Sustainability of walls of individual residential houses with a wooden frame

Cover Page

Abstract


The aim of work. The stability of the walls of individual houses with a wooden frame and the stress-strain state of a single-story structure are investigated, and also problems of their strength and seismic resistance are considered. Solution technique. The development of a methodology for calculating small, simple in form individual houses, with the reinforcement of load-bearing walls by a frame, is described. The methodology includes the following stages: the creation of a mathematical model of structures; choice of the numerical method - the finite element method (FEM), which allows to take into account the structural features of the structure; carrying out calculations of buildings for specified loads. The choice of the finite element method is justified by the possibility of calculating a spatial model that takes into account the real geometry and structural features of the structure. Results. Using the spatial model allowed to take into account in detail the presence of the framework, and analysis of the stress-strain state revealed an increase in the rigidity of the structure with a skeleton, which indicates an increase in strength, stability, and seismic resistance. The connecting role of the skeleton is revealed, which consists in combining the elements of the structure into a single spatial system. The static effect consists in the perception of the rigid elements of the framework by the applied static load, which causes in them a slight deformation transferred to the piers between the frame elements. This leads to a uniform distribution and a general reduction in the level of stresses in the walls in comparison with the same stresses in walls without a frame.


Введение На сегодняшний день в мировой практике строительства ведущую роль играют вопросы использования экологически чистых материалов, эффективное использование энергосберегающих технологий и ресурсов, а также вопросы обеспечения сейсмической безопасности индивидуальных жилых домов. В период интенсивного развития современного строительства и активизации сейсмических процессов вопросы сейсмостойкости, обеспечение устойчивости и оценка конструкционной и сейсмической безопасности считаются наиболее актуальными. В этом направлении достигнуты определенные успехи, особое внимание при проектировании уделяется разработке конструктивных решений, антисейсмических мероприятий, а также совершенствованию методов расчета, обеспечивающих прочность, устойчивость и сейсмостойкость домов. Пристальное внимание уделяется вопросам совершенствования методов расчета на статические и сейсмические воздействия конструкций индивидуальных жилых домов, возведенных из местных, экологически чистых, малопрочных материалов, определению напряженно-деформированного состояния их конструкции, разработки методов расчета, основанных на выборе пространственных моделей домов, учитывающих их реальную геометрию в реальных условиях работы. Цель исследования и постановка задачи Разработка методики расчета небольших, простых по форме индивидуальных жилых домов с усилением несущих стен каркасом. Расчетный метод включает в себя следующие этапы: ·создание математической модели строений; · выбор численного метода, позволяющего учитывать конструктивные особенности и пространd l = dz - dz cos q, (4) ственность строения; - проведение расчетов строений на заданные нагрузки. Каркас, представляющий собой систему стержневых элементов, должен служить укреплегде θ - угол наклона касательной в данной точке прогиба. При малых прогибах, воспользовавшись разложением функции cos θ в степенной ряд q2 q2n нию стен индивидуальных построек. Однако при достаточно большой массе вышележащих конструкций, а также при интенсивном сейсмическом возсоs q = 1- + ...+ ( -1)n + ... 2! (2n)! (5) действии стойки каркаса могут, изогнувшись, потерять прямолинейную форму, что приведет к выпадению кладки и разрушению строения. Поэтои ограничиваясь двумя членами ряда (5), получим из (4) 2 му геометрия и материал стоек каркаса должны быть подобраны таким образом, чтобы предотdl= q 2 dz. (6) вратить потерю их устойчивости под действием как вертикальных - от веса вышележащих кон- При малых прогибах q= у¢ . Тогда полное струкций (стен, перекрытий), так и горизонтальных нагрузок. Для определения критической нагрузки, вызывающей потерю устойчивости элемента карпродольное перемещение конца стержня получается из (6) интегрированием по всей длине стержня - ò 1 l каса, используется энергетический метод, согласно которому при переходе от прямолинейной формы равновесия к криволинейной действующая l = y¢2 dz, 2 0 (7) сила совершает работу, в результате чего увеличивается потенциальная энергия стержня. Уравнение энергетического баланса стержня будет иметь вид а критическая сила из выражения (1) будет определяться формулой l ò EIу¢¢2 dz Uизг = Ркрl, (1) Pкр = Uизг l = . 0 l ò y¢2 dz (8) где Uизг · потенциальная энергия изгиба; Ркр - 0 критическая величина продольной сжимающей силы; l - перемещение точки приложения силы; Если продольная сила меньше критической Р < Pкр , то стойка каркаса сохраняет вертикаль- Ркр l - представляет работу этой силы. Энергия изгиба стержня длиной l и моменное положение. При Р > Pкр каркас теряет устойтом инерции сечения I (х) выражается через изчивость, его ось изгибается, что вызывает выпадение кладки и разрушение стены. гибающий момент М изг 1. l следующим образом: M 2 Потеря устойчивости, как это следует из приведенных формул, зависит от величины продольной силы (Р) (т.е. от приходящейся на дан- Uизг = ò изг dx. (2) ную стойку нагрузки - веса вышележащей части 2. 0 EI( x ) конструкции), материала (модуль упругости Е), Учитывая, что гиб стержня, получим l M изг = EI (х) у¢ , а у - прогеометрии сечения балки каркаса, а также от условий закрепления каркаса, определяющих его прогиб у (8). Если балка каркаса закреплена шарнирно, Uизг = 1 ò EI( x )( у¢¢ )2 dx. (3) прогиб у определяется уравнением [1]: 2 0 Перемещение λ определяется как разность y = C sin kz. (9) между начальной длиной стержня l и проекцией изогнутой упругой линии на прямую, соединяющую опоры, или в приращениях это можно записать как Учитывая граничные условия шарнирного закрепления - при z = 0 и z = l, у = 0, получим kl = pn . Тогда продольная сила Р, вызывающая потерю устойчивости стержня, будет 2 2 P = p n EJ . l 2 (10) Разработка математической модели и выбор метода расчета Здесь n - произвольное целое число. Наимень- Влияние каркаса на деформацию и напряженшая же критическая сила Pкр будет при n = 1: ное состояние рассматривается на примере квадратного (4×4 м) в плане строения. Две противо- Pкр = p2 EJ . l2 (11) положные его стены усилены каркасом с шагом 1 м, две другие выполнены без усиления. Конструкция постройки показана на рис. 3. Построй- Если балка каркаса жестко закреплена в ка находится только под действием собственного фундаменте (при z = 0, у = 0, y¢ = 0 ) и имеет повеса, в результате чего она подвергается вертидвижный шарнир вверху (при z = l, у = 0), то прогиб у определяется уравнением: кальной осадке. Модель представляет собой коробку, в коy = C (sin kz - kl cos kz + k(l - z)). (12) торой несущие стены - это плоско напряженные пластины, а перекрытия - жесткие диски, опира- В этом случае наименьшая критическая сила, вызывающая потерю устойчивости, будет [1]: p2 EJ ющиеся на несущие стены. Стены усилены вертикальным деревянным каркасом, представляющим собой вертикальные стойки, соединенные по гра- Pкр = . (0,7l)2 (13) ням пластины, образуя коробку с горизонтальными дисками перекрытий. Изгиб пластин не рас- Таким образом, получены критические силы для жесткого и шарнирного закрепления стоек каркаса в фундаменте, и, как было указано выше, превышение веса перекрытия допустимых значесматривается. Исходным уравнением для решения поставленной задачи методом конечных элементов является вариационное уравнение, выражающее равенний Pкр может вызвать потерю устойчивости элество нулю суммы работ внутренних напряжений мента каркаса, его изгиб и, как следствие, выпадение заполнителя - кладки. (dАs), работы массовых сил (веса) (dАр) и сил инерции (dАи) на возможных перемещениях: dA = dAs + dAr + dAи ij ij ò nu u ò n g u = -ò s de dV - r &&r d r dV + r r d rdV V V V = 0, (14) e , s где u , ij ij · вектор перемещений, тензоры проемов, т.е. фактически производится расчет деформаций и напряжений соответственно, а du , реальной упругой (в этом смысле, конечно, идеализированной) пространственной конструкции deij n - их изохронные вариации; r - плотность [9; 10; 12]. При этом ее пространственное повематериала элементов системы (кладки и каркаса). Граничные условия на жестком основании зданий приняты однородными: z = 0: δu = δv = δw = 0. (15) Третье слагаемое в уравнении (14) - работа инерционных сил - учитывается в случае, если решается динамическая задача о собственных колебаниях; в статической задаче - в напряженнодеформированном состоянии это слагаемое отсутствует. Метод конечных элементов позволяет учитывать реальную геометрию, различие геометрических и физико-механических параметров, составляющих конструкцию элементов, наличие в них дение создается за счет трех возможных перемещений граней и элементов каркаса конструкции, без учета изгиба плоских элементов (стен). Расчет конструкции по МКЭ включает в себя следующие этапы: 1. Разбивка рассматриваемой конструкции на определенное число конечных элементов, соединенных в узловых точках. 2. Получение матрицы жесткости и масс (при динамическом нагружении конструкции) для элементов, составляющих конструкцию. 3. Формирование общих матриц жесткости, масс и матрицы нагрузки для всей конструкции. 4. Решение системы алгебраических (при статическом нагружении) уравнений для определения неизвестных перемещений или решение алгебраической задачи на собственные значения при определении частот и форм собственных колебаний конструкции. 5. Определение компонентов деформаций y = const) смежных прямоугольных элементов (14) [2-3; 11; 13]: ue = a1 + a2 x + a3 y + a4 xy, по полученным перемещениям узлов. ve = a5 + a6 x + a7 y + a8 xy. (16) 6. Определение напряжений по полученным компонентам деформаций. Реализация указанных этапов начинается, как отмечено выше, с получения дискретной модели здания. Перемещения we точек е-го балочного элемента каркаса (рис. 3) в направлении одной из осей, перпендикулярной оси х, представляются функцией (17): 2 3 Дискретная модель здания может включать плоские прямоугольные и подкрепляющие их стержневые конечные элементы. Последние учитываются в том случае, если стены здания усилеwe = b1 + b2 x + b3 x а в направлении оси х (18): + b4 x , (17) ны каркасом. При этом неизвестными, как и в меue = g1 + g2 x. (18) тоде перемещений, являются перемещения узловых точек: по 2 (вертикальное и горизонтальное) - для угла элемента, находящегося в плоскости стен, и по 3 (два горизонтальных и вертикальное) - для углов, приходящихся на грань конструкции. Перемещения ue и ve точек внутри е-го плоского элемента (рис. 2) аппроксимируются линейными функциями, откуда вытекает условие непрерывности перемещений вдоль общих сторон (х = cоnst или Опуская изложение обычной процедуры МКЭ для построения матриц жесткости и масс элементов [2-3; 11; 13], приведем окончательные формулы МКЭ для этих матриц, а также компоненты деформаций и напряжений для е-го элемента, необходимые для расчетов. Матрица жесткости плоского элемента [kïе] (рис. 1) имеет восьмой порядок и определяется по формуле (19) [13]. é4 b + 2 a (1- m) 3 (1+ m) 2 b - 2 a (1- m) 3 (1- 3m) -2 b - a (1-m) - 3 (1+ m) -4 b + a (1-m) - 3 (1- 3m) ù ê a b 2 a b 2 a b 2 1. b 2 ú ê ú ê 4 a + 2 b (1- m) - 3 (1- 3m) -4 a + b (1-m) - 3 (1+ m) -2 a - b (1- m) 3 (1- 3m) 2 a - 2 b (1-m)ú ê b a 2 2. a 2 b a 2 b a ú ê ú ê 4 b + 2 a (1- m) ê a b - 3 (1+m) 2 -4 b + a (1-m) a b 3 (1- 3m) 2 -2 b - a (1- m) a b 3 (1+m) ú 2 ú ê 4 a + 2 b (1- m) - 3 (1- 3m) -2 a - 2 b (1-m) 3 (1+ m) -2 a - b (1- m)ú b a 2 b a 2 b a b a 3 b a 3 ê ú éke ù = Eh ´ ê ú , ë i û 12(1-m2 ) ê ú (19) ê 4 + 2 ê a b (1-m) (1+ m) 2 2 - 2 a b (1-m) (1- 3m) ú 2 ú ê 4 a + 2 b (1- m) - 3 (1- 3m) -4 a + b (1- m)ú ê b a 2 b a ú ê ú ê 4 b + 2 a (1-m) ê a b - 3 (1+ m) ú 2 ú ê ú ê 4 a + 2 b (1-m)ú êë b a úû где а, b - размеры е-го прямоугольного конечного элемента, определяемые выбранной сеткой разбиения панели стены; h - толщина стены; Е - модуль упругости материала кладки стены, выбираемый из экспериментальных или справочных данных; m - коэффициент Пуассона материала стены. Здесь полученная матрица отличается от матрицы жесткости для элемента стержня при совместном учете деформаций изгиба и растяжения - сжатия [13] тем, что в ней учитываются только линейные деформации. Матрица жесткости балочного элемента при совместном учете трех поступательных перемещений для каждого узла в направлении осей х, у, z (рис. 2.) имеет шестой порядок и определяется по формуле (20). Рис. 1. Прямоугольный элемент стены, работающий в условиях плоского напряжения [Figure 1. Rectangular wall element, working under flat stress condition] Рис. 2. Пространственный элемент каркаса, работающий в условиях растяжения - сжатия и линейного перемещения в двух взаимно перпендикулярных к оси стержня направлениях [Figure 2. The spatial element of the framework, working under conditions of tension - compression and linear displacement in two directions mutually perpendicular to the axis of the rod] é EF 0 0 - EF 0 0 ù ê a a ú ê ú 0 ê 12 EJ y ê a 3 0 0 - 12 EJ y 0 ú a 3 ú ê ú ê 0 0 12 EJ z 0 0 · 12 EJ z ú é k е ù ê a 3 a 3 ú , б ë û = ê ú (20) ê- EF 0 0 EF 0 0 ú ê a a ú ê ê 0 12 EJ 12 EJ ú - y 0 0 y 0 ú ê a 3 a 3 ú ê 0 0 - 12 EJ z 0 0 12 EJ z ú ê a 3 a 3 ú ë û где Е - модуль упругости древесины вдоль волокон, используемой в качестве каркаса; F - пло- é 1 0 0 1 ê 3 6 0 0 ù ú ê ú щадь поперечного сечения балки; Jy, Jz - момен- ê 0 13 ты инерции относительно осей у и z; а - длина ê 35 ê элемента. ê 0 0 0 0 9 0 ú 70 ú ú 13 0 0 9 ú Учитываемая при решении динамических éë mе ùû = ma ê 35 70 ú . (22) задач матрица масс е-го плоского элемента имеет б ê 1 1 ú 0 0 0 0 ê ú вид [13] ê 6 3 ú ê 9 13 ú 0 0 0 0 ê ú 0 2 0 1 0 2 4 0 2 0 1 0 0 4 0 2 0 1 2 0 4 0 2 0 0 2 0 4 0 2 1 0 2 0 4 0 0 1 0 2 0 4 2 0 1 0 2 0 é 4 0 ù ê 70 35 ú ê 0 2 ú ê 0 0 9 0 0 13 ú ê ú êë 70 35 úû ê 2 0 ú ê ú m r abh 0 1 Объединение матриц жесткости и масс всех ëé е ùû = ê ú , (21) п 36 ê 1 0 ú элементов, согласно процедуре МКЭ, приводит к ê ú общим матрицам жесткости [К] и масс [М] для ê 0 2 ú ê 2 0 ú ê ú всего здания и получению разрешающих уравнений поставленной задачи. В зависимости от ха- êë 0 4 úû рактера задачи это могут быть алгебраические уравнения относительно неизвестных перемещегде r - плотность материала; h - толщина панели. Матрица масс балочного элемента для анализа динамических задач с учетом поперечных и ний узловых точек {ui} при заданной статической нагрузке {P} - продольных линейных перемещений принимает вид (22) i [K ]{u } = {Р} (23) или система однородных дифференциальных уравнений (динамическая задача о собственных колебаниях) - 2 сил - вес постройки, распределенный по узлам конечно-элементной модели. В первом случае система (23) решается с использованием схемы Холецкого, которая осо- [M ]ì ¶ ui ü + [K ]{u } = 0, (24) бенно эффективна для положительно определен- í ¶t 2 ý i î þ которая в конечном счете сводится к определению собственных частот (w) и форм колебаний {Х} однородной алгебраической системы уравнений: ных ленточных матриц, т.к. в процессе вычислений сохраняется ленточная структура матрицы [K]. При этом сначала выполняется треугольное разложение матрицы и вычисляется ее определитель, а затем находится решение исходной системы уравнений, т.е. неизвестные {ui}, без об- ([K ]- w2 [M ]){X } = 0, (25) ращения матрицы [K]. После нахождения узловых перемещений где w и {Х} - искомые частота и вектор формы собственных колебаний здания, т.е. динамические характеристики постройки; {Р} - вектор массовых {ui} при помощи уравнений Коши определяются компоненты деформаций в каждом элементе: ì ¶ue ü é 1 y 0 y 0 y 0 1 y 0 ù ï ï ê- + - - ú x ìe ü ï ¶x ï a ab ab ab a ab ï ï ï ¶ ï ê ú íe ý=í ve ý= ê 0 -1 + x 0 - a + x 0 1 0 - x ú{u }. (26) y ï ï ï ¶y ï ê b ab b b b ab ú i îgxy i þ ê ú ï¶ue + ¶ve ï ê-1 + x - 1 + y 1 - x y x 0 - x 1 - y ú ï ¶y ¶x ï êë b ab a ab b ab b ab ab a abúû î þ По полученным деформациям (26), используя закон Гука, выражающий зависимость между напряжениями и деформациями, напряжения в каждом элементе определяются по формулам: лизация разработанных алгоритмов и программ расчета. Результаты расчета постройки с деревянными каркасами é ù ì s x ü ê 1 m 0 ú ì e x ü ï s ï = E êm 1 0 ú ï e ï . Результатами статических расчетов (3) яв- í y ý 1 - m 2 ê ú í y ý (27) t ï ï î xy þ ê ê 0 0 1 - m ú ï g ú î ï xy i þ ляются перемещения {u} узловых точек конечноэлементной дискретизации, по которым опреде- ë 2 û После чего полученные напряжения в каждом элементе сравниваются с расчетными, на основании чего делается вывод о прочности конструкции. Задача о собственных значениях (25) решается методом одновременных итераций Рутисхаузера [14], учитывающим ленточную структуру матриц [K] и [М]. Авторами были разработаны алгоритмы и программы статического расчета (23) напряженнодеформированного состояния и определения динамических характеристик (25) пространственных моделей индивидуальных жилых домов с каркасным усилением. Ниже на примерах показана реаляются компоненты деформаций (формулы Коши) и напряжений (закон Гука). Сравнение полученных напряжений с расчетными дает основание делать вывод о прочности конструкции [8]. При расчетах были использованы физико-механические характеристики (модуль Юнга, коэффициент Пуассона, плотность) для кладки из необожженного кирпича и сосны в продольном направлении. На рис. 3 представлены вертикальное перемещение осадки и возникающее в стенах эквивалентное напряжение, полученные методом конечных элементов с дискретизацией стержневыми (для каркаса) и плоскими (для кладки) элементами [4-7]. а б Перемещения по вертикали 0 £ z £ 3 мм [Vertical movements 0 £ z £ 3 mm ] Эквивалентные напряжения 0,14 £ sэкв £ 42 КПа [Equivalent stresses 0.14 £ sэкв £ 42 kPa] Рис. 3. Вертикальная осадка (а) и эквивалентные напряжения (б) в стенах постройки с неравномерным каркасом по периметру [Figure 3. Vertical sediment (a) and equivalent stresses (b) in the walls of the building with an uneven framework around the perimeter] Интенсивность закраски на рисунке соответствует интенсивности исследуемого параметра: вертикального смещения (а) - от 0 (внизу) до 3 мм (вверху) и эквивалентного напряжения (б) от 0,14 КПа (вверху) до 42 КПа (внизу). Темная область в центральной верхней части боковой панели указывает, что по сравнению с другими частями поверхности эта область подвержена большему вертикальному смещению, тогда как усиленная каркасом передняя панель более устойчива (рис. 3, а). Область наибольших эквивалентных напряжений (темная окраска на рис. 3, б) расположена в нижней части постройки. Распределение этой области по периметру неравномерно: на фасаде она занимает нижнюю треть, а в боковых панелях она достигает половины высоты постройки, т.е. значительные напряжения в неусиленных каркасом боковых панелях распределены по большей площади, подвергая эти панели риску разрушения. Выводы Таким образом, сравнительные исследования напряженно-деформированного состояния симметричного в плане индивидуального жилого дома под симметричной нагрузкой (собственный вес) позволили выявить влияние каркасного усиления стен на деформацию и возникающие в стенах напряжения. Статический эффект от каркасного усиления заключается в восприятии жесткими элементами каркаса приложенной статической нагрузки, вызывающей в них незначительную деформацию, передающуюся на простенки между элементами каркаса, приводя к равномерному распределению и общему снижению уровня напряжений в стенах по сравнению со стенами без каркаса. Это дает основание рекомендовать установку каркаса в стенах построек из местных материалов. Авторами выполнены многочисленные натурные испытания и теоретические исследования небольших построек из малопрочных местных материалов [4-8], в которых предложен экспериментально-теоретический подход к определению физико-механических характеристик материала построек и рассмотрены проблемы их прочности и сейсмостойкости.

Sobirjon J Razzakov

Namangan Engineering Construction Institute

Author for correspondence.
Email: sobirjonrsj@gmail.com
12 I.A. Karimov St., Namangan, 160103, Republic of Uzbekistan

Dr Sci. (Eng.), Professor of the Department of Construction of Buildings and Structures, Dean of the Construction-Technology Faculty

Baxtiyor G Juraev

Namangan Engineering Construction Institute

Email: jurayevbahtiyor74@gmail.com
12 I.A. Karimov St., Namangan, 160103, Republic of Uzbekistan

Competitor, Senior Lecturer of the Department of Construction of Buildings and Structures

Elyorbek S Juraev

Namangan Engineering Construction Institute

Email: maclaren1988@mail.ru
12 I.A. Karimov St., Namangan, 160103, Republic of Uzbekistan

Competitor, Senior Lecturer of the Department of Construction of Buildings and Structures

  • Feodosev V.I. (1972). Soprotivlenie materialov [Resistance of material]. Moscow: Nauka Publ., 544. (In Russ.)
  • Zenkevich O.K. (1975). Metod konechnix elementov v texnike [Finite element method on technic]. Moscow, Mir Publ., 542. (In Russ.)
  • Zienkiewicz O.C., Parech C.J., Teply B. (1971). Three-dimensional analysis of buildings composed of floor and wall panels. Pros. Inst. of Civil Engineers, 49, 319–332.
  • Razzakov S.J. (2016). Research of stress-strain state of single-storey buildings with internal partitions under static pulling load of the upper belt of a structure. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, (6), 14–19. (In Russ.)
  • Razzakov S.J., Kholmirzaev S.A. (2017). Influence of frame work strengthening on the stress-strain state of two-storey buildings of low-strength materials. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, (4), 43–49. (In Russ.)
  • Razzakov S.J. (2016). Experimental and theoretical approach to the determination of physical and mechanical characteristics of the material of the walls of the low-strength materials. European Science Review, (7–8), 215–216.
  • Razzakov S.J. (2016). The study of seismic stability of a single-storey building with an internal partition with and without taking into account the frame. European Science Review, (7–8), 217–220.
  • Razzakov S.J., Akhmedov P.S., Chulponov O.G., Mavlonov R.A. (2017). Stretching curved wooden frametype elements “Sinch”. European Science Review, (1–2), 223–225.
  • Bolshakov V.I., Yatsenko Ye.A., Sossu G., Lemer M., Reynuar Zh.M., Kestens Zh., Kormo I. (2000). Yatsenko Ye.A. (Ed.). Osnovy metoda konechnykh elementov [Basis of finite element method]. Dnepropetrovsk, PGASA Publ., 255. (In Russ.)
  • Makeyev V.B. (1975). Staticheskiy raschet zdaniy iz ob"yemnykh blokov metodom konechnykh elementov [Static calculation of buildings from volumetric blocks by the finite element method] (Cand. Sci. (Eng.) Dissertation). Moscow, MISI im. Kuybysheva Publ., 140. (In Russ.)
  • Sinitsin A.P. (1967). Prakticheskiye metody rascheta sooruzheniy na seysmicheskiye nagruzki [Practical methods for calculating structures for seismic loads]. Moscow: Stroyizdat Publ., 145. (In Russ.)
  • Handa K.H. (1972). Inplane vibration of box-type structures. Journal of Sound and Vibration, 21(2), 107–114.
  • Postnov V.A. (1974). Metod konechnykh elementov v raschetakh sudovykh konstruktsiy [Finite element method in calculations of ship structures]. Leningrad: Sudostroyeniye Publ., 342. (In Russ.)
  • Rutishaur H. (1970). Simultaneous iteration method for symmetric matrics. Num. Math., 16(3), 205–223.

Views

Abstract - 116

PDF (Russian) - 83


Copyright (c) 2018 Razzakov S.J., Juraev B.G., Juraev E.S.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.