Flat geometric-nonlinear shear strains

Cover Page

Abstract


Aims. The problem of differential equation construction characteristics and balances is being analyzed; and also the definitions of the planar wave rotational deformation travel time in the continuum, the mechanical character of which is described by the mathematical models geometrically nonlinear analogues in continuous body, the stress-strain stain of which is described by the undefined, basically, by the cross-connections between the first tensor invariant and the second invariant deviator of the stresses and nonlinear deformations. Methods. As an example let’s plot the specific speed of the transverse waves depending on the intensive rotational transverse deformation and the meanings of the material mechanical constants for the three mathematical models of the continuum: model 1 corresponds to the geometrically nonlinear analogue of the elasticity linear theory; model 2 corresponds to the geometrically nonlinear analogue of the small quantity elastoplastic strain theory; model 3 corresponds to geometrically nonlinear analogue of deformation theory of the loose medium plasticity. Conclusions. It is stated that in half-subspace the mechanical behavior of which is described by the deformation theory equations of the loose medium plasticity, the shock waves can appear in continuous boundary conditions.


Введение Задача определения напряженного и деформированного состояний полупространства при действии на его поверхности динамических нормальных p(t) и касательных q(t) нагрузок сводится к исследованию закономерностей распространения волн деформаций в сплошной среде и определению их параметров. Для сплошной среды, механическое поведение которой описывается уравнениями теории пластического течения, либо уравнениями динамики грунтов С.С. Григоряна, либо уравнениями билинейной теории пластичности, обзор решений данной задачи изложен в монографии [1]. Исследованию закономерностей распространения двумерных продольно-поперечных волн деформаций в сплошной среде, механическое поведение которой описывается перекрестными зависимостями между первыми инвариантами тензоров и вторыми инвариантами девиаторов напряжений и деформаций с учетом и без учета геометрической нелинейности, посвящены работы [2] и [3]. Вопросы распространения плоских одномерных и двумерных волн деформаций слабого разрыва для таких сред рассматривались в работе [4]. Во многих работах последнего времени пристальное внимание уделяется вопросам распространения волн деформаций сдвига. Так, в работе [5] рассматривалось распространение сдвиговой волны в упруго-пластической среде, поведение которой описывается перекрестными зависимостями между первыми инвариантами тензоров и вторыми инвариантами девиаторов напряжений и деформаций. Ставилась задача определения возможности генерации второй гармоники сдвиговой волны, не описываемой в рамках классической теории упругости. Исходя из общих уравнений плоской задачи теории упругости в работе [6] построены уравнения уточненной теории статического и динамического изгибов длинной упругой полосы, учитывающей сдвиговые деформации. Исследование свойств образующихся волн сдвига при ударе позволило разработать новую модель разрушения высокого здания. Исследование структуры и условия реализуемости поперечных диссипативных ударных волн конечной амплитуды с учетом вязких и температурных эффектов выполнено в работе [7] на основе теории течения пластической среды при чистом сдвиге. Показано, что локализация деформаций сдвига в узких зонах с последующим образованием контактных разрывов возможна в случае температурного разупрочнения материала. Отмечено, что в рамках теории малых деформаций теория разрывных решений типа упругопластических ударных волн изучена достаточно подробно. Исследование одномерных решений, описывающих плоские продольные, поперечные сдвиговые с вращением частиц, а также крутильные волны, выполнено в работе [8]. В качестве механической модели сплошной среды рассматривалась математическая модель континуума Коссера. Вывод динамических уравнений Пусть на поверхности полупространства в направлении оси Y действует равномерно-распределенная сдвигающая нагрузка q(t), бесконечно протяженная в направлении осей Y и Z (рис. 1). Рис. 1. Расчетная схема [Figure 1. The design scheme] Полупространство будет находиться в условиях плоской деформации. Компоненты перемещений в полупространстве будут определяться соотношениями В работе [9] на основе анализа сейсмических сдвиговых волн деформаций и температуры выявu = 0, v = v ( x,t ) , w = 0. (2) ляется переходная зона от упругих к пластичным деформациям в земной коре. Решение строится методом сеток с пошаговым применением метода При этом компоненты тензора деформации при учете геометрической нелинейности, действующие в плоскости XOY, будут равны [4] Рунге - Кутты. Исследованию механического поведения алю- * ¶u ε = + 1 éæ ¶u ö2 êç ÷ + ¶v ù = 2 æ ö ç ÷ ú 2 1 æ ¶v ö ç ÷ = ε* ( x,t ) , x x миниевых сот под воздействием динамической ¶x 2 ëè ¶x ø è ¶x ø û 2 è ¶x ø мультиаксиальной нагрузки посвящена экспериментальная работа [10]. Выявлено существенное ¶v e* = + 1 éæ ¶u ö2 ê 2 æ ¶v ö ù + ú = 0, ε* = 0, влияние на напряженное-деформированное состояние алюминиевых сот угла наклона действующей y ¶y 2 ê ¶y ¶y ç ÷ ç ÷ z ëè ø è ø úû нагрузки. γ* = γ* ¶u ¶v ¶u ¶u ¶v ¶v ¶v * = + + + = = γ ( x,t ) , xy yx xy К сожалению, вопросы распространения плос- ¶y ¶x ¶x ¶y ¶x ¶y ¶x ких волн деформаций сдвига в сплошных и дис- γ* = γ* = 0, γ* = γ* = 0. (3) кретных средах с учетом геометрической нелинейности еще не получили должного внимания. В данной работе рассматриваются вопросы расyz zy zx xz Следовательно, 1 2 2 пространения плоских волн деформаций сдвига в ε* ε* ε* ε* , Г* 4 (ε* ) 3(γ* ) сплошных средах, механическое поведение кото- = x + y = x = 3 x + xy . (4) рых описывается геометрически-нелинейными аналогами произвольных перекрестных зависимостей между первыми инвариантами тензоров σ* и ε* и Физические уравнения для геометрическинелинейной модели сплошной среды при плоской деформации, как известно, имеют вид вторыми инвариантами девиаторов Т* и Г* обобщенных напряжений и деформаций: ç x σ* = æ K* + ÷ 4 G* öε* ; τ* = G* γ* ; σ* = 3K * (ε* , Г* )ε* ; T* = G* (ε* , Г* )Г* , (1) è 3 ø æ 2 ö xy xy σ* = K* - G* ε* ; τ* = 0; y ç ÷ yz где K*(ε*, Г*) - геометрически-нелинейный аналог модуля объемного расширения (сжатия); G*(ε*, Г*) - è 3 ø 2 * æ * * ö * * геометрически-нелинейный аналог модуля сдви- σz = ç K o G ÷ε ; τzx = 0. 3 (5) га [4]. è ø Подставим соотношения (5) в динамические уравнения равновесия без учета объемных сил: относительно величин ¶γ ¶v xy , y , ¶g ¶v xy , y . ¶x ¶t ¶t ¶x ¶ éæ1+ ¶u öσ* + ¶u τ* ù + Система динамических уравнений (72), (10) опи- ¶x êç ¶x ÷ x ¶y xy ú сывает процесс распространения волн деформаций ëè ø û сдвига при учете геометрической нелинейности. + ¶ éæ1+ ¶u ö τ* 2 + ¶u σ* ù = ρ ¶ u , Что касается уравнения (71), то, поскольку B ≠ 0, ¶y êç ¶x ÷ yx ¶y y ú ¶t 2 ( ) ëè ø û ¶γxy x,t = 0. (11) ¶ é¶v * æ ¶v ö * ù ¶x σ + 1+ τ + ¶x ê¶x x ç ¶y ÷ xy ú Интегрируя дифференциальное уравнение (11) ë è ø û и учитывая соотношение (81), получаем линейный ¶ é¶v * yx § τ 2 + æ1+ ¶v öσ* ù = ρ ¶ v . характер распределения перемещений v(x,t) вдоль ê ç ÷ ú (6) ¶y ë¶x è ¶y ø y û ¶t2 оси X для каждого момента времени: Принимая во внимание зависимости (1) и (4), v ( x,t ) = f (t ) x + j(t ). (12) получим два уравнения: ¶γ Постоянные (по отношению к переменной x) интегрирования f(t) и φ(t) определяются из гра- B xy ¶x = 0; ничных условий: ì 1 æ K* + 4 G* ö γ2 + γ ( Ag + B ) + · при x = 0, v (0,t ) = v0 (t ); í 2 ç 3 ÷ xy xy xy î è ø · при x = x0 , v ( x0 ,t ) = vm (t ) . æ (γ* )2 * öü ¶γ ¶v Здесь х · глубина сжимаемой толщи полуo ç C o G* + xy ¶G ÷ï xy = y . (7) 0 γxy * * ý ρ пространства; v0(t) - смещение поверхности полу- ç Г ¶Г ÷ï ¶x ¶t è øþ Здесь введены обозначения пространства в направлении оси Y; vm(t) - перемещение в направлении оси Y на глубине x = x0. Обычно на глубине сжимаемой толщи полупростран- γ = ¶v , xy ¶x v = ¶v . y ¶t (8) ства перемещения принимаются равными нулю. Определение характеристик и соотношений на них Значения коэффициентов A, B, C равны * * В матричной форме система уравнений (72), (10) имеет вид A = æ K* + 4 G* ö + æ ¶K + 4 ¶G ö ε* + ç 3 ÷ ç ¶ε* 3 ¶ε* ÷ ¶u ¶u è ø è ø А + B ¶x ¶t = 0. (13) 4 (ε* )2 + æ ¶K * 4 ¶G* ö + ; Здесь матрицы A и B равны: 3Г* ç ¶Г* 3 ¶Г* ÷ è ø éa a ù éb b ù 11 12 11 12 ε*γ* æ ¶K* 4 ¶G* ö A = ê ú , B = ê ú , xy B = ç + ÷; a a b b Г* è ¶Г* 3 ¶Г* ø причем ë 21 22 û ë 21 22 û * * * C = γ* æ ¶G + xy ç ¶ε* 3 4ε ¶G ö. Г* ¶Г* ÷ (9) a = ì 1 æ K* + 4 G* ö γ è ø 11 í 2 ç î è 3 ÷ ø 2 + γ ( Aγ + B)+ Присоединяя к уравнению (62) уравнение соæ вместности (γ* )2 xy xy xy * öü +ç C · G* + xy ¶G ÷ï ç γxy * * ÷ý; ¶γ xy = ¶vy , (10) è Г ¶Г øïþ ¶t ¶x a = 0; a = 0; a = -1; 12 21 22 получаем систему двух дифференциальных уравb = 0; b = -ρ; b = 1; b = 0. нений первого порядка в частных производных 11 12 21 22 Вектор-столбец u имеет структуру u = [γху vy]T. Характеристические кривые уравнения (13) оп- Определение скоростей волн деформаций Для определения скоростей волн деформаций - ределяются путем решения уравнения a11 αρ A-αB = 0, нестационарных поверхностей сильных разрывов вторых производных перемещений, являющихся поверхностями слабых разрывов деформаций и скоили в развернутой форме -α = 0, -1 вещественростей частиц, воспользуемся кинематическими ные решения которого задают характеристические кривые, описываемые дифференциальными уравнениями: dx и динамическими условиями совместности [11]. Пусть ω(x, t) = 0 - уравнение линии разрыва на фазовой плоскости XOt. Обозначая символом […] скачок функций при переходе через линию ω(x, t) = 0 и, применяя кинематические условия совместно- α1,2 = . dt (14) é ¶ 2 v ù ¶ω ¶ω сти ê ¶ ¶ ú = ¶ ¶ λ v к уравнению (18), по- Здесь α =+ a11 , α =- a11 . ëê x j xk úû x j xk 1 ρ 2 ρ лучим динамическое условие совместности: Дифференциальные уравнения (14) опреде- 2 é æ ¶ω ö 2 æ ¶ω ö ù ляют два семейства характеристических кривых. êa11 ç ÷ - ρ ç ÷ ú λv = 0. (19) Система уравнений (72), (10) будет гиперболического типа, если a1,2 будут вещественными. Найдем соотношения вдоль характеристических ëê è ¶x ø è ¶t ø úû Поскольку коэффициент прерывности λv ≠ 0, и учитывая, что скорость распространения линии направлений. Введем вектор l = [l1 l2 ]. Компоразрыва ω(x, t) = 0 определяется выражением 2 2 ненты вектора l являются решением уравне- N = 2 æ ¶ω ö æ ¶ω ö ç ÷ ç ÷ из соотношения (19), полуния l ×( A -αB) = 0, откуда находим чаем: è ¶t ø è ¶x ø a11l1 - αl2 = 0ü 1 2 þ αρl - l = 0. ý (15) N 2 = a11 . ρ (20) Соотношения вдоль характеристик найдем на Поскольку в главных осях γ* γ* 0, xy = * * yx = од- æ d u ö основании уравнения l × B × = 0, то есть нако ¶γ xy ¹ 0 и ¶γ xy ¹ 0, и, кроме того, для дан- ç dt ÷ ¶x ¶y è ø ной задачи γ* = γ , то l dγxy 2 dt · ρl1 dvy dt = 0. (16) xy xy a11 = G* . (21) Используя далее зависимости (15), уравнение (16) приведем к виду Таким образом, скорость распространения геометрически-нелинейных волн деформаций сдвига в главных осях однозначно определяется величиной a11 dγ ± dv = 0. (17) геометрически-нелинейного аналога модуля сдвига. ρ xy y Итак, вдоль двух семейств характеристик (14) выполняются соотношения (17). Запишем уравнение (72) в терминах перемещений. Используя соотношения (8), уравнение (72) стей Результаты численных расчетов Численные исследования приведенных скоро- ρN 2 волн деформаций сдвига с учетом гео- G0 приведем к виду ¶2v ¶v метрической нелинейности выполнялись для трех математических моделей сплошной среды. Модель 1. Механическое поведение сплошной a11 ¶x2 = ρ ¶t2 . (18) среды описывается линейным законом, то есть деформационные зависимости (1) имеют вид Уравнение (10) при этом удовлетворяется тож- * * * * дественно. o = K0 ε ; T = G0 Г . (22) Модель 2. Механическое поведение сплошной среды описывается квадратичным законом в отношении сдвиговых деформаций. Деформационные зависимости (1) в этом случае имеют вид * значения механических констант сплошной среды, ни от уровня развития деформаций. 1. Приведенные скорости волн деформаций сдвига, вычисленные для модели 2, существенно зависят от уровня развития деформированного со- σ* = K ε* ; T* = G æ1- Г ö Г* . (23) стояния: при возрастании интенсивности деформа- 0 0 ç è ÷ 2Гs ø Г ций сдвига на интервале [0,1] значения при- Модель 3. Механическое поведение сплошной среды описывается перекрестными зависимостями между инвариантами напряженного и деформированного состояний: 2 2 Гs веденных скоростей волн деформаций сдвига монотонно убывают от 1,0 до 0,5. 2. Что касается модели 3, то значения приведенных скоростей волн деформаций сдвига су- é q æ Г* ö æ Г* ö ù щественно зависят как от значения механических * * σ = K0 ê1- êë * ç2- ε è ÷ ç ÷ úε ; Гs ø èГs ø úû 2 констант сплошной среды, так и от уровня развития деформаций. При увеличении коэффициента внутреннего трения скорости волн уменьшаются é æ Г* ö q æ Г* ö Г* ε* ù для нулевого коэффициента дилатансии (рис. 2, а). * * T = êG0 ç1- ÷+ K0 f ç2- ÷ -K0 f * úГ . (24) ëê è 2Гs ø Гs è Гs ø Гs Г û Если коэффициент дилатансии g Гs > 0, то при Модель 1 соответствует геометрически-нелинейному аналогу линейной теории упругости, модель 2 соответствует геометрически-нелинейному аналогу теории малых упруго-пластических деформаций, модель 3 соответствует геометрически-нелинейному аналогу деформационной теории пластичности сыпучей среды [4; 12]. В формулах (22), (23), (24) обозначено: K0 - начальный модуль объемного расширения (сжатия); G0 - начальный модуль сдвига при чистом сдвиге; f - аналог коэффициента внутреннего трения; q - коэффициент дилатансии; Гs - предельная интенсив- * увеличении коэффициента внутреннего трения скорости волн возрастают (рис. 2, б). При увеличении коэффициента дилатансии скорости волн также возрастают. Зависимость приведенных скоростей волн деформаций сдвига от уровня деформированного состояния неоднозначна и при возрастании интенсивности деформаций сдвига может как увеличиваться, так и уменьшаться. Если скорости распространения волн деформаций сдвига увеличиваются в процессе возрастания интенсивности деформаций сдвига (в процессе нагружения), то внутри полупространства возможно образование ударной волны (волны сильного разрыность деформаций сдвига, причем 0 £ Г Г s £ 1. ва) при непрерывных краевых условиях [13]. На рис. 2 изображены графики приведенных Исследования скоростей волн деформаций сдвига показали: 1. Для модели 1 приведенные скорости волн скоростей волн деформаций сдвига, построенные по уравнению (20), для модели 3. Значения механических констант принимались следующими: деформаций сдвига постоянны и не зависят ни от K0 = 1,1547; G0 q = 1; Гs Г s = 0,1155. a б 1 2 0.8 1.5 0.6 1 0.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Рис. 2. Скорости волн деформаций сдвига: а - q = 0; б - q = Гs [Figure 2. Velocities of shear strain waves: а - q = 0; б - q = Гs] На рис. 2 сплошная линия соответствует коэффициенту трения f = 0,1; штрих-пунктирная - f = 0,5; пунктирная - f = 0,9. Выводы Численные исследования показывают, что скорости распространения волн деформаций сдвига с учетом геометрической нелинейности существенно зависят как от вида математической модели, описывающей напряженно-деформированное состояние полупространства, так и от уровня напряженного и деформированного состояний в рассматриваемой точке среды, а также от величины физических констант материала сплошной среды. Заключение Приведенные в статье соотношения могут быть использованы при построении алгоритмов расчета напряженно-деформированного состояния геометрически и физически нелинейных полупространств, находящихся в условиях плоской деформации от действия на поверхности сдвигающих динамических нагрузок.

Sergej V Bakushev

Penza State University of Architecture and Construction

Author for correspondence.
Email: bakuchsv@mail.ru
28 Titov St., Penza, 440028, Russian Federation

Dr Sci. (Eng.), Professor of the Department of Mechanics

  • Novatsky V.K. (1978). Volnovye zadachi teorii plastichnosti [Wave problems of plasticity theory]. Moscow, Mir Publ., 307. (In Russ.)
  • Bakushev S.V. (2014). Prodol'no-poperechnye geometricheski-nelinejnye volny deformacij [Longitudinalcross geometrical non-linear waves of deformation]. Proceedings of Petrozavodsk State University. Series: Natural & Engineering Sciences, 6(143), 99–103. (In Russ.)
  • Bakushev S.V. (2014). Prodol'no-poperechnye volny deformacij slabogo razryva [The longitudinal-transverse waves of deformations of the weak gap]. Problems of Strength and Plasticity, 76(2), 114–121. (In Russ.)
  • Bakushev S.V. (2013). Geometricheski i fizicheski nelineinaya mekhanika sploshnoi sredy: ploskaya zadacha [Metrically and physically nonlinear mechanics of continuum: flat task]. Мoscow, LIBROKOM Publ., 312. (In Russ.)
  • Doronin A.M., Erofeev V.I. (2016). Generaciya vtoroj garmoniki sdvigovoj volny v uprugo-plasticheskoj srede [The generation of the second harmonics of the transverse wave in elastoplastic circumference]. Letters on Materials, 6(2–22), 102–104. (In Russ.)
  • Zveryaev Е.M. (2015). Vozniknovenie volny sdviga pri poperechnom udare po vysotnomu zdaniyu [The inception of the transverse wave at the time of the transverse impact on the high building]. Building and Reconstruction, 3(59), 67–74. (In Russ.)
  • Sadovskii V.M. (2003). K issledovaniyu struktury poperechnyh udarnyh voln konechnoj amplitudy v plasticheskoj srede [To the research of the transversal shock wave structure of finite amplitude in plastic circumference]. Russian Academy of Science Report. Mechanics of the rigid solids, (5), 40–50. (In Russ.)
  • Sadovskaya O.V. (2009). Chislennoe reshenie prostranstvennyh dinamicheskih zadach momentnoj teorii uprugosti s granichnymi usloviyami simmetrii [Solid dynamical problem computational solution of the bending theory of elasticity with interface conditions of symmetry]. Magazine of the numerical mathematics and mathematical physics, 49(2), 313–322. (In Russ.)
  • Carcione J.M., Poletto F., Farina B., Craglietto A. (2014). Simulation of seismic waves at the earth's crust (brittle – ductile transition) based on the Burgers model. Solid Earth, 5(2), 1001–1010 doi: 10.5194/se-5-1001-2014.
  • Markiewicz E., Haugou G., Chaari F., Zouari B., Tounsi R., Dammak F. (2012). Experimental study of aluminium honeycomb behaviour under dynamic multiaxial loading. EPJ Web of Conferences, (26), 01050. doi: 10.1051/epjconf/20122601050.
  • Smirnov V.I. (1981). Kurs vysshey matematiki [Course of higher mathematics]. Vol. 4. Part 2. Moscow: Nauka Publ., 550. (In Russ.)
  • Geniev G.A. (1974). K voprosu o deformatsionnoy teorii plastichnosti sypuchey sredy [To the question of deformation theory of granular media of plasticity]. Structural Mechanics and Analysis of Constructions, (4), 8–10. (In Russ.)
  • Bakushev S.V. (2011). K voprosu o vozmozhnosti formirovaniya ploskih udarnyh voln v sploshnyh sredah [To the question of the possibility of creating flat shock waves in solid media]. Structural Mechanics and Analysis of Constructions, (4), 11–15. (In Russ.)

Views

Abstract - 73

PDF (Russian) - 18


Copyright (c) 2018 Bakushev S.V.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.