Numerical analysis of the stress-strain state of thin shells based on a joint triangular finite element

Cover Page

Abstract


Relevance. The use of the finite element method for determining the stressstrain state of thin-walled elements of engineering structures predetermines their discretization into separate finite elements. Splitting irregular parts of the structure is impossible without the use of triangular areas. The triangular elements of shell structures are joint in displacements and in their derivatives only at the nodal points. Therefore, ways to improve the compatibility conditions at the boundaries of triangular elements are relevant. Aims of research. The aim of the work is to improve the compatibility conditions at the boundaries of adjacent triangular elements based on equating the derivatives of normal displacements in the middle of the boundary sides. Methods. In order to improve the compatibility conditions at the boundaries of triangular elements in this work, the Lagrange functional is used with the condition of ensuring equality in the middle of the sides of adjacent elements derived from normal displacements in the directions of perpendiculars tangent to the middle surface of the shell. Results. Using the example of analysing an elliptical shell, the efficiency of using a joint triangular finite element is shown, whose stiffness matrix is formed in accordance with the algorithm outlined in this article.


Введение1 Конструкции из тонких оболочек находят самое широкое применение в строительстве и архитектуре [1; 2], машиностроении, авиастроении, химической, нефтяной и газовой промышленностях и т.д. При проектировании и реконструкции такого рода объектов в настоящее время используют чис- 1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Администрации Волгоградской области в рамках научного проекта № 18-41-340007 р_а. © Клочков Ю.В., Николаев А.П., Вахнина О.В., 2019 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License ленные методы анализа их напряженно-деформированного состояния (НДС) с применением высокопроизводительной вычислительной техники [3- 7]. Одним из наиболее распространенных численных методов анализа НДС тонкостенных конструкций является метод конечных элементов (МКЭ) в различных формулировках [8-18]. Несмотря на значительное количество публикаций, посвященных данной проблематике, по-прежнему актуальной является задача совершенствования конечно элементных алгоритмов в плане решения проблем совместности используемых конечных элементов, повышения точности численных решений и других важных аспектов по данному направлению. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ 117 Klochkov Yu.V., Nikolaev A.P., Vakhnina O.V. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 2019, 15(2), 117-126 1. Геометрические соотношения где = a a a ) a ( 0 0 0 0 2 11 22 12 - детерминант метриче- Срединная поверхность может быть задана радиус-вектором ского тензора, компоненты которого определяются скалярными произведениями r r r r r r R0 = x (θ1 ,θ2 )i + y (θ1 ,θ2 ) j + z (θ1 ,θ2 )k , (1) a0 = a0 × a0 = 1+ (r )2 ; 11 1 1 , x 0 r0 r0 где (θ1 , θ2 ) - криволинейные координаты поверхa12 = a1 × a2 = r, x × r,θ ; ности оболочки. 0 r0 r0 2 2 Выражение (1) может быть конкретизировано для оболочек различного типа. Например, для трехосного эллипсоида оно выглядит следующим образом a22 = a2 × a2 = (r,θ ) + r . Здесь под r понимается функция r ( x,θ) (8) или r r r r r (θ) , определяемая по (3) или (4). R0 = xi + r ( x,θ)sinθ j + r ( x,θ)cosθ k , (2) Производные локального базиса точки M0 где θ - угловая координата, отсчитываемая против хода часовой стрелки от вертикальной оси в поперечном сечении эллипсоида плоскостью, пермогут быть получены по деривационным формулам [19] r0 0ρ r0 0 r0 r0 0ρ r0 пендикулярной оси Ox . Входящая в (2) функция r ( x,θ) имеет вид aα,β = Гαβ aρ + bαβ a ; a,α = -bα aρ , (9) r ( x,θ) = (1-( x / a)2 )bc / c2 sin2 θ + b2 cos2 θ, (3) где 0 Г αβ 0ρ - символы Кристоффеля второго рода; 0ρ bαβ и bα - ковариантные и смешанные компогде a, b и c - параметры трехосного эллипсоида ненты тензора кривизны. Здесь и ниже греческие индексы последовательно принимают значения 1, 2. при записи его уравнения в каноническом виде В процессе деформирования оболочечной кон- (x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1). струкции точка M0 и отстоящая от нее на Если в формуле (3) первый сомножитель расстоянии ζ точка M 0ζ займут новые почислителя принять равным единице, то можно получить следующее выражение ложения M и рами M ζ , определяемые радиус-вектоr r r r r r r (θ) = bc / c2 sin2 θ + b2 cos2 θ. (4) r ρ r0 R = R0 + v; r0 Rζ = R + ζ a, (10) Заменяя в (2) функцию r ( x,θ) формулой (4), где v = v aρ + va 0 - вектор перемещения точможно получить выражение для радиус-вектора эллиптического цилиндра: r r r r ки M . Входящий во вторую формулу (10) орт нормали a точки M определяется векторным произведением R0 = xi + r (θ)sinθ j + r (θ)cosθ k .¨ (5) Дифференцированием (2) или (5) по x и θ можно получить касательные векторы локальноr r r a = a1 ´ a2 / a , r r 2 (11) го базиса в произвольной точке M0 поверхности где aα = R,α ; a = a11a22 - (a12 ) - детерминант оболочки: r r r r 0 0 0 0 метрического тензора деформированного состояния, который может быть представлен в виде a1 = R,x ; a2 = R,θ . (6) 0 ( ρ ) Орт нормали в точке M 0 определяется выраa = a 1+ 2ερ , (12) жением ε ρ где ρ - смешанные компоненты тензора дефорr 0 r 0 r 0 0 маций оболочки в точке срединной поверхности. a = a1 ´ a2 / a , (7) 118 NUMERICAL METHODS OF ANALYSIS OF STRUCTURES Клочков Ю.В., Николаев А.П., Вахнина О.В. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2019. Т. 15. № 2. С. 117-126 Дифференцированием (11) можно получить ì ü производные орта нормали к деформированной { L }T í{ 1L }T { 2 L }T { L }T ý; Uy = vy vy vy (17) поверхности оболочки 1´27 î 1´9 1´9 1´9 þ r r r r r r r G T ì 1G T 2G T G T ü a,α = (a1,α ´ a2 + a1 ´ a2,α ) a +(a1 ´ a2 )(1 ) a , (13) ,α {U y } = í{vy } {vy } {vy } ý, (18) 1´27 î 1´9 1´9 1´9 þ где 1 a » (1- ερ ) a0 . L Т i j k i j k i j k ρ Деформации в точке M ζ определяются где {qy } = {q q q q,ξ q,ξ q,ξ q,η q,η q,η }; G Т i j k i j k i j k известным соотношением механики сплошной среды [20]: {qy } ={q q q q,x q,x q,x q,θ q,θ q,θ }. Здесь под q понимается компонента вектора ζ ( 0 ) 1 2 εαβ = gαβ - gαβ / 2, (14) перемещения v , v или v. где r r r r Компоненты вектора перемещения точки внутренней области конечного элемента выражаются через их узловые значения с помощью интерпоg = g × g = Rς × Rς ; αβ α β ,α ,β ляционных зависимостей вида [7-18] r r r r r r g0 = g × g0 = (R0 + ζa0 ) ×(R0 + ζa0 ) . { }T { L }T αβ α β ,α ,β q = φ qy , (19) Соотношения (14) могут быть представлены суммой T где {φ} 1´9 9´1 - матрица-строка функций формы, со- αβ αβ αβ εζ = ε + ζÀ , r r r r (15) держащая двумерные полиномы третьей степени. Рассматриваемый треугольный конечный элемент является совместным по компонентам вектора где ε = (a 0 × v + v × a 0 ) 2 ; перемещения, но несовместным по их производ- αβ α ,β ,α β ным. Если вычислить производные нормальной ( r0 r r r0 r r0 r r r0 0ρ r0 компоненты вектора перемещения вдоль нормалей Àαβ = aα × a,β + v,α × aβ + aα × aβ + a,α × v,β + aα ×bβ × aρ к сторонам конечного элемента в точках 1, 2, 3, со- 0ρ r0 r0 ) ответствующих серединам сторон, то в значениях +bα × aρ × aβ 2. этих производных в смежных элементах I и II будет наблюдаться различие (рис. 1). 2. Треугольный конечный элемент В качестве конечного элемента был выбран фрагмент срединной поверхности тонкой оболочки треугольной формы с узлами i, j, k, расположенными в его вершинах. Для реализации процедуры численного интегрирования по площади конечного элемента треугольный фрагмент срединной поверхности отображается на прямоугольный треугольник с локальной системой координат 0 £ ξ, η £ 1. Глобальные координаты x и θ точки внутренней области конечного элемента выражаются через глобальные координаты узлов зависимостями x = (1-ξ - η) xi + ξ x j + η xk ; θ = (1- ξ - η)θi + ξθ j + ηθk . (16) Рис. 1. Векторы нормалей в смежных элементах [Figure 1. Vectors of normals in adjacent elements] Столбец узловых варьируемых параметров конечного элемента в локальной ξ,η и глобальной x, θ системах координат был выбран в следующем виде: m m¢ ¶v ¶v r ¹ r , (20) ¶nm ¶nm¢ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ 119 Klochkov Yu.V., Nikolaev A.P., Vakhnina O.V. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 2019, 15(2), 117-126 где индексы m и m¢ принимают значения до- ¶v ¶v ¶v 2 полнительных узлов 1, 2, 3, и 1¢, 2¢, 3¢ (рис. 1) соответственно. r ¶n2 = cos γ + cos δ = ¶x ¶θ что при Отмеченное различие обусловлено тем, r = é( T {φ,ξ } × ξ, x + T {φ,η} o η, x )cos γ + вычислении, например, производных ¶v2 ¶n2 и êë ¶v2¢ ¶n2¢ в точках 2 и 2¢ смежных элементов I и + ({φ,ξ } × ξ,θ + {φ,η} η,θ )cos δúû {vy }, (24) r II используются значения нормальной компонен- T T ù L r ты вектора перемещения в узлах i и i¢ , находягде γ и δ - углы между нормалью n2 и векторащихся за пределами общей границы j - k ных элементов I и II. смежми локального базиса в данной точке (рис. 1). Для смежного элемента II соотношения (23) Решение отмеченной проблемы совместности треугольных конечных элементов предлагается осуществить за счет использования множителей Лагранжа. Тогда выражение (20) может быть заи (24) берутся с противоположным знаком. Если рассматривать треугольный элемент I в отдельности, то для него можно записать равенство писано в следующем виде: ¶ r 1 2 λ ¶v1 + λ n1 ¶ r 3 ¶v2 + λ n2 ¶ r ¶v3 = 0. n3 (25) æ ¶v ¶v ö λ m - m¢ = 0, (21) m ç r r ÷ ç nm nm ÷ С учетом (22)-(24) соотношение (25) можно è ¶ ¶ ¢ ø представить в матричном виде где λm - множитель Лагранжа в дополнительном é ù ì¶v1 ü r узле m . 1 T ï¶n ï ï ï {d1} [PR ] ê 1´27 27´27 ú Входящие в (21) производные нормальной ï¶v ï ê ú G G компоненты вектора перемещения вдоль норма- {λ}T r2 ={λ}T {d }T [P ] {U } ={λ}T [D]{U } = 0, (26) í ý 2 R y y r 1´3 ï¶n2 ï 1´3 ê 1´27 27´27 ú 27´1 1´3 3´27 27´1 ê T ú лей к серединам сторон nm могут быть выраже- ¶v3 {d } [P ] ны через столбцы (17) и (18) узловых неизвест- ï r êë úû ï ï î¶n þï 3 1´27 R 27´27 ных треугольного конечного элемента: 3 3´27 3´1 T ¶vm = {d }Т {U L } = {d }Т [P ]{U G }, (22) где {λ} = {λ1 λ2 λ3}. r m y m R y ¶nm 1´27 27´1 1´27 27´27 27´1 Функционал Лагранжа для треугольного элемента с учетом дополнительного условия (26) загде [PR ] } y - матрица перехода от столбца {U L к пишется в виде T T = { ς } { αβ} V +{ } [D]{U G }y столбцу {U G}. ФL ò V εαβ o d λ y Структура входящих в (22) матриц-строк {dm } зависит от ориентации треугольных конечных элементов на срединной поверхности обо- -ò {U}T {P}dF, F T T (27) лочки. Если сетку дискретизации сориентировать где { ς } { ς ς ς } { αβ } { 11 22 12} εαβ = ε11 ε22 2ε12 ; σ = σ σ σ - вдоль линий главных кривизн (рис. 1), то для матрицы-строки деформаций и напряжений в точке треугольного элемента I будут справедливы зависимости M ζ ; {U}T = {v1 v2 v} - матрица-строка компо- ¶v1 ¶v ( = - {φ }T ×ξ +{φ }T ×η ){vL }; нент вектора перемещения точки M ;{P} - стол- ¶ r =n1 ¶θ ,ξ ,θ ,η ,θ y бец внешней поверхностной нагрузки. Столбец {σαβ } на основании закона Гука [20] ¶v ( ¶v3 = - {φ }T ×ξ +{φ }T ×η ){vL }. (23) может быть представлен матричным произведением ¶ r =n3 ¶x ,ξ ,x ,η ,x y { αβ } [ ]{ ς } Для узла 2 на стороне j - k треугольного ко- σ 3´1 = C 3´3 εαβ , 3´1 (28) нечного элемента можно записать следующее выражение: где [C] - матрица упругости. 3´3 120 NUMERICAL METHODS OF ANALYSIS OF STRUCTURES Клочков Ю.В., Николаев А.П., Вахнина О.В. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2019. Т. 15. № 2. С. 117-126 Деформации в произвольном слое оболочки, отстоящем на расстоянии ζ от срединной поверхности, с учетом (15) и (19) могут быть представлены в виде произведения матриц: 3. Пример расчета Была рассчитана эллипсоидальная оболочка, поверхность которой описывается радиус-вектором (5). Эллиптический цилиндр загружен в середине дву- { ς } [ ]{ } εαβ = Г εαβ = мя диаметрально противоположными сосредоточенными силами Q (рис. 2). Приняты следующие [ ][ ]{ L } [ ][ ][ ]{ G }. исходные данные: Q = 453, 6 Н; длина образую- = Г B Uy = Г B PR Uy (29) 4 С учетом (28) и (29) функционал (27) преобщей L = 26см; модуль упругости 7, 38 ´10 МПа; разуется к виду коэффициент Пуассона n = 0,3125 ; толщина Ф ={UG}T [P ]T ò[B]T [Г]T [C][Г][B]dV [P ]{UG}+ стенки t = 0,24 см; параметры эллиптического L y R R y V поперечного сечения b = 12,58 см, c = 11,43 см. y y R +{λ}Т [D]{U G }-{UG }T [P ]T ò [ A]T {P}dF , (30) В силу наличия плоскостей симметрии рассчитана 1/8 часть эллиптического цилиндра. é{φ}T {0}T F {0}T ù ê ú где [ A] = ê{0}T {φ}T {0}T ú - матрица функ- 3´27 ê ú ê{0}T {0}T {φ}T ú ë û ций формы. y Выполняя минимизацию (30) по {U G }T и {λ}T , получим следующую систему уравнений: ì ¶ФL ï G T = [К ]{U G }+ [D]Т {λ}-{F} = 0; ï¶{U y } í 27´27 y 27´1 27´3 3´1 27´1 (31) Рис. 2. Расчетная схема эллиптического цилиндра ï ¶ФL ï T î¶{λ} y = [D]{U G } = 0, 3´27 27´1 [Figure 2. Elliptical cylinder design] Расчеты проводились в двух вариантах: R где [К ] = [P ]T ò [B]T [Г]T [C][Г][B]dV ; 27´27 V R {F} = [P ]T ò [ A]T {P}dF . в первом варианте использовался треугольный конечный элемент без множителей Лагранжа с матрицей жесткости [К ] порядка 27 ´ 27 ; во втором варианте применялся совместный элемент с мат- 27´1 F Систему (31) можно записать в более комрицей жесткости [Кλ ] размерностью 30 ´ 30 . пактной форме: λ} = {Fλ }, G [Кλ ]{U y (32) В качестве контрольного варианта использован четырехугольный конечный элемент также с девятью степенями свободы в узле (17), (18) с по- 30´30 30´1 30´1 рядком матрицы жесткости 36 ´ 36 [21]. Резуль- é[К ] [D]T ù таты повариантных расчетов представлены в таблице, в которой приведены численные значения где [К ] = ê27´27 27´3 ú; нормальных напряжений σxx и σθθ на внутрен- λ 30´30 ê ú ê[D] [0] ú ней σin и наружной σout поверхностях оболочки ë 3´27 3´3 û в точке N с координатами x = L 2; θ = π 2 , G T ì G T T ü Т ì ü {U y λ} = í{U y } {λ} ý; {Fλ } = í{F}{00 0}ý. а также величины прогиба v под сосредоточенной 1´30 î 1´27 1´3 þ 1´30 î 1´27 1´3 þ силой Q в зависимости от густоты сетки дискретизации. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ 121 Klochkov Yu.V., Nikolaev A.P., Vakhnina O.V. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 2019, 15(2), 117-126 Значения напряжений и прогиба [Table. Stress and deflection values] Таблица Напряжения (МПа) в точке N с координатами x = L 2 , θ = π 2 [Stress (MPa) in N point with coordinates x = L 2, θ = π 2 ] Вариант расчета [Variant of calculation] Четырехугольный КЭ [Quadrilateral CE] [21] I II Сетка дискретизации [Sampling grid] 6×6 7×7 8×8 6×6 7×7 8×8 7×7 σin xx 8,67 12,12 14,04 -11,59 -10,87 -10,36 -15,22 σout xx -13,23 -15,67 -17,06 10,47 10,56 10,45 12,02 σin θθ -21,15 -17,07 -14,55 -47,01 -46,18 -45,52 -46,95 σout θθ 17,31 15,02 13,40 37,05 38,16 38,47 40,68 Прогиб под силой Q [Deflection under force Q] v × 10-2 м -0,2997 -0,2985 -0,2968 -0,2651 -0,2662 -0,2666 -0,2771 Как видно из таблицы, численные значения нормальных напряжений кардинально различаются между собой в зависимости от варианта расчета. Значения прогиба под сосредоточенными силами в первом варианте расчета оказались завышенными примерно на 12 % по сравнению со xx Так, в первом варианте расчета σin на внутренней вторым вариантом расчета. поверхности оказались растягивающими, а на наружной - сжатыми. В действительности же, если проанализировать деформированное состояние обо- В крайней правой колонке таблицы представлены численные значения нормальных напряжений и прогиба, полученные при использовании лочки в сечении, перпендикулярном оси Ox, прочетырехугольного конечного элемента 36 ´ 36 при ходящем через точки приложения сил Q (рис. 3), можно отметить, что внутренняя поверхность эллиптического цилиндра в точке N сжата, а наружная - растянута, что и наблюдается во втором варианте расчета. сетке дискретизации 7 ´ 7 . Сопоставляя результаты повариантных расчетов со значениями крайней правой колонки, можно отметить следующее. Напряжения σxx , полученные при использовании четырехугольного элемента 36 ´ 36 , имеют такие же знаки, что и напряжения второго варианта расчета. Напряжения σθθ , которые существенно больше, чем σxx во втором варианте расчета, практически совпали или достаточно близки по своим значениям, полученным при применении четырехугольного элемента. Значения σxx в первом варианте можно признать неприемлемыми из-за несоответствия картине деформирования оболочки, а значения σθθ оказались в 4 раза заниженными по сравнению со вторым и контрольным вариантами расчета. Заключение Рис. 3. Деформация цилиндра [Figure 3. Cylinder deformation] На основании выполненного анализа НДС тонкой оболочки в виде эллиптического цилиндра, за- 122 NUMERICAL METHODS OF ANALYSIS OF STRUCTURES Клочков Ю.В., Николаев А.П., Вахнина О.В. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2019. Т. 15. № 2. С. 117-126 груженного системой двух сосредоточенных сил, можно заключить, что использование несовместных треугольных элементов приводит к существенным погрешностям расчета, вплоть до неприемлемых. Для корректного анализа НДС тонких оболочек необходимо использовать совместный треугольный элемент, матрица жесткости которого формируется в соответствии с алгоритмом, изложенным в настоящей статье.

Yuriy V Klochkov

Volgograd State Agricultural University

Author for correspondence.
Email: klotchkov@bk.ru
SPIN-code: 9436-3693
26 University Ave., Volgograd, 400002, Russian Federation

DSc. in Technical Sciences, Professor, Head of the Higher Mathematics Department, Volgograd State Agricultural University. He published 165 scientific articles, 4 monographs, 4 titles of educational literature

Anatoliy P Nikolaev

Volgograd State Agricultural University

Email: anpetr40@yandex.ru
SPIN-code: 2653-5484
26 University Ave., Volgograd, 400002, Russian Federation

DSc. in Technical Sciences, Professor, Professor of the Applied Geodesy, Environmental Engineering and Water Use Department, Volgograd State Agricultural University. He published 149 scientific articles, 6 monographs, 5 titles of educational literature

Olga V Vakhnina

Volgograd State Agricultural University

Email: ovahnina@bk.ru
SPIN-code: 3593-0159
26 University Ave., Volgograd, 400002, Russian Federation

PhD in Technical Sciences, Associate Professor of Higher Mathematics Department, Volgograd State Agricultural University. She published 47 scientific articles, 1 monograph, 8 titles of educational literature.

  • Krivoshapko S.N., Gbaguidi-Aisse G.L. (2016). Geometry, static, vibration and bucking analysis and applications to thin elliptic paraboloid shells. The Open Construction and Building Technology Journal, 10, 3-28.
  • Krivoshapko S.N., Galishnikova V.V. (2015). Arhitekturno-stroitel’nye konstrukcii: uchebnik dlya akademicheskogo bakalavriata [Architectural and building structures: a textbook for academic undergraduate]. Moscow: Urait Publ., 476. (In Russ.)
  • Storozhuk E.A., Chernyshenko I.S., Yatsura A.V. (2018). Stress-Strain State Near a Hole in a Shear-Compliant Composite Cylindrical Shell with Elliptical Cross-Section. International Applied Mechanics, 54(5), 559-567.
  • Pyatikrestovskiy K.P., Travush V.I. (2015). O programmirovanii nelineynogo metoda rascheta derevyannyh konstruktsiy [On programming nonlinear method for calculating wooden structures]. Academia. Arhitektura i stroitel’stvo, (2), 115-119. (In Russ.)
  • Kim A.Yu., Polnikov S.V. (2016). Sravnenie ehksperimental'nogo i chislennogo issledovaniya bol'sheproletnogo pnevmaticheskogo linzoobraznogo sooruzheniya [Comparison of experimental and numerical studies of largespan pneumatic lenticular structures]. Nauchnoe obozrenie, (15), 36-41. (In Russ.)
  • Khayrullin F.S., Sakhbiev O.M. (2016). Metod opredeleniya napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya trekhmernykh konstruktsiy slozhnoy formy [The method for determining the stress-strain state of three-dimensional structures of complex shape]. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, (1), 36-42. (In Russ.)
  • Kayumov R.A. (2016). Bol'shie progiby balok, arok i panelej v uprugoj srede s uchetom deformacij sdviga [Large deflections of beams, arches and panels in an elastic medium with regard to shear deformations]. Dinamicheskie i tekhnologicheskie problemy mekhaniki konstrukcij i sploshnyh sred: materialy XXII Mezhdunarodnogo simpoziuma imeni A.G. Gorshkova, 111-113. (In Russ.)
  • Ignat’ev A.V., Ignat’ev V.A., Gazmatova E.A. (2018). Raschet tonkih plastin po metodu konechnih elementov v forme klassicheskogo smeshannogo metoda s isklyucheniem peremesheniy konechnih elementov kak zhestkogo tselogo [Analysis of thin plates according to the finite element method in the form of the classical mixed method with the exception of the displacements of finite elements as a rigid whole]. Izvestiya visshih uchebnih zavedeniy. Stroitel’stvo, 3(711), 5-13. (In Russ.)
  • Golovanov A.I., Tyuleneva O.N., Shigabutdinov A.F. (2006). Metod konechnih elementov v statike i dinamike tonkostennyh konstruktsiy [The finite element method in statics and dynamics of thin-walled structures]. Moscow: Fizmatlit Publ., 392. (In Russ.)
  • Zheleznov L.P., Kabanov V.V., Boiko D.V. (2018). Nelineynoye deformirovaniye i ustoychivost' diskretno podkreplennykh ellipticheskikh tsilindricheskikh kompozitnykh obolochek pri kruchenii i vnutrennem davlenii [Nonlinear deformation and stability of discretely supported elliptical cylindrical composite shells under torsion and internal pressure]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Aviatsionnaya tekhnika, (2), 27-34. (In Russ.)
  • Sheshenin S.V., Bakhmetev S.G. (2014). Model effektivnogo sloya dlya rezinokordnogo meteriala [Effective layer model for the rubber-cord material]. Vestnik Moskovskogo universiteta. Seriya 1: Matematika. Mekhanika, (5), 41-45. (In Russ.)
  • Agapov V.P., Aydemirov K.R. (2016). Raschet ferm metodom konechnyh elementov s uchetom geometricheskoy nelineynosti [Analysis of farms by the method of finite elements taking into account the geometric nonlinearity]. Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitel’stvo [Industrial and civil engineering], (11), 4-7. (In Russ.)
  • Nguyen N., Waas A.M. (2016). Nonlinear, finite deformation, finite element analyses. Z. Angew. Math. and Phys., 67( 9), 35/1-35/24.
  • Lei Z., Gillot F., Jezeguel L. (2015). Developments of the mixed grid isogeometric Reissner - Mindlin shell: serendipity basis and modified reduced quadrature. Int. J. Mech, 54, 105-119.
  • Hanslo P., Larson M.G., Larson F. (2015). Tangential differential calculus and the finite element modeling of a large deformation elastic membrane problem. Comput. Mech, 56(1), 87-95.
  • Yamashita H., Valkeapaa A.I., Jayakumar P., Syqiyama H. (2015). Continuum mechanics based bilinear shear deformable shell element using absolute nodal coordinate formulation. Trans. ASME. J. Comput. and Nonlinear Dyn, 10(5), 051012/1-051012/9.
  • Ren H. (2015). Fast and robust full guadrature triangular elements for thin plates/shells, with large deformations and large rotations. Trans. ASME. J. Comput. and Nonlinear Dyn,10(5), 051018/1-051018/13.
  • Sartorato M., de Medeiros R., Tita V. (2015). A finite element formulation for smart piezollectric composite shells: mathematical formulation, computational analysis and experimental evaluation. Compos. Struct., (127), 185-198.
  • Pogorelov A.V. (1974). Differencial'naja geometrija [Differential geometry]. M.: Nauka Publ., 176. (In Russ.)
  • Sedov L.I. (1976). Mekhanika sploshnoy sredy [Continuum mechanics]. M.: Nauka Publ., 574. (In Russ.)
  • Klochkov Y.V., Nikolaev A.P., Kiseleva T.A., Marchenko S.S. (2016). Comparative analysis of the results of finite element calculations based on an ellipsoidal shell. Journal of machinery manufacture and reliability, 45(4), 328-336.

Views

Abstract - 179

PDF (Russian) - 138

PlumX


Copyright (c) 2019 Klochkov Y.V., Nikolaev A.P., Vakhnina O.V.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.