DISTRIBUTION OF LOAD AND BENDING STRESSES ALONG THE LENGTH OF THE THICK PLATE FIXED IN THE BASE WHEN AN INITIAL ANGLE BETWEEN IT AND THE DETAIL CONTRACTING WITH IT

Cover Page

Abstract


The paper describes a method for determining coefficients of load and bending-stress distribution along a rigidly fixed thick plate which is in edge contact with the other part when no load is applied. The method is based on the solution of integral Volterra equation which binds angle between contacting elements and components of strain.


В строительных конструкциях и механических системах обычно имеет место хотя бы небольшое начальное неприлегание одного из сопрягаемых элементов к другому в силу неизбежных погрешностей их изготовления и монтажа (рис. 1). Это приводит к неравномерному распределению нагрузки и напряжений изгиба по длине контактирующих тел, что снижает ресурс сооружения или механизма и может явиться причиной преждевременного выхода его из строя. Такому негативному влиянию погрешностей изготовления и монтажа на работоспособность подвержены плиты, соединения элементов машин и механизмов, содержащие детали в виде толстых пластин, заделанных в основание и контактирующих с другими деталями. В изделиях машиностроения к ним можно отнести кулачковые муфты, зубья колес, плунжерные механизмы [1,2,3]. Рис. 1. Сопряжение элементов конструкции при наличии угла начального неприлегания В связи с этим важно установить законы распределения нагрузки и напряжений изгиба по длине сопрягаемых элементов, без чего невозможно осуществить рациональное проектирование сооружения или механизма. Большое влияние на указанные силовые факторы оказывает податливость основания и пластины в месте заделки. Пластина в месте ее заделки представляет собой балку на упругом основании и ее деформация может быть выражена через погонную нагрузку и жест- кость упругого основания (рис. 2). Тогда уравнение деформированной пластины в месте ее заделки в основание примет следующий вид: где . - ширина плиты, Е - модуль упругости перво- го рода, k = 1,2, , коэффициент Пуассона материала сопрягаемых элементов, , - толщина плиты. Учитывая, что балка испытывает стесненный изгиб, закон изменения погонной нагрузки носит характер апериодических затухающих колебаний. Это имеет место при , или . Тогда погонная нагрузка, обусловленная действием внешних силовых факторов, . Постоянные интегрирования А, В определим из уравнений статики: , , здесь - длина пластины в зоне ее сопряжения с основанием, - средняя погонная нагрузка в указанной зоне. В соответствии с этим перемещение места приложения силы в направлении линии ее действия, обусловленное податливостью основания, . (1) Для установления законов распределения нагрузки и напряжений изгиба зубьев по их длине b при наличии угла начального неприлегания ? рассмотрим напряженно-деформированное состояние зуба под действием нормальной погонной нагрузки W(z) и главных нормальных напряжений в его основании ?(z) (рис. 3). Разница моментов, создаваемых указанными силовыми факторами, ведет к кручению зуба относительно оси . С учетом этого уравнения связи угла начального неприлегания и деформаций зуба принимают следующий вид: , (2) . (3) Здесь - модуль упругости второго рода; - момент инерции поперечного сечения пластины при кручении относительно продольной оси (определяется по приближенной зависимости, как для стержня прямоугольного сечения: [4], где коэффициент, зависящий от отношения высоты сечения к его ширине); - плечо погонной нагрузки относительно центра изгиба пластины; текущее значение погонного момента, создаваемого напряжениями изгиба , - изгибная удельная податливость пластины, определяемая через смещение точки приложения нагрузки относительно центра изгиба ( ; и - средние погонные момент изгиба и нормальная нарузка ( ); - составляющая суммарной удельной податливости, . Перемещения в направлении линии действия нагрузки и соответствующие Рис. 3. К определению законов распределения нагрузки и напряжений изгиба по длине пластины им удельные податливости сдвига и изгиба определяются с использованием интегралов Мора [4,5]: , . Удельная податливость, вызванная деформативностью основания, , где перемещение определяется по выражению (1). Суммарная удельная податливость пластины (контактной податливостью пренебрегаем ввиду ее малости). Подстановка равенства (3) в (2) с учетом уравнения статики дает , (4) где , . Уравнение (4) представляет собой неоднородное интегральное уравнение Вольтерра с ядром, зависящим от разности аргументов, которое в операторной форме имеет следующий вид: . Решение уравнения методом операционного исчисления и последующая подстановка его в равенства (2), (3) позволяет найти законы изменения погон- ной нагрузки и погонного момента, вызванного действием напряжений изгиба. Так, переходя от изображения к оригиналу, получим , . Найденный погонный момент выражается через нормальные напряжения изгиба в основании пластины (см. рис. 3), причем зависимость близка к линейной: , где - максимальное значение напряжения изгиба в произвольном поперечном сечении зуба, D - коэффициент пропорциональности. Поэтому отношение максимального погонного момента к среднему можно представить в виде равенства ( - среднее значение напряжения изгиба в крайних точках сечения). В соответствии с этим определяются максимальные значения силовых факторов и коэффициенты неравномерности их распределения, соответствующие : , . Рис. 4. Распределение относительной нагрузки и относительного момента изгиба пластины по ее длине ( ) при , , , H/s = 2, B = b/s =5 На рис. 4-6 представлены графики изменения относительной нагрузки , относительного момента и соответствующих им коэффициентов неравномерности и в зависимости от безразмерных величин , , . На рис. 7 - то же для пластины, заделанной в жесткое основание (при ). Анализ приведенных выражений и построенных по ним графиков показывает, что деформативность толстой пластины в месте заделки в основание оказывает существенное влияние на ее напряженно-деформированное состояние. При наличии начального неприлегания заделанной в основание пластины и контактирующей с ней детали нагрузка в зоне контакта распределяется менее равномерно, чем изгибающий момент и соответствующие ему напряжения изгиба пластины. Это обусловлено ее кручением и появлением в результате этого касательных напряжений в сечениях, перпендикулярных продольной оси , которые создают поддерживающий эффект, передавая изгибающий момент от одного сечения к другому. Рис. 5. Зависимость коэффициентов неравномерности распределения нагрузки KW и напряжений изгиба пластины K? от ее относительной длины B = b/s при ? = ?bE/W = 30, l/s = 1, h/s = 2, H/s = 2, Рис. 6. Зависимость коэффициентов неравномерности распределения нагрузки KW и напряжений изгиба пластины K? от относительного угла начального неприлегания контактирующих тел ? при l/s = 1, h/s = 2, H/s = 2, Рис. 7. Распределение относительной нагрузки F(z) и относительного момента изгиба пластины T(z) по ее длине (Z = z/b)) при ? = ?bE/W = 30, l/s = 1, h/s = 2, H/s = 2, B = b/s = 5 и жестком основании При отношении длины пластины к ее толщине не менее 6, суммарной ши- рине, в три раза превышающей толщину, и отношении плеча приложенной к пластине силы к ее толщине, равном двум, коэффициент неравномерности распределения нагрузки превышает коэффициент неравномерности распределения напряжений изгиба не более чем на 7% , с уменьшением относительной длины пластины эта разница возрастает, с увеличением - падает. Использование полученных зависимостей при расчете строительных конструкций и механических систем на прочность и жесткость позволит более точно определить их нагру- зочную способность, исследовать виброакустические характеристики.

F I PLEKHANOV

Kalashnikov Izhevsk State Technical University

Author for correspondence.
Email: fplehanov@list.ru
426069, Удмуртия, г. Ижевск, ул. 7 Подлесная, дом 100, корп. 2, кв. 44

доктор технических наук, профессор

  • Novikov, A.S., Golovanov, V.V., Dorofeyev, V.L., Dorofeyev, D.V. (2014). Design of optimal ge-ometry, stress, stiffness, vibration and terminology of asymmetrical and HCR gears for aircraft. Proceedings of the International Symposium “Theory and Practice of Gearing“, Russia, Izhevsk. 129—140.
  • Plekhanov, F.I.,Kuznetsov, V.S. (2010). Deformability of elements of a planetary gear transmission. Russian Engineering Research, 30(6). 557—560.
  • Frenkel, I.N. (1964). Influence of resilient deformation of part of rim, adherent to the tooth, on inflexibility of hooking. Voprosy Geometrii i Dinamiki Zubchatyh Peredech: Nauka. 105—131.
  • Axmetzaynov, M.X., Lazarev, I.B. (2011). Strength of Materials, М.: URAYT. 299.
  • Han, H. (1988). Theory of Elasticity. Bases of Linear Theory and its Application. М.: Mir. 344.

Views

Abstract - 172

PDF (Russian) - 20


Copyright (c) 2017 PLEKHANOV F.I.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.