Effect of stress concentration in a beam of rectangular cross section in the region of attachment of the longitudinal efforts

Cover Page

Abstract


Relevance. To ensure the safe operation of buildings and structures, it is necessary to more accurately determine the stress-strain state (SSS) of structural elements, to identify areas of stress concentration. The distribution of stresses in the region of the fastening bars in three-dimensional formulation is relatively little studied. In these areas, there may be significant stress concentrations that contribute to the occurrence and development of cracks and splits, which are a harbinger of destruction. The development of modern methods of calculation, software systems and the growth of computing capabilities allow refining the design scheme: to move from one-dimensional to two-dimensional calculation scheme, from two-dimensional to three-dimensional calculation scheme. All this makes it possible to more accurately assess the SSS of structural elements and structures, to identify areas of stress concentration, as well as to investigate the effect of the Poisson's ratio on the stress concentration. Methods of research. It is noted that cracks and breaks in the edges under the influence of longitudinal loads occur in the rods (racks) of square cross-section. Three-dimensional elements based on the spline version of the finite element method and the LIRA computational complex are used to estimate the stress-strain state. The spline finite element method, thanks to the synthesis of the idea of parametrization and the finite element method (FEM) with cubic approximation of all three required variables within each element, allows obtaining consistent three-dimensional finite elements. On the basis of the mentioned methods and complexes, numerical studies of the stress concentration in the bars of square and rectangular cross-sections fixed at one end and perceiving the tensile forces at the other end are performed. Conclusions. It is found that in the angular points of the cross section in the area of fastening of straight bars, perceiving axial tensile forces, there are stress concentrations. Away from the mounting area of the bar, the voltages are aligned. By increasing the Poisson's ratio, the stress concentration increases faster than at low values. The transition from a onedimensional design model to a two-dimensional one, and even more so to a three-dimensional model allows to determine the stress concentration, both in plan and in thickness. Information about the concentration of stresses in elements of structures will allow designers to more accurately design structures and facilities, and the operators to promptly identify the defective region.


Введение Одной из наиболее существенных причин разрушения элементов конструкций является наличие концентратов [1-6]. Еще Леонардо да Винчи сформулировал понятие концентратора и тем самым заложил основы современной механики разрушения. Концентрацию напряжений могут вызвать условия крепления, геометрические параметры и форма элементов конструкции (способ крепления элемента конструкции с основным узлом, конструктивные отверстия и углубления, коррозионные дефекты, пазы и зоны стыков элементов, перепады толщин, острые конструктивные углы и т.д.). Стержни и стержневые системы (фермы), балки, балочные системы (рамы) и стойки находят широкое применение как в строительных, так и машиностроительных конструкциях [4]. Они имеют различную форму сечения, изготавливаются из различных материалов и воспринимают большие нагрузки, в том числе продольные усилия. Например, наклонные стойки крупногабаритных градирен СК-1200 имеют квадратную форму поперечного сечения (рис. 1), воспринимают большие весовые нагрузки металлических конструкций диффузора, конфузора и железобетонной части цилиндрического участка, а также нагрузки приходящие от парусности градирни в целом. В процессе эксплуатации в ребрах стоек в области концентрации напряжений возникают различные трещины и разрывы, которые существенно снижают несущую способность стойки и в дальнейшем выходят из строя, приводя конструкцию градирни к авариной ситуации. Рис. 1. Продольные угловые трещины в наклонных стойках крупногабаритной градирни СК-1200 [Figure 1. Longitudinal corner cracks in sloping racks large-sized coolers СK-1200] Моделирование напряженно-деформированного состояния конструкции, состоящей из набора конструкционных элементов из полимерных композиционных материалов, рассмотрено, в частности, в статье [7]. Задача отклонения зажатой балки от равномерной нагрузки методом конечных элементов рассмотрена в [8]. Большую опасность для конструкции представляют случаи, когда имеют место два и более источника разрушения [9; 10], например существенные механические напряжения, коррозия и концентраторы напряжений. Концентраторы напряжений активизируют коррозионный процесс [11; 12]. При существенной коррозии происходит изменение не только геометрических, но и механических характеристик материала. Все это существенно снижает ресурс конструкции и сооружений. Для обеспечения безопасной работы конструкций и сооружений необходимо точнее определять напряженно-деформированное состояние элементов конструкций, выявлять области концентрации напряжений и принимать меры к их устранению. Информация о концентрации напряжений в элементах конструкций позволит проектировщикам более грамотно проектировать конструкции и сооружения, а эксплуатационникам своевременно выявлять дефектные области. Развитие современных методов расчета, программных комплексов и рост возможностей вычислительной техники позволяют уточнять расчетные схемы: переходить от одномерной схемы расчета к двумерной, от двумерной к трехмерной. О важности использования трехмерных схем при расчете угловых трубчатых соединений говорится в статье [13]. Все это позволяет более точно оценивать напряженно-деформированное состояние элементов конструкций и сооружений. В статье [6] приведены результаты исследования плоскими конечными элементами балкистенки, закрепленной по одному торцу от равномерно распределенной растягивающей нагрузки, приложенной к противоположному торцу. Определена, в частности, картина распределения напряжений. Отмечается, что в месте крепления в области угловых точек наблюдается концентрация как нормальных σx (рис. 2), так и касательных t xy напряжений для рассмотренных параметров балкистенки. Установлено, что для исследованного варианта балки-стенки концентрация нормальных напряжений σx в угловых точках составляет 27-33 %. То есть, в отличие от расчета напряжений методами сопротивления материалов, максимальные нормальные напряжения превышают общий уровень напряжений более чем на 30 %. Таким образом, переход от одномерной схемы расчета к двумерной схеме позволяет более точно определять концентрацию напряжений в точках крепления. А из механики разрушения известно, что концентрация напряжений является предвестником разрушения [1-6]. ничного куба Vф (рис. 3) таким образом, чтобы прямоугольной сетке в области Vф соответствовала криволинейная пространственная сетка V: r r r = r ( t 1 , t 2 , t 3 ). (1) t3 ф V t2 V Рис. 2. Распределение напряжений σх в балке-стенке [Figure 2. Stress distribution σх in the beam-wall] Вопросы распределения напряжений в областях крепления стержней (стоек) в трехмерной постановке относительно мало изучены. В этих областях могут возникнуть существенные концентраt1 Рис. 3. Параметризация фрагмента трехмерного тела сложной геометрии [Figure 3. Parameterization of a fragment of a three-dimensional body of complex geometry] Далее нетрудно определить координатные ции напряжений, способствующие возникновению векторы: r1 = ¶ r ¶ t 1 , r2 = ¶r ¶t 2 , r3 = ¶r ¶t3 ; и развитию трещин и отколов, являющихся предвестником разрушения. ковариантные компоненты и дискриминант метри- Ниже рассмотрены примеры расчета напряженческого тензора: g11 = r1r1 , g12 = r1r2 , g22 = r2 r2 , но-деформированного состояния прямолинейных g = g (g g - g 2 ) - g ( g g · g g ) + стержней прямоугольного и квадратного сечения 33 11 22 12 32 11 23 21 13 от растягивающих нагрузок на базе трехмерных + g31 ( g12 g23 - g13 g22 ) , g13 = r1r3 , g 23 = r2 r3 , конечных элементов. Выявлены области концентраg33 = r3 r3 , а также символы Кристоффеля: ции напряжений. Рассмотрен вопрос влияния ко- i it k j t эффициента Пуассона на степень концентрации G jk = g (¶g jt / ¶t · ¶gkt / ¶t + ¶g jk / ¶t ) / 2. напряжений. Методы численного исследования Современные методы расчета позволяют относительно точно оценивать напряженно-деформиро- Рассматриваемая область единичного куба Vф разбивается на конечные элементы (параллелепипеды), и решение u, v и w в каждом из них представляется в виде интерполяционного эрмитового кубического сплайна трех переменных [11]: ванное состояние элементов конструкций и соору- 1 2 u = [y (s1 )´ y 3 (s 2 )´ y U (s3 )]Ä F , жений. Вопросы использования кубического сплайна для расчета слоистой пластины рассматрива- 1 2 v = [y (s1 )´ y 3 (s 2 )´ y V (s3 )]Ä F , (2) ются в [14]. В данной работе для определения распреде- 1 2 w = [y (s1 )´ y 3 (s 2 )´ y W (s3 )]Ä F , ления напряжений в стержне применяются трехмерные конечные элементы. Использовалась программа на базе сплайнового варианта метода конечных элементов с кубической аппроксимацией исходных переменных. Основы сплайнового варианта метода конечных элементов в трехмерной постановке (СВ МКЭ-3) для расчета напряженно-деформированного согде y 1(s1), y 2(s2), y 3(s3) - векторы координатных функций; FU , FV, FW - векторы компонент искомых неизвестных u, v, w и его производных соответственно. Ковариантные компоненты вектора перемещения и их производных ijk-го узла сетки для u, v и w обозначаются через следующие символы соответственно: стояния элементов конструкций сложной геометu000 , u100 , u010 , u001 , u110 , u101 , u011 , u111 , i, j ,k i, j ,k i , j ,k i, j ,k i , j ,k i, j ,k i , j ,k i, j ,k рии, заданных в декартовой системе координат, v000 , v100 , v010 , v001 , v110 , v101 , v011 , v111 , (3) изложены, в частности, в [15]. На первом этапе i, j ,k i, j ,k i , j ,k i, j ,k i , j ,k i, j ,k i , j ,k i, j ,k решается задача параметризации. Рассматриваw000, w100 , w010 , w001 , w110 , w101 , w011 , w111 , емый участок конструкции (трехмерный объект сложной геометрии), занимаемый объем V, задается криволинейными координатами t1, t2, t3 едиi, j ,k i, j ,k i , j ,k i, j ,k i , j ,k i, j ,k i , j ,k i , j ,k где приняты следующие обозначения для u (для v и w аналогичны): 100 ¶u 010 ¶u 001 ¶u 110 ¶2u Метод позволяет получать согласованные трехui, j,k ui, j,k = ¶t1 i, j,k ui, j,k = ¶t 2 i, j,k ui, j,k = ¶t3 i, j,k ui, j,k = ¶t1¶t 2 i, j,k мерные конечные элементы благодаря синтезу идеи 101 ¶2u 011 ¶2u 111 ¶3u параметризации и метода конечных элементов (МКЭ) ui, j,k = ¶t1¶t3 i, j,k ui, j,k = ¶t 2¶t 3 i, j,k ui, j,k = ¶t1¶t 2¶t 3 . i, j,k с кубической аппроксимацией всех трех искомых переменных u, v и w в пределах каждого элемента. Для анализа напряженно-деформированного Основные соотношения выведены из вариационного уравнения Лагранжа: состояния также использовался расчетный комплекс «ЛИРА». 1 1 1 d W g dt1dt 2 dt 3 = 1 1 1 rf i du g dt1dt 2 dt 3 + pi du dS ,(4) Оценка НДС стержня программой СВ МКЭ-3 òòò 0 0 0 òòò i 0 0 0 òò i S Выполнено численное исследование НДС стержгде W - удельная потенциальная энергия деформации трехмерного тела; f i, pi - компоненты вектора массовых и поверхностных сил; r - массовая плотность; ui - компоненты вектора искомых переменных; S - поверхность боковых граней тела. ня прямоугольного сечения (рис. 4), закрепленного по одному торцу (х = 200 мм) и нагруженного равномерно распределенной нагрузкой q = 500 МН/м2 на другом торце (х = 0). Модуль упругости материала стержня Е = 100 000 МПа. 20 мм 10 мм z y х 200 мм q Рис. 4. Схема разбиения стержня на конечные элементы и геометрические параметры [Figure 4. The scheme of splitting the bar into finite elements and geometric parameters] Рис. 5. Распределение напряжений σx в области крепления (сечение х = 19 см) [Figure 5. Stress σx distribution in the fastening area (section x = 19 cm)] На рис. 5 приведено распределение нормальных напряжений σx в сечении х = 19 см, то есть на расстоянии 1 см от торца защемления. Как видно из рис. 5, в угловых точках в области заделки наблюдается существенная концентрация напряжений σx. Оценка напряженно-деформированного состояния стержня вычислительным комплексом «ЛИРА» Исследовано трехмерными конечными элементами (программа «ЛИРА 10.1») НДС стержня, закрепленного по одному торцу и нагруженного растягивающей нагрузкой, приложенной к другому торцу (рис. 6). Исходные данные: q = 200 МПа, L = 30 см, h = b = 10 см, Е = 200 000 МПа, ν = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5 (расчетные варианты). Расчетная схема: трехмерные конечные элементы: 10×10×30. Вопросы влияния коэффициента Пуассона представляют определенный интерес. Влияние коэффициента Пуассона на коэффициенты концентрации напряжений на тонких пластинах с круглыми отверстиями и жесткими включениями рассмотрено, в частности, в [16]. Рис. 6. Стержень квадратного сечения и его геометрические параметры [Figure 6. The bar of square section and its geometrical parameters] На рис. 7 приведена картина распределения напряжений σx в стержне при ν = 0,1. Табличные значения максимальных напряжений в точках Т1, Т2, Т4 и Т5 (по рис. 7) приведены в таблице. z Т4 Т5 y T4 x T1 Т1 Т2 Рисунок 7. Распределение напряжений σx в стержне [Figure 7. Stress σx distribution in the bar] Величины максимальных напряжений в области заделки [Table. Maximum stress values in the fixed support area] Таблица Точки [Points] Максимальные напряжения σx, МПа [Maximum stresses σx, MPa] ν = 0,1 ν = 0,3 ν = 0,49 Т1 209,278 225,751 281,955 Т2 202,375 206,731 227,433 Т4 202,375 206,731 227,433 Т5 195,472 189,366 174,631 Как видно из рис. 7 в угловых точках в области крепления наблюдается концентрация напряжений σx. То есть расчет стержня трехмерными элементами позволяет улавливать изменения напряжений по всем трем координатам. Этот факт является важным обстоятельством как для проектировщиков, так и для эксплуатационников. Из таблицы видно, что чем выше коэффициент Пуассона ν, тем значительнее перераспределение напряжений в сечении заделки. Заключение По результатам исследования можно заключить следующее: 1. расчет стержня по трехмерной схеме позволяет определять концентрацию напряжений; 2. в стержнях концентрация продольных напряжений наблюдается в угловых точках области крепления; 3. в центральной области сечения стержня вблизи заделки напряжения падают; 4. с увеличением коэффициента Пуассона v концентрация напряжений возрастает более интенсивно, чем при малых значениях коэффициента v; 5. в армированных стержнях (стойках градирен) на кромках вследствие концентрации напряжений возникают трещины, начинается коррозионный износ арматуры. При этом коррозия способствует дальнейшему развитию трещины до полных разрывов, как это наблюдается на практике.

Samat N Yakupov

Kazan Scientific Center of the Russian Academy of Sciences; Kazan State University of Architecture and Engineering (KSUAE)

Author for correspondence.
Email: tamas_86@mail.ru
2/31 Lobachevsky St., PO Box 261, Kazan, Tatarstan, 420111, Russian Federation; 1 Zelenaya St., Kazan, Tatarstan, 420043, Russian Federation

Cand. Sci. (Eng.), senior researcher, Institute of Mechanics and Engineering

Hakim G Kiyamov

Kazan Scientific Center of the Russian Academy of Sciences

Email: tamas_86@mail.ru
2/31 Lobachevsky St., PO Box 261, Kazan, Tatarstan, 420111, Russian Federation

Cand. Sci. (Eng.), senior researcher, Institute of Mechanics and Engineering

Nukh M Yakupov

Kazan Scientific Center of the Russian Academy of Sciences

Email: yzsrr@kfti.knc.ru
2/31 Lobachevsky St., PO Box 261, Kazan, Tatarstan, 420111, Russian Federation

Dr Sci. (Eng.), leading researcher, Institute of Mechanics and Engineering

Leisan I Khasanova

Kazan State University of Architecture and Engineering (KSUAE)

Email: leisanka15@mail.ru
1 Zelenaya St., Kazan, Tatarstan, 420043, Russian Federation

master

Ilnar I Bikmukhammetov

Kazan State University of Architecture and Engineering (KSUAE)

Email: ilnar_27@mail.ru
1 Zelenaya St., Kazan, Tatarstan, 420043, Russian Federation

master

  • Neuber H. (1946). Theory of Notch Stress. Ann Arbor, Mich., J.W. Edwards, 204.
  • Peterson R.E. (1974). Stress Concentration Factors. New York, J. Wiley & Sons.
  • Collins J.A. (1981). Failure of Materials in Mechanical Design. Analysis, Prediction, Prevention. The Ohio State University; New York, J. Wiley & Sons.
  • Yakupov N.M. (2010). Mechanics: problem – idea – practice. Kazan, Kazan State University Publ., 161. (In Russ.)
  • Kantyukov R.A., Tameev I.M., Yakupov N.М., Abdushev А.А., Yakupov S.N. (2011). Local “treating” overlays-coatings. Territorija Neftegas, 1(18), 68–71.
  • Yakupov N.M., Rizaeva A., Khusnutdinov A.E., Mojaddidi A.S. (2015). Concentration of stresses in the stretched rod in the region of the seal. Proceedings of VIII International Scientific-Practical Conference “Engineering systems – 2015”. Moscow, RUDN Publ., 69–73. (In Russ.)
  • Shardakov I.N., Kosheleva N.A., Serovaev G.S., Shestakov A.P., Shipunov G.S. (2018). The stress-strain state analysis and structural evaluation of PCM construction consisting of heterogeneous element. International Journal of Mechanical Engineering and Technology (IJMET), 9(10), 1157–1171.
  • Gunakala S.R., Comissiong D.M.G., Jordan К., Sankar A. (2012). A Finite Element Solution of the Beam Equation via MATLAB. International Journal of Applied Science and Technology, 2(8), 80–88.
  • Sidorenko S.N., Yakupov N.M. (2002). Corrosion is an ally of accidents and catastrophes. 93.
  • Nizamov H.N., Sidorenko S.N., Yakupov N.M. (2006). Forecasting and prevention of corrosion destruction of structures. 355.
  • Yakupov N.M., Giniyatullin R.R., Yakupov S.N. (2012). The effect of deformation of the surface structure elements on the corrosion wear. Strength problems, 2, 76–84.
  • Yakupov N.M., Giniyatullin R.R., Yakupov S.N. (2012). The influence of the character of deformation of structural element surfaces on the corrosive wear. Strength of materials, 170–176.
  • Meneghetti G., Guzzella C. (2014). The peak stress method to estimate the mode I notch stress intensity factor in welded joints using three-dimensional finite element models. Engineering Fracture Mechanics, 115, 154–171.
  • You F.X. (2011). The Spline Finite Element Method for the Analysis of the Dynamic Response of Composite Material Plate. Advanced Materials Research, 168–170, 1837–1845.
  • Yakupov N.M., Kiyamov H.G., Yakupov S.N., Kiyamov I.Kh. (2011). Modeling of structural elements of complex geometry by three-dimensional finite elements. Mechanics of composite materials and structures, (1), 145–154. (In Russ.)
  • Lim T.C. (2013). Stress Concentration Factors in Auxetic Rods and Plates. Applied Mechanics and Materials, 394, 134–139.

Views

Abstract - 258

PDF (Russian) - 56

PlumX


Copyright (c) 2018 Yakupov S.N., Kiyamov H.G., Yakupov N.M., Khasanova L.I., Bikmukhammetov I.I.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.