Accounting for geometric nonlinearity in finite element strength calculations of thin-walled shell-type structures

Cover Page

Abstract


Relevance. Currently, in connection with the wider spread of large-span thinwalled structures such as shells, an urgent issue is the development of computational algorithms for the strength calculation of such objects in a geometrically nonlinear formulation. Despite a significant number of publications on this issue, a rather important aspect remains the need to improve finite element models of such shells that would combine the relative simplicity of the resolving equations, allowance for shear deformations, compactness of the stiffness matrix being formed, the facilitated possibility of modeling and changing boundary conditions and etc. The aim of the work is to develop a finite element algorithm for calculating a thin shell with allowance for shear deformations in a geometrically nonlinear formulation using a finite element with a limited number of variable nodal parameters. Methods. As research tools, the numerical finite element method was chosen. The basic geometric relations between the increment of deformations and the increment of the components of the displacement vector and the increment of the components of the normal vector angle are obtained in two versions of the normal angle of the reference. The stiffness matrix and the column of nodal forces of the quadrangular finite element at the loading step were obtained by minimizing the Lagrange functional. Results. On the example of calculating a cylindrical panel rigidly clamped at the edges under the action of a concentrated force, the efficiency of the developed algorithm was shown in a geometrically nonlinear setting, taking into account the transverse shear strain.


Full Text

Введение 1 Современный анализ напряженно-деформи- рованного состояния (НДС) тонкостенных кон- струкций предполагает решение задачи в геометрически нелинейной постановке. При использовании численных методов рас- чета [1-6], в частности метода конечных элементов (МКЭ) [7-20], в решении нелинейных задач обычно используют шаговую процедуру нагружения [9; 10; 12; 14]. При этом возникает необходи- мость получения соотношений между приращениями деформаций, приращениями компонент вектора перемещения и приращениями их производных. В настоящей работе представлен вывод выше- упомянутых геометрических соотношений, включающих в себя деформации поперечного сдвига. Данные соотношения необходимы для формирования матрицы жесткости используемого конечного элемента на (j 1)-м шаге нагружения. 1. Геометрические соотношения При получении соотношений Коши на ( j 1)-м шаге нагружения последовательно рассматриваются три состояния оболочки: исходное и два деформированных - после j шагов нагружения и на (j 1)-м шаге нагружения. Исходное состояние описывается радиус-векторами Rr0 для точки 0 срединной поверхности и Rr0ζ для точки M0ζ , M находящейся на расстоянии ζ от срединной поверхности, причем r0ζ r0 r0 , (1) R  R ζen где ern0 - орт нормали к срединной поверхности в точке M0 . В процессе шагового нагружения точка M0ζ последовательно займет новые положения Mζ и M*ζ, определяемые соответствующими радиусвекторами: rζ r0ζ r r*ζ rζ r (2) R  R V; R  R W, где Vr и Wr - векторы перемещений точки M0ζ после j и ( j 1)-го шагов нагружения. При вычислении входящих в (2) векторов r и Wr можно воспользоваться одним из двух V вариантов. В первом варианте отсчет угла наклона нормали можно осуществить от ее исходного состояния [21]: V vr  r ζG W wr; r  r ζγ,r (3) где v v er ρ 0rρ vern0; w w er  ρ 0rρ wern0 - векторы перемещений точки M0 после j и ( j 1)-го шагов нагру- r ρ 0r ; γr  γρ 0erρ - векторы угла наклона жений; G  G eρ нормали после j и ( j 1)-го шагов нагружений ( ρ 1, 2 ). Во втором варианте отчет угла наклона нормали может осуществляться от ее деформированного состояния. В этом случае формулы (3) примут вид Vr   vr ζ ern Gr; Wr    wr ζ ern* γ ,r (4) где   ern ern ern0;   ern* ern* ern; ern и ern* - орты нормали после j и ( j 1)-го шагов нагружений. Ковариантные векторы базиса в трех рассматриваемых состояниях оболочки могут быть определены дифференцированием (1) и (2) по используемым глобальным криволинейным координатам. Например, если рассматривать в качестве рассчитываемой оболочки эллиптический цилиндр, то в качестве таких координат можно использовать осевую координату х и угловую координату θ: grα0  Rr,α0ζ; grα  Rr,αζ ; grα*  Rr,α*ζ, (5) где α последовательно принимает значения х и θ. Ковариантные компоненты тензора деформаций и тензора приращений деформаций после j шагов и на ( j 1)-м шаге нагружения могут быть получены из соотношений механики сплошной среды [22]: εζαβ gαβ  gαβ0  / 2;  εζαβ gαβ*  gαβ / 2. (6) Входящие в (6) ковариантные компоненты метрических тензоров в трех рассматриваемых состояниях могут быть определены скалярными произведениями (5): gαβ0  g g grα0  rβ0; αβ  g g gr rα  β; αβ*  g gr rα*  β*. (7) При использовании второго варианта отсчета угла наклона нормали (4) в соотношениях (6), выражающих приращения деформаций в произвольном слое оболочки через компоненты шагового вектора перемещения и компоненты шагового вектора угла наклона нормали, будут фигурировать как первые, так и вторые производные от компонент шагового вектора перемещения, что повлечет усложнение вычислительного алгоритма. Этим рассматриваемый вариант отличается от первого варианта отсчета угла наклона нормали, при использовании которого в соотношениях приращений деформаций фигурируют только первые производные от компонент вектора шагового перемещения. 2. Матрица жесткости на (j+1)-м шаге нагружения Элементом дискретизации выбирается четырехугольный фрагмент срединной поверхности с узлами в его вершинах. Столбцы шаговых узловых неизвестных в локальной 1 ξ, η 1 и глобальной х, θ системах координат будут иметь следующий вид: Wy Т w1yЛ Т w2yЛ      Т wЛy Т γ1 Т γ2 Т ; Л 1 44  1 12 1 12 1 12 1 4 1 4  WyГТ w1yГ Т w2yГ      Т wГy Т γ1 Т γ2 Т , (8) 1 44  1 12 1 12 1 12 1 4 1 4  где T qЛy  qq q qq q q q q q q qi j k l i,ξ ,ξj ,ξ ,ξ ,η ,η ,η ,ηk l i j k l ; 1 12 T qГy qq q qq q q q q q q qi j k l i,x ,jx ,kx ,lx ,θi ,θj ,θ ,θk l ; 1 12 T γρ γ γ γρi ρj ρkγρl; 1 4 q  w w w i j k l1, 2, ; , , , - узлы четырехугольного элемента дискретизации. Компонента шагового вектора перемещения и ее первые производные по глобальным координатам точки внутренней области конечного элемента аппроксимируются через узловые значения этой же компоненты с помощью интерполяционных выражений вида q  φ T qЛy ; q,α  φ,ξ T ξ,α  φ,η T η,α qЛy , (9) 1 12 12 1   где  φ T φ φ ...φ1 2 12 - матрица-строка, элементы 1 12 которой представляют собой произведение полиномов Эрмита третьей степени. Для компонент вектора угла наклона нормали γρ были использованы интерполяционные зависимости следующего вида: γρ  ψ Tγρy , (10) 1 4 4 1 где  ψ T ψ ψ ψ ψ1 2 3 4 - матрица-строка, элементы 1 4 которой представлены билинейными соотношениями локальных координат ξ, η . Функционал, выражающий равенство работ внешних и внутренних сил на ( j 1)-м шаге нагру- жения, записывается в виде T T П   εζαβ    σαβ  σαβdV      w  P  P dF , (11) V F T где εζαβ   ε11ζ 2 ε 12ζ 2 ε 13ζ εζ222 ε ζ23; 1 5 T σαβ   σ11σ12σ13σ22σ23 - приращение дефор- 1 5 маций и напряжений на ( j 1)-м шаге нагруже- T ния; σαβ σ σ σ σ11 12 13 22σ23 - напряжения, накоп- 1 5 ленные за j предыдущих шагов нагружения;  w T w w w1 2  - компоненты шагового вектора 1 3 перемещения точки срединной поверхности;  P T p p p1 2 3;  P T     p1 p2 p3 - внешняя по- 1 3 1 3 верхностная нагрузка за j шагов нагружения и ее приращения на ( j 1)-м шаге. Входящий в (11) столбец приращений контравариантных компонент тензора напряжений σαβ на основании закона Гука [22] может быть выражен через столбец приращений ковариантных компонент тензора деформаций εζαβ матричным способом σαβ С εζαβ, (12) 1 5 5 5 1 5 где С матрица упругости, при компоновке кото- 5 5 рой учтена общепринятая в теории оболочек [23] гипотеза о равенстве нулю нормальных напряжений, перпендикулярных срединной поверхности σ330. На основании соотношений (6) и аппроксимирующих выражений (9), (10) столбец приращений ковариантных компонент тензора деформаций εζαβ может быть выражен через столбец узловых неизвестных WyЛ в виде матричного произведения εζαβ  B WуЛ . (13) 5 1 5 44 44 1 С учетом (12), (13) и аппроксимирующих выражений (9), (10) функционал (11) примет следующий вид: П  WyГ TPRT     B T C B dV PR    WyГ  WyГ TPRT  B T σαβ dV  V V  WyГ TPRT  A T P dF  WyГ TPRT  A T P dF , (14) F F где матрица A определяется из равенства  w  A W yЛ. Выполняя над (14) процедуру минимизации T по WyГ , можно получить следующую систему алгебраических уравнений: PR     T  B T C B dV PR W  yГPR  T  A T  P dF V F  T T αβ T T  PR   B  σ dV PR   A  P dF , (15)  V F  которую можно записать в более компактном матричном виде: MG W yГ   f  NR , (16) где MG  PRT     B T C B dV PR  - матрица жестV кости конечного элемента на ( j 1)-м шаге нагружения;   f  PRT A T P dF - столбец узловых F усилий на ( j 1)-м шаге нагружения; NR - поправка Ньютона - Рафсона. 3. Пример расчета В качестве примера была решена задача по определению НДС цилиндрической панели, жестко защемленной по образующим и загруженной сосредоточенной силой P в середине пролета. При формировании матрицы жесткости и столбца узловых усилий конечного элемента использовались соотношения первого варианта отсчета углов наклона нормали как наиболее удобные с точки зрения организации вычислительной процедуры. Вследствие наличия плоскостей симметрии рассчитывалась 1/4 часть оболочки, которая представлялась одной полоской конечных элементов, ориентированных в кольцевом направлении. Были приняты следующие исходные данные: радиус цилиндра R  3,381 м; толщина оболочки t  0,00476 м; модуль упругости E  7 10 4МПа, коэффициент Пуассона v  0,2 ; величина сосредоточенной силы P 12,7 Н; длина образующих - 0,0254 м. Первоначально решалась задача в линейной постановке с целью установления необходимого числа элементов дискретизации. Таблица 1 Значения напряжений и прогиба при решении задачи в линейной постановке [Table 1. Values of stresses and deflection when solving a problem in a linear formulation] Координата Напряжение σ Количество элементов дискретизации [Number of sample elements] Известное решение точки, θ, рад МПа, прогиб ν, см [Known solution] [Point coordinate, θ, radian] [Voltage σ MPa, deflection ν, cm] 20 30 40 50 60 0,0, точка приложения силы P [0.0, point of application of force P] σ11в σ11н σв22 σн22 -1,67 2,68 41,17 -56,34 -1,30 2,31 43,55 -58,74 -1,06 2,07 44,82 -60,02 -0,91 1,92 45,63 -60,85 -0,8 1,81 46,23 -61,45 - - - - v -0,239 -0,240 -0,241 -0,241 -0,234 -0,241 0,128, жесткая заделка [0.128, hard fix] σ11в σ11н σв22 9,07 -11,78 45,30 9,94 -12,58 49,61 10,46 -13,09 52,21 10,83 -13,45 54,06 11,11 -13,74 55,48 - - - σн22 -58,99 -63,03 -65,55 -67,39 -68,82 - Таблица 2 Значения напряжений и прогиба при решении задачи в нелинейной постановке [Table 2. Values of stresses and deflection when solving a problem in a nonlinear formulation] Напряжение σ Число шагов нагружения [Number of sample elements] Известное решение МПа, прогиб ν, см [Voltage σ MPa, deflection ν, cm] 50 100 150 200 250 300 [Known solution] σв22 63,71 67,32 67,92 68,13 68,23 68,29 - σн22 -85,84 -84,96 -85,19 -85,34 -85,42 -85,48 - v -0,422 -0,429 -0,431 -0,432 -0,432 -0,432 -0,437 Результаты линейного расчета представлены в табл. 1: приведены численные значения нормальных напряжений на внутренней σв и наружной σн поверхностях оболочки в жесткой заделке, а также напряжения и прогиб в точке приложения сосредоточенной силы P в зависимости от числа элементов дискретизации. Как видно из табл. 1, при увеличении числа элементов дискретизации наблюдается сходимость вычислительного процесса как по напряжениям, так и по прогибу в точке приложения сосредоточенной нагрузки. В крайней правой колонке представлено известное линейное решение [24]. Из анализа данных табл. 1 можно сделать вывод, что разбиение 1/4 части исследуемой оболочки на 50 конечных элементов вполне достаточно, поэтому для решения задачи в нелинейной постановке было выбрано данное число элементов дискретизации. Результаты расчетов в геометрически нелинейной постановке представлены в табл. 2: приведены «физические» значения нормальных напря- жений σ22 и величина прогиба в точке приложения сосредоточенной силы в зависимости от числа шагов нагружения. Как видно из данной таблицы, с увеличением числа шагов нагружения наблюдается устойчивая сходимость вычислительного процесса, как по напряжениям, так и по прогибу. В крайней правой колонке приведено значение прогиба под сосредоточенной силой P, взятое из [24]. Вычисленное по разработанному в статье алгоритму значение прогиба оказалось зани- женным по сравнению с представленным в [24] всего на 1 %. Кроме того, следует отметить, что при увеличении количества элементов дискретизации и числа шагов нагружения величина прогиба будет монотонно возрастать. Заключение На основании анализа табличных данных можно сделать вывод, что разработанный алгоритм позволяет получать приемлемые по точности значения параметров напряженно-деформированного состояния тонких оболочек с учетом деформаций сдвига при расчете их в геометрически нелинейной постановке.

About the authors

Yuriy V. Klochkov

Volgograd State Agricultural University

Author for correspondence.
Email: klotchkov@bk.ru
SPIN-code: 9436-3693
26 Universitetskii Ave., Volgograd, 400002, Russian Federation

Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department of Higher Mathematics

Anatoliy P. Nikolaev

Volgograd State Agricultural University

Email: klotchkov@bk.ru
SPIN-code: 2653-5484
26 Universitetskii Ave., Volgograd, 400002, Russian Federation

Doctor of Technical Sciences, Professor

Tlek R. Ishchanov

Volgograd State Agricultural University

Email: klotchkov@bk.ru
SPIN-code: 1556-1368
26 Universitetskii Ave., Volgograd, 400002, Russian Federation

Candidate of Technical Sciences, senior lecturer of the Department of Higher Mathematics

Alexandr S. Andreev

Volgograd State Agricultural University

Email: klotchkov@bk.ru
SPIN-code: 7568-5011
26 Universitetskii Ave., Volgograd, 400002, Russian Federation

senior lecturer of the Department of Higher Mathematics

Mikhail Yu. Klochkov

Lomonosov Moscow State University

Email: klotchkov@bk.ru
SPIN-code: 2767-3955
1 Leninskiye Gory, Moscow, 119899, Russian Federation

4th-year student of the Faculty of Physics

References

  1. Krivoshapko S.N., Gbaguidi-Aisse G.L. Geometry, static, vibration and bucking analysis and applications to thin elliptic paraboloid shells. The Open Construction and Building Technology Journal. 2016;(10):3–28.
  2. Krylova Ye.Yu., Papkova I.V., Saltykova O.A., Sinichkina A.O., Krys'ko V.A. Mathematical model of vibrations of the cylindrical shells, which are dimensionally dependent with the net structure, taking into account the Kirchhoff – Love hypotheses. Nonlinear World. 2018;16(4): 17–28. (In Russ.)
  3. Pyatikrestovskiy K.P., Travush V.I. Nonlinear Method Programming for Calculations of Statically Indeterminate Wooden Structures and Software Systems’ Communication to Development of Improved Design Standards. Academia. Architecture and construction. 2015;(2): 115–119. (In Russ.)
  4. Kim A.Yu., Polnikov S.V. Comparing the experi- mental and computational investigations of longspan air lentiform structure. Nauchnoe obozrenie [Scientific review]. 2016;(15):36–41. (In Russ.)
  5. Khayrullin F.S., Sakhbiev O.M. A method of determination of stress-strain state of 3D structures of complex form. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2016;(1):36–42. (In Russ.)
  6. Kozlov V.A. Stress and strain of multiply connected prismatic structures, mounted on a skewed crosssection. Russian Journal of Building Construction and Architecture. 2015;4(40):11–17. (In Russ.)
  7. Kayumov R.A., Shakirzyanov F.R., Gavryushin S.S. Modeling of the deformation process and evaluation of the bearing capacity of a thin-walled structure in the ground. Proceedings of Higher Educational Institutions. Маchine Building. 2014;(6):20–24. (In Russ.)
  8. Ignat’ev A.V., Ignat’ev V.A., Gazmatova E.A. Calculation of thin plates by the method of finite elements in the form of the classical mixed method with the exception of the move- ment of finite elements as a rigid whole. News of Higher Educational Institutions. Building. 2018;3(711):5–13. (In Russ.)
  9. Golovanov A.I., Tyuleneva O.N., Shigabutdinov A.F. Metod konechnih elementov v statike i dinamike tonko- stennyh konstruktsiy [The finite element method in statics and dynamics of thin-walled structures]. Moscow: Fizmatlit Publ; 2006. (In Russ.)
  10. Zheleznov L.P., Kabanov V.V., Boiko D.V. Nelineynoye deformirovaniye i ustoychivost' diskretno podkreplennykh ellipticheskikh tsilindricheskikh kompozitnykh obolochek pri kruchenii i vnutrennem davlenii [Nonlinear Deformation and Stability of Discrete-Reinforced Elliptical Cylindrical Composite Shells under Torsion and Internal Pressure]. Izv. VUZov. Aviatsionnaya tekhnika. 2018;(2):27–34. (In Russ.)
  11. Tyukalov Yu.Ya. Finite element models in stresses for bending plates. Magazine of Civil Engineering. 2018; 6(82):170–190. doi: 10.18720/MCE.82.16.
  12. Agapov V.P., Aydemirov K.R. Calculation of Trusses by Finite-Element Method with Due Regard for Geometric Non-Linearity. Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitel’stvo [Industrial and civil engineering]. 2016;(11):4–7. (In Russ.)
  13. Belostotskiy A.M., Akimov P.A., Aul A.A., Dmitriyev D.S., Dyadchenko Yu.N., Nagibovich A.I., Ostrovskiy K.I., Pavlov A.S. Analysis of Mechanical Safetyof Stadiums for the World Cup 2018. Academia. Architecture and construction. 2018;(3):118–129. (In Russ.)
  14. Nguyen N., Waas A. Nonlinear, finite deformation, finite element analysise. Z. Angew. Math. Phys. 2016; 9(67):351–352. https://doi.org/10.1007/s00033-016-0623-5
  15. Lei Z., Gillot F., Jezequel L. Developments of the mixed grid isogeometric Reissner – Mindlin shell: serendipity basis and modified reduced quadrature. Int. J. Mech. 2015;(54):105–119.
  16. Hanslo P., Larson M.G., Larson F. Tangential differential calculus and the finite element modeling of a large deformation elastic membrane problem. Comput. Mech. 2015;56(1):87–95.
  17. Yamashita H., Valkeapaa A.I., Jayakumar P., Syqiyama H. Continuum mechanics based bilinear shear deformable shell element using absolute nodal coordinate formulation. Trans. ASME. J. Comput. And Nonlinear Dyn. 2015;10(5):051012,1–051012,9.
  18. Ren H. Fast and robust full-guad-rature triangular elements for thin plates/shells, with large deformations and large rotations. Trans. ASME. J. Comput. And Nonlinear Dyn. 2015;10 (5):051018/1–051018/13.
  19. Sartorato M., Medeiros R., Tita V. A finite element formulation for smart piezollectric composite shells: Mathematical formulation, computational analysis and experimental evaluation. Compos. Struct. 2015;127(1):185–198.
  20. Lalin V., Rybakov V., Sergey A. The Finite Elements for Design of Frame of Thin-Walled Beams. Applied Mechanics and Materials. 2014;578–579:858–863. https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/amm.578-579.858
  21. Rikards R.B. Metod konechnykh elementov v teorii obolochek i plastin [Finite element method in the theory of shells and plates]. Riga: Zinatne Publ.; 1988. (In Russ.)
  22. Sedov L.I. Mehanika sploshnoi sredi [Continuum mechanics]. Moscow: Nauka Publ.; 1976. (In Russ.)
  23. Novozhilov V.V. Teoriya tonkikh obolochek [Theory of thin shells]. Saint Petersburg: Publishing House of Saint Petersburg University; 2010. (In Russ.)
  24. Papenhausen J. Eine energiegrechte, incrementelle for mulierung der geometrisch nichtlinearen Theorie elastischer Kontinua und ihre numerische Behandlung mit Hilfe finite Elemente. Techn. – Wiss. Mitt. Jnst. Konstr. Jngenierlau Ruhr. Univ. Bochum. 1975;13(III):133.

Statistics

Views

Abstract - 169

PDF (Russian) - 49

Cited-By


PlumX

Dimensions


Copyright (c) 2020 Klochkov Y.V., Nikolaev A.P., Ishchanov T.R., Andreev A.S., Klochkov M.Y.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies