## Theory of “dissolution” and “condensation” of the physical geometric characteristics of an arbitrary cross-section under the action of torsion with bending

#### Abstract

Aim of research - to continue the development of methods for determining the stress-strain state of rods during torsion using materials resistance methods. Methods. A new approach for determining tangential torsional stresses for arbitrary cross sectional rods, based on simplified assumptions of material resistance, is proposed. The main feature of this approach is the approximation of rectangular or any complex cross section of reinforced concrete structures by describing a large circle around the cross section and splitting it into small squares with circles inscribed into them. Results. Three theorems have been formulated, the first of which relates the accumulation of tangential stresses (increments) from the edges of a rectangle to the middle of a rectangular section with the formula for determining tangent stresses for round sections. The second theorem allows to establish a connection between the tangential stresses calculated for each of the small squares-circles and the tangent stresses of the large circle through their increments. The third theorem makes it possible to find tangential stresses for each of the small square circles. The proposed approach allows to remove the need to use special tables for the calculation and not only in the elastic stage. It also makes it possible to separate the stress-strain state in the whole set of round cross-sections from the additional field caused by the deplanation of the rectangular cross-section. In addition, the proposed approach makes it possible to take into account the concentration of angular deformations in the incoming angles and other places with changing geometric parameters.

#### Keywords

Введение1 Из сопротивления материалов известно, что задачу определения напряжений и деформаций при кручении стержни некруглого поперечного сечения нельзя решить методами, базирующимися на упрошенных предпосылках этой экспериментально-тео- ретической науки, являющейся одним из разделов строительной механики. Такая задача обычно решается с использованием методов теории упругости и пластичности [1-3]. Тем не менее использование рабочих гипотез сопротивления материалов применительно к стержневым конструкциям весьма привлекательно. В связи с этим возникает резонный вопрос о степени категоричности утверждения о том, что нельзя решить обозначенную выше задачу методами сопротивления материалов? Все ли подходы [4-12] и резервы при этом исчерпаны? Целью настоящего исследования является продолжение разработки методики определения напряженно-деформированного состояния стержней при кручении методами сопротивления материалов. В задачи исследования входила разработка оригинальных подходов и методик для достижения поставленной цели. 1. Расчетная модель. Решение основных задач В ходе исследования попытаемся получить решение поставленных задач, оставаясь в рамках гипотез сопротивления материалов. Для решения задачи будем аппроксимировать различные сечения стержней с помощью разбивки их на малые квадраты с последующим вписыванием в эти квадраты кругов. Тогда применительно к этим малым кругам, составляющим поперечное сечение стержней любой формы, будут справедливы формулы сопротивления материалов, полученные для круглых поперечных сечений. При этом необходимо решить три сопутствующие задачи: во-первых, учесть депланацию поперечных сечений стержней некруглой произвольной формы с помощью какой-либо рекуррентной формулы; во-вторых, корректно просуммировать элементарные круги, посредством которых аппроксимируется поперечное сечение любой формы с распределением приходящихся на них крутящих моментов; в-третьих, учесть наличие концентрации деформаций в зоне входящих углов поперечного сечения произвольной формы и местной депланации в углах и других резко изменяющихся геометрических параметрах, а также ее «возврата» в местах, соседствующих с квадратами с нулевой жесткостью. Решение первой из этих задач предложено нами в работах [7; 13]. При этом основные поправки будут касаться депланации некруглых поперечных сечений. Для решения второй задачи, будем использовать следующий подход. Вокруг некруглого поперечного сечения описывается большой круг, в котором условно «растворяется» фигура поперечного сечения. При этом все поле большого круга разбивается на ряд квадратов, которые впоследствии заменяются вписанными в них малыми кругами. Малые круги, попавшие в зону, ограниченную контуром поперечного сечения стержня, служат в качестве «конденсирующих» - в них сосредотачиваются элементы жесткости и эффективные значения параметров напряженно-деформированного состояния, которые обеспечивают сопротив- Проанализировав все недостатки отмеченного разбиения, мы усовершенствовали предлагаемый подход. А именно: описываемый круг включает в себя уже не три малых круга, а целый набор таких кругов, которые аппроксимируют любое поперечное сечение, например фигура А - В - С - D для прямоугольного сечения (рис. 1). Рис. 1. Аппроксимация прямоугольного поперечного сечения стержня с помощью квадратов и вписанных в них кругов [Figure 1. Approximation of a rectangular cross-section of rods using squares and circles inscribed in them] Теперь применительно к большому кругу, включающему в себя в том числе и поперечное сечение произвольной формы (рис. 1), можно использовать формулы сопротивления материалов для круглых стержней. Такие формулы справедливы и для каждого из малых кругов, на которые в свою очередь разбит большой круг. В результате предоставляется возможным записать рекуррентные формулы применительно к расчету стержней произвольного поперечного сечения с введением необходимых поправочных коэффициентов. 2. Введение понятий и формулировка теорем Анализируя предложенный подход, возникает необходимость во введении понятия эквивалентности между характеристиками крутильной жесткости прямоугольного сечения и круга, описанного вокруг этого прямоугольного сечения: ление поперечного сечения стержня сдвигу при n 2 кручении. G × I Grec × å(It,i + rj × Ai ) Ранее нами была рассмотрена подобная задача только с одним рядом разбивки по ширине прямоугольного сечения на малые круги [7]. Gequ = rec rec = Ibcir i=1 Ibcir , (1) где Ibcir - полярный момент инерции большого ствующего i-того квадрата-круга относительно геокруга, описанного вокруг прямоугольного сечения; метрического центра O большого круга, равный Grec - модуль сдвига материала прямоугольного собственному полярному моменту инерции It,i , сечения; Irec - полярный момент инерции прямоскладываемому с добавочным, равным произведеугольного сечения; It,i, j - полярный момент инернию квадрата расстояния rj между центром O и ции малых квадратов-кругов, попадающих в контур центром i-того малого квадрата-круга Oi на плопрямоугольного сечения; n - число малых квадратов-кругов, попадающих в контур прямоугольного щадь i-того малого квадрата-круга Ai . сечения; Gequ - «эквивалентный» модуль сдвига, Действительно, сумма Mt,i , стоящего в числисвязанный с «растворением» в большом круге поперечного сечения произвольной формы, состоящетеле формулы (4), равна суммарному моменту Mt в формуле (3). Таким образом, формула (4) предго из ряда малых кругов; rj - расстояние между ставляет собой некое разложение формулы (3) по приращениям. При этом отдельное приращение центрами большого круга O и малого круга Oi ; может иметь качественно иной вид, чем сумма этих Ai - площадь i-того круга. Для приведения значений полярных моментов к большому кругу будем использовать коэффициент α , отыскиваемый по формуле приращений. Здесь можно провести аналогию между касательными напряжениями τ и накапливаемыми сдвигающими силами T [14]. Запишем формулу для определения касательных напряжений τ2 , вычисленных для каждого из α = Grec . Gequ (2) малых квадратов-кругов в полоске (сечении) вертикальной или горизонтальной аналогично фор- В предложенном подходе будем различать не муле (3): только касательные напряжения τ1 , возникающие f при кручении круглых сечений, но и их приращения Δτ при рассмотрении полосок (сечений), располагаемых от периметра прямоугольного сечения å Mt,i τ2 = i=1 × It,i, j × α rj . (5) или сечения сложной формы («растворяемых» в описанном большом круге) к его центру, а также значения касательных напряжений, вычисленные для каждого из малых квадратов-кругов в полоске (сечении) и обозначенные как τ2 . Согласно определению касательных напряже- Распределение крутящего момента, действующего в большом круге на его составляющие, приходящиеся на каждый малый i-тый квадраткруг, определяется по формуле, вытекающей из пропорциональности сдвиговых жесткостей: ний, в любом круге τ1 находится по формуле M = M · Ai × Grec = M · Ai . (6) t,i t A × G t A τ = Mt 1 I · rj = I j Mt × r = åDτ, α (3) rec rec rec где Mt bcir rec · крутящий момент, действующий на прямо- Важно заметить, что для распределенного крутящего момента должно выполняться соотугольное сечение. Применительно к Dτ для любой полоски (сечения), расположенной в пределах большого круга, формула (3) может быть преобразована к виду f f ношение, вытекающее из условия равновесия: n å Mt,i = Mt . i=1 (7) å Mt,i Dτ = i=1 Ibcir å Mt,i o rj = i=1 Irec × α o rj , (4) При обобщении предложенного подхода были выявлены некоторые общие закономерности, которые могут быть представлены в виде следующих теорем. где Mt,i - крутящий момент, приходящийся на Теорема 1. Сумма приращений касательных каждый i-тый малый квадрат-круг; f - число малых квадратов-кругов в одной полоске (сеченапряжений Δτ , накапливаемых в полосках (сечениях) от краев к середине прямоугольного сечения, вписанного в большой круг относительно центра нии); It,i, j - полярный момент инерции соответэтого большого круга, совпадающего с центром прямоугольника, равна касательным напряжениям τ1 в любой выбранной точке этого большого круга с учетом соответствующих «эквивалентных» и «конденсируемых» характеристик. f Таким образом интегральная эпюра Δτ (просуммированная) трансформируется в эпюру τ1 , построенную для центрального сечения круга. Доказательство теоремы 1. Просуммируем составляющие, стоящие в числителе формул, для определения Δτ по всем полоскам (включающим наn/2 M k å Mt,i i=1 t бор малых квадратов-кругов вдоль выбранного сече- å Dτ = å I rj = τ1 = × α I rj , (8) ния) от краев до середины прямоугольного сечения. i=1 m=1 rec bcir Тогда в числителе получим значение полного где k - число полосок (сечений) вертикальных или момента Mt , а в знаменателе - значение полного горизонтальных, на которые разбивается прямоугольное поперечное сечение (рис. 2, c) от края сечения до момента инерции для произвольного поперечного сечения, «растворяемого» в большом круге. Полученсечения, в котором определяется τ1 ; f - число маная эпюра принимает вид, обусловленный формулой лых квадратов-кругов в одной полоске (сечении). для определения касательных напряжений τ1 . a b c d e f g h Рис. 2. Эпюры приращений касательных напряжений (a, c) и эпюры касательных напряжений в различных сечениях (b, c) для прямоугольного сечения и описанного вокруг него большого круга; поперечное сечение малого i-того круга (d) с усредненной эпюрой касательных напряжений кручения τt,j,j,spr в i-том круге (e), эпюрой местных напряжений τloc в i-том круге (f) и суммарной эпюрой τt,j,i,spr и τloc в i-том круге(g), эпюрой местных напряжений на расстоянии 0,5 ri от центра Оi (h) [Figure 2. Diagrams of increments of tangential stresses (a, c) and diagrams of tangential stresses in various sections (b, c) for a rectangular section and a large circle described around it; the cross section of the small i-th circle (d) with the averaged diagram of tangential torsional stresses τt, j, j, spr in the i-circle (e), the diagram of local stresses τloc in the i-th circle (f) and the total diagram of τt, j, i, spr and τloc in the i-th circle (g), the diagram of local stress at a distance of 0.5 ri from the center Оi (h)] Теорема 2. Значения касательных напряжений, вычисленные для каждого из малых квадраf å Mt ,i = i=1 × = D × (9) тов-кругов τ2 , могут быть выражены через прира- τ2 rj It ,i, j × α τ p, щения Δτ . где p - функция от It,i, j . Доказательство теоремы 2. Введем в числитель и знаменатель полярный момент инерции большого круга Ibcir , после заменим часть выражения p = Ibcir It,i, j ×α = Ibcir . j (It,i + Ai × r2 )× α (11) на Δτ по формуле (4). Часть, оставшуюся без изменений, обозначим через p. f f Как видно из полученного выражения, значение p имеет зависимость от It,i, j . Теорема 2 позволяет установить связь между å Mt,i å Mt,i касательными напряжениями τ2 и касательными = i=1 × r = i=1 Ibcir r = напряжениями большого круга τ через их при- τ2 j I × α I I × α j 1 t,i, j bcir f t,i, j ращение Δτ . Следствие из теоремы 2. Установленная å Mt,i взаимосвязь эпюр τ1 и τ2 через Dτ позволяет = i=1 Ibcir rj × p = Dτ × p. (10) сравнить их и отметить, что с учетом знаков они взаимодополняют друг друга до прямоугольников (рис. 4). Рис. 3. Аппроксимация прямоугольного поперечного сечения при помощи малых квадратов-кругов (a); эпюры приращений Dτ в сечениях 1-1 - 5-5 (b-f); суммарная эпюра (g); эпюра касательных напряжений τ1 в большом круге (h); прямоугольное сечение с эпюрами τ1 в центральных сечениях и эпюрами τ2 на гранях сечения (i); эпюры τ2 в сечениях 1-1 - 5-5 (j-n) [Figure 3. Approximation of a rectangular cross-section using small squares-circles (a); distribution of increments Dτ in sections 1-1 - 5-5 (b-f); summed distribution (g); distribution of tangential stresses in a large circle (h); rectangular cross-section with distribution of τ1 in the central sections and distribution of τ2 on the edges of the section (i); distribution of τ2 in sections 1-1 - 5-5 (j-n)] Теорема 3. Значения касательных напряжений, вычисленные для каждого из малых квадратов-кру- Mt τ2 = A × 1 . r (12) гов, обозначенные через t j τ2 , для сечений (полосок, включающих набор малых квадратов-кругов вдоль выбранного сечения), расположенных вблизи контурных граней прямоугольника, то есть достаточно удаленных от центра О, обратно пропорциональны радиусам rj , проведенным из центра большого круга Доказательство теоремы 3. В соответствии с формулой (4) полярный момент инерции соответствующего i-того квадрата-круга относительно центра тяжести O большого круга It,i, j равен собствендо центра соответствующего i-того квадрата-круга. ному полярному моменту инерции It,i , складываемому с добавочным, равным произведению квадрата расстояния между центром O и центром i-того го материала, для поперечных сечений произвольной формы (для составных стержней отмеченные малого квадрата-круга Oi на площадь i-того квадаспекты учитываются аналогично). рата-круга. При этом, если квадраты-круги находятся в сечениях - полосках, включающих набор малых квадратов-кругов вдоль выбранного сечения, удаленных от центра O (например, в сечениях, расположенных вблизи контурных граней прямоугольника), значениями собственных полярных моментов инерции можно пренебречь по срав- Картина распределения деформаций на участках стержней, прилегающих к нормальным сечениям, вырезающим узел [7; 13], напоминает, еще до появления трещин, картину, аналогичную выявленной В.И. Мурашевым в стадии трещинообразования. Поэтому представляется наиболее приемлемым учитывать такую концентрацию деформанению с добавочными моментами инерции. Тогда ций с помощью коэффициента ψb,τ по физическоиз формулы (4) получим: A f f å Mt,i Mt × å i му смыслу, аналогичному коэффициенту ψs , введенному в теорию железобетона В.И. Мурашевым [14]. Это позволяет оперировать в проведен- τ2 = i=1 It,i, j = Mt × f Arec × α × α × rj = × 1 . rj j i=1 Arec × r = j Ai × r2 × α (13) ных сечениях средними значениями деформаций, для которых уже справедлива гипотеза плоских поворотов. В стадии, когда сопротивление железобетонного стержня близко к упругому, коэффициент ψb,τ определяется с привлечением коэффициента концентрации деформаций k [7, 13]: В полученной формуле (13) τ2 обратно про- ψb,τ = 1 - ωγ k - 1 , (14) порционально rj , что и требовалось доказать. Использование эпюр таких напряжений τ2 позволяет выполнить аппроксимацию распределения касательных напряжений кручения прямоугольников как в центральных сечениях, так и в сечениях, расположенных по его периметру (рис. 2, a-c и 3, a-h). Рис. 4. Дополнение эпюр Dτ (I) до прямоугольников k где ωγ - коэффициент наполнения эпюры деформаций растянутой арматуры (или сжатого бетона) на участках, отстоящих на h от центра узла. При этом значения коэффициента k определяются по справочным данным или могут быть получены с использованием метода конечных элементов (МКЭ). Важным элементом предлагаемого подхода является также предоставляемая возможность (из-за разбиения сечения на малые квадраты-круги) учета местной депланации в углах и других резко изменяющихся геометрических параметрах, а также ее «возврата» в местах, соседствующих с квадратами с нулевой жесткостью. При учете местной депланации получим: Mt эпюрами τ2 (II) и τdep (III) в сечениях 1-1 - 5-5 [Figure 4. Adding diagrams Δτ (I) to rectangles w = G × It × f ( y, z ) × f2 ( x) = 2 2 with diagrams τ2 (II) and τdep (III) in sections 1-1 - 5-5] = Mt × a* - b* × y × z × l × æ1 - x ö + w , (15) G × I a2 b2 ç l ÷ loc 3. Методика для учета депланации t * + * è ø и концентрации угловых деформаций где wloc § местная депланация. Теперь остановимся на таких аспектах решения задачи, как учет концентрации напряженно-дефор- Ее целесообразно выразить сразу через составляющие относительных угловых деформаций мированного состояния (решение третьей задачи) и γdep, yx,loc и γdep,zx,loc , которые отсчитываются в учет местной депланации. Для простоты рассмотрим эти аспекты на стержнях, состоящих из однопредлагаемой методике относительно плоскости большого круга. ± = Mt * * a2 - b2 æ × × l × x ö - × z ± с учетом особенностей работы зоны сопряжения как γdep, yx γdep, yx,loc G × I 2 2 ç1 l ÷ плосконапряженного (или объемного) элемента при t a* + b* è ø его упругом сопротивлении. В итоге касательные напряжения в произволь- I × α × G ±æ Mt § r + Mt,i ö § r £ (16) çç è t equ j, A* It,i × α × G i, A* ÷÷ øyx γdep, yx,ul , ной точке поперечного сечения произвольной формы с учетом предлагаемых подходов складываются из следующих составляющих: γdep,zx ± γdep,zx,loc = Mt G × I a2 - b2 × * * 2 2 ç × l × æ1 x ö - ÷ × y ± l τt, A = τt, j, A,cond + τt,i, A,cond + τloc + τconc ± τconc,loc = t a* + b* è ø = Mt × r § Mt,i × r + + ± = I × α × G ±æ Mt § r + Mt,i ö § r £ (17) j, A i, A τloc τconc τconc,loc çç è t equ j, A* It,i × α × G i, A* ÷÷ øzx γdep,zx,ul , It ×α = Mt × y2 It,i × α + z2 § Mt,i × y2 + z2 + где γdep, yx,ul и γdep,zx,ul - составляющие предель- It ×α j, A j, A It,i ×α i, A i, A ных относительных угловых деформаций деплана- +τ + τ ± τ £ τ . (19) ции; γdep, yx и γdep,zx - составляющие относительloc conc conc,loc t,u ных угловых деформаций депланации; γdep, yx,loc Здесь τt, j, A,cond и τt,i, A,cond o касательные и γdep,zx,loc o составляющие относительных углонапряжения в произвольной точке А большого вых деформаций местной депланации, возникающих в малых квадратах-кругах, расположенных на гранях сечения и в других местах с резко изменяющимися геометрическими параметрами, точках A*, переходящих из плоскости поперечного сечения YOZ во взаимно перпендикулярные плоскости XOZ круга, описанного вокруг произвольного поперечного сечения после «конденсации» статико-геометрических характеристик сечения, «растворенного» по этому кругу, и касательные напряжения в произвольной точке А малого квадрата-круга после «конденсации» соответственно, эквивалентные и YOX. касательным напряжениям τ1 , вычисленным по Составляющие γdep, yx,loc и γdep,zx,loc опреформуле для круглого сечения (рис. 2, d, e, f, g); деляются с использованием закона парности касательных напряжений, при этом выбор знака перед rj, A , y j,A , z j, A - расстояния от центра большоними выполняется в зависимости от того, в каком квадранте прямоугольников (на которые разбивается поперечное сечение любой формы) расположена точка А*. Наконец, необходимо учесть наличие концентрации угловых деформаций в углах и других го круга, описанного вокруг поперечного сечения стержня, до произвольной точки А, находящейся в малом j-том круге, в которой определяются значения касательных напряжений кручения τt и ее координаты в общей системе координат YOZ; Mt - крутящий момент, действующий в поперечрезко изменяющихся геометрических параметрах, а также в направлении оси х, то есть применительном сечении стержня; It - площадь и полярный но к местной депланации. При этом коэффициент момент инерции поперечного сечения стержня, аппроксимированного малыми квадратами-кругами; концентрации ψb,τ,loc вдоль продольной оси стерж- τconc , τconc,loc o касательные напряжения, обусловня х определяется по аналогии с зависимостью (14) с привлечением коэффициента концентрации деформаций kloc : ленные силовой, геометрической и межсредовой концентрацией деформаций, а также составляющие, вызванные местной концентрацией, находят- ψb,τ,loc = 1 - ωγ,loc kloc -1, kloc (18) ся путем умножения касательных напряжений в зонах концентрации на коэффициенты, полученные где параметры ωγ,loc и kloc по смыслу аналогичны из формул (14) и (18) соответственно; ri, A , yi, A , параметрам, используемым в формуле (14), с той только разницей, что они характеризуют местное, а не общее поле угловых деформаций. zi, A - расстояния от центра малого i-того круга до произвольной точки А, находящейся в малом i-том круге, в которой определяются значения касатель- При этом значения коэффициента kloc легко ных напряжений кручения τt и ее координаты в могут быть получены с использованием МКЭ и местной системе координат YiOiZi; Mt,i - крутящий момент, приходящийся на i-тый малый круг, на которые разбито поперечное сечение стержня; It,i - полярный момент инерции i-того малого круга, на которые разбито поперечное сечение стержня (складывается из собственного полярного момен- Выводы По результатам проведенного исследования предложен новый подход в виде разработанной методики для определения касательных напряжений кручения для стержней произвольного поперечноj i та инерции и добавочного, равного r2 × A ); τ t,u - го сечения, базирующийся на упрощенных предпосылках сопротивления материалов. Его особенпредельные значения касательных напряжений кручения. ность заключается в аппроксимации прямоугольных и любых сложных поперечных сечений конструк- Дополнительно к равнодействующим τt, A , ций (в том числе железобетонных) с помощью их отыскиваемым по формуле (19), для соответствующих кругов необходимо учитывать составляющие, связанные с депланацией прямоугольного сечения [7]. Тогда, складывая составляющие касательных напряжений при кручении τt, A,xy , τt, A,xz , τdep, yx и τdep,zx , получим результирующие напряжение разбивки на квадраты с вписанными в них кругами. При этом для определения касательных напряжений кручения в произвольной точке А в соответствующем круге поперечного сечения, расположенном на расстоянии х от опоры, вначале отыскиваются касательные напряжения для этой точки в большом круге после «растворения» его статико-геометрических характеристик по этому кру- τsum, A . τsum, A = ( )2 ( )2 гу, которые затем суммируются с касательными напряжениями малого круга для этой же точки А. В пределах большого и каждого i-ого круга становится справедливой зависимость касательных напряжений кручения от расстояния до центра рас- = τt, A,xy + τdep,sum,xy § τt, A,xz + τdep,sum,xz , (20) сматриваемого круга, до произвольной точки А, расположенной в большом круге, в i-том малом где τdep,sum,xy, и τdep,sum,zx - суммарные составкруге. Максимальные напряжения, согласно предляющие касательных напряжений депланации, общей и местной, усредненные в i-том круге. Разработанную методику также можно применять для стержней составного сечения, но при этом необходимо принимать во внимание, что распределение действующего в поперечном сечении крутящего момента выполняется пропорционально соотношениям между общей сдвиговой жесткостью поперечного сечения и сдвиговой жесткостью каждого из приведенных малых кругов (на которые разбито поперечное сечение) относительно общего геометрического центра поперечного сечения: лагаемой методике, достигаются в серединах длинных сторон прямоугольника, что соответствует их действительному распределению. При этом такая модель позволяет снять вопрос о необходимости использования специальных таблиц для расчета и не только в упругой стадии. Предлагаемый подход также позволяет отделить напряженно-деформированное состояние в целом наборе круглых сечений от дополнительного поля, связанного с депланацией прямоугольного сечения. Нами откорректированы и существенно дополнены зависимости для учета депланации стержня прямоугольного поперечного сечения, введено Mt,1 = M At,1 × G1 = M t At × G1 t At,2 × G2 At,1 , At понятие и предложены зависимости для учета местной депланации. Акцентируется внимание на физической сути продольных перемещений, обусловленных депланацией, проводится аналогия с эле- Mt,2 = Mt A × G , ... ментарными перемещениями, вызываемыми сдвиt 1 говыми усилиями. Предложенная методика позволяет учитывать Mt,i = Mt At,i × Gi , At × G1 (21) концентрацию угловых деформаций во входящих углах и других резко изменяющихся геометрических параметрах как относительно плоскости погде G1, G2 , Gi - модули сдвига для 1, 2 и i-того перечного сечения, так и в направлении продольмалых кругов соответственно (для кругов, попадающих в большой круг, но выходящих за контуры поперечного сечения стержня произвольной формы, принимаются равным нулю). ной оси стержня. При этом используется прием, аналогичный введенному в теорию железобетона В.И. Мурашевым [14], который применим и после появления трещин в железобетонных стержнях.

South-West State University

Author for correspondence.
Email: vlik52@mail.ru
94 50 Let Oktyabrya St., Kursk, 305040, Russian Federation

DSc. in Technical Sciences, Professor of the Department of Unique Buildings and Structures

### Aleksej I. Demyanov

South-West State University

Email: vlik52@mail.ru
94 50 Let Oktyabrya St., Kursk, 305040, Russian Federation

PhD in Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Unique Buildings and Structures

### Nikolay V. Naumov

South-West State University

Email: vlik52@mail.ru
94 50 Let Oktyabrya St., Kursk, 305040, Russian Federation

graduate student of the Department of Unique Buildings and Structures.

• Golyshev A.B. (2009). Soprotivlenie zhelezobetona [The resistance of reinforced concrete]. Kiev, Osnova Publ., 432. (In Russ.)
• Bondarenko V.M. (2004). Raschetnye modeli silovogo soprotivleniya zhelezobetona [The computational model of a power resistance of reinforced concrete]. Moscow, ASV Publ., 472. (In Russ.)
• Iakovenko I., Kolchunov V., Lymar I. (2017). Rigidity of reinforced concrete structures in the presence of different cracks. MATEC Web of Conferences. 6th International Scientific Conference “Reliability and Durability of Railway Transport Engineering Structures and Buildings”. Transbud–2017, 116, 02016, 1–12. doi: 10.1051/ matecconf/201711602016
• Demyanov A., Kolchunov Vl. (2017). The dynamic loading in longitudinal and transverse reinforcement at instant emergence of the spatial сrack in reinforced concrete element under the action of a torsion with bending. Journal of Applied Engineering Science, 15, 456, 377–382. doi: 10.5937/jaes15-14663.
• Jariwalaa V.H., Patel P.V., Purohit S.P. (2013). Strengthening of RC Beams Subjected to Combined Torsion and Bending with GFRP Composites. Procedia Engineering, 51, 282–289.
• Rahal K.N., Collins M.P. (2006). Compatibility Torsion in Spandrel Beams Using Modified Compression Field Theory. ACI Structural Journal, 103(3), 328–338.
• Demyanov A.I., Kolchunov Vl.I. (2018). To the approximation of rectangular and complex cross-sections of reinforced concrete structures under the action torsion with bending. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 456, 012104, 1–12. doi: 10.1088/1757-899X/. 456/1/012104
• David A.E., Thomas L.H., Simon A.N., Jonathan E.C. (2018). Veering and nonlinear interactions of a clamped beam in bending and torsion. Journal of Sound and Vibration, 416, 1–16.
• Loïc B., Guilhem M., Rached F., Bruno C. (2016). Static and dynamic analysis of bending-torsion coupling of a CFRP sandwich beam. Composite Structures, 145, 26–36. doi: 10.1016/j.compstruct.2016.02.055.
• Ogawa Y., Kawasaki Y., Okamoto T. (2014). Fracture behavior of RC members subjected to bending shear and torsion using acoustic emission method. Construction and Building Materials, 67, 165–169. doi: 10.1016/ j.conbuildmat.2014.05.100
• Lukina A.A., Kholopova I.S., Alpatova V.Y., Solovieva A.V. (2016). Beams with corrugated web: calculation peculiarities of bending torsion analysis. Procedia Engineering, 153, 414–418. doi: 10.1016/j.proeng.2016.08.143.
• Kashani M.T., Hashemi S.M. (2018). A finite element formulation for bending-torsion coupled vibration analysis of delaminated beams under combined axial load and end moment. Shock and Vibration, 2018, 1348970, 1–13.
• Kolchunov Vl.I., Demyanov A.I. (2019). K opredeleniyu napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya sterzhney proizvolnogo poperechnogo secheniya pri kruchenii metodami soprotivleniya materialov [To determination of stress-strain state for a rod of arbitrary cross-section under torsion using resistance of materials]. Buildings and Reconstruction, 81(1), 10–22. (In Russ.)
• Murashev V.I. (1950) Treshchinoustoychivost, zhestkost i prochnost zhelezobetona [Crack resistance, stiffness and strength of reinforced concrete]. Moscow, Mashstroyizdat Publ., 268. (In Russ.)

#### Views

Abstract - 153

PDF (Russian) - 132

#### PlumX

Copyright (c) 2019 Kolchunov V.I., Demyanov A.I., Naumov N.V.