Calculation of the natural oscillation frequency of the submerged basement subject to pulsed loading

Cover Page

Abstract


The aim of work. To determine the dynamic stiffness at considering vertical and horizontal vibrations of embedded foundations on a conventional and pile base, the possibility of using formulas obtained within the framework of the wave model and SP 26.13330.2012 is considered. Solution technique. Depending on deepening changes, the natural-vibration frequencies of the system oscillations are calculated. The obtained results are compared with the experimental data obtained in a series of impulse dynamic loads performed on foundation models in semi-real conditions. The values of the transverse wave velocities were determined directly on the experimental range from the results of measurements. Results. It is determined that deepening leads to an increase in the frequencies of natural oscillations, both pile foundations and shallow foundations. Full penetration helps to increase natural-vibration frequencies. For horizontal oscillations more than 1.6 times, for vertical oscillations up to 1.4 times. The influence of deepening on shallow foundations is more significant. The advantage of the calculations results and their high agreement with the values obtained during the experiments in the framework of the wave model in comparison with the method from SP 26.13330.2012 is shown. It allows to reliably determining the amplitude-frequency characteristics of the foundations. The results determined in accordance with SP 26.13330.2012, have significantly lower values of the natural-vibration frequencies and do not fully take into account the influence of deepening. The maximum difference with the experimental data for vertical vibrations for a foundation on piles and for a shallow foundation is 33 %. In case of horizontal fluctuations, the maximum differences are from 20 % for a shallow foundation and up to 27 % for a pile foundation.


Введение В настоящее время существуют требования к точности результатов при расчетах колебаний фундаментов [1-3]. В связи с этим в используемых моделях необходимо более полно учитывать динамические характеристики системы «заглубленный фундамент - основание» [4-10]. Так, увеличение жесткости фундамента за счет взаимодействия с окружающей средой заглубленных боковых граней приводит к повышению частот его собственных колебаний, что подтверждается экспериментами, проведенными на опытном полигоне, в лабораторных и натурных условиях [3; 5; 10-12]. Таким образом, учет влияния плотного контакта боковой поверхности фундамента с окружающим грунтом при расчетах и проектировании фундаментов под машины позволит определить более точные значения амплитудночастотных характеристик колебаний системы в целом [4; 6; 12; 13]. Вместе с тем при проведении расчетов на этапе проектирования или исследования характеристик обычных и свайных заглубленных фундаментов наблюдается расхождение полученных результатов с данными экспериментальных исследований [5; 10; 12]. Возможно, существует необходимость учитывать геометрию фундамента и другие его индивидуальные характеристики, чтобы повысить точность расчетов, однако это требует детального исследования [14; 15]. Необходимо отметить, что вычисление динамической жесткости фундамента является важной и актуальной инженерной задачей, так как правильность определения собственной частоты колебаний системы «фундамент - машина» позволяет предупредить возникновение резонансных явлений. При этом на практике желательно получать достоверные результаты, используя при расчетах достаточно простые соотношения. В связи с этим настоящая работа посвящена проведению инженерных расчетов с использованием формул из [4; 14] для определения собственной частоты при вертикальных и горизонтальных колебаниях фундаментов с учетом их заглубления и сопоставлению результатов с данными, полученными в ходе экспериментов на опытном полигоне. Методика исследования С целью оценки влияния заглубления на собственные частоты при вертикальных и горизонтальных колебаниях фундаментов были проведены экспериментальные исследования, схема которых представлена на рис. 1. Испытывались два специально изготовленных фундамента, один из которых свайный (Ф-1), а другой - на естественном основании (Ф-2). Опытный фундамент Ф-1 был выполнен в виде монолитного железобетонного ростверка с габаритными размерами 1,0×1,0×1,0 м, опирающегося на 4 жестко закрепленные сваи диаметром 114 мм с рабочей длиной 2 м, изготовленные из металлических труб с толщиной стенки 6 мм. Расстояние между осями свай, равное шести с половиной диаметрам, составляло 750 мм и исключало их взаимное влияние в кусте [15]. Монолитный фундамент на естественном основании Ф-2 имел аналогичные с фундаментом Ф-1 размеры - 1,0×1,0×1,0 м. Опалубкой при бетонировании опытных фундаментов служили тщательно выровненные стенки котлована. Грунт опытного полигона до глубины 9,3 м состоял из лессовидной маловлажной твердой супеси с удельным весом 17,0 кН/м3 и модулем деформации Е = 14 МПа, подстилаемой полутвердыми суглинками. Грунтовые воды на площадке отсутствовали. а б Рис. 1. Схема опытных фундаментов Ф-1 (а) и Ф-2 (б): h - высота засыпки; d - глубина заложения [Figure 1. Experimental foundation layout F-1 (a) and F-2 (б): h - backfill height; d - foundation depth] По одинаковой методике выполнялись серии импульсных динамических нагружений (по 20 раз) при различных вариантах заглубления. Импульсная нагрузка прикладывалась с помощью стального груза, имеющего форму параллелепипеда, массой 6 кг. Для получения нагрузки в вертикальном направлении груз свободно падал на поверхность испытуемого фундамента с высоты 1,0 м. Для создания нагружения в горизонтальном направлении использовался маятник, подвешенный над боковой гранью фундамента на высоте 1,0 м, груз на бечевке опускался с высоты 1,0 м и ударял в верхнюю кромку фундамента. При полном заглублении фундамента, чтобы не создавать помехи, вблизи точки воздействия незначительная часть грунта была удалена. Для определения собственных частот колебаний использовалась аппаратура АВМ-1, позволяющая регистрировать колебания и одновременно обрабатывать получаемую информацию, включающая пять трехкоординатных датчиков виброакселерометров марки ADXL, аналого-цифровой преобразователь (АЦП) и персональный компьютер. Датчик представлял собой металлический корпус, выполненный в виде куба, с возможностью его закрепления на поверхности фундамента, с установленными внутри платами с инте- - для свайных фундаментов суммированием жесткости на боковой поверхности заглубленногральными двухканальными акселерометрами. го ростверка K1 и жесткостей K2 каждой из N Основные характеристики виброакселерометра - измерительный диапазон ±5 g, спектральная плотность шума 250 μg/√Hz rms. Датчики подключались к АЦП с помощью соединительных свай в основании: N Kz = Kz1 + å Kz 2i , i=1 N Kx = Kx1 + å Kx 2i ; i=1 (1) кабелей. В качестве АЦП использовался внешний модуль Е14-140 производства L-CARD. Диапазон - для фундаментов на естественном основании суммированием жесткостей по боковой поизмерений применяемой аппаратуры представлен на рис. 2. верхности заглубленного фундамента его подошвой K3 : K1 и под Kz = Kz1 + Kz3 , Kx = Kx1 + Kx3. (2) Вертикальная жесткость по боковой поверхности заглубленного ростверка или фундамента определяется по формуле где ρ0 K = V ρ S h, 2 z1 s0 0 w1 · плотность грунта засыпки; Vs0 · скорость поперечных волн в засыпке фундамента (ростверка); h - высота засыпки; Sw1 - коэффициент, определяемый безразмерной частотой ко- Рис. 2. Диапазон измерений применяемой аппаратуры: лебаний a0 = rw/Vs0 и геометрической формой - область измеряемых параметров; - виброметр АВМ-1 [Figure 2. Measuring range of the vibration equipment: в плане заглубленного фундамента (ростверка); ω - круговая частота колебаний; r - характер- - area of measuring parameters; - vibrometer АVM-1] ный размер: r = r0 для круглого в плане фунда- Данные измерений для каждого из фундамента с радиусом r0, r = ab / π для прямоугольментов Ф-1 и Ф-2 сравнивались с результатами инженерных расчетов, полученных при использовании аналитических выражений, предложенного в плане тела со сторонами a и b [1; 4; 14]. Например, для круглого в плане тела ных в [4; 14] и СП 26.13330.2012. S (a ) = 2πa J0 (a0 )J1 (a0 ) + Y0 (a0 )Y1 (a0 ) , Собственные частоты колебаний фундаментов, lz при вертикальных и lx при горизонтальных колебаниях фундаментов определяются согласно 0 0 0 0 w1 0 0 J 2 (a ) + Y 2 (a ) где J0, J1, Y0, Y1 - функции Бесселя первого и второго рода. Вертикальная жесткость одиночной сваи оп- λz = Kz , m λx = Kx , m ределяется по формуле Kz 2 = Ep Ap f19.1 , где Kz , Kx · вертикальная и горизонтальная rp жесткости фундамента соответственно; m - масса фундамента. где Ep · модуль упругости материала сваи; Ap - Подход к определению динамической жесткости заглубленных фундаментов, основанный площадь поперечного сечения сваи; rp - радиус на волновых моделях, предполагает суммирокруглой сваи (или rp = c / p в случае квадратвание значений, найденных отдельно для боконой в сечении сваи со стороной c); f19.1 - коэфвой поверхности, подошвы и свай при их налифициент, определяемый по табл. 1, согласно [7] чии [1; 9]. Вертикальные (z) и горизонтальные (x) жестзависящий от соотношений L / rp и Ep / G , где L - кости заглубленных опытных фундаментов определяются следующим образом: s длина сваи; G = V 2ρ - модуль сдвига грунта; ρ - плотность грунта, который прорезает свая. Таблица 1 где V = E γ ; γ - удельный вес материала Коэффициенты вертикальной жесткости f19.1 сваи. c p p p для висячих свай [Table 1. Vertical stiffness coefficients for friction piles] f19.1 Горизонтальная жесткость под подошвой фундамента определяется по формуле L / rp E p / G 10000 2500 1000 500 250 10,8696 0,0021 0,0052 0,0104 0,0187 0,0332 21,7391 0,0031 0,0083 0,0166 0,0301 0,0509 32,6087 0,0042 0,0104 0,0218 0,0364 0,0571 43,4783 0,0042 0,0125 0,0260 0,0405 0,0582 46,7391 0,0052 0,0135 0,0270 0,0416 0,0582 54,3478 0,0052 0,0145 0,0281 0,0416 0,0582 65,2174 0,0062 0,0166 0,0291 0,0416 0,0582 76,0870 0,0062 0,0177 0,0301 0,0416 0,0582 86,9565 0,0073 0,0187 0,0301 0,0416 0,0582 100,0000 0,0083 0,0197 0,0301 0,0416 0,0582 K = V 2ρrF , x3 s 1x где F1x · коэффициент, определяемый согласно [1]: 1x 0 F = 4,86 - 0, 2a2 . Результаты исследований Вертикальная жесткость под подошвой фундамента определяется по формуле z3 s 1z K = V 2ρrF , Результаты измерений и расчетов частот собственных колебаний фундаментов Ф-1 и Ф-2 приведены в табл. 2 и 3 соответственно. Для каждого испытуемого фундамента производилась регистрация частот собственных колебаний и одновременный расчет по формулам (1), (2) для различных уровней их относительного заглублегде ρ - плотность грунта; Vs · скорость попения h/d = 1; 0,75; 0,5; 0,25; 0. Вычисления проворечных волн в грунте ниже подошвы фундадились согласно [4] для круглого в плане фундамента, [14] для прямоугольного в плане тела и мента; F1z - коэффициент определяемый сосогласно СП 26.13330.2012. При определении гласно [1]: 2 F1z = 5, 33 - 0, 9a0 . суммарной жесткости свай в основании их взаимное влияние не учитывалось [15]. Необходимо отметить, что при расчетах ис- Горизонтальная жесткость по боковой попользовались значения скоростей поперечных верхности заглубленного ростверка или фундамента определяется по формуле волн Vs , определенных непосредственно на где Su1 2 Kx1 = Vs0ρ0Su1h, - коэффициент, согласно [1; 4; 14] свяопытном полигоне с помощью метода описанного в [16]. Для этого использовались две, погруженные в грунт на расстоянии 2 м друг от друга металлические сваи «источник» и «приемник» занный с безразмерной частотой колебаний a0 и геометрической формой заглубленного фундамента (ростверка). Например, для круглого в плане тела S (a ) = pa2 [1 + 2 J0 (a0 )J 2 (a0 ) + Y0 (a0 )Y2 (a0 ) ] . диаметром 76 мм и длиной 1500 мм, имеющие на верхних торцах металлические пластины с закрепленными трехкоординатными вибродатчиками. При ударе по свае-источнику регистрировались импульсы на ней и на свае-приемнике. По времени прохождения импульса между сваями u1 0 0 2 2 J0 (a0 ) + Y0 (a0 ) Горизонтальная жесткость одиночной сваи определяется по формуле определялась скорость поперечных волн в грунте в зависимости от вертикального или горизонтального направления приложения импульсной нагрузки. Значения скоростей для грунта опыт- Kx 2 Ep I p = r 3 p f11.1 , ного полигона определены как Vs1= 146 м/с - при приложении нагрузки в вертикальном направлении и Vs2= 105 м/с - при приложении нагрузки в где I p - момент инерции сечения сваи; f11.1 - горизонтальном направлении. Разные значения, коэффициент, определяемый согласно [16]: полученные в зависимости от направления удара, свидетельствуют об анизотропии скоростей упf = 7, 25(V /V )2 + 0, 38(V /V ) - 0, 0013 , 11.1 s c s c ругих волн в грунте [17]. Частоты собственных колебаний фундамента Ф-1 [Table 2. Natural frequencies of the foundation F-1] Таблица 2 № п/п Заглубление, h/d [Deepening, h/d] Измеренная частота, Гц [Measured frequency, Hz] Расчетная частота, Гц [Theoretical frequency, Hz] СП 26.13330.2012 [SP 26.13330.2012] [4] [14] Гор. [Hor.] Верт. [Vert.] Гор. [Hor.] Верт. [Vert.] Гор. [Hor.] Верт. [Vert.] Гор. [Hor.] Верт. [Vert.] 1 1,00 42,47 54,54 31,04 36,17 39,97 56,59 41,33 59,01 2 0,75 41,43 52,25 30,09 35,46 36,96 54,33 39,57 56,23 3 0,50 38,71 50,00 28,60 34,75 35,92 51,96 37,73 53,29 4 0,25 33,85 47,61 26,48 33,27 34,85 49,49 35,79 50,19 5 0,00 30,03 45,40 24,17 31,72 33,75 46,88 33,75 46,88 Частоты собственных колебаний фундамента Ф-2 [Table 3. Natural frequencies of the foundation F-2] Таблица 3 № п/п Заглубление, h/d [Deepening, h/d] Измеренная частота, Гц [Measured frequency, Hz] Расчетная частота, Гц [Theoretical frequency, Hz] СП 26.13330.2012 [SP 26.13330.2012] [4] [14] Гор. [Hor.] Верт. [Vert.] Гор. [Hor.] Верт. [Vert.] Гор. [Hor.] Верт. [Vert.] Гор. [Hor.] Верт. [Vert.] 1 1,00 36,10 45,76 28,83 30,30 34,68 44,74 38,27 47,79 2 0,75 32,25 42,30 27,95 29,70 32,08 41,83 35,01 44,29 3 0,50 28,80 39,50 26,56 29,10 29,25 38,70 31,41 40,49 4 0,25 25,45 35,25 24,60 27,85 26,11 35,30 27,34 36,29 5 0,00 22,30 31,15 22,45 26,56 22,55 31,54 22,55 31,54 60 60 lz l z l z 50 50 lx [3] lz lx l x l x 40 40 30 30 20 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 h/d 20 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 h/d а б Рис. 3. Зависимость резонансных частот lx, lz от величины относительного заглубления h/d фундамента: а - Ф-1; б - Ф-2. Штриховые линии - данные измерений авторов (—) и [3] (à); сплошные линии - результаты расчетов согласно [4] (·), [14] ( ) и СП 26.13330.2012 ( ) [Figure 3. Correlation of the resonant frequencies lx, lz from the relative depth of foundation h/d: a - F-1; б - F-2. Dashed lines - the results of measurements of the authors (—) and [3] (à); solid lines - the results of calculations according to [4] (·), [14] ( ) and SP 26.13330.2012 ( )] Из результатов экспериментов, проведенных на опытном полигоне, следует, что увеличение заглубления приводит к повышению частот собственных колебаний как свайных фундаментов, поверхностью заглубленного фундамента, взаимодействующей с грунтом и, как следствие, большей жесткостью. Рассматривая результаты, полученные с истак и фундаментов на естественном основании. пользованием Sw1 и Su1 , определяемым по фор- Изменение частот от заглубления имеет фактически линейную зависимость (рис. 3). Полное заглубление способствует увеличению частот при горизонтальных колебаниях для свайного фундамента в 1,5 раза, для фундамента на естественном основании более чем в 1,6 раз, при вертикальных колебаниях для свайного фундамента в 1,3 раза, для фундамента на естественном основании в 1,4 раза. Можно отметить, что для фундаментов на естественном основании заглубление более значительно влияет на изменение частот собственных колебаний, чем для свайных. В качестве подтверждения полученных результамулам [4] для круглого в плане тела, различие с опытными данными при горизонтальных колебаниях оценивается от 6 до 12,5 % для свайных фундаментов и до 4 % для фундаментов на естественном основании. Большая величина расхождения зафиксирована при заглублении h/d = 0 как следствие погрешности вычисления суммарной жесткости свай в основании. При вертикальных колебаниях различие с опытными данными меньше - до 4 % для свайных фундаментов, около 2 % для фундаментов на естественном основании. При оценке результатов, полученных со знатов измерений на рис. 3, б представлены данные чениями Sw1 и Su1 , рассчитанными на основаиз [3] для фундамента аналогичных размеров и со схожими свойствами грунта. Приведенные в табл. 2 и 3 результаты, полученные согласно СП 26.13330.2012, иллюстрируют значительно более низкие значения рассчитанных частот собственных колебаний, чем были определены в ходе опытных замеров. Можно сделать вывод, что заглубление в данном случае учитывается не в полной мере. Это подтверждается тем, что максимальное расхождение с экспериментальными данными составляет при вертикальных колебаниях для фундамента на сваях и на естественном основании - 33 %. В случае горизонтальных колебаний максимальные расхождения составляют от 20 % для фундамента на естественном основании до 27 % для свайного фундамента. Таблицы и рис. 3 отображают результаты, полученные при проведении инженерных расчетов с использованием формул (1), (2) для определения жесткостей заглубленных фундаментов на сваях и на естественном основании. При вычислении частот собственных колебаний фундаменнии [14] для прямоугольного в плане тела, получаем, что при горизонтальных колебаниях различие с опытными данными составляет от 3 до 12,5 % для свайных фундаментов и 6 % для фундаментов на естественном основании. Здесь также максимальное расхождение получено при заглублении h/d = 0 в ходе вычисления жесткостей свай в основании. При вертикальных колебаниях различие с опытными данными не превышает 8 % для свайных фундаментов и 4 % для фундаментов на естественном основании. Выводы По результатам проведенных исследований можно сделать следующие выводы. Определено, что соотношения и формулы [4; 14], полученные в рамках волновой модели и применяемые для расчета динамических жесткостей при рассмотрении вертикальных и горизонтальных колебаний заглубленных фундаментов на обычном и свайном основании, позволяют получать более точные результаты при определении резотов коэффициенты Sw1 и Su1 определялись сонансных частот по сравнению с методом предгласно [4] для круглого в плане тела и [14] для прямоугольного в плане тела. На основании представленных значений частот можно утверждать, что расчеты в рамках используемых приближений позволяют получить хорошее совпадение с экспериментальными данными. Частоты для прямоугольного в плане тела имеют более высокие значения, что объясняется большей боковой ложенным в СП 26.13330.2012, что подтверждается сравнением результатов с данными экспериментальных исследований, выполненных в полунатурных условиях. Частоты колебаний, найденные с использованием рассмотренных формул, показывают лучшее приближение к частотам, определенным опытным путем, по сравнению с существующими методами действующих норм. Сравнение результатов по определению частот собственных колебаний не выявило явного преимущества в использовании формул для круглого или квадратного в плане тела, что делает желательным дальнейшие исследования заглубленных фундаментов под динамическими нагрузками при значительном различии в соотношении их сторон и анализ амплитудной характеристики колебаний системы.

Aleksei O Kolesnikov

Novosibirsk State University of Architecture and Civil Engineering

Author for correspondence.
Email: ao_kolesnikov@mail.ru
113 Leningradskaya St., Novosibirsk, 630008, Russian Federation

Cand. Sci. (Eng.), Associate Professor, Department of Engineering Geology, bases and foundations

Vladimir N Popov

Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, SB RAS

Email: popov@itam.nsc.ru
4/1 Institutskaya St., Novosibirsk, 630090, Russian Federation

Dr Sci. (Phys.-Math.), Chief Researcher, Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

  • Zabylin M.I. (1983). Raschet fundamentov pod mashinyi [Calculation of machine foundations]. Novosibirsk: NISI Publ., 83. (In Russ.)
  • Pyatetskiy V.M., Aleksandrov B.K., Savinov O.A. (1993). Sovremennye fundamenty mashin i ikh avtomatizirovannoe proektirovanie [Modern foundations of machines and their automated design]. Moscow: Stroiizdat Publ., 416. (In Russ.)
  • Koloushek V. (1965). Dinamika stroitel'nyikh konstruktsiy [Dynamics of building structures]. Moscow: Stroiizdat Publ., 632. (In Russ.)
  • Baranov V.A. (1967). O raschete vyinuzhdennyikh kolebaniy zaglublennogo fundamenta [On the calculation of forced oscillations of the deepening foundation]. Voprosy dinamiki i prochnosti, Trudyi Rizhskogo politekhnicheskogo instituta, (14), 195–209. (In Russ.)
  • Semizhonov Y.M. (1973). Vynuzhdennyye vertikal'nyye kolebaniya massivnyikh fundamentov, zashchemlennyikh v grunte [Forced vertical oscillations of massive foundations restrained in ground]. Trudy koordinatsionnyikh soveshchaniy po gidrotekhnike. Energiya Publ., 46–51. (In Russ.)
  • Alekseyev B.G., Shvets N.S., Agranovskiy G.G., Rakhlin Y.B. (1978). O raschetakh zashchemlennyikh v grunte massivnyikh fundamentov pod mashinyi s dinamicheskimi nagruzkami [On calculations of massive foundations restrained in ground under machines with dynamic loadings]. Izvestiya vuzov. Stroitel'stvo i arkhitektura, (1), 31–37. (In Russ.)
  • Novak M., El Sharnouby B. (1983). Stiffness and damping constants for single piles. Geotechnical Engineering, 109, 961–974.
  • Kholmyanskiy M.L. (1991). Uchet vliyaniya zaglubleniya i bokovoy zasyipki fundamentov mashin na dinamicheskie svoystva ikh osnovaniya [Accounting for influence of the deepening and backfilling of machine foundations on the dynamic properties of their foundations]. Osnovaniya, fundamentyi i mekhanika gruntov, (5), 17–19. (In Russ.)
  • Kolesnikov A.O., Popov V.N. (2009). Otsenka vliyaniya zaglubleniya rostverka pri kolebaniyakh svaynogo fundamenta [Evaluation of deepening influence of the pilecap under the oscillations of the pile foundation]. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 5(2), 55–61. (In Russ.)
  • Kolesnikov A.O., Popov V.N. (2010). Eksperimental'nyie issledovaniya zaglubleniya rostverka pri kolebaniyakh svaynogo fundamenta [Experimental investigation of pile-cap deepening at oscillations of the pile foundation]. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, (4), 75–80. (In Russ.)
  • Nath U.K., Hazarika P.J. (2013). Lateral resistance of pile cap – an experimental investigation. International Journal of Geotechnical Engineering, 7(3), 266–272.
  • Bhowmik D., Baidya D.K., Dasgupta S.P. (2016). A numerical and experimental study of hollow steel pile in layered soil subjected to vertical dynamic loading. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 85, 161–165.
  • Ali O.S., Aggour M.S., McCuen R.H. (2016). Dynamic of soil-pile interactions for machine foundations. International Journal of Geotechnical Engineering, 8, 236–247.
  • Nuzhdin L.V., Kolesnikov A.O. (2004). K otsenke dinamicheskikh reaktsiy na konture pryamougol'nogo vyireza v beskonechnoy plastine [To an estimation of dynamic reactions on the contour of a rectangular cut in an infinite plate]. Izvestiya vuzov. Stroitel'stvo, (5), 22–31. (In Russ.)
  • Kolesnikov A.O., Popov V.N. (2017). Dinamicheskie reaktsii na konturakh krugovyikh vyirezov s uchetom ikh vzaimnogo raspolozheniya pri kolebaniyakh plastinyi [Dynamic reactions on contours of circular cuts taking into account their mutual arrangement at plate oscillations]. Izvestiya VNIIG im. B.Ye. Vedeneeva, 283, 3–10. (In Russ.)
  • Chowdhury I., Dasgupta S.P. (2008). Dynamics of Structure and Foundation – A Unified Approach: 1. Fundamentals. CRC Press, 882.
  • Petrashen' G.I. (1980). Rasprostraneniye voln v anizotropnyikh uprugikh sredakh [Propagation of waves in anisotropic elastic media]. Leningrad: Nauka Publ., 280. (In Russ.)

Views

Abstract - 152

PDF (Russian) - 78


Copyright (c) 2018 Kolesnikov A.O., Popov V.N.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.