Free vibrations of anisotropic rectangular plate laying on a heterogeneous viscouselastic basis

Cover Page

Abstract


The aim of the work. Free, transverse vibrations are considered heterogeneous along the three spatial coordinates of rectangular plates lying on an inhomogeneous viscoelastic base. It is assumed that the boundary conditions are homogeneous. A closed solution for the problem of free vibration of an inhomogeneous rectangular orthotropic plate based on an inhomogeneous viscoelastic foundation is developed in the article. Young's moduli and the density of the orthotropic plate continuously change with respect to three spatial coordinates, while the characteristics of a viscoelastic base change depending on the coordinates in the plane. Methods. The corresponding equation of motion is obtained using the classical theory of plates. The solution to the problem was constructed using the method of separation of variables and the Bubnov - Galerkin method. Results. Explicit formulas of the fundamental tone of the frequency of the transverse vibration of an anisotropic plate lying on an inhomogeneous viscoelastic base are determined. The influence of heterogeneity of orthotropic materials, viscosity inhomogeneities, inelastic and elastic substrates at dimensionless plate frequencies have been studied in detail.


Введение 1 В настоящее время при строительстве крупных инженерных комплексов, мостов, эстакад, а также в машиностроении широко используются прямо- угольные пластинки, изготовленные из различных естественных и искусственных анизотропных материалов. При расчете на устойчивость, определении частотно-амплитудных характеристик появляется необходимость учета влияния сопротивления окружающей среды при эксплуатации. Одновременный учет неоднородности, анизотропности и сопротивления внешней среды значительно осложняет математическое решение задачи. Неучет же этих факторов может привести к существенной ошибке (особенно в динамических задачах). Принимая во внимание, что в строительстве и в ряде других областей широко применяются непрерывно-неоднородные анизотропные прямоугольные пластинки, в данной работе изучаются поперечные колебания этой же конструкции, но с учетом неоднородно вязкоупругого сопротивления. Фундаментальная монография В.А. Ломакина посвящена теоретическим вопросам линейно неоднородных упругих тел. Здесь на основе построенной теории упругости непрерывно линейно-упругих тел решен ряд теоретических вопросов, связанных с изучением напряженно-деформированного состояния элементов конструкций [1]. Монография Г.С. Лехницкого [2], посвящена теории однородных линейно-упругих анизотропных пластин и решению конкретных задач. Исследование ряда теоретико-экспериментальных вопросов полимерных и композиционных материалов проведено в [3], где указано, что при изготовлении полосы-пластины после определенного технологического процесса модуль упругости и плотность являются периодической функцией Во многих случаях причинами появления неоднородности материалов являются технология изготовления (композитных, стеклопластиковых, армированных материалов), механическая и термическая обработка, сварка, неоднородность составов. В результате чего возможен случай, когда характеристики материала и его плотность одновременно могут быть функцией трех пространственных координат [1; 3]. Учет вышеуказанных свойств и сопротивление вязкоупругой среды осложняют математическое решение задачи. Анализ полученных результатов, а не учет, может привести к существенным погрешностям [8; 13]. В данной работе исследуется задача свободного колебания непрерывно-неоднородной анизотропной пластинки, лежащей на неоднородно вязкоупругом основании. Реакция основания R с прогибом связаны следующим образом [8; 13]: координаты длины, коэффициент Пуассона остается постоянной величиной. æ R = ç K (x, y) + K (x, y) ¶2 ö 2 ÷ ÷w(x, y, ) , (1) Колебание анизотропных пластин, лежащих на ç 1 2 è ¶t ø основании типа Винклера - Пастернака, описано в работе [4]. где w - прогиб; t - время, K1 (x, y) и K2 (x, y) - В [5] исследована приближенная методика расчета на устойчивость непрерывно-неоднородных прямоугольных пластин. Обстоятельно были изучены вопросы определения критических параметров оболочек с учетом сопротивления двухконстантного основания типа Пастернака [6]. В.А. Баженов [7] изложил теорию расчета прямоугольных пластин и круговых цилиндрических оболочек на изгиб и устойчивость, находянепрерывные функции, которые характеризуют свойство основания. Координатная система выбрана так, что оси X и Y находятся в срединной плоскости, Z - перпендикулярно к ней. Характеристики материала и плотность являются функциями трех пространственных координат: ij ij 1 2 a = a0 f (x, y) f ( z); щихся в упругой среде. Исследование вопросов колебания ортотропных неоднородных пластин с ρ = ρ0ψ1 (x, y)ψ2 (z), 0 (2) учетом сопротивления различного ряда упругой и где aij и r0 - соответствует однородному анизотропвязкоупругой сред проведено в [8-11]. В качестве ному материалу; f1 (x, y) со своими производныпримера рассмотрены конкретные случаи характерных параметров, выполнены численные расми до второго порядка f 2 (z), y 1 (x, y), y 2 (z) сачеты, результаты представлены в зависимости от параметра основания в виде таблиц и графиков. В [12] проведены анализы колебаний прямоугольных пластин с учетом сопротивления неодми являются непрерывными функциями. Связь между компонентами тензора напряжений σij и деформаций εij записывается в следующем виде [1; 2]: нородной внешней среды. В работе [13] - рассматривается задача свобод- σ11 = f1 (x, y) f2 (z) a ε + a ε + a ε ( ), 0 0 0 11 11 12 22 13 12 σ22 = f1 (x, y) f2 (z) ного колебания упругой оболочки, лежащей на од- ( 0 0 0 нородно вязкоупругом основании. 1. Постановка задачи o = f (x, y) f (z) (a0 ε 12 1 2 31 11 32 22 33 o a0 ε o a0 a21ε11 + a22ε22 + a23ε12 ), ε12 ). (3) Как известно, при проектировании крупных инженерных сооружений, таких как мост, эстакада и других, широко используются прямоугольные пластинки, изготовленные из естественных и Полагая, что и для непрерывно-анизотропной пластинки гипотеза Кирхофа - Лява остается в силе, имеет место искусственных непрерывно-неоднородных анизотропных материалов. ε11 = e11 - zχ11, ε22 = e22 - zχ22 , ε12 = e12 - zχ12 , (4) где e11, e22 , e12 - малые деформации и c11 , c22 , c12 - кривизны и кручения срединной поверхности с ком- Mij = -h 2 ò σi j zdz, i, j = 1, 2. (8.2) понентами вектора перемещений ны следующим образом: (u, v, w) связаh 2 Здесь χ11, χ22 и χ12 выражаются в следующем виде: ¶u ¶u æ ¶u ¶u ö ì æ ¶2 ¶2 ¶2 ö e11 = ¶x ; e22 = ¶y ; e12 = ç ¶x + ¶y ÷, ïM = μ(x, y)ç a0 W + a0 W + a0 W ÷ ¶2 w ¶2 w è ø ¶2 w 11 ï è ïï æ 11 ¶x2 ¶2W 12 ¶y2 ¶2W 13 ¶x¶y ø ¶2W ö χ11 = ¶x2 ; χ 22 = ¶y2 ; χ12 = ¶x¶y . (5) íM = μ(x, y) a + a + a , (9) 0 0 0 22 ç 21 ¶x2 22 ¶y2 23 ¶x¶y ÷ ï è ø Учитывая (4) в (2) получим ï æ ¶2W ¶2W ¶2W ö a ïM12 31 = μ(x, y)ç 0 + a 0 2 32 + a 0 2 23 ÷ é(a0 e o a0 e + a0 e ) - ù ïî è ¶x ¶y ¶x¶y ø ê ú 11 11 12 22 13 12 o = f (x, y) f (z) , 11 1 2 ê-z (a0 χ o a0 χ + a0 χ )ú где приняты обозначения μ(x, y) = μ f (x, y); ë 11 11 12 22 13 12 û 0 - h 2 é(a0 e + a0 e + a0 e ) - ù μ = A2 A-1 - A ; A = f (z)z2 dz . ê ú 21 21 22 22 23 12 § = f (x, y) f (z) , 0 2 1 3 3 ò - h 22 1 2 ê-z (a0 χ + a0 χ + a0 χ )ú 2 ë 21 11 22 22 23 12 û Уравнение движения свободного колебания é(a0 e o a0 e + a0 e ) - ù пластинки с учетом (1) - (2) записывается в сле- ê ú 31 11 32 22 33 12 § = f (x, y) f (z) . (6) дующем виде: 12 1 2 ê-z (a0 χ o a0 χ + a0 χ )ú ë 31 11 32 22 33 12 û ¶2 M ¶2 M ¶2 M 2 2 11 + 2 12 + 22 + Так как в плоскости пластинки внешние силы отсутствуют, естественно предположить, что резуль- ¶x ¶x¶y æ ¶y ¶2 ö тирующие силы T11, T22, T12 всюду равны нулю ¶t +ç K1 (x, y) + K2 (x, y) 2 ÷W (x, y) + è ø -h -h -h 2 2 2 ¶2W ò σ11dz = 0; ò σ22 dz = 0; ò σ12 dz = 0. (7) +ρψ1 (x, y) ¶t2 = 0, (10) h h h 2 2 2 Подставляя (6) в (7), получим h 2 где ρ = ρ h ψ (z)dz. a0 e o a0 e o a0 e = 0 ò 2 -h 2 11 11 12 22 13 12 2 1 = A A-1 ( a χ + a χ + a χ ), 0 0 0 11 11 12 22 13 12 Отметим, что если пластина неоднородна только по толщине, уравнение (10) принимает следуюa0 e o a0 e o a0 e = щий вид: 21 11 22 22 23 12 4 4 -1 ( 0 0 0 ) a0 ¶ W + a0 + 2a0 · a0 ¶ W + = A2 A1 a21χ11 + a22χ 22 + a23χ12 , 11 ¶x4 ( 12 12 32 ) ¶x2¶y2 a e + a e + a e = 0 0 0 31 11 32 22 33 12 ¶4W ¶4W -1 ( 0 0 0 ) +a + (a13 + 2a31 ) 3 + = A2 A1 a31χ11 + a32 χ 22 + a33χ12 . 4 (8.1) 0 0 0 22 ¶y 4 ¶x ¶y Через + (2a0 + a0 ) ¶ W + -h 2 -h 2 12 13 ¶x¶y3 2 A1 = ò f2 (z)dz; A2 = ò zf2 (z)dz ö +÷ ÷W(x, y) = 0. (11) ÷ ÷ ø æ ¶ K (x, y) + K (x, y) h h ç 1 2 2 2 +μ-1 ç ¶t2 нетрудно установить, что с учетом (7) выражение моментов 0 ç ¶2 è ç+ρψ1(x, y) ¶t2 В случае, когда характеристики материала и плотность являются непрерывными функциями пространственных координат, уравнение движения записывается в следующем виде: L(W ) + K1 (x, y)W + ных, а на втором этапе - метод ортогонализации Бубнова - Галеркина. 2. Метод решения Решение (12.1) будем искать в следующем виде: +(K2 (x, y) +ρψ1 (x, y)) ¶2W (x, y) 2 = 0. (12.1) W (x, y, t) = V (x, y)eiωt , (14) ¶t где V (x, y) o должна удовлетворять краевым усло- В случае, когда пластинка неоднородна только по толщине, L(W ) записывается так: виям; w - частота. Подставляя (14) в (12.1) получим 4 4 L(W ) = a0 ¶ W + (a0 + 2a0 + a0 ) ¶ W + L(V ) + K1 (x, y)V - 11 ¶x4 12 12 32 ¶x2¶y2 -ω2 éK2 (x, y) + ρψ1 ( x, y ) ùV = 0, (15) § a0 ¶ W ¶ W 4 4 + (a0 + 2a0 ) + ë û где 22 ¶y4 13 31 4 ¶x3¶y ¶2μ é ¶2V ¶2V ¶2V ù 2a + 0 ( 12 a ) + 0 ¶ W . 13 ¶x¶y3 (13) L(V ) = ¶x2 ê a0 11 ¶x2 + a0 12 ¶y2 ú + a0 + 13 ¶x¶y ë û 3 3 3 В общем случае +2 ¶μ éa0 ¶ V + a0 ¶ V + a0 ¶ V ù + ¶x ê 11 ¶x3 12 ¶x¶y2 13 ¶x2¶y ú 2 2 2 2 ë û L(W) = ¶ μ éa0 ¶ W + a0 ¶ W + a0 ¶ W ù + 4 4 4 ¶x2 ê 11 ¶x2 12 ¶y2 13 ¶x¶y ú + é 0 ¶ V + 0 ¶ V + 0 ¶ V ù + ë û μ êa11 ¶x4 a12 ¶x2¶y2 a13 ¶x3¶y ú 3 3 3 ë û + 2 ¶μ éa0 ¶ W + a0 ¶ W + a0 ¶ W ù + 2 2 2 2 ¶x ê 11 ¶x3 12 ¶x¶y2 13 ¶x2¶y ú +2 ¶ μ éa0 ¶ V + a0 ¶ V + a0 ¶ V ù + ë û ¶x¶y ê 31 ¶x2 32 ¶y2 33 ¶x¶y ú 4 4 4 ë û é ¶ W ¶ W +μ a0 + a0 o a0 ¶ W ù + 3 3 3 ê 11 ¶x4 12 ¶x2¶y2 13 ¶x3¶y ú +4 ¶μ éa0 ¶ V + a0 ¶ V o a0 ¶ V ù + ë û ¶y ê 31 ¶x3 32 ¶y2¶x 33 ¶x2¶y ú 2 2 2 2 ë û +2 ¶ μ éa0 ¶ W + a0 ¶ W + a0 ¶ W ù + 4 4 4 ê ú é ¶ V ¶ V ¶ V ù a ¶x¶y ë 31 ¶x2 32 ¶y2 33 ¶x¶y û +2μ 0 ê 31 ¶x2¶y2 § a + + a0 32 ¶y4 0 33 ¶x2¶y2 ú 3 3 3 ë û +4 ¶μ éa0 ¶ W + a0 ¶ W o a0 ¶ W ù + ¶y ê 31 ¶x3 32 ¶y2¶x 33 ¶x2¶y ú ¶2μ é ¶2V ¶2V ¶2V ù ë û + ¶y2 ê a0 21 ¶x2 · a0 22 ¶y2 ú + a0 + 23 ¶x¶y 4 4 4 ë û é +2μ a0 ¶ W + a0 ¶ W + a0 ¶ W ù + ê 31 ¶x2¶y2 32 ¶y4 0 33 ¶x2¶y2 ú ¶μ é ¶3V ¶3V ¶3V ù ë û +2 ¶y ê a0 21 ¶x2¶y · a0 22 ¶y3 o a 23 ¶x¶y2 ú + 2 2 2 2 ë û + ¶ μ éa0 ¶ W + a0 ¶ W + a0 ¶ W ù + 4 4 4 ¶y2 ê 21 ¶x2 22 ¶y2 23 ¶x¶y ú + é 0 ¶ V + 0 ¶ V + 0 ¶ V ù (16) ë û μ êa21 ¶x2¶y2 a22 ¶y4 a23 ¶x¶y3 ú. 3 3 3 ë û +2 ¶μ éa0 ¶ W o a0 ¶ W + a0 ¶ W ù + ë û ¶y ê 21 ¶x2¶y 22 ¶y3 23 ¶x¶y2 ú Решение (15) будем искать в виде n n + é 0 ¶ W + 0 ¶ W + 0 ¶ W ù (12.2) V = A φi (x)θ j ( y), (17) 4 4 4 μ êa21 ¶x2¶y2 a22 ¶y4 a23 ¶x¶y3 ú. i=1 j =1 ë û где A - неизвестные постоянные и каждый φ (x) ij i Как видно, (12.1) является сложным дифференциальным уравнением и определение точного решения затруднительно. Поэтому при решении уравнеи ψ j (x) должны удовлетворять соответствующим краевым условиям. ния (12.1) будем применять комбинированный спо- Функция ошибки η(x, y) в данном случае с соб: на первом этапе - метод разделения переменучетом (15) и (17) записывается как η(x, y) = n n éL(φi (x)θ j (y)) + K1(x, y)φi (x)θ j (y) -ù Заключение Определены явные формулы основного тона = ååAij ê ú ¹ частоты поперечного колебания анизотропной плаi=1 j=1 ¹ 0. ë û 2 ë êω éK 2 (x, y) +ρψ(x, y)ùφi (x)θ j (y) ú û (18) стинки, лежащей на неоднородно вязкоупругом основании. Влияние неоднородности ортотропных материалов, неоднородности вязкости, неупругие вид Условия ортогонализации (17) и (18) имеют и упругие основания на безразмерных частотах пластин детально изучены. a b òò η(x, y)φk (x) θ p ( y)dxdy = 0. 0 0 (19) Список литературы Произвольное приближение ω2 - определя- 1. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных ется из системы алгебраических линейных однородных уравнений (19): тел. М.: Изд-во МГУ, 1976. С. 376. 2. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.: Гостехиздат, 1957. 625 с. ω2 = 0. Относительно ω2 (20) (20) является нелинейным 3. Кравчук А.С., Майборода В.В., Уржумцев Ю.С. Механика полимерных и композиционных материалов. М.: Наука, 1985. С. 303. алгебраическим уравнением. Определение и нахождение значения ω2 с помощью компьютерной программы не вызывает особого труда. Однако в инженерной практике обычно ограничиваются определением основного тона частоты, что и приведет к следующему уравнению: a b ééL(φ (x)θ (y)) + K (x, y)φ (x)θ ( y) -ùù òòêê i j 1 i j úú dxdy = 0. 2 4. Tornabene F. Free vibrations of anisotropic doublycurved shells and plates of revolution with a free from meridian resting on Winkler - Pasternak elastic foundations // Compos. struct. 2011. No. 94. Pp. 186-206. 5. Haciyev V.C., Sofiyev A.H., Kuruoglu N. On the free vibration of orthotropic and inhomogeneous with spatial coordinates plates resting on the inhomogeneous viscoelastic foundation // Mechanics of Advanced Materials and Structures. 2018. Vol. 26. No. 10. Pp. 1-12. DOI: 10.1080/ 15376494.2018.1430271 0 0 êêω éK 2 (x, y) +ρψ(x, y)ùφk (x)θp (y) úú ëë ë û ûû 6. Sofiyev A.H., Schnack E., Haciyev V.C., Kuruoglu N. Effect of the two-parameter elastic, foundation on the cri- Отсюда находим: ω2 = a b ëë ûû òòééL(φi (x)θj (y)) + K1(x, y)φi (x)θj (y)ùù dxdy = 0 0 a b òòééK 2(x, y) +ρψ1(x, y)ùφi (x)θj (y)ù dxdy . (21) tical parameters of non-homogeneous orthotropic shells // International Journal of Structural Stability and Dynamics. 2013. Vol. 12. No. 05. 24 p. DOI: 10.1142/S02194554125 00411 7. Баженов В.А. Изгиб цилиндрических оболочек в упругой среде. Киев: Высшая школа, 1975. С. 168. 8. Sofiyev A.H., Hui D., Haciyev V.C., Erdem H., ëë û û 0 0 Из формулы (21) при условии K2 = 0 получим решение задачи для Винклеровского неоднородного основания. Простым случаем является цилиндрическая форма изгибного колебания которая возможна при условии a >> b . В этом случае частоты определяется из (21): a ò éëL1 (φ1 ) + K1 (x)φ1 (x)ùû dx

Vaqif C. Haciyev

National Academy of Sciences of Azerbaijan

Author for correspondence.
Email: gulnar.mirzayeva@gmail.com
9 B. Wahabzadeh St., Baku, АZ1143, Republic of Azerbaijan

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Department of Theory of Elasticity and Plasticity, Institute of Mathematics and Mechanics

Gulnar R. Mirzoeva

National Academy of Sciences of Azerbaijan

Email: gulnar.mirzayeva@gmail.com
9 B. Wahabzadeh St., Baku, АZ1143, Republic of Azerbaijan

Doctor of Philosophy in Mechanics, senior researcher of Department of Theory of Elasticity and Plasticity, Institute of Mathematics and Mechanics.

Matlab G. Agayarov

Sumgait State University

Email: gulnar.mirzayeva@gmail.com
43 quarter, Sumgait, AZ50008, Republic of Azerbaijan

Doctor of Philosophy in Mathematics and Mechanics Sciences, Associate Professor, Head of Additional Education Center

  • Lomakin V.A. (1976). Teoriya uprugosti neodnorodnyh tel [The theory of elasticity of inhomogeneous walked]. Moscow, Publishing House of Moscow State University. (In Russ.)
  • Lehnitsky S.G. (1957). Anizotropnye plastinki [Anisotropic plates]. Gostekhizdat Publ. (In Russ.)
  • Kravchuk A.S., Mayboroda V.V., Urzhumtsev Yu.S. (1985). Mekhanika polimernyh i kompozicionnyh materialov [Mechanics of polymer and composite materials]. Moscow, Nauka Publ. (In Russ.)
  • Tornabene F. (2011). Free vibrations of anisotropic doubly-curved shells and plates of revolution with a free from meridian resting on Winkler – Pasternak elastic foundations. Compos. struct., (94), 186–206.
  • Haciyev V.C., Sofiyev A.H., Kuruoglu N. (2018). On the free vibration of orthotropic and inhomogeneous with spatial coordinates plates resting on the inhomogeneous viscoelastic foundation. Mechanics of Advanced Materials and Structures, 26(10), 1–12. doi: 10.1080/15376494. 2018.1430271
  • Sofiyev A.H., Schnack E., Haciyev V.C., Kuruoglu N. (2013). Effect of the two-parameter elastic, foundation on the critical parameters of non-homogeneous orthotropic shells. International Journal of Structural Stability and Dynamics, 12(05), 24. doi: 10.1142/S02194554125. 00411
  • Bajenov V.A. (1975). Izgib cilindricheskih obolochek v uprugoj srede [The Benching of the Cylindrical Shells in Elastic Medium]. Kiev, Vysshaya shkola Publ. (In Russ.)
  • Sofiyev A.H., Hui D., Haciyev V.C., Erdem H., Yuan G.Q., Schnack E., Guldal V. (2017). The nonlinear vibration of orthotropic functionally graded cylindrical shells surrounded by an elastic foundation within first order shear deformation theory. Composites Part B: Engineering, 116, 170–185. https://doi.org/10.1016/j.compositesb. 2017.02.006
  • Haciyev V.C., Mirzeyeva G.R., Shiriyev A.I. (2018). Effect of Winkler foundation, inhomogenecity and orthotropic on the frequency of plates. Journal of Structural Engineering Applied Mechanics, I(1), 1–15.
  • Haciyev V.C., Sofiyev A.H., Kuruoglu N. (2018). Free bending vibration analysis of thin bidirectional exponentially graded orthotropic rectangular plates resting on two-parameter elastic foundations. Composite Structures, 184, 372–277.
  • Haciyev V.C., Sofiyev A.H., Mirzeyev R.D. (1996). Free vibration of non-homogeneous elastic rectangular plates. Proceedings of the Institute of Mathematics, (4), 103–108.
  • Huang M., Sakiyama T., Matsuda H., Morita C. (2015). Free-vibration analysis of stepped rectangular plates resting on non-homogeneous elastic foundations. Engineering Analysis with Boundary Elements, 50, 180–187.
  • Carnet H., Lielly A. (1969). Free vibrations of reinforced elastic shells. Journal of Applied Mechanics, 36(4), 835–844.

Views

Abstract - 64

PDF (Russian) - 52

PlumX


Copyright (c) 2019 Haciyev V.C., Mirzoeva G.R., Agayarov M.G.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.