Geometric characteristics of the deformation state of the shells with orthogonal coordinate system of the middle surfaces

Cover Page

Abstract


The aim of this work is to receive the geometrical equations of strains of shells at the common orthogonal not conjugated coordinate system. At the most articles, textbooks and monographs on the theory and analysis of the thin shell there are considered the shells the coordinate system of which is given at the lines of main curvatures. Derivation of the geometric equations of the deformed state of the thin shells in the lines of main curvatures is given, specifically, at monographs of the theory of the thin shells of V.V. Novozhilov, K.F. Chernih, A.P. Filin and other Russian and foreign scientists. The standard methods of mathematic analyses, vector analysis and differential geometry are used to receive them. The method of tensor analysis is used for receiving the common equations of deformation of non orthogonal coordinate system of the middle shell surface of thin shell. The equations of deformation of the shells in common orthogonal coordinate system (not in the lines of main curvatures) are received on the base of this equation. Derivation of the geometric equations of deformations of thin shells in orthogonal not conjugated coordinate system on the base of differential geometry and vector analysis (without using of tensor analysis) is given at the article. This access may be used at textbooks as far as at most technical institutes the base of tensor analysis is not given.


Full Text

Введение1 По теории и методам расчета тонких оболочек имеется обширная литература, начиная с классических трудов Г. Арона [1] и А. Лява [2]. Большой вклад в развитие теории и методов расчета внесли Российские ученые В.З. Власов, В.В. Но- вожилов, К.Ф. Черных, А.Л. Гольденвейзер [3-8] и др. Аналитические методы расчета тонких оболочек разработаны в основном для оболочек канонических форм: оболочек вращения, цилиндрических и конических оболочек, пологих оболочек, некоторых видов торсовых оболочек. Для оболочек неканонических (сложных) форм приходится использовать численно-аналитические, а чаще всего численные методы. Наиболее используемым методом расчета пространственных конструкций в последнее время стал метод конечных элементов (МКЭ) [9-11]. На базе этого метода разработаны программные комплексы. В большинстве программных комплексов МКЭ геометрия оболочки заменяется системой плоских элементов с узлами на поверхности оболочки, в расчетах не используются геометрические характеристики срединных поверхностей оболочки. Для оболочек сложной формы это может приводить к потере точности расчета НДС конструкции. Альтернативу МКЭ может составить вариационноразностный метод (ВРМ) [11-13]. Оба метода (МКЭ и ВРМ) основаны на вариационном принципе минимума полной энергии деформаций конструкции в перемещениях [14-16]. В вариационно-разностном методе производные в функционале энергии деформаций заменяются разностными производными с использованием геометрических характеристик (коэффициентов квадратичных форм). Для вычисления геометрических характеристик в программный комплекс включается библиотека кривых и поверхностей, на основе которых формируются срединные поверхности оболочек и вычисляются необходимые геометрические характеристики. В настоящее время на кафедре сопротивления материалов и расчета на прочность департамента строительства Инженерной академии РУДН разработан программный комплекс ВРМ на базе поверхностей с координатной системой в линиях главных кривизн, и комплекс дорабатывается для расчета оболочек с ортогональной несопряженной системой поверхностных координат. 1. Методика Рассмотрим оболочки, срединная поверхность которых описывается ортогональной поверхностной системой координат, не являющихся в общем случае линиями кривизны (рис. 1). Рис. 1. Ортогональная система [Figure 1. Normal coordinate] К данному классу поверхностей относятся, в частности, нормальные циклические поверхности - поверхности, образуемые движением окружности переменного радиуса в нормальной плоскости направляющей кривой (линии центров образующих окружностей) [13; 16-18]. Известно, что все поверхности имеют систему координат - главных линий кривизны. Однако получить уравнение поверхности в линиях кривизны не всегда удается. Для нормальных циклических поверхностей это приведет к более сложным уравнениям и формулам геометрических характеристик поверхности, так как вместо окружностей системой координатных линий будут пространственные кривые. Единичные векторы касательных координатной сетки поверхности e e1 2, определяются фор- 1 ρ мулой ei  ; единичный вектор нормали к Ai αi ρ поверхности m e 3  e e1 2 . Здесь Ai  - коэф- αi фициенты 1-й квадратичной формы поверхности; ρα ,α1 2 - радиус-вектор поверхности. Для системы единичных взаимно ортогональных векторов имеем eei i  1 ; eei j   0 , и, следовательно, дифференцируя, получаем eei j ei e j  ej ei 0;  αk αk αk ei ej ej ei; ei ei  0, (1) αk αk αk i, j = 1, 2, 3; k = 1, 2. Так как порядок дифференцирования для смешанных производных по координатам j (j = 1, 2) не должен влиять на результат, то получаем   ρ    ρ  α j αi  αi α j  или   Ai ie  Aje j , α j αi откуда Ai ei  Ai ei Aj e j  Aj e j . α j α j αi αi Умножая полученное равенство скалярно на еj, еi с учетом соотношений (1), имеем αeij ej  А1i Aαij ; ei e j e j ei  1 Ai . (2)  αi  αi  Аj α j Здесь i, j = 1, 2. Вторая формула (2) получена с учетом формул (1) при k = i. Далее получим  ei e3 α j  A1i αρi e3  α j  1  2ρ    1   Ai  α αi i e3 α j  Ai Ai eei 3  k Aij j. (3) 1  2ρ  Здесь kij   α αi i e3 - кривизны и круA Ai j чение координатных линий на поверхности;  2ρ   α αi i e3 bij - коэффициенты 2-й квадратичной формы поверхности. Эти обозначения соответствуют: b11 = L, b12 = M; b22 = N; k11 L A/ 12  k1; k22  N / A12  k2 , k12 = M / АB. Коэффициенты квадратичных форм отвечают условиям Гаусса - Кодацци [10]: ki Aj  k Aj j  1  k A2, 12 i αi αi Ai α j   1 Aj     1 Ai   AiAj k ki j  k122  , (4)   αi  Ai αi  α j  Aj α j  i, j = 1, 2, i ≠ j. Для общей ортогональной системы координат k12 ≠0 кривизны координатных линий k1, k2 не являются главными кривизнами поверхности. Для по- верхности в линиях кривизны k12 = 0. Обозначим:  ei ej  А1i Aαij  pi; α j  ei e j e j ei pj; αi  αi   e1 m   me1  k A1 1  q1;  α1   α1   e1 m   m e1  k12 2А  t1;   α2   α2   e2 m   me2   k12 1A  t2;  α1   α1   e2 m   m e2   k2 2А  q2. (5)  α2   α2  Таким образом, введены обозначения 1 Aj pi  ; qi  k Ai i; ti  k12Аj; i, j = 1, 2, i ≠ j. (6) Аi αi Введем вектор орт поверхностной системы координат  e  e e e1, 2, 3; * - транспонирование вектора (матрицы). С учетом формул (1), (2), (5), (6), получим векторно-матричную формулу дифференцирования орт поверхности: e d i e , i = 1, 2; αi  0  d1   p2 q1 p2 0 t2 q1  t2; 0   0 d2   p1  t1 p1 0 q2 t1   q2. (7) 0  2. Вывод компонентов деформаций оболочки Рассмотрим деформированную срединную по- верхность оболочки. Обозначим через u = u(1, 2) вектор упругого смещения срединной поверхности оболочки. Развернув его по осям основного триэдра (рис. 2), запишем u u1 1e u2 2e u3 3e    u  e , (8) Рис. 2. Перемещения точки срединной поверхности [Figure 2. Development of a point of middle surface] Радиус-вектор точки деформированной поверх- ности ρ%  ρ  u. (9) С учетом формул (1) - (6) получим 1 ρ%  ei  1  u    e  u d i e ρ  ( 1, 2) Ai αi Ai  αi   1  ui  u  di  1  u j  1 Ai  αi  i ei  Ai  αi  u  dij e j  1  u3  u  d3   Ai  αi  i e3  1 εi ei  γi je i e3; (10) ~ρ 1  u εi   i  u  dii   A1i αuii  A Ai1 j αAij u j  k ui 3; Ai  αi  1  u j   ωi  Ai  αi  u dij   A1i uαij  A Ai1 j αAij ui  k u12 3; A1  uα3  u  dik    A1i uα3i  k ui i  k u12 j; (11) i    i  i i, j = 1, 2; i ≠ j; k = 3, где εi - относительные деформации растяжения (сжатия) срединной поверхности оболочки в на- правлении координаты i. Параметр ωi определяет поворот касательной координатной линии (вектора ei) деформированной срединной поверхности вокруг нормали по направлению к вектору ej относительно начального положения (недеформированной поверхности). Параметр ϑi определяет вращение векторов ei, e3 в нормальной плоскости к вектору ej. Суммируя 1, 2, получаем деформацию сдвига деформированной срединной поверхности оболочки: ε12  ε3  ω1  ω2  1 u2  1 A1 u1  A1 α1 A A1 2 α2  1 u1  1 A2 u2  2k u12 3  A2 α2 A A1 2 α1  A1   u1   A2   u2   2k u12 3. (12)   A2 α2  A1  A1 α1  A2  Полуразность параметров ω1, ω2 определяет угол поворота орт деформированной срединной поверхности оболочки вокруг нормали e3 (положи- тельный угол вращения против часовой стрелки): ω3  ω1  ω2   2 2u  Au1 1 . (13) 1 1  A 2 2A A1 2  α1 α2  По аналогии с вектором перемещений введем вектор углов поворота координатной системы деформированной срединной поверхности оболочки относительно начальной координатной системы срединной поверхности (положительное вращение против часовой стрелки). θ θ1 1e  θ2 2e  θ3 3e    θ  e ,  θ  θ ,θ ,θ , ,1 2 3  (14) где θ1 = -ϑ2; θ2 = ϑ1 или ωi   1ij , i, j = 1, 2; i ≠ j; θ3 = ω3. Учитывая параметры вращения векторов исходной координатной системы срединной поверхности при деформировании, получим векторы касательных и нормали к деформированной срединной поверхности: e e%i  i  ωi je ie3, i, j = 1, 2; e%3 1 1e 2 2e e3. (15) Рис. 3. Геометрия срединной и параллельной поверхностей [Figure 3. Geometry of middle and parallel surfaces] Формулы (11), (12) определяют деформации срединной поверхности оболочки. Отметим, что формулы деформаций срединной поверхности оболочки с произвольной ортогональной системой координат отличаются от формул оболочки в линиях кривизны только в деформациях сдвига - учитывается влияние кривизны кручения срединной поверхности k12. Для получения деформаций в произвольной точке оболочки рассмотрим геометрию и перемещения точек поверхности параллельной срединной поверхности оболочки, отстоящей от срединной поверхности на величину z (z = {-h / 2 ÷ h / 2}) (рис. 3). ρz α ,α1 2  ρα ,α1 2  z e3; (16) ρz αi  Ai ie  z q i ie  t jej   Ai 1 zki ei  zk12e j ; Aiz  Аi 1 zki ; (17) F z  zk12A Ai j 1 zk1  1 zk2  2zk12A Ai j  0; eiz  Aiz 1 zk1ei  zk12e j   ei  zk12e j; (18) Ai e eiz zj   2zk122  0 - координатная система поверхности параллельной срединной поверхности оболочки не в линиях кривизны, не ортогональна. emz e3z ei zk12e j e j zk12ei  em. Кривизна параллельной поверхности определяется формулой Riz  Ri  z, kiz  R1iz  Ri1 z  1kk zi i . (19) Пусть смещение точки параллельной поверхности определяется вектором uz  u1 1ze  u2 2ze  u3 3ze . (20) Согласно теории оболочек, основанной на гипо- тезах Кирхгофа - Лява, точка оболочки, находящаяся на расстоянии z по нормали от точки а срединной поверхности оболочки, остается на том же расстоянии z от точки перемещения срединной поверхности аи по направлению нормали к деформированной срединной поверхности (рис. 4). Из рис. 4 следует z e3  uz  u  z e%3, откуда uz  u  z e%3  e3 или с учетом формулы (15) uz  u  z  1 1e  2 2e . (21) С учетом гипотез Кирхгофа - Лява деформации поверхности параллельной срединной поверхности изменяются по линейному закону: εiz  Aiz εi  zχi ; ; i = 1, 2; Ai ε3z  ω1z  ωzz  A1z ω1  zτ1 A2z ω2  zτ2 . (22) A1 A2 Здесь параметры χi характеризуют приращения углов поворота θi нормали к деформированной срединной поверхности вдоль координаты, перпендикулярной вектору вращения θi, - параметры изменения кривизн координатных линий при деформировании срединной поверхности:  χi   1 j A1i αωi ej   1 j  A1i ωαij AAi1 j αAij ωi k12ω3   j 1 j  1i   1  i  Ai j k12ω3 ;  Ai αi AAi j α j  χ1  1 1  1 A1 2  k12ω ;3 A1 α1 A A1 2 α2 χ2  1 2  1 A21  k12ω3. (23) A2 a2 A A1 2 α1 Параметры τ1, τ2 характеризуют кручение координатных линий при деформировании оболочки. Проводя дифференцирование перемещений параллельной поверхности (21) по аналогии с перемещениями срединной поверхности (10), получим: 1 j 1 τi   i, i, j = 1, 2; i ≠ j. (24) Ai αi A Ai j Учитывая формулы Гаусса - Кодацци (11), можно показать, что τ1k1 2ω  k12 1ε  τ2 k2 1ω  k12 2ε  τ. (25) Выводы Сравнивая формулы (11) - (13), (23) - (25) функ- ций, характеризующих деформированное состояние тонких оболочек, с сопоставимыми формулами для оболочек с ортогональной несопряженной системой координат, полученными на основе методов тензорного анализа в монографиях [6-8], отмечаем их аналогию. Отличия обнаруживаются только в принятых обозначениях. Таким образом, в статье получены формулы деформаций тонких оболочек со срединой поверхностью с ортогональной несопряженной системой координат. При выводе уравнений использовались матрично-векторные формы дифференцирования уравнения поверхности (7), что позволяет более компактно и удобно провести необходимые преобразования. Матрично-векторная форма обоснована в работе [19] при выводе уравнений равновесия тонких оболочек со срединными поверхностями в ортогональной несопряженной системе координат. Полученные формулы деформаций срединной поверхности справедливы для оболочек со срединной поверхностью в линиях кривизны - k12 = 0. Приведенные преобразования могут использоваться в учебных пособиях по теории оболочек.

About the authors

Vyacheslav N. Ivanov

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Author for correspondence.
Email: i.v.ivn@mail.ru
SPIN-code: 3110-9909
6 Miklukho-Maklaya St., Moscow, 117198, Russian Federation

Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Civil Engineering, Engineering Academy

Alisa A. Shmeleva

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Email: i.v.ivn@mail.ru
6 Miklukho-Maklaya St., Moscow, 117198, Russian Federation

graduate student of Department of Civil Engineering, Engineering Academy

References

  1. Aron H. Das Gleichgewlcht und die Bewegund einer unendlich dunnen beliebig gekrummten elastischen Schale. J. fur reine und angew, Math. 1874;78:136–174.
  2. Love A. The small free vibrations and deformation of thin elastic shell. Pfill. Transs Roy. Soc. 1888;179(A): 491–546.
  3. Vlasov V.Z. Obshchaya teoriya obolochek i ee prilozheniya v tekhnike [General theory of shells and its application at technology]. Moscow; Leningrad: Gostehizdat Publ.; 1949. (In Russ.)
  4. Novozhilov V.V. Teoriya tonkih obolochek [Theory of thin shells]. Leningrad: GSIPS Publ.; 1962. (In Russ.)
  5. Chernih C.F. Linejnaya teoriya obolochek. Chast' 1. Obshchaya teoriya obolochek [Linear theory of shells. Part 1. Total theory of shells]. Leningrad: Leningrad University; 1962. (In Russ.)
  6. Chernih C.F. Linejnaya teoriya obolochek. Chast' 2. Nekotorye voprosy teorii [Linear theory of shells. Part 2. Some question of theory]. Leningrad: Leningrad University; 1964. (In Russ.)
  7. Goldeveizer А.L. Teoriya uprugih tonkih obolochek [Theory of elastic thin shells]. Moscow: Nauka Publ.; 1976. (In Russ.)
  8. Novozhilov V.V., Chernih К.F., Michailovskiy Е.I. Linejnaya teoriya tonkih obolochek [Linear theory of thin shells]: monograph. Leningrad: Politechnika Publ.; 1991. (In Russ.)
  9. Klochkov Yu.V., Nikolaev A.H., Ishchanov T.R. Comparative analysis of scalar and vector forms of approximations in a FEM after the V.V. Novozhilov's relations for elliptic cylinders. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2015;(2):51–57. (In Russ.)
  10. Klochkov Yu.V., Vakhnina O.V., Kiseleva T.A. Calculation of thin shells on the basis of the triangular final element with the correcting Lagrange's coefficients. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2015;(5):55–59. (In Russ.)
  11. Ivanov V.N. The base of finite element method and variation-difference method: textbook. Moscow: RUDN University Publ.; 2008. (In Russ.)
  12. Ivanov V.N., Krivoshapko S.N. Analiticheskie metody rascheta obolochek nekanonicheskoj formy [Analytical methods for calculating shells of non-canonical form]: textbook. Moscow: RUDN Publ.; 2010. (In Russ.)
  13. Ivanov V.N., Abbushy N.U. Raschet obolochek slozhnoj geometrii variacionno-raznostnym metodom [Analysis of the complex geometry using the variationaldifference method]. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings: Intercollegiate collection of scientific papers. 2000;(9):25–34. (In Russ.)
  14. Abovskiy А.P., Andreev N.P., Deruga А.P. Variacionnye principy teorii uprugosti i teorii obolochek [Variation principle of the theory of elasticity and theory of the shells]. Moscow: Nauka Publ.; 1978. (In Russ.)
  15. Washizu K. Variational methods in elasticity and plasticity. Oxford: Pergamon Press; 1968.
  16. Krivoshapko S.N., Ivanov V.N. Encyclopedia of Analytical Surfaces. Switzerland: Springer International Publishing; 2015.
  17. Ivanov V.N. Geometry and forming of the normal surfaces with system of plane coordinate lines. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2011;(4):6–14. (In Russ.)
  18. Ivanov V.N., Shmeleva A.A. Geometry and formation of the thin-walled space shell structures on the base of normal cyclic surfaces. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2016;(6):3–8. (In Russ.)
  19. Ivanov V.N. Raschet obolochek nekanonicheskoj formy [Analyses of the shells of noncanonic forms]: textbook complex. Moscow: RUDN Publ.; 2013. (In Russ.)

Statistics

Views

Abstract - 83

PDF (Russian) - 28

Cited-By


PlumX

Dimensions


Copyright (c) 2020 Ivanov V.N., Shmeleva A.A.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies