators for a general AW ∗-algebra, I// Tohoku Math. J. - 1969. - 21, № 2. - С. 249-270.18.Saito K. On the algebra of measurable operators for a general AW ∗-algebra, II// Tohoku Math. J. - 1971. - 23, № 3. - С. 525-534.19.Segal I. A noncommutative extension of abstract integration// Ann. Math. - 1953. - 57, № 3. - С. 401- 457.20.van der Waerdenm B. L. Algebra. Vol. II. - New York: Springer, 1991.21.Vulikh B. Z. Introduction to the theory of partially ordered spaces. - Groningen: Wolters-Noordhoff Sci. Publ., 1967.22.Yeadon F. J. Convergence of measurable operators// Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. - 1973. - 74, № 2. - С. 257-268.