A MATHEMATICAL MODEL OF DISCRETIZATION OF ARTICULATED AXISYMMETRIC SHELLS WITH DIFFERENT VALUES OF PHYSICAL-MECHANICAL CHARACTERISTICS OF MATERIALS

Cover Page

Abstract


It is described an algorithm for calculating axisymmetric articulated shells with different physical and mechanical characteristics of materials based on the FEM using scalar and vector interpolations of displacement fields. As part of the sampling, a curved fragment of the merid- ian of the shell with nodes i and j is used. The analysis of VAT thin-walled structures made of heterogeneous materials in the form of a cylinder, articulated to the sphere and ellipsoid is fulfilled.


Конструкции из сочлененных осесимметричных оболочек с различными физико-механическими свойствами материалов, из которых они изготовлены, находят широкое применение в различных отраслях строительства и машино- строения. Анализ напряженно-деформированного состояния (НДС) такого рода конструкций в настоящее время выполняется, в основном, на основе численных методов, в частности метода конечных элементов (МКЭ) [1-8]. Применяемые для этих целей зарубежные вычислительные комплексы типа ANSYS, ABAQUS, NASTRAN и другие используют в криволинейных системах коорди- нат неинвариантную интерполяцию отдельных компонент вектора перемеще- ний как скалярных величин, что приводит в ряде случаев [9, 10] к получению некорректных значений расчетных величин. Поэтому актуальной остается зада- ча создания новых вычислительных алгоритмов, основанных на инвариантной интерполяции полей перемещений как векторных величин. В настоящей работе излагается алгоритм конечно-элементного расчета осесимметрично нагружен- ных сочлененных оболочек с различными значениями физико-механических характеристик материалов на основе инвариантного способа интерполяции по- лей перемещений как векторных величин. 1. Геометрия оболочки Срединная поверхность осесимметричной оболочки описывается радиус- вектором: (1) где - радиус вращения. Орты локального базиса точки срединной поверхности осесимметричной оболочки определяются по формулам: (2) где нижний индекс 1 после запятой обозначает операцию дифференцирования по дуге меридиана . На основании (2) можно сформировать прямую и обратную матричные за- висимости: , (3) где Производные ортонормированного базиса (3) по дуге меридиана могут быть выражены через этот же локальный базис зависимостями: (4) где . Положение точки, отстоящей от срединной поверхности на расстоянии , до и после деформирования определяется радиус-векторами: (5) Входящий в (5) вектор перемещения точки, отстоящей от срединной по- верхности на расстоянии , с учетом гипотезы прямой нормали определяется выражением: (6) где - вектор перемещения точки срединной поверхности; - орт нормали к срединной поверхности в деформированном состоянии. Деформации в точке, отстоящей от срединной поверхности на расстоянии , определяются соотношениями механики сплошной среды [11]: (7) где греческие индексы последовательно принимают значения 1, 2. Входящие в (7) ковариантные компоненты метрического тензора до и по- сле деформирования определяются скалярными произведениями базисных век- торов: (8) где 2. Конечный элемент и интерполяция перемещений В качестве конечного элемента выбирается криволинейный фрагмент ме- ридиана оболочки, выделенный двумя плоскостями перпендикулярными оси , с узлами и . Каждый такой фрагмент для удобства численного интег- рирования отображается на отрезок в локальной системе координат . Столбец узловых варьируемых параметров в локальной и глобальной системах координат выбирается в следующем виде: (9) где ; . Здесь под понимается меридиональная или нормальная компонента вектора перемещения. 3. Варианты интерполяционной процедуры В разработанном алгоритме реализованы два варианта интерполяции пере- мещений. В первом варианте использована общепринятая интерполяция от- дельных компонент вектора перемещения как скалярных величин (10) где - матрица-строка, представленная полиномами Эрмита пятой степени, - матрица перехода от столбца к столбцу . Во втором варианте интерполяционное выражение записывается непосред- ственно для вектора перемещения в следующем виде: (11) где - матрицы - стро- ки векторных узловых неизвестных в локальной и глобальной системах коор- динат; - матрица перехода от столбца к столбцу . Представляя входящие в структуру векторы перемещения узлов и их производные компонентами, отнесенными к узловым локальным базисам: (12) столбец можно представить матричным произведением (13) где Столбец может быть выражен через столбец узловых неизвестных в глобальной системе координат с помощью матричной зависимости (14) С учетом (14) интерполяционное выражение (11) может быть представлено в виде: (15) где матрица определяется из равенства Входящие в узловые орты базисов с помощью (3) могут быть выраже- ны через орты базиса внутренней точки элемента дискретизации (16) С учетом (16) матрица может быть представлена матричной суммой: . (17) Принимая во внимание (17) и представляя вектор перемещения внутренней точки элемента дискретизации компонентами, отнесенными к локальному бази- су этой точки, выражение (15) примет следующий вид: (18) где Сопоставляя левую и правую части (18), можно записать интерполяцион- ные зависимости для компонент векторов перемещения во втором варианте ин- терполяционной процедуры: (19) Сравнивая между собой (10) и (19), можно отметить, что во втором вариан- те каждая компонента вектора перемещения внутренней точки элемента дис- кретизации зависит от узловых значений обеих компонент и их производных, в то время как в первом варианте компонента вектора перемещения зависит от узловых значений только этой же компоненты и не зависит от узловых значе- ний другой компоненты. Кроме того, через соотношение (16) в аппроксими- рующие выражения входят параметры используемой криволинейной системой координат. 4. Условия на границе сочленения n оболочек Для корректного определения НДС сочлененных осесимметричных обо- лочек, столбец узловых неизвестных одной из них на границе сочленения при- нимается за основной. Узловые неизвестные остальных оболочек в узле сочленения должны быть выражены через столбец узловых неизвестных основ- ной оболочки, исходя из кинематических и силовых условий сочленения. Первым кинематическим условием сочленения является инвариантность векторов перемещений n оболочек в узле сочленения: (20) где верхний индекс в скобках указывает на номер оболочки. Для того, чтобы воспользоваться соотношением (20), необходимо векторы локального базиса основной оболочки (например -ой) последовательно выра- зить через орты остальных оболочек (21) где С учетом (21) из (20) могут быть получены выражения (22) Вторым кинематическим условием сочленения является предположение о том, что угол между нормалями к срединным поверхностям сочленяемых оболочек в процессе деформирования остается неизменяемым. Вследствие это- го предположения будут справедливы равенства: (23) где ; . После выполнения скалярного умножения из (23) можно выразить произ- водную нормальной компоненты вектора перемещения через узловые неизвест- ные основной ( -ой) оболочки или с учетом (22): (24) В качестве силового условия сочленения оболочек можно рассмотреть статическое условие равновесия по изгибающим моментам в узле сочленения: (25) Входящие в (23) изгибающие моменты могут быть определены по форму- лам [13] (26) где - модуль упругости, толщина и коэффициент Пуассона - ой оболочки; ?11, ?22 - искривления срединной поверхности. Из равенства (25) с учетом (26) можно получить следующее выражение (27) Учитывая, что [13], из соотношения (27) в узле сочленения можно выразить вторую производную нормальной компонен- ты вектора перемещения -ой оболочки через узловые неизвестные -ой обо- лочки и вторые производные нормальной компоненты векторов перемещений остальных оболочек . (28) Узловые неизвестные и всех сочлененных оболочек в узле сопря- жения остаются свободно варьируемыми. С учетом (22), (24) и (28) формируются матрицы преобразований на которые умножаются матрицы жесткости и столбцы узловых усилий конечных элементов непосредственно примыкающих к узлу сочленения оболочек (29) где , - матрица жесткости и столбец узловых усилий конечного элемента -ой оболочки. 5. Пример расчета В качестве примера была рассчитана оболочечная конструкция, состоящая из цилиндра и сочленённых с ним эллипсоида и сферы, радиусы которых опи- сывались уравнениями: (рис. 1). Рис. 1 Были приняты следующие исходные данные: радиус цилиндра длина цилиндра параметры эллипсоида радиус сферы толщина всех трех оболочек была принята равной ; коэффициент Пуассона Первоначально модуль упругости всех оболочек имел одинаковые значения равные . Цилиндр был загружен внутренним давлением интенсивности эллипсоид и сфера - давлением равным Правый торец цилиндра был шарнирно закреплён. Левые концевые сечения эллипсоида и сферы оставались свободными. Расчеты выполнялись в двух вариантах: в первом варианте при формировании матрицы жесткости была использована общепринятая интерполяция отдельных компонент вектора перемещения как скалярных величин (10); во втором варианте была использована интерполяци- онная процедура, основанная на соотношениях (11) - (19). Результаты повари- антного расчета при одинаковых значениях модуля упругости материала ци- линдра и сочлененных с ним оболочек представлены в таблице 1, в которой приведены значения меридиональных и кольцевых напряжений на на- ружной и внутренней поверхностях оболочек в опорном сечении (А-А), в узле сочленения (В-В), в концевом сечении сферы (С-С) и в концевом сечении эллипсоида (D-D) при различных значениях nэ - числа элементов дискретизации каждой из оболочек. В правой крайней колонке приведены значения напряже- ний на срединной поверхности ?ср, вычисленные исходя из условия равновесия (в опорном сечении) и по формуле Лапласа (в концевых сечениях) [13]: где и - радиусы меридиональной и кольцевой кривизны. Таблица 1 Вариант интерпо- ляции I II Аналити- ческое решение (МПа) Сечение 16 20 24 16 20 24 А-А 92,36 92,36 92,36 92,36 92,365 92,365 92,40 92,40 92,39 92,39 92,38 92,38 92,37 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 В-В 109,8 76,18 115,3 70,09 117,8 67,29 109,8 76,22 115,3 70,12 117,8 67,31 - 152,4 142,4 154,0 140,5 154,8 139,6 152,4 142,4 154,0 140,5 154,8 139,6 - С-С -0,021 -0,009 -0,013 -0,008 -0,009 -0,006 0,004 0,011 0,003 0,007 0,0027 0,0047 0,000 112,2 112,2 112,3 112,3 112,3 112,3 112,9 112,9 112,8 112,8 112,7 112,7 112,5 D-D -0,021 0,061 -0,006 0,035 -0,001 0,022 0,027 0,026 0,016 0,017 0,012 0,013 0,000 84,02 81,81 84,23 82,01 83,37 82,14 85,30 83,04 85,14 82,92 85,04 82,83 83,91 Анализ табличных данных показывает быструю сходимость вычислитель- ного процесса, практическое совпадение параметров НДС в обоих вариантах расчета и соответствие численных значений напряжений значениям, получен- ным аналитическим путем. Если модуль упругости материала цилиндра последовательно уменьшать, то цилиндрическая часть оболочечной конструкции будет становиться все более податливой (модули сочлененных оболочек при этом остаются равными перво- начальному значению ), а сочлененные оболочки под дей- ствием заданной нагрузки получат возможность смещаться как абсолютно твердые тела. Результаты повариантных расчетов при последовательном уменьшении модуля упругости материала цилиндра представлены в таблице 2, в которой приведены численные значения напряжений в зависимости от отношения моду- ля упругости материала цилиндра к модулю сферы (эллипсоида) при . Таблица 2 Вариант интерполяции I II 1,0 0,1 0,01 0,001 1,0 0,1 0,01 0,001 Сечение А-А 92,4 92,4 92,4 92,4 92,4 92,4 92,3 92,3 92,4 92,4 92,4 92,4 92,4 92,4 92,4 92,4 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 В-В 115,3 70,1 337,7 -151,2 430,2 -243,3 442,2 -255,3 115,3 70,12 337,8 -151,2 430,2 -243,2 442,2 -255,2 154,0 140,5 130,2 -16,52 132,6 -69,5 133,0 -76,2 154,0 140,5 130,2 -16,5 132,6 -69,5 133,0 -76,2 С-С -0,013 -0,008 -0,2 -0,1 -2,1 -0,8 -21,1 -8,0 0,003 0,007 0,003 0,007 0,003 0,007 0,003 0,007 112,3 112,3 108,4 108,0 69,0 64,9 -324,0 -365,0 112,8 112,9 112,7 112,8 112,7 112,8 112,7 112,8 D-D -0,006 0,035 -0,3 0,4 -2,9 3,6 -29,29 35,62 0,016 0,017 0,016 0,017 0,016 0,017 0,016 0,017 84,2 82,0 75,8 73,2 -9,8 -16,2 -863,2 -908,0 85,1 82,9 85,1 82,9 85,1 82,9 85,1 82,9 Как видно из табл. 2, численные значения контролируемых параметров НДС в концевых сечениях сферы и эллипсоида весьма существенно различают- ся между собой в зависимости от варианта расчета. Так, в первом варианте кольцевые напряжения уменьшаются, а затем изменяют свой знак, что недопус- тимо. Меридиональные напряжения, наоборот, увеличиваются, хотя по усло- вию незагруженности концевых сечений в меридиональном направлении, они должны быть равными нулю. Во втором варианте можно наблюдать практиче- ски абсолютную стабильность результатов вычислительного процесса при лю- бых отношениях модулей упругости материала. Данный факт можно объяснить тем, что при использовании второго варианта интерполяционной процедуры производится автоматический учет смещений элемента дискретизации как же- сткого целого в неявной форме за счет изменения как компонент вектора пере- мещения, так и изменения ортов локального базиса внутренней точки конечно- го элемента. Применение общепринятого способа интерполяции отдельных компонент вектора перемещения как скалярных величин в этих случаях приво- дит к неприемлемой погрешности вычислений. Вывод: при построении КЭ модели дискретизации сочлененных осесим- метричных оболочек с различными значениями физико-механических характе- ристик материала необходимо использовать процедуру, основанную на интер- поляции непосредственно вектора перемещения в сочетании с разработанными кинематическими и статическими условиями сочленения.

Yu V KLOCHKOV

Volgograd State Agricultural University, Volgograd, Russia

Author for correspondence.
Email: Klotchkov@bk.ru
400002, Волгоград, пр. Университетский, 26

доктор техн. наук, профессор

A P NIKOLAEV

Volgograd State Agricultural University, Volgograd, Russia

Email: Klotchkov@bk.ru
400002, Волгоград, пр. Университетский, 26

доктор техн. наук, профессор

T A KISELEVA

Volgograd State Agricultural University, Volgograd, Russia

Email: Klotchkov@bk.ru
400002, Волгоград, пр. Университетский, 26

кандидат техн. наук, доцент

A S ANDREEV

Volgograd State Agricultural University, Volgograd, Russia

Email: Klotchkov@bk.ru
400002, Волгоград, пр. Университетский, 26

аспирант, ассистент

  • Kayumov, R.A., Shakirzyanov, F.R., Gavryushin, S.S. (2014) Modelirovanie processa deformirovaniya i ocenka nesushhey sposobnosti sistemi grunt – tonkostennaya konstrukciya, Izvestiya Vishih Uhebnih Zavedeniy. Mashinostroenie. № 6. S. 20-24.
  • Matvienko, Yu.G., Hernyatin, A.S., Razumovskiy, I.A. (2013). Chislenniy analiz nesingulyarnix sostavlyayushih trexmernogo polya napryazheniy v vershine treshhini smeshannogo tipa, Problemi Mashinostroeniya i Nadejnosti Mashin, № 4, p. 40-48.
  • Skopcov, K.A., Sheshenin, S.V. (2011). Asimptoticheskiy analiz sloistih plastin i pologix obolochek, Izvestiya Rossiyskoy Akademii Nauk. Mekhanika tverdogo tela, № 1, p. 161-171.
  • Bazhenov, V.A., Krivenko, O.P., Solovey, N.A. (2013). Nelineynoe deformirovanie i ustoyhivost’ uprugih oboloshek neodnorodnoy strukturi: modeli, metodi, algoritmi, maloizuhennie i novie zadahi, M.: Librikom, 336 p.
  • Maksimyuk, V.A., Storozhuk, E.A., Chernyshenko, I.S. (2012). Variational finite-difference methods in linear and nonlinear problems of the deformation of metallic and composite shells (review), International Applied Mechanics, V. 48, № 6, p. 613–687.
  • Golovanov, A.I., Tyuleneva, O.N., Shigabutdinov, A.F. (2006). Metod Konechnih Elementov v Statike i Dinamike Tonkostennih Konstrukciy, M.: Fizmatlit, 392 p.
  • Bate K.-Yu. (2010). Methodi Konechnix Elementov, M.: Fizmatlit. 1022 p.
  • Ignat’ev, A.V., Ignat’ev, V.A., Onishhenko, O.V. (2015). Vozmozhnoct’ ispol’zovaniya metoda konechnih elementov v forme klassicheskogo smeshannogo method dlya geometricheski nelineynogo analiza sharnirno-sterzhnevix system, Vestnik MGSU, № 12, p. 47-58.
  • Klochkov, Yu.V., Nikolaev, A.P., Kiseleva, T.A., Marchenko, S.S. (2016). Comparative analysis of the results of finite element calculations based on an ellipsoidal shell, Journal of Machinery Manufacture and Reliability. Vol. 45, No. 4, pp. 328-336.
  • Klochkov, Yu.V., Nikolaev, A.P., Marchenko, S.S., Kiseleva, T.A. (2013). Sopostavitel’niy analiz rascheta NDS sochlenennih obolochek na osnove MKE s vektornoy interpolyaciey i kompleksa ANSYS, Izvestiya Volgogradskogo Gosudarstvennogo Texnicheskogo Universiteta, Vol. 8, №15 (118), p. 81-84.
  • Sedov, L.I. (1976). Mekhanika Sploshnoy Sredi, M.: Nauka, Vol. 1, 536 p.
  • Novozhilov, V.V. (1962). Teoriya Tonkih Obolochek, L.: Sudostroenie, 432 p.
  • Belyaev, N.M. (1976). Soprotivlenie Materialov, M.: Nauka, 608 p.

Views

Abstract - 117

PDF (Russian) - 83


Copyright (c) 2017 KLOCHKOV Y.V., NIKOLAEV A.P., KISELEVA T.A., ANDREEV A.S.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.