Variants of determining correlations of deformation theory of plasticity in the calculation of shell of rotation on the basis of finite element method

Cover Page

Abstract


Relevance. The problems of decline of resource-demanding of objects of building and engineer dictate the necessity of consideration of processes of deformation of constructions at the resiliently-plastic state. The widely in-use theory of account of practical properties of material is a deformation theory of plasticity. The aim of the research is development of variants of receipt of determining correlations on the step of ladening at deformation of material outside a resiliency. Methods. Algorithms over of receipt of determining correlations of theory of small resiliently-plastic deformations are brought on the step of ladening in two variants. In the first they turn out differentiation of expressions of tensions as functions of deformations on the basis of deformation theory of plasticity; in the second determining correlations turn out on the basis of hypothesis about the proportion of components of deviators increases of tensions to components of deviators increases of deformations. Results. On the test example of calculation of the jammed cylindrical shell realization of the got determining correlations is presented.


Введение1 В настоящее время при определении напряженно-деформированного состояния (НДС) оболочечных конструкций необходимо учитывать пласти- ческую стадию работы применяемого материала. Соотношения между напряжениями и деформациями при этом компонуются на основе теории пластического течения или деформационной теории пластичности [1-3]. При использовании численных методов расчета оболочечных конструкций [4-10] с учетом пластического деформирования обычно используют шаговую процедуру нагружения [11; 12], предусматривающую получение соотношений между приращениями компонент тензора деформаций и приращениями компонент тензора напряжений. Если воспользоваться деформационной теорией пластичности, то вышеупомянутые соотношения на (j+1)-м шаге нагружения можно получить двумя способами. В первом случае можно использовать общепринятый подход, который заключается в применении процеду- σij = (2 3)(σi εi ) gik g jl ε kl + ры дифференцирования компонент тензора дефор- ( ) ij ( ( )( )) маций по компонентам тензора напряжений. Во вто- +I1 ε g K 3 - 2 9 σi εi , (4) ром случае можно воспользоваться гипотезой о пропорциональности компонент девиатора приращений напряжений компонентам девиатора приращений деформаций [13]. В настоящей работе представлен сравнительный анализ эффективности двух способов получения матрицы пластичности на (j+1)-м шаге нагругде K = E (1 - 2 ν). Для получения соотношений между приращениями контравариантных компонент тензора напряжений и ковариантных компонент тензора деформаций на (j+1)-м шаге нагружения воспользуемся зависимостями жения при применении метода конечных элементов (МКЭ) к расчету тонких оболочек при упруго- Dσαβ ¶σαβ = ¶ε ¶σαβ Dε11 + ¶ε Dε22 + пластическом деформировании. ¶σαβ 11 22 ¶σαβ 1. Матрица пластичности на (j+1)-м шаге нагружения + ¶ε12 Dε12 + ¶ε33 Dε33 , (5) с использованием операции дифференцирования компонент тензора деформаций по компонентам тензора напряжений где греческие верхние индексы a и b последовательно принимают значения 1 и 2. При вычислении входящих в (5) частных производных ¶sab ¶eij необходимо предварительно На основании второй гипотезы деформационной теории пластичности можно записать соотношение между контравариантными компоненвыполнить следующие дифференциальные операции: тами девиаторов напряжений Sij и деформаций ¶(si ei ) = ¶(si ei ) ¶ei = , (EK - EC ) ¶ei (6) E ij [3]: ¶eij ¶ei ¶eij ei ¶eij Sij = (2 3)(si ei )Eij , (1) где EK = ¶si ¶ei ; EC = si ei - касательный и где si = (3 2)Sij Sij ; ei = (3 2)Eij Eij - интенсекущий модули диаграммы деформирования применяемого материала. сивности напряжений и деформаций. Входящие в (1) кои контравариантные компоненты девиаторов напряжений и деформаций определяются по формулам [3] Для получения входящих в (6) производных интенсивности деформаций по ковариантным компонентам тензора деформаций воспользуемся выражением ij ij ij 11 12 S = σ - I1 (σ) g 3; S = σij - I1 (σ) gij ; ¶ε = ¶ε ¶E + ¶ε ¶E + ij i i i ij ij ij ¶ε ¶E11 ¶ε ¶E12 ¶ε E = ε - I1 (ε) g 3; Eij = εij - I1 (ε) gij , (2) ij ij ij где I1(s)= gijsij = gij sij ; I1(e) = gijeij = gijeij - § ¶εi ¶E22 + ¶εi ¶E33 + ¶ε i ¶E11 + первые инварианты тензоров напряжений и деформаций. ¶E22 ¶ε ¶E33 ¶ε ij ij ¶E11 ¶ε Соотношение (1) с учетом (2) можно представить в виде o ¶εi ¶E12 + ¶εi ¶E22 + ¶εi ¶E33 , (7) ij ij σ - I1 (σ) g 3 = ¶E12 ¶εij ¶E22 ¶εij ¶E33 ¶εij ik jl ij ¶ei Eij ¶ei Eij = (2 3)(σi εi )(g g εkl - I1 (ε) g 3). (3) где = ; ¶Eij 3ei ¶Eij = . 3ei Применяя к (3) первую гипотезу деформационной теории пластичности, получим следующую зависимость: Представив кои контравариантные компоненты девиатора деформаций в развернутом виде, получим следующие дифференциальные зависимости: ¶E11 = 1 - 2 I (ε) - 1 g ¶I1 (ε) ; ¶σ 2 é ¶ε σ æ 21 21 21 ¶g i 22 21 ¶ε 3 1 3 11 ¶ε = ¶ε 3 C ç êD¶ε 22 + i g g ε +2ε11 g + ¶ε 11 11 11 ë 11 i è 11 ¶E11 ¶ε = - 1 g 3 11 ¶I1 (ε) ; ¶ε +2ε22 g ¶g 22 æ ¶g 21 + 2ε12 ç g ¶g 22 § g ööù ÷÷ú + 22 22 21 22 22 ¶ε ¶ε ¶ε ¶E11 ¶ε = - 1 g 3 11 ¶I1 (ε) ; ¶ε 11 è ç ÷ i 22 +æ - 2 ö D ¶ε B + 11 11 øøû 12 12 è 9 ø ¶ε11 ¶E11 ¶ε = - 1 g 3 11 ¶I1 (ε) ; ¶ε æ +M g11 g 22 + ε æ ¶g 11 ¶g 22 g 22 + g11 ö + 33 33 ç 11 ç ¶ε ¶ε ÷ ¶E22 ¶ε = - 1 g 3 22 ¶I1 (ε) ; ¶ε è æ ¶g è 22 ¶g 11 11 ø 12 ö 12 22 11 11 +2ε g + g + 12 ç ÷ ¶E22 = 1 - 2 I ¶ε 3 1 (ε) - 1 g 3 22 ¶I1 (ε) ;. ¶ε è ¶ε11 22 ¶g ¶ε11 ø 33 ¶g ö 22 22 22 22 +2ε g ¶ε ¶ε § ε g ; ............................................................. 22 33 11 ÷ 11 ø ¶E = g 33 g 33 + 2ε g 33 ¶g - ........................................................................................ 33 33 ¶ε33 33 ¶ε33 ¶σ33 2 = D ¶εi C33 o 2 σi æ 33 ç g33 g33 + 2ε ¶g33 ö g33 ÷ - 33 1 ( ) ¶g 1 33 ¶I1 (ε) ¶ε33 3 ¶ε33 3 εi è ¶ε33 ø § I ε - g . 3 1 ¶ε 3 ¶ε (8) 33 33 33 33 2 ¶ε § D i B æ § M ε g11 ¶g § 2ε g12 ¶g + Принимая во внимание (6), (7) и (8), можно 33 9 ¶ε33 ¶ε ç 11 12 è 33 ¶ε33 определить входящие в (5) частные производные 22 ¶g ¶g ö 22 33 33 33 33 ¶sab ¶eij , например: +ε22 g ¶ε33 o g g + 2ε33 g ¶ε ÷, 33 ø ¶σ11 2 é ¶ε σ æ ¶g11 = ê D i C11 + 11 i ç g11 g11 + 2ε g11 + где D = (E o E ) ε ; K M = - 2 σi ; ¶ε11 3 êë ¶ε11 εi è ¶ε11 K C i 3 9 εi 2ε g12 ¶g 2ε æ ¶g g12 ¶g g11 ö öù 11 11 12 12 11 12 12 11 12 C11 = g g ε11 + g g ε22 + 2g g ε12 ; + 22 + ¶ε11 12 ç è ¶ε11 + ¶ε11 ÷ ÷÷ú + ø øúû B = ε g11 g11 + 2ε g12 g11 + ε g 22 g11 + ε g33 g11 ; æ +M g11 g11 + 2ε 11 g11 ¶g + 11 11 12 22 33 21 21 22 22 21 22 ç 11 C = g g ε o g g ε o 2g g ε ; è ¶ε11 12 11 22 11 22 12 11 22 12 22 22 22 33 22 +2ε æ ¶g g11 + ¶g g12 ö + B22 = ε11 g g o 2ε12 g g o ε22 g g o ε33 g g ; 12 ç ÷ è ¶ε11 ¶ε11 ø C = g33 g33ε ; +ε æ ¶g 22 ¶g11 g11 + g 22 ö + 33 33 11 33 12 33 22 33 33 33 22 ç ÷ B33 = ε11 g g o 2ε12 g g o ε22 g g o ε33 g g . è ¶ε11 ¶ε11 ø o ε g 33 ¶g11 ö + æ - 2 ö D ¶εi B ; Соотношения (8) представим в виде матрич- 33 ÷ ç ÷ 11 ного произведения ¶ε11 ø è 9 ø ¶ε11 ............................................................................. {Ds}= [d ]{De*}, (9) ¶σ11 = 2 D ¶εi C + æ - 2 ö D ¶εi B + 3´1 3´4 4´1 ¶ε 3 ¶ε 11 22 12 33 11 ç 9 ÷ ¶ε 11 T 33 33 è ø 33 где {Dε *} = {Dε Dε 2Dε Dε }; æ M g 33 g11 33 ε g11 ¶g ö; { }T { 11 22 12 } + çç è ¶ε + 33 ÷ 33 ø Dσ = Dσ Dσ Dσ . Учитывая общепринятую в теории тонких оболочек гипотезу о приравнивании нулю нормальных напряжений в направлении нормали к срединной поверхности, запишем равенство Между первыми инвариантами тензоров приращений деформаций и приращений напряжений может быть установлена следующая зависимость: 33 33 P(Dε) = 1 - 2 ν P(Dσ). (16) Dσ33 = ¶σ Dε + ¶σ Dε + E ¶σ33 ¶ε ¶ε11 11 22 22 ¶σ33 Соотношение (15) с учетом (16) запишем в виде + ¶ε Dε12 + ¶ε Dε33 = 0. (10) 12 33 Dε = 3 1 Dσ o P(Dσ)g A, (17) Из соотношения (10) получим выражение ij 2 EK ij ij æ ¶σ33 ¶σ33 ¶σ33 ö æ ¶σ33 ö æ1- 2 ν 1 ö Dε33 = ç ¶ε Dε11 + ¶ε Dε22 + ¶ε Dε12 ÷ ç ¶ε ÷, (11) где A = çç - ÷÷. è 11 22 12 ø è 33 ø è 3E 2EK ø которое можно представить в матричном виде T В развернутой форме выражения (17) примут Dε33 = {b} {Dε}, 1´3 3´1 (12) следующий вид: где {De}T = {De11 De2 De12}. D ε = æ 3 1 + g g11 AöD σ + 11 ç 2 E 11 ÷ 11 С учетом (12) скомпонуем матричную зависимость è K ø {De*}= [a]{De}, (13) 22 12 +g11g AD σ22 + g11 2g AD σ12 ; 4´1 4´3 3´1 = g g AD σ D ε + 11 22 22 11 é1 0 0 T ê b1 ù ú + æ 3 1 ç ÷ o g g22 AöD σ + g 2g12 AD σ ; где [a] 3´4 = ê0 1 0 êë0 0 1 b2 ú. b3 úû è 2 EK 22 22 22 12 ø D ε = g g11 AD σ o g g22 AD σ + С учетом (13) выражение (9) можно предста- 12 12 11 12 22 вить следующим образом: {Ds}= [CI ]{De}, (14) ç 12 +æ 3 1 + g è 2 EK 2g12 AöD σ . ÷ 12 ø (18) 3´1 3´3 3´1 где [CI ]= [d][a] - матрица пластичности на (j+1)-м шаге нагружения. Соотношения (18) могут быть представлены в матричной форме {D ε}= [T ]{D σ}, (19) 2. Матрица пластичности на (j+1)-м шаге нагружения на основе гипотезы о пропорциональности 3´1 3´3 3´1 компонент девиатора приращений напряжений компонентам девиатора приращений деформаций Принимая во внимание гипотезу о пропорциональности компонент девиатора приращений напрягде {D σ}T = {D σ11 D σ22 D σ12}. Выполняя операцию обращения из (19) можно получить матрицу пластичности на (j+1)-м шаге нагружения: жений компонентам девиатора приращений дефор- {D σ}= [CII ]{D ε}, (20) маций, запишем следующее соотношение 3´1 3´3 3´1 1 D ε - P (Dε) g i ( 3 Dε = Dσ -1 P(Dσ)g ), (15) где [CII ] = [T ]-1. ij 3 i ij 2 Dσ ij 3 ij Сопоставляя между собой (14) и (20) отметим, где P (Dε) = Dε ij ij gij = Dεij g ; что процедура получения [CII ]значительно упрощается по сравнению с [CI ], что в свою очередь P (Dσ) = Dσ ij ij gij = Dσij g . облегчает программную реализацию вычислительного алгоритма. 3. Конечный элемент тонкой оболочки где {ψ}T = {ψ1 ψ2 ...ψ12} содержит произведения Срединная поверхность тонкой оболочки представлена ансамблем четырехугольных конечных элементов с узлами i, j, k, l, расположенными в вершинах четырехугольников. При формировании матрицы жесткости конечного элемента используются две системы координат: глобальная система Эрмитовых полиномов третьего порядка. Выполняя последовательное дифференцирование (24) по θ1 , θ2 , можно получить первые и вторые производные приращений компонент вектора перемещения, например: криволинейных координат θ1 , θ2 , связанная с гео- ({ }T { }T ){ L } Dq = × + × η Dq ,θ метрическими параметрами срединной поверхно- ,θ1 ψ,ξ ξ 1 ψ,η ,θ1 y ; сти, и локальная система координат -1 £ ξ , η £ 1 , применяемая для реализации процедуры численного интегрирования по площади элемента с помощью квадратуры Гаусса. { } (ξ ψ æ T × ç ,ξξ ,θ1 η ç T ) 2 + ö ÷ 2 ÷ Связь между глобальными θ1 , θ2 и локальны- ç } ξ η Dq = +{ψ ,ηη} × ( ,θ1 ) + ÷{D L }. ÷ ,θ1θ1 ç ÷ qy (25) ми ξ , η координатами устанавливается зависи- ç +2{ψ T × ,ξη ,θ1 + ,θ1 мостью ç ÷ ç +{ψ,ξ } × ξ 1 1 +{ψ,η} × η 1 1 ÷ θα = (1- ξ) (1- η) θαi + (1+ ξ) (1- η) θα j + T T è ,θ θ ,θ θ ø 2 2 2 2 (1+ ξ) (1+ η) α k (1-ξ) (1+ η) αl o θ + θ , 2 2 2 2 где α принимает значения 1, 2. (21) Дальнейшая процедура формирования матрицы жесткости четырехугольного конечного элемента и столбца узловых усилий на (j+1)-м шаге нагружения осуществляется стандартным для МКЭ образом [14-19]. Столбцы узловых неизвестных конечного элемента на (j+1)-м шаге нагружения в глобальной и локальной системах координат были выбраны в следующем виде: 4. Пример расчета В качестве примера решена задача об определении НДС цилиндра, жестко защемленного по левому торцу, загруженного внутренним давлением G T ïì G T G T G T ïü интенсивности q . Правый торец свободен. Приняты {DU y } = í{Duy } {Dvy } {Dwy } ý; (22) 1´36 ïî 1´12 1´12 1´12 ïþ следующие исходные данные: радиус цилиндра R = 0,9 м; длина образующей L = 0,8 м; толщина } y {DU L T { ìï = í Du y L }T {Dv y L }T {Dw L } T ïü y ý, (23) стенки t = 0,01 м; модуль упругости E =7,5×104 МПа; 1´36 ïî 1´12 1´12 1´12 ïþ коэффициент Пуассона ν = 0,32 . Диаграмма деформирования задана в виде двухзвенной ломаной с где {Dq } ={q q q q q 1 q 1 q 1 q 1 q 2 q 2 q 2 q 2 } ; пределом текучести σT = 200 Мпа. Кривая упроч- G T y 1´12 L T i j k l i j k l i j k l ,θ ,θ ,θ ,θ ,θ ,θ ,θ ,θ i j k l i j k l i j k l нения задана уравнением σi = (εi - 0,0023496)×18087,03 + 200,0. (26) {Dqy } 1´12 = {q q q q q,ξ q,ξ q,ξ q,ξ q,η q,η q,η q,η}. Расчеты выполнены по двум вариантам. В пер- Здесь под Dq понимается приращение тангенвом варианте при формировании матрицы жесткоциальных Du , Dv или приращение нормальной сти конечного элемента на (j+1)-м шаге нагружекомпоненты Dw вектора перемещения на (j+1)-м ния использована матрица пластичности в виде (14); шаге нагружения. Приращение компоненты вектора перемещения точки внутренней области конечного элемента интерполируется через узловые значения приращений этой же компоненты с помощью зависимостей вида во втором варианте применена матрица пластичности, полученная в соответствие с (20). Результаты повариантных расчетов показаны в таблице, в которой приведены численные значения нормальных напряжений на внутренней σв и наружной σн поверхностях цилиндра в жесткой заделке ( x = 0,0 м) y Dq = {ψ}T {DqL }, (24) и на свободном торце ( x = 0,8 м) в зависимости от 1´12 12´1 количества шагов нагружения. Как видно из таблицы, нормальные напряжения в жесткой заделке в первом варианте имеют меньшие, примерно на 20 %, значения по сравнению со вторым вариантом. Нормальные напряжения на свободном торце в обоих вариантах практически совпадают и соответствуют условиям равновесия. Меридиональные напряжения σм должны быть равны нулю, так как горизонтальная нагрузка отсутствует, а кольцевые напряжения на свободном торце могут быть вычислены по формуле σк = qR t = 2,5МПа× 0,9м 0,01м = 225,0 МПа , что и наблюдается в обоих вариантах расчета. Численные значения нормальных напряжений в сечениях цилиндрической оболочки [Table. Numerical values of normal stresses in sections of a cylindrical shell] Таблица Сечение [Section] Опорное, x = 0,0 м [Support, x = 0,0 м] Свободный торец, x = 0,8 м [Free end, x = 0,8 м] Напряжения, МПа [Stress, MPa] σ в м σ н м σ в к σ н к σ в м σ н м σ в к σ н к Варианты расчета [Variants of calculation] I II Число шагов нагружения [Number of loading steps] 40 60 80 40 60 80 322,4 322,2 322,1 399,6 399,0 399,6 -322,2 -322,1 -322,0 -399,8 -399,3 -399,5 131,3 131,2 131,1 151,1 151,1 151,5 -131,2 -131,1 -131,0 -151,2 -151,2 -151,4 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 225,04 225,04 225,04 224,99 224,99 224,99 225,04 225,04 225,04 224,99 224,99 224,99 Вывод Способ получения матрицы пластичности (15)-(20) на (j+1)-м шаге нагружения, основанный на гипотезе о пропорциональности компонент девиаторов приращений напряжений компонентам девиаторов приращений деформаций, является более предпочтительным по сравнению со способом (5)-(14), в котором для получения определяющих соотношений на шаге нагружения выполняется дополнительная операция дифференцирования полных напряжений по компонентам деформаций, приводящая к снижению корректности поставленной задачи.

Yuriy V. Klochkov

Volgograd State Agricultural University

Author for correspondence.
Email: klotchkov@bk.ru
SPIN-code: 9436-3693
26 University Ave., Volgograd, 400002, Russian Federation

Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Higher Mathematics Department

Anatoliy P. Nikolaev

Volgograd State Agricultural University

Email: klotchkov@bk.ru
SPIN-code: 2653-5484
26 University Ave., Volgograd, 400002, Russian Federation

Doctor of Technical Sciences, Professor, Professor of the Applied Geodesy, Environmental Engineering and Water Use Department

Olga V. Vakhnina

Volgograd State Agricultural University

Email: klotchkov@bk.ru
SPIN-code: 3593-0159
26 University Ave., Volgograd, 400002, Russian Federation

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of Higher Mathematics Department

Mikhail Yu. Klochkov

Lomonosov Moscow State University

Email: klotchkov@bk.ru
SPIN-code: 2767-3955
1 Leninskiye Gory, Moscow, 119899, Russian Federation

third-year student of the Faculty of Physics

  • Malinin N.N. (1968). Prikladnaya teoriya plastichnosti i polzuchesti: uchebnik dlya studentov vtuzov [Applied theory of plasticity and creep: textbook for the students of technical colleges]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 400. (In Russ.)
  • Trusov P.V. Shveikin A.I. (2011). Teoriya plastichnosti [Theory of plasticity]. Perm, PNIPU Publ., 419. (In Russ.)
  • Sedov L.I. (1976). Mehanika sploshnoi sredi [Mechanics of continuous environment]. Moscow, Nauka Publ., 574.
  • Solodovnikov A.S., Sheshenin S.V. (2017). Numerical study of strength properties for a composite material with short reinforcing fibers. Moscow University Mechanics Bulletin, 72(4), 94–100.
  • Storozhuk E.A., Chernyshenko I.S., Yatsura A.V. (2018). Stress-Strain State Near a Hole in a Shear-Compliant Composite Cylindrical Shell with Elliptical CrossSection. International Applied Mechanics, 54(5), 559–567.
  • Storozhuk E.A., Yatsura A.V. (2017). Analyticalnumerical solution of static problems for noncircular cylindrical shells of variable thickness. International Applied Mechanics, 53(3), 313–325.
  • Pyatikrestovskii K.P., Sokolov B.S., Travush V.I. (2015). Sovremennie kriterii prochnosti drevesini i vozmojnosti programmirovaniya rascheta kompleksnih konstrukcii pri slojnom napryajennom sostoyanii [Modern criteria of durability of wood and possibility of programming of calculation of complex constructions at the difficult tense state]. Academia. Arhitektura i stroitelstvo, (3), 125–131. (In Russ.)
  • Kayumov R.A. (2017). Postbuckling behavior of compressed rods in an elastic medium. Mechanics of Solids, 52(5), 575–580.
  • Galishnikova V.V., Pahl P.Ja. (2018). Constrained construction of planar Delaunay triangulations without flipping. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 14(2), 154–174.
  • Golovanov A.I., Konoplev Yu.G., Sultanov L.U. (2010). Chislennoe issledovanie konechnih deformacii giperuprugih tel. IV. Konechnoelementnaya realizaciya. Primeri resheniya zadach [Numeral research of eventual deformations of hyperresilient bodies. IV. Finite-elements realization. Examples of decision of tasks]. Uchenie zapiski Kazanskogo universiteta. Seriya: Fiziko-matematicheskie nauki, 152(4), 115–126. (In Russ.)
  • Hairullin F.S., Mingaliev D.D. (2017). Raschet tonkih obolochek s ispolzovaniem approksimiruyuschih funkcii razlichnogo poryadka [Calculation of thin shells with the use of approximating functions of different order]. Vestnik Kazanskogo tehnologicheskogo universiteta, 20(14), 102–104. (In Russ.)
  • Paimushin V.N., Kholmogorov S.A. (2018). Physicalmechanical properties of a fiber-reinforced composite based on an elur-p carbon tape and XT-118 binder. Mechanics of Composite Materials, 54(1), 2–12.
  • Gureeva N.A., Klochkov Yu.V., Nikolaev A.P. (2015). Opredelyayuschie sootnosheniya dlya nelineino uprugih tel i ih realizaciya v raschete osesimmetrichno nagrujennih obolochek vrascheniya na osnove smeshannogo MKE [Determining correlations for nonlinear resilient bodies and their realization in the calculation of axesymmetrical of the loaded shells of rotation on the basis of mixed FEM]. Uchenie zapiski Kazanskogo universiteta. Seriya: Fizikomatematicheskie nauki, 157(2), 28–39. (In Russ.)
  • Yakupov S.N., Kiyamov H.G., Yakupov N.M., Hasanova L.I., Bikmuhammetov I.I. (2018). Effekt koncentracii napryajenii v sterjne pryamougolnogo secheniya v oblasti krepleniya ot prodolnih usilii [Effect of concentration of tensions in the bar of rectangular section in area of fastening from longitudinal efforts]. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 14(6), 451–458. (In Russ.)
  • Agapov V., Golovanov R. (2018). Comparative analysis of the simplest finite elements of plates in bending. Advances in Intelligent Systems and Computing, 692, 1009–1016.
  • Nguyen Nhung, Waas Anthonym. (2016). Nonlinear, finite deformation, finite element analysis. ZAMP. Z. Angew. Math. and Phys., 67(9), 35/1–35/24.
  • Lei Z., Gillot F., Jezequel L. (2015). Developments of the mixed grid isogeometric Reissner – Mindlin shell: serendipity basis and modified reduced quadrature. Int. J. Mech., 54, 105–119.
  • Hanslo P., Larson M.G., Larson F. (2015). Tangential differential calculus and the finite element modeling of a large deformation elastic membrane problem. Comput. Mech., 56(1), 87–95.
  • Yamashita Hirok, Valkeapaa Antti I., Jayakumar Paramsothy, Syqiyama Hiroyuki. (2015) Continuum mechanics based bilinear shear deformable shell element using absolute nodal coordinate formulation. Trans. ASME. J. Comput. and Nonlinear Dyn., 10(5), 051012,1–051012,9.

Views

Abstract - 19

PDF (Russian) - 42

PlumX


Copyright (c) 2019 Klochkov Y.V., Nikolaev A.P., Vakhnina O.V., Klochkov M.Y.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.