Mathematical modeling of unsteady elastic stress waves in a console with a base (half-plane) under fundamental seismic action

Cover Page

Abstract


The aim of the work is to consider the problems of numerical modeling of seismic safety of the console with the base in the form of an elastic half-plane under unsteady wave influences. Stress waves of different nature, propagating in the deformed body interact with each other. After three or four times the passage and reflection of stress waves in the body, the process of propagation of disturbances becomes steady, the body is in oscillatory motion. The problem of modeling problems of the transition period is an actual fundamental and applied scientific problem. Methods. The finite element method in displacements is used to solve the two-dimensional plane dynamic problem of elasticity theory with initial and boundary conditions. On the basis of the finite element method in displacements, an algorithm and a set of programs for solving linear plane two-dimensional problems have been developed, which allow solving problems with non-stationary wave effects on complex systems. The algorithmic language “Fortran-90” was used in the development of the complex of programs. The study area is divided by spatial variables into finite elements of the first order. According to the time variable, the study area is also divided into finite elements of the first order. Results. The problem of the influence of a plane longitudinal elastic wave in the form of a Heaviside function on a console with a base (the ratio of width to height is one to ten) is considered. The initial conditions are taken as zero. The system of equations from 16 016 084 unknowns is solved. Contour stresses and stress tensor components are obtained in characteristic areas of the problem. On the basis of the conducted researches it is possible to draw the following conclusions: the console (the ratio of width to height one to ten) is modeled with the elastic basis in the form of an elastic half-plane; the elastic contour stresses on the faces of the console are almost a mirror image of one another, that is, antisymmetric; the console under seismic action works as a rod of variable cross-section, that is, if there are tensile stresses on one face, then compressive stresses on the other; on the contours of the console under seismic action, bending waves mainly prevail.


Введение Импульсное воздействие характеризуется вневектора упругих перемещений вдоль осей ОХ и ОY соответственно; ρ - плотность материазапностью приложения и кратковременностью действия. В деформируемом теле при импульсном воздействии возникают возмущения различной прирола; Cp = E r(1- n2 ) - скорость продольной упру- E ды. Волны напряжений различной природы, распространяясь в деформируемом теле, взаимодейгой волны; Cs = 2r(1+ n) - скорость поперечной ствуют друг с другом, что приводит к образованию упругой волны; ν - коэффициент Пуассона; Е - новых областей возмущений, перераспределению напряжений и деформаций. После трехкратного или модуль упругости; тур тела Γ . S (S1 U S2 ) - граничный кончетырехкратного прохождения и отражения волн напряжений в теле процесс распространения возмущений становится установившимся, напряжения и деформации усредняются, тело находится в колебательном движении. Некоторые вопросы в области моделирования нестационарных динамических задач рассмотрены в работах [1-11]. В [6-9; 10] приведена информация о физической достоверности и математической точности моделирования нестационарных волн напряжений в деформируемых телах с помощью рассматриваемых численного метода, алгоритма и комплекса программ. 1. Постановка задачи Для решения задачи о моделировании нестационарных упругих волн в деформируемых областях сложной формы рассмотрим некоторое тело Γ в прямоугольной декартовой системе координат XOY, Систему (1) в области, занимаемой телом Γ , следует интегрировать при начальных и граничных условиях. Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями (1) используем метод конечных элементов в перемещениях. 2. Методика Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов. Чтобы выполнить динамический расчет методом конечных элементов, нужно иметь матрицу жесткости и матрицу инерции конечного элемента. Принимая во внимание определение матриц и векторов для тела Γ , записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости: HФ& + K r = r , Ф R которому в начальный момент времени t = 0 сообr r щается механическое воздействие. Предположим, что тело Γ изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях. Точные уравнения двумерной (плоское напря- Ф t =0 = Ф0 , r r Ф& = Ф& , (2) t = 0 0 где H - матрица инерции; K - матрица жесткоr женное состояние) динамической теории упругости сти; Φ - вектор узловых упругих перемещений; имеют вид Φ& - вектор узловых упругих скоростей перемещеr ∂ ∂ sx + ∂ txy ∂ = 2 ∂ ∂ r u , ∂ tyx ∂ ∂ ∂ s y 2 v ∂ + = r , ний; Φ& - вектор узловых упругих ускорений; R - x y t 2 ∂ x y t 2 вектор узловых упругих внешних сил. Для интегрирования уравнения (2) конечно- ( x, y )∈Γ , s = rC 2 e + r(C 2 - 2C 2 )e , элементным вариантом метода Галеркина привеx p x p s y дем его к следующему виду: s = rC 2 e + r(C 2 - 2C 2 )e , 2 , y p y p s x txy = rCs g xy d r r r ∂ ∂ u ε x = x , ∂ ∂ v ε y = y , ∂ ∂ ∂ ∂ u v γ xy = y + x , H Ф& + KФ = R , dt d r r ( x, y )∈( Γ∪ S ) , (1) Ф = Ф& . (3) dt где σ x , σ у и τ ху - компоненты тензора упругих Интегрируя по временной координате соотношение (3) с помощью конечноэлементного варинапряжений; ε x , ε у и γ ху - компоненты тензора анта метода Галеркина, получим двумерную явную упругих деформаций; u и v - составляющие двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек: r r r r i+1 i -1 Ф& = Ф& + DtH (- KФi + Ri ) , r r r Фi+1 = Фi + ΔtФ&i+1 , (4) где: Δt - шаг по временной координате. Система уравнений (4) для внутренних и граничных узловых точек, полученная в результате интегрирования уравнения движения теории упругости, должна давать решение, сходящееся к решению исходной системы. Шаг по временной переменной Δt ем из соотношения определяmin Dl Dt = k i Cp (i = 1, 2, 3, ..., r) , (5) Рис. 1. Постановка задачи для консоли (соотношение ширины к высоте один к десяти) с упругим основанием (полуплоскость) где Δl - длина стороны конечного элемента; r - [Figure 1. Problem statement for a console (width-to-height ratio of one to ten) with an elastic base (half-plane)] число конечных элементов. Результаты численного эксперимента показали, что при k = 0,5 обеспечивается устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы. На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны алгоритм и комплекс программ для решения линейных плоских двумерных задач, которые позволяют производить расчеты при нестационарных волновых воздействиях на сложные системы. При разработке комплекса программ использовался алгоритмический язык «Фортран-90». Исследуемая область разбивалась по пространственным переменным на конечные элементы первого порядка. По временной переменной исследуемая область также разбивалась на конечные элементы первого порядка. 3. Результаты Расчеты проводились при следующих единицах измерения: килограмм-сила (кгс); сантиметр (см); секунда (с). Для перехода в другие единицы измерения были приняты следующие допущения: 1 кгс/см2 ≈ 0,1 МПа; 1 кгс с2/см4 ≈ 109 кг/м3. Рассматривалась задача о воздействии плоской продольной упругой волны в виде функции Хевисайда на консоль с основанием (соотношение ширины к высоте один к десяти) (рис. 1). Начальные условия приняты нулевыми. От точки F параллельно свободной поверхности ABEFG приложено нормальное напряжение σx , которое при Рис. 2. Точки, в которых получены контурные напряжения в консоли [Figure 2. The points at which the contour voltages in the console are obtained] Рис. 3. Изменение упругого контурного напряжения sk 0 ≤ n ≤ 11 ( n = t / Δt ) изменяется линейно от 0 в точках 1 и 6 на контуре консоли во времени t / Dt до P , а при n ≥ 11 равно P ( P = s0 , s0 = 0,1 МПа (1 кгс/см2)). [Figure 3. The change of elastic contour stress sk at points 1 and 6 on the console loop in time t / Dt ] Рис. 4. Изменение упругого контурного напряжения sk Рис. 7. Изменение упругого контурного напряжения sk в точках 5 и 10 на контуре консоли во времени t / Dt [Figure 7. The change of elastic contour stress s в точках 2 и 7 на контуре консоли во времени t / Dt [Figure 4. The change of elastic contour stress sk at points 2 and 7 on the console loop in time t / Dt ] t > 0 k at points 5 and 10 on the console loop in time t / Dt ] Граничные условия для контура GHIA при u = v = u& = v& = 0 . Отраженные волны от контура GHIA не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 500 . Контур ABCDEFG свободен от нагрузок, кроме точки F . Решается система уравнений из 16 016 084 неизвестных. На рис. 3-7 показано изменение контурных напряжений σk t / Δt . в консоли (рис. 2) во времени Рис. 5. Изменение упругого контурного напряжения sk в точках 3 и 8 на контуре консоли во времени t / Dt [Figure 5. The change of elastic contour stress sk at points 3 and 8 on the console loop in time t / Dt ] Рис. 6. Изменение упругого контурного напряжения sk в точках 4 и 9 на контуре консоли во времени t / Dt [Figure 6. The change of elastic contour stress sk at points 4 and 9 on the console loop in time t / Dt ] Заключение Консоль (соотношение ширины к высоте один к десяти) моделируется с упругим основанием в виде упругой полуплоскости. Упругие контурные напряжения на гранях консоли являются почти зеркальным отражением друг друга, то есть антисимметричными. Консоль при сейсмическом воздействии работает как стержень переменного сечения, то есть если на одной грани - растягивающие напряжения, то на другой - сжимающие напряжения. На контурах консоли при сейсмическом воздействии в основном преобладают изгибные волны.

Vyacheslav K. Musayev

Russian University of Transport; Mingachevir State University

Author for correspondence.
Email: musayev-vk@yandex.ru
9 Obraztsova St., bldg. 9, Moscow, 127994, Russian Federation; Dilyara Alieva St., Mingachevir, AZ4500, Republic of Azerbaijan

Doctor of Technical Sciences, Professor, Professor of the Department of Technosphere Safety of the RUT (MIIT)

  • Kolsky G. (1955). Volny napryazhenij v tverdyh telah [Stress waves in solids]. Moscow, Inostrannaya literatura Publ. (In Russ.)
  • Zenkevich O. (1975). Metod konechnyh ehlementov v tekhnike [Finite element method in engineering]. Moscow, Mir Publ. (In Russ.)
  • Timoshenko S.P., Gudyer D. (1975). Teoriya uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow, Nauka Publ. (In Russ.)
  • Musaev V.K. (2009). O modelirovanii sejsmicheskoj volny parallel'noj svobodnoj poverhnosti uprugoj poluploskosti [On modeling of a seismic wave parallel to the free surface of an elastic half plane]. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, (4), 61–64. (In Russ.)
  • Spiridonov V.P. (2105). Opredelenie nekotoryh zakonomernostej volnovogo napryazhennogo sostoyaniya v geoob"ektah s pomoshch'yu chislennogo metoda, algoritma i kompleksa programm Musaeva V.K. [The definition of some patterns of wave stress in geoobject using numerical method, algorithm and program complex of Musayev V.K.]. Sovremennye naukoemkie tekhnologii, (12–5), 832–835. (In Russ.)
  • Dikova Ye.V. (2016). Dostovernost' chislennogo metoda, algoritma i kompleksa programm Musaeva V.K. pri reshenii zadachi o rasprostranenii ploskih prodol'nyh uprugih voln (voskhodyashchaya chast' – linejnaya, niskhodyashchaya chast' – chetvert' kruga) v poluploskosti [Reliability of the numerical method, algorithm and software complex of Musayev V.K. in solving the problem of propagation of plane longitudinal elastic waves (the ascending part is linear, the descending part is a quarter of a circle) in a half-plane]. Mezhdunarodnyj zhurnal ehksperimental'nogo obrazovaniya, (12–3), 354–357. (In Russ.)
  • Starodubtsev V.V., Akatyev S.V., Musayev A.V., Shiyanov S.M., Kurantsov O.V. (2017). Modelirovanie uprugih voln v vide impul'snogo vozdejstviya (voskhodyashchaya chast' – chetvert' kruga, niskhodyashchaya chast' – chetvert' kruga) v poluploskosti s pomoshch'yu chislennogo metoda Musaeva V.K. [Modeling of elastic waves in the form of impulse action (ascending part – a quarter of a circle, descending part – a quarter of a circle) in a half-plane by means of the numerical method of Musayev V.K.]. Problemy bezopasnosti rossijskogo obshchestva, (1), 36–40. (In Russ.)
  • Starodubtsev V.V., Akatyev S.V., Musayev A.V., Shiyanov S.M., Kurantsov O.V. (2017). Modelirovanie s pomoshch'yu chislennogo metoda Musaeva V.K. nestacionarnyh uprugih voln v vide impul'snogo vozdejstviya (voskhodyashchaya chast' – chetvert' kruga, srednyaya – gorizontal'naya, niskhodyashchaya chast' – linejnaya) v sploshnoj deformiruemoj srede [Modeling of unsteady elastic waves in the form of pulse action (ascending part – a quarter of a circle, the middle part – horizontal, the descending part – linear) in a continuous deformable medium using the Musayev V.K. numerical method]. Problemy bezopasnosti rossijskogo obshchestva, (1), 63–68. (In Russ.)
  • Kurantsov V.A., Starodubtsev V.V., Musayev A.V., Samoylov S.N., Kuznetsov M.E. (2017). Modelirovanie impul'sa (pervaya vetv': voskhodyashchaya chast' – chetvert' kruga, niskhodyashchaya chast' – linejnaya; vtoraya vetv': treugol'nik) v uprugoj poluploskosti s pomoshch'yu chislennogo metoda Musaeva V.K. [Modeling of momentum (the first branch: the ascending part – a quarter of a circle, the descending part – linear; the second branch: a triangle) in an elastic half-plane using the numerical method of Musayev V.K.]. Problemy bezopasnosti rossijskogo obshchestva, (2), 51–55. (In Russ.)
  • Musaev V.K. (2017). Primenenie volnovoj teorii sejsmicheskogo vozdejstviya dlya modelirovaniya uprugih napryazhenij v Kurpsajskoj plotine s gruntovym osnovaniem pri nezapolnennom vodohranilishche [Application of the wave theory of seismic action for modeling elastic stresses in the Kurpsay dam with a soil base in an unfilled reservoir]. Geologiya i geofizika Yuga Rossii, (2), 98–105. (In Russ.)
  • Musayev V.K. (2019). Mathematical modeling of non-stationary elastic waves stresses under a concentrated vertical exposure in the form of delta functions on the surface of the half-plane (Lamb problem). International Journal for Computational Civil and Structural Engineering, 15(2), 111–124.

Views

Abstract - 67

PDF (Russian) - 52

PlumX


Copyright (c) 2019 Musayev V.K.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.