## Effective modules of two-phase construction composites with grain filler

#### Abstract

In the book of R.M. Christensen, “Introduction to the Mechanics of Composites” (1982), a calculation formula is given for the bulk module of polydisperse composites with spherical inclusions. This formula has been known to the Russianspeaking reader for almost 40 years, but unfortunately, it is not used in the practice of building materials science. To identify applied possibilities, R.M. Christensen's formula is modified and reduced to a dimensionless function k = k ( w , η, θ), which depends on three dimensionless parameters, i.e., it depends on three quantities: w is the volume fraction of the inclusion, η - the ratio of the shear modulus of the matrix material to the volume modulus of the same matrix, θ is the ratio of the volume moduli of the matrix materials and inclusion. Numerical studies of this function reveal that in two-phase granular composites, the range of effective moduli is significantly narrowed compared to the region limited by Voigt and Reuss estimates (in the sense of the upper and lower bounds of real values). At the same time, the lower Christensen score is the same as the Reuss score. Numerical and graphically presented results are given on the examples of the study of two characteristic groups of composite materials. In addition, the dimensionless form of the effective module allows to construct a system of visual graphic dependencies of the functions k ( w ) in a flat space k - w . For different values of θ, the function k = k ( w , η) displays a bunch of curved segments, which sets the position of the plane figure in flat space. Examples of constructing figures for characteristic regions of the values of the function k (η, θ, w ) are given.

#### Keywords

Введение 1 Интенсивное развитие строительных композиционных материалов (СКМ) стимулирует их тео- ретическое исследование. При этом развивается и углубляется теория СКМ, направленная на рост числа прикладных задач механики композитов [2-4; 6-17,]. В данном исследовании решается одна из таких задач. В механике СКМ модель представительного объема (модель ПО) для зернистого композита достаточно часто имеет вид двухфазной модели, в которой в матрицу (толстостенную сферу) включен шарообразный заполнитель (рис. 1). Материал каждой из фаз представлен упругим твердым телом (сплошным однородным и изотропным). e = Eм = 3K , g = Eм = 2G , (3) м 2R 2a м 1- 2n м м м 1+n м Рис. 1. Диаметральное сечение модели ПО зернистого композита [Figure 1. The diametrical section of the model software granular composite] Под действием равномерного наружного давления q модель ПО деформируется, в результате чего в точках раздела фаз возникает контактное давление p. Равновесное состояние такой неоднородной гетерогенной модели ПО (рис. 1) можно описать совокупностью однородных моделей, составленной из трех расчетных схем (рис. 2). где Eм и νм - модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала матрицы соответственно; Kм - объемный модуль; Gм - модуль сдвига матрицы; eм - шаровой модуль объемных деформаций; gм - девиаторный модуль сдвига матрицы; ηм - отношение модулей матрицы; Kз и eз - объемный и шаровой модули материала заполнителя соответственно; θ - отношение объемных модулей материалов матрицы и заполнителя. Если теперь с учетом (1) приравняем радиальные перемещения в наружных точках эффективной модели (рис. 2, а) и модели матрицы (рис. 2, б), то в результате получим (снова без выкладок) формулу для вычисления величины безразмерного эффективного модуля двухфазного композита: k = K = Kм (1+ 2ηм w)+ 2ηмθV V + θ(2ηм + w) , (4) Рис. 2. Расчетные схемы модели ПО, представленные: а - эффективной однородной моделью (сплошной шар); б - моделью однородной матрицы (пустотелый шар); где k - объемный модуль композита (K), выраженный в долях от модуля матрицы (Kм). При этом обратная формула для вычисления эффективного объемного модуля K примет вид в - моделью однородного заполнителя (сплошной шар) = = (1+ 2ηм w) + 2ηмθV (5) [Figure 2. The design schemes of the software model, presented: а - effective homogeneous model (solid ball); б - a model of a homogeneous matrix (hollow ball); K Kм k Kм V + θ(2ηм . · w) в - a model of a homogeneous filler (solid ball)] Контактное давление p можно найти из условия равенства радиальных перемещений в смеж- Ранее в работе Р.М. Кристенсена [17] была получена формула, аналогичная формуле (5), которая в наших обозначениях имеет вид ных точках матрицы и заполнителя (рис. 2, б и в). Такая задача решается в элементарных алгебраи- K - Kм Kз - Kм = w . (6) 1+ (1- w)(Kз - Kм ) ческих выражениях, если воспользоваться применительно к матрице (рис. 2, б) решением задачи Ламе для толстостенной сферы [1; 18]. Не приводя выкладок, в результате получим следующее выражение: K + 4 G м 3 м В такой форме Кристенсеном с учетом парадигмы Хашина [19] получена формула для вычисления величины объемного модуля упругости (K) в полидисперсных композитах со сферическим p = q 1+ 2ηм (1+ 2ηм w)+ 2ηмθV , (1) включением (заполнителем). Простые преобразования формулы (6) с учетом обозначений (1) - (3) приводят нас снова к формулам (4) и (5). Следогде w - объемная доля материала заполнителя, w = a3/R3 (рис. 1); V - объемная доля материала матрицы, V = 1-w. Кроме того, в формуле (1) приняты обозначения, использованные авторами работ [5] и [18]: вательно, формулы (4), (5) и (6) идентичны друг другу. Способ получения формулы (4) посредством использования решения задачи Ламе менее трудоемок, так как требует выполнения только элементарных алгебраических преобразований. Крим η = gм = 1- 2n м = 2Gм , θ = eм = Kм , (2) стенсен же получил формулу (6) более сложным образом, непосредственно используя уравнения лиeм 1+n м 3Kм eз Kз нейной теории упругости. 1. Расчетные формулы эффективного модуля (k) композитов В формулах (4) - (6) зафиксирован факт того, что материал моделей на расчетных схемах, имеющих форму шара (рис. 2, а и в), представлен только одной упругой константой (модулем K или Kз), а материал матрицы, имеющей форму толстостенной сферы (рис. 2, б) - двумя константами (модулями Kм и Gм). Этот факт с точки зрения упругих свойств служит признаком особенностей определения эффективного модуля K, присущих только двухфазным композитам, в отличие от эффективного модуля других (многофазных) композитов. Исследуя формулу (4), заметим, что параметры ηм и w имеют одинаковый и удобный интервал (0, 1) их значений. Однако значения моду- В отличие от формул (4) и (6) в зависимостях (9) и (10) влияние модуля сдвига матрицы (Gм) не учитывается. Именно в этом и заключается главным образом приближенность оценок по Фойгту и по Рейссу. Величины модулей KФ и KР соответственно служат, как правило, верхней и нижней границей значений реальных модулей K композита. Однако, анализ решения Кристенсена (6), представленного формулами (4), (7) и (8), позволяет уточнить данное правило (в смысле верхней и нижней оценки вилки Фойгта - Рейсса) применительно к двухфазной структуре зернистых СКМ. Но сначала выразим модули KФ и KР в долях от модуля Kм (матрицы) и получим формулы для безразмерных величин тех же модулей: ля k и параметра θ изменяются в другом интерваk = KФ = V + w , KР 1 ле (0, ∞) чисел. Поэтому интервал (0, ∞) расчленим на 2 интервала: интервал малых (0, 1] и ин- Ф Kм θ kР = = Kм V + θw . (11) тервал больших [1, ∞) чисел. В таком случае получим два рабочих варианта формулы (4): - вариант 1 - для чисел модуля (k1 ≥ 1) при значениях θ = θ1 ≤ 1: Применительно к расчетным формулам (7) и (8) выражения (11) примут соответствующий вид: - вариант 1 (при θ ≤ 1): K1 k1 = Kм (1+ 2ηм w) + 2ηмθ1V = ; (7) V + θ1 (2ηм + w) θ Ф1 k = (1- w) + w 1 1 , kР1 = ; (12) (1- w) + θ1w - вариант 2 - для чисел модуля (k2 ≤ 1) при значениях θ = θ2 ≥ 1: - вариант 2 (при θ ≥ 1): 2 k = K2 Kм (1+ 2ηм w)+ 2ηмθ2V = V + θ2 (2ηм + w) . (8) kФ2 Р2 = (1- w) + w , k = θ2 1 (1- w) + θ2 w . (13) Особо отметим, что в формулах (7) и (8) параметры θ1 и θ2 имеют инверсивную связь (с коэффициентом инверсии, равным единице), так как их произведение θ1 ∙ θ2 = 1. Это свойство облегчает анализ расчетных формул. Но предварительно вспомним гипотезы Фойгта [21] и Рейса [20]. 2. Плоское пространство значений модулей k Применяя правило смеси, сначала определим, согласно [21], эффективный объемный модуль (K) композита (рис. 1, 2). В результате получим зави- В случаях, когда величина отношения θ неизменна (θ = const), выражения (12) и (13) становятся функциями одного аргумента: kФ = kФ(w) и kР = kР(w). Следовательно, эти функции могут быть представлены графически в плоском пространстве осей k и w (рис. 3). О наглядности такого пространства, использованного при анализе формул (4) - (6), свидетельствует содержание работы [6]. k θ 2 ● симость по Фойгту: 1 ● KФ = KмV + Kз w . (9) Затем, применив то же правило, определим, 0 согласно [20], эффективную объемную податли- 0,5 § θ2 θ1 w 1 вость (1/K) материала и получим зависимость по Рейссу: Рис. 3. Область плоского пространства k - w, ограниченная осями k, θ и w. Пунктиром выделены 2 отрезка функции kФ = kФ(θ, w) при значениях θ = θ1 и θ = θ2 1 = V KР Kм w + . (10) Kз [Figure 3. The region of flat space k - w bounded by the axes k, θ and w. The dashed line marks 2 segments of the function kФ = kФ (θ, w) for the values θ = θ1 and θ = θ2] В обозначенной области пространства k - w функции модулей по Фойгту, например, аналогично формулам (12) и (13), примут вид ней оценок величины эффективного модуля упругости в двухфазных композитах. С этой целью выделим две группы композитов. В первой из них w w отношение объемных модулей компонентов θ приkФ1 = (1- w) + , kФ2 = (1- w) + . θ1 θ2 Эти функции отображаются двумя семействами прямолинейных отрезков, исходящих из их общей точки с координатами (0, 1). На рис. 3 пунктирными линиями изображены два таких отрезка, по одному из каждого семейства. Правые концы выбранных отрезков имеют координаты (1, θ2) и (1, θ1) (на рис. 3 выделены жирными точками). Функции модулей по Рейсу и по Кристенсену (в той же области пространства k - w) имеют криволинейное очертание; их графики расположены ниже отрезков по Фойгту и непосредственно примыкают к этим отрезкам своими концами в точках (0, 1), (1, θ2) или (1, θ1) (рис. 3). Для более четкого описания этих функций рассмотрим два численных примера. 1. Сравнительный анализ оценок по Фойгту, Рейссу и Кристенсену Проведем анализ расчетных формул (7), (8) и формул (12) и (13) для сравнения верхней и нижмем равным 0,25, то есть меньше единицы; во второй - больше единицы (θ = 4). Задавшись шагом Δw = 0,125, вычислим модули kФ и kР по формулам (12), (13) как для первой, так и для второй группы композитов. Результаты вычислений представлены в табл. 1. Затем для этих же групп вычислим модули k по формулам (7) и (8) при значениях отношения ηм, равных 1, ½ и 0, которым соответствуют значения коэффициента Пуассона νм, равные 0, 0,2 и 0,5. Результаты отображены в табл. 2. Сопоставив таблицы, отметим, что значения строки 3 в табл. 2 совпали со значениями строки 2 в табл. 1. Значения же строки 6 в табл. 2 в свою очередь повторяют значения строки 4 в табл. 1. Таким образом, нижняя граница значений эффективных модулей k, вычисляемых по Кристенсену (табл. 2) точно совпала с оценкой модулей kР по Рейсу (табл. 1). Однако оценки по Фойгту и по Кристенсену различны. Это следует из сопоставления других строк тех же таблиц. Значения модулей по Фойгту (kФ) и по Рейссу (kР) для двух групп композитов [Table 1. The values of the modules according to Voigt (kФ) and Reuss (kР) for two groups of composites] Таблица 1 Группа [Group] 1 2 Модуль [Module] 0 0,125 0,25 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875 1 по Фойгту [according to Voigt] 1 1,375 1,75 2,125 2,5 2,875 3,25 3,625 4 по Рейссу [according to Reuss] 1 1,103 1,231 1,391 1,6 1,882 2,286 2,909 4 по Фойгту [according to Voigt] 1 0,906 0,813 0,719 0,625 0,531 0,438 0,344 0,25 по Рейссу [according to Reuss] 1 0,727 0,571 0,471 0,4 0,348 0,308 0,276 0,25 Объемная доля заполнителя (w) [Volume fraction of aggregate (w)] Таблица 2 Значения модулей k (по Кристенсену) в двух группах композитов (θ = 1/4 и θ = 4) при трех значениях параметра ηм [Table 2. The values of the modules k (according to Christensen) in two groups of composites (θ = 1/4 and θ = 4) for three values of the parameter ηм] Параметры [Options] Объемная доля заполнителя (w) [Volume fraction of aggregate (w)] θ ηм 0 0,125 0,25 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875 w®1 0,25 1 1 1,2 1,429 1,692 2 2,364 2,8 3,333 4 0,25 0,5 1 1,162 1,353 1,581 1,857 2,2 2,636 3,211 4 0,25 0 1 1,103 1,231 1,391 1,6 1,882 2,286 2,909 4 4 1 1 0,88 0,769 0,667 0,571 0,483 0,4 0,323 0,25 4 0,5 1 0,86 0,739 0,633 0,538 0,455 0,379 0,311 0,25 4 0 1 0,727 0,571 0,471 0,4 0,348 0,308 0,276 0,25 Для большей наглядности рассмотрим два графических примера. Пример 1. Совместим в одном рисунке графические зависимости, построенные по данным табл. 1 и 2 для первой группы выбранных материалов (рис. 4). При этом все значения эффективных модулей лежат в интервале чисел 1 < k < 4. Концевые точки всех криволинейных графиков (рис. 4) совмещены с концевыми точками прямолинейного отрезка по Фойгту. Нижний график значений модулей по Рейсу дает нижнюю оценку значений эффективных модулей реальных композитов. Область плоского пространства, ограниченная верхним и нижним графиками, наглядно демонстрирует так называемую вилку Фойгта - Рейсса. группы материалов (рис. 5), но со значениями модулей k ≤ 1. 0,95 4 3,5 Значения k 3 2,5 2 1,5 1 kФ k, ηм=1 k, ηм=0,5 kР 0 0,125 0,25 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875 1 Объемная доля заполнителя, w 0,85 Значения k 0,75 0,65 0,55 0,45 0,35 0,25 0 0,125 0,25 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875 1 Объемная доля заполнителя, w Рис. 5. Зависимости модулей kФ2, kР2 и k2 от величины объемной доли w. Значения k2 kФ k, ηм=1 k, ηм=0,5 kР Рис. 4. Зависимости модулей kФ1, kР1 и k1 от величины объемной доли w. Значения k1 соответствуют значениям ηм, равным 1, ½ и 0 [Figure 4. Dependences of the modules kФ1, kР1 and k1 on the volume fraction w. The values of k1 correspond to the values of ηм equal to 1, ½, and 0] На рис. 4 также отображены зависимости значений модулей k1 по Кристенсену - три криволинейных графика, соответствующих значениям коэффициента Пуассона νм = 0, 0,2 и 0,5. При этом нижний график (со значением νм = 0,5) точно совпал с графиком модулей kР1 (по Рейссу). Следовательно, нижняя оценка по Рейссу, определяемая второй из формул (12), является и частным случаем формулы (7) при значении ηм = 0 (или νм = 0,5, соответствуют значениям параметра ηм, равным 1, ½ и 0 [Figure 5. Dependences of the modules kФ2, kР2 and k2 on the volume fraction w. The values of k2 correspond to the values of the parameter ηм equal to 1, ½ and 0] Последовательность в расположении графиков на рис. 5 сохраняется такой же, как и на рис. 4. Основные различия рисунков заключаются в том, что: 1) прямолинейный отрезок на рис. 4 изображен восходящим, а на рис. 5 аналогичный отрезок - нисходящим; 2) рис. 4 характеризует композиты первой группы (при θ < 1), рис. 5 - композиты второй группы (при θ > 1). Зависимости по Кристенсену (2-й и 4-й графики на рис. 5), определяемые формулой (8), при значениях ηм = 1 и ηм = 0 принимают вид функций (1+ 2w)+ 2θ V что то же самое). Оценка по Фойгту (верхний график) не совпадает с верхней оценкой по Кристенсену (2-й график сверху) (рис. 4), которая, согласно выражеmax k2 = k 2 V + θ2 (2 + w) 1 , (15) нию (7), при значении ηм = 1 определяется формулой min 2 = V · θ2 w . (16) max k1 (1+ 2w)+ 2θ V = 1 . (14) V + θ1 (2 + w) Таким образом, зависимость (16) как частный случай формулы Кристенсена (8) совпадает с формулой Рейса (13). Значениям max k1 отвечают материалы матрицы, коэффициент Пуассона которых νм = 0. Такие материалы лучше других материалов (со значениями νм > 0) сопротивляются деформациям сдвига. Другими словами, чем меньше величина коэффициента νм, тем выше жесткость (и прочность) композита. Пример 2. Аналогично поступим и со второй группой выбранных композитов. Совместив в одном рисунке зависимости, построенные по данным табл. 1 и 2, получим графики, подобные графикам первой Заключение Расчетная формула (6) Р.М. Кристенсена [17] для величины эффективного объемного модуля полидисперсных композитов существует уже почти 40 лет и имеет достаточно широкую известность. Тем не менее, к сожалению, она фактически не используется в строительном материаловедении. Вышеизложенные численные исследования этой формулы позволили выявить и графически проиллюстрировать ряд несомненных ее достоинств. Во-первых, относительно верхних и нижних оценок величины объемных модулей реальных композитов формула выявляет суженную вилку оценок по Кристенсену, по сравнению с общеизвестной вилкой Фойгта - Рейсса». Во-вторых, нижние оценки по Рейссу (13) и по Кристенсену (16) совпадают. Это уточняет положение вилки по Кристенсену в рамках вилки Фойгта - Рейсса. В-третьих, наши интерпретации формулы Кристенсена имеют вид элементарных алгебраических функций трех безразмерных параметров (ηм = 2Gм/3Kм, θ = Kм/Kз и w = a3/R3). Это существенно облегчает их численный анализ и практическое пользование ими. И, наконец, в-четвертых, безразмерная форма представления величины эффективного модуля зернистого композита (k = K/Kм) позволяет построить в плоском пространстве k - w систему бесконечного множества графических зависимостей модуля k от количественного содержания объемной доли заполнителя. Это дает возможность в каждом конкретном композите вычислить место его эффективного модуля в плоском пространстве модулей, определяемых формулой Кристенсена, и в случае необходимости усилить (или ослабить) те или иные механических свойства композита.

National Research Ogarev Mordovia State University (National Research University)

Author for correspondence.
Email: tingaev.s1@gmail.com
68 Bolshevistskaya St., Saransk, 430005, Russian Federation

д. т. н., профессор, заведующий кафедрой строительных материалов и технологий; академик Российской академии архитектуры и строительных наук

### Aleksej S. Tyuryahin

National Research Ogarev Mordovia State University (National Research University)

Email: tingaev.s1@gmail.com
68 Bolshevistskaya St., Saransk, 430005, Russian Federation

к. т. н., доцент кафедры прикладной механики

### Tatyana P. Tyuryahina

National Research Ogarev Mordovia State University (National Research University)

Email: tingaev.s1@gmail.com
68 Bolshevistskaya St., Saransk, 430005, Russian Federation

аспирант кафедры строительных материалов и технологий

### Aleksandr V. Tingaev

National Research Ogarev Mordovia State University (National Research University)

Email: tingaev.s1@gmail.com
68 Bolshevistskaya St., Saransk, 430005, Russian Federation

магистрант кафедры строительных материалов и технологий

• Bezukhov N.I. (1968). Osnovy teorii uprugosti, plastichnosti i polzuchesti [Fundamentals of the theory of elasticity, plasticity and creep]. Moscow, Vysshaya shkola Publ. (In Russ.)
• Bobryshev A.N., Erofeev V.T., Kozomazov V.M. (2012). Fizika i sinergetika dispersno-neuporyadochennyh kondensirovannyh kompozitnyh sistem [Physics and synergetics of dispersively disordered condensed composite systems]. Saint Petersburg, Nauka Publ. (In Russ.)
• Vasil'ev V.V., Protasov V.V., Bolotin V.V. (1990). Kompozitnye materialy [Composite materials]: reference book. Moscow, Mashinostroenie Publ. (In Russ.)
• Gusev B.V., Kondrashenko V.I., Maslov B.P., Faysovich A.S. (2006). Formirovanie struktury kompozicionnyh materialov i ih svojstva [Formation of the structure of composite materials and their properties]. Moscow, Nauchnyj mir Publ. (In Russ.)
• Erofeev V.T., Tyuryakhin A.S., Erofeeva I.V. (2018). On the connections of the carrier parameters with effective parameters in models of grain composites. Structural Mechanics and Analysis of Constructions, (3), 7–17. (In Russ.)
• Erofeev V., Tyuryakhin A., Tyuryakhina T. (2019). Flat space of values of volume module of grain composite with spherical fill-lem. International Journal of Civial Engineering and Technology (IJCIET), (8), 333–342.
• Berlin A.A., Vol'fson S.A., Oshmyan V.G., Enikolopov N.S. (1990). Principy sozdaniya kompozitnyh polimernyh materialov [Principles of creating composite polymer materials]. Moscow, Himiya Publ. (In Russ.)
• Askadskij A.A., Goleneva L.M., Bychko K.A., Kazanceva V.V., Konstantinov K.V., Almaeva E.S., Klinskih A.F., Kovriga O.V. (2001). Gradientnye polimernye materialy [Gradient materials]. Russian Chemical Journal, 45(3), 123–128. (In Russ.)
• Duan K., Hu Xiao, Wittmann F.H. (2003). Boundary effect on concrete fracture and non-constant fracture energy distribution. Fracture Mechanics, (70), 2257–2268.
• Сarpinteri A., Chiaia B., Cornetti P. (2003). On the mechanics of quasi-brittle materials with a fractal microstructure. Engineering Fracture Mechanics, (70), 2321–2349.
• Ayatollahi M.R., Akbardoost J. (2012). Size effects on fracture toughness of quasi-brittle materials – a new approach. Engineering Fracture Mechanics, (92), 89–100.
• Hu X., Guan J., Wang Y., Keating A., Yang S. (2017). Comparison of boundary and size effect models based on new developments. Engineering Fracture Mechanics, (22), 146–167.
• Muralidhara S., Raghu Prasad B.K., Eskandari H., Karihaloo B.L. (2010). Fracture process zone size and true fracture energy of concrete using acoustic emission. Construction and Building Materials, (24), 479–486.
• Muralidhara S., Raghu Prasad B.K., Karihaloo B.L., Singh R.K. (2011). Size-independent fracture energy in plain concrete beams using tri-linear model. Construction and Building Materials, (25), 3051–3058.
• Shafigullin L.N., Bobrishev A.A., Erofeev V.T., Treshchev A.A., Shafigullina A.N. (2015). Development of the recommendations on selection of glass-fiber reinforced polyurethanes for vehicle parts. International Journal of Applied Engineering Research, 210(23), 43758–43762.
• Shafigullin L.N., Treshchev A.A., Hodorovich P.Y., Erofeev V.T. (2017). The Stress-Strain State of Layered Orthotropic Conditional Half-Space Taking into Account Different Resistance. Revista Publicando, 4 (13–2), 109–127.
• Christensen R.M. (1982). Vvedenie v mekhaniku kompozitov [Introduction to the mechanics of composites]. Moscow, Mir Publ. (In Russ.)
• Cherkasov V.D., Tyuryakhin A.S. (2009). Teoriya dvuhsvyaznyh modelej mikromekhaniki kompozitov [The theory of biconnected models of micromechanics of composites]: monograph. Saransk, Publishing House of Mordovia University. (In Russ.)
• Hashin Z. (1962). The elastic moduli of heterogeneous materials. J. Appl. Mech., 29(1), 143–150.
• Reuss A., Angew Z. (1929) Berechung der Fliessgrenze von Mischkristallen auf Grund der Plastizitatsbedingund. Math. und Mech., 9(1), 49–58.
• Voigt W. (1928). Lehrbuch der Kristallphysik. Berlin, Teubner.

#### Views

Abstract - 70

PDF (Russian) - 78

#### PlumX

Copyright (c) 2019 Erofeev V.T., Tyuryahin A.S., Tyuryahina T.P., Tingaev A.V.