## Solution of the axisymmetric problem of thermoelasticity of a radially inhomogeneous cylindrical shell by numerical-analytical method and the finite element method

#### Abstract

The aim of research is to compare two calculation methods using the example of solving the axisymmetric thermoelasticity problem. Methods. The calculation of a thick-walled cylindrical shell on the temperature effect was carried out by the numerical-analytical method and the finite element method, implemented in the LIRA-CAD software package. The shell consists of three layers: two layers of heat-resistant concrete and an outer steel layer. In the calculation, a piecewise linear inhomogeneity of the shell due to its three-layer structure and continuous inhomogeneity caused by the influence of a stationary temperature field is taken into account. The numerical-analytical method of calculation involves the derivation of a resolving differential equation, which is solved by the sweep method, it is possible to take into account the nonlinear nature of the deformation of the material using the method of successive approximations. To solve this problem by the finite element method, a similar computational model of the shell was constructed in the LIRA-CAD software package. The solution of the problem of thermoelasticity for an infinite cylinder (under conditions of a plane deformed state) and for a cylinder of finite length with free ends is given. Results . Comparison of the calculation results is carried out according to the obtained values of ring stresses σθ.

#### Keywords

Введение1 Конструктивные элементы в виде полых цилиндров имеют широкое применение в технологическом оборудовании химической и энергетической промышленности. Такие конструкции часто работают в условиях повышенных и высоких температур. В статье предлагается решение задачи термоупругости с уче- том изменения свойств материала (бетона) в зависимости от температуры и с учетом его физической нелинейности. В работе [1] описан численно-аналитический метод решения такого типа задач, нами выполнен сравнительный анализ результатов расчета численно-аналитическим методом и методом конечных элементов, реализованным в программном комплексе ЛИРА-САПР. Задача решается в постановке плоского деформированного состояния (ПДС) и для конечного цилиндра со свободными торцами. 1. Постановка задачи Рассматривается задача расчета трехслойной цилиндрической оболочки на температурное воздействие. Материалы оболочки: внутренний слой из жаростойкого бетона на глиноземистом цементе (бетон № 1) толщиной 50 мм, средний слой из жаростойкого бетона на портландцементе (бетон № 2) - 100 мм, наружный слой из стали - 40 мм. Внутри поддерживается постоянная температура 500 °С. Распределение температуры внутри многослойной стенки, полученное при решении уравнения теплопроводности, показано на рис. 1: r1 = 0,55 м, r2 = 0,6 м, r3 = 0,7 м, r4 = 0,74 м; Тв = 500 °С, Т1 = 488,9 °С, Т2 = 380,4 °С, Т3 = 199,5 °С, Т4 = 197,3 °С, Тн = 20 °С. Рис. 1. Распределение температуры в трехслойной оболочке: 1 - бетон № 1; 2 - бетон № 2; 3 - сталь [Figure 1. Temperature distribution in a three-layer shell: 1 - concrete № 1; 2 - concrete № 2; 3 - steel] Изменение начального модуля упругости бетонов в зависимости от температуры принималось по данным из [2]. При решении численно-аналитическим методом для описания нелинейного характера деформирования бетонов использовались опытные диаграммы деформирования жаростойких бетонов, приведенные в [2]. В решении используется диаграмма σi - εi, которая описывается зависимостью с тремя константами, предложенной в [3]: a ально неоднородного материала при произвольных зависимостях механических характеристик от радиуса. В основу решения дифференциального уравнения относительно σr положен метод прогонки с определенным шагом, для учета физической нелинейности используется метод последовательных приближений. При решении дифференциального уравнения принят постоянный шаг h = 0,005 м, то есть трехслойная оболочка общей толщиной 0,19 м разбивается при решении на 38 кольцевых слоев, каждому из которых соответствует набор параметров E, n и a; при учете физической нелинейности для каждого слоя задается диаграмма σi - εi. Решение при условии плоского деформированного состояния предполагает, что цилиндр является очень длинным и рассматриваются напряжения, возникающие на достаточном удалении от концов. Метод решения аналогичной задачи с учетом местных возмущений вблизи концов цилиндра подробно описан в [6]. Для решения данной задачи методом конечных элементов использовался программный комплекс ЛИРА-САПР. Была создана модель цилиндра, разбитого по радиусу на 38 конечных элементов, и заданы 38 типов жесткостей и температурная нагрузка для каждого кольцевого слоя. При решения плоской задачи были ограничены перемещения вдоль оси z по торцам цилиндра. При решении задачи для конечного цилиндра освобождался от закрепления один торец, при этом общая длина цилиндра составляла 1,45 м, так как численно-аналитический расчет показал, что напряжения, возникающие вблизи свободных торцов цилиндра, быстро убывают с увеличением расстояния от конца, и на расстоянии 1,5 м их влияние несущественно. si = Eei - Aei . (3) Возникающая в результате воздействия повышенных температур неоднородность бетона учитывается заменой констант E, A и a на функции E(T), A(T) и a(T). В работе [4] приведены функции E(T), A(T) и a(T), позволяющие аппроксимировать опытные диаграммы деформирования бетонов, а также приведен вид этих диаграмм. Значения коэффициента линейной температурной деформации для бетонов в зависимости от температуры применялись по таблицам из [5], в задаче принимаются значения αb, соответствующие режиму длительного нагрева при повторном воздействии температуры. 1. Метод расчета В [1] описан численно-аналитический метод решения плоской осесимметричной задачи для толстостенных оболочек из физически нелинейного ради- 2. Результаты На рис. 2 представлена деформированная под воздействием температуры КЭ-модель цилиндрической оболочки. Рис. 2. Деформированная цилиндрическая оболочка, полученная в программе ЛИРА-САПР [Figure 2. Deformed cylindrical shell obtained in the program LIRA-CAD] Полякова Л.С., Андреев В.И. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2019. Т. 15. № 4. С. 323-326 ца цилиндра в наиболее напряженных кольцевых слоях бетона r = 0,55 м и r = 0,7 м. Рис. 3. Распределение напряжений σθ по толщине оболочки: 1 - линейный расчет численно-аналитическим методом; 2 - линейный расчет методом КЭ; 3 - нелинейный расчет численно-аналитическим методом [Figure 3. The distribution of stresses across the shell thickness: 1 - linear calculation by numerical-analytical method; 2 - linear calculation by the FE method; 3 - non-linear calculation by numerical-analytical method] Рис. 4. Напряжения σθ вблизи свободного торца цилиндра при r = 0,55 м и r = 0,7 м: 1 - линейный расчет численно-аналитическим методом, м; 2 - линейный расчет методом КЭ в программе ЛИРА-САПР, м; 3 - нелинейный расчет численно-аналитическим методом, м; 4 - линейный расчет численно-аналитическим методом, м; 5 - линейный расчет методом КЭ в программе ЛИРА-САПР, м; 6 - нелинейный расчет численно-аналитическим методом, м [Figure 4. Stresses near the free end of the cylinder at r = 0,55 m and r = 0,7 m: 1 - linear calculation by numerical-analytical method, m; 2 - linear calculation by the FE method in the LIRA-CAD software program, m; 3 - non-linear calculation by numerical-analytical method, m; 4 - linear calculation by numerical-analytical method, m; 5 - linear calculation by the FE method in the LIRA-CAD software program, m; 6 - non-linear calculation by numerical-analytical method, m] На рис. 3 показаны напряжения σθ, распределенные по толщине оболочки при z ≥ 1,5 м. На рис. 4 показаны напряжения σθ вблизи свободного тор- Выводы Результаты решения плоской задачи (рис. 3) методом КЭ в программе ЛИРА-САПР показывают резкие перепады напряжений в местах смены материала, обусловленные перераспределением напряжений в пользу материалов с большим модулем упругости, которых нет при численно-аналитическом расчете и не должно быть в плоской задаче при отсутствии деформаций по z. Результаты решения задачи термоупругости цилиндра конечной длины показывают значительное расхождение максимальных напряжений вблизи свободного торца цилиндра.

### Lyudmila S. Polyakova

Moscow State University of Civil Engineering (National Research University)

Author for correspondence.
Email: asv@mgsu.ru
SPIN-code: 4913-4377
26 Yaroslavskoye shosse, Moscow, 129337, Russian Federation

master, graduate student, Department of Strength of Materials

Moscow State University of Civil Engineering (National Research University)

Email: asv@mgsu.ru
SPIN-code: 9906-7214
26 Yaroslavskoye shosse, Moscow, 129337, Russian Federation

Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department of Strength of Materials

• Andreev V.I., Polyakova L.S. (2016). Physically nonlinear problems for inhomogeneous thick-walled shells. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering, 12(4), 36–40. (In Russ.)
• Ushakov A.V. (2006). Osnovnye zakonomernosti deformirovaniya obychnogo i zharostojkih betonov pri nagreve [The basic laws of deformation of conventional and heat-resistant concrete during heating]. (PhD dissertation, Volgograd). 212. (In Russ.)
• Lucas P.A. (1978). Osnovy nelineinoi stroitel'noi mekhaniki [The foundations of nonlinear structural mechanics]. Moscow: Stroizdat Publ., 208. (In Russ.)
• Polyakova L.S., Andreev V.I. (2018). Calculation of a nonlinearly elastic three-layer cylindrical shell taking into account the continuous inhomogeneity caused by the temperature field. IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering, 456, 012124.
• SP 27.13330.2011. (2011). Betonnye i zhelezobetonnye konstrukcii, prednaznachennye dlya raboty v usloviyah vozdejstviya povyshennyh i vysokih temperatur [Concrete and reinforced concrete structures designed to work in conditions of exposure to high and high temperatures]. Moscow, 116. (In Russ.)
• Andreev V.I., Polyakova L.S. (2019). Calculation of nonlinear elastic three-layer cylindrical shell of finite length with taking into account the continuous inhomogeneity caused by the temperature field. E3S Web of Conferences, 91, 02018.

#### Views

Abstract - 140

PDF (Russian) - 105

#### PlumX

Copyright (c) 2019 Polyakova L.S., Andreev V.I.