ANALYTICAL SOLUTION FOR BEAM STRUCTURE WITH ELASTO-PLASTIC PROPERTIES OF MATERIAL

Cover Page

Abstract


The differential equations are received and the new exact solution of a problem for a rec- tangular cross section and flat statically determination beam structure at action of longitudinal and transvers loadings is constructed. Three characteristic areas of the beam, distinguished by schemes of position of elastic core section were considered. All the components of the stress- strain state, borders of elastic-plastic zones are determined. A numerical analysis of linear and nonlinear formulation was presented.


При решении физически нелинейных задач строительной механики, точ- ность приближенных методов определяется, как правило, с помощью других приближенных процедур. Например, в монографии [1] результаты расчета стержня итерационными методами упругих решений [2], переменных парамет- ров упругости [3], Ньютона-Канторовича [4] и других [5, 6] оцениваются путем сравнения с аналогичными результатами, полученными методом конечных раз- ностей [7]. Проверка численных расчетов с помощью точных нелинейных аналитиче- ских зависимостей в большинстве случаев не представляется возможной, по- скольку их набор является весьма ограниченным. С целью расширения набора замкнутых решений и получения в явном виде высокоточных расчетных соот- ношений в настоящей статье рассмотрена краевая задача для стержня прямо- угольного сечения и статически определимой стержневой системы из идеального упругопластического материала. Впервые аналитическое решение такой задачи было получено А.Р. Ржаницыным при условии действия только поперечной силы для простейших случаев нагружения однопролетного стержня [8]. Обобщение этого замкнутого решения выполнено в работе [9] для квадратичного закона рас- пределения изгибающего момента вдоль статически определимой балки на двух опорах. Более простое решение без интегрирования дифференциальных уравне- ний в условиях чистого изгиба балки представлено в [10]. При этом полученные зависимости эффективно использовались для определения механических харак- теристик материалов в задачах микро-инженерии. Аналогичным образом анали- тически исследовались напряжения прямолинейного стержня для различных мо- делей пластического течения [11] и криволинейного стержня для различных за- конов неоднородности по высоте сечения [12]. Случай продольно-поперечного изгиба бруса прямоугольного сечения, являющийся обобщением исследования его чистого изгиба [2, 13], рассмотрен в работе [14]. При этом решение значи- тельно усложняется, поскольку распределение напряжений по высоте сечения становится несимметричным. Однако представленные в монографии [14] резуль- таты являются приближенными, поскольку стержень моделируется набором уча- стков с постоянными по длине жесткостными параметрами, а линеаризация осу- ществляется итерационной процедурой на основе зависимости между фиктивной нагрузкой и деформациями фиксированных сечений. Аналогичная задача для сжато-изогнутого консольного стержня из упругопластического материала с уп- рочнением исследовалась методом конечных элементов [15]. Итерационный под- ход, корректирующий приведенную жесткость каждого участка стержня с помо- щью секущего модуля упругости, реализован в [16]. Задача определения границ упругопластических зон в продольном сечении стержня точно решена в работах [8, 14, 17, 18]. Замкнутое аналитическое решение для стержневых систем в упру- гопластической стадии работы материала при действии продольно-поперечных нагрузок в литературе отсутствует. Ниже приведена постановка и интегрирование физически нелинейной крае- вой задачи для продольно-поперечного изгиба стержня прямоугольного сечения. На основе полученных интегралов построено замкнутое решение для плоских стержневых систем ветвящегося типа с краевыми условиями, обеспечивающими статическую определимость. При этом точно определены все компоненты напря- женно-деформированного состояния и границы упругопластических зон. Изотроп- ный материал характеризуется модулем линейной упругости E, а его деформиро- вание подчиняется диаграмме Прандтля с предельными значениями деформаций ?p и напряжений ?p.Также как в других аналогичных исследованиях, используется гипотеза плоских несжимаемых поперечных сечений, которая достаточно точно описывает деформирование конструкции независимо от свойств материала [8]. Предварительно рассмотрим консольную схему стержня длинной l, для ко- торой на свободном конце в плоскости главной жесткости прикладывается сила с составляющими Px, Py, вызывающими появление пластических деформаций, области которых выделены штриховкой (рис.1а). Пролет стержня с неизмен- ными высотой и шириной сечения h, b можно разделить на три характерных зоны, каждой из которых соответствует различая схема расположения упругого ядра сечения. В зоне I крайние верхние и нижние волокна испытывают пласти- ческое течение, в зоне II пластическое деформирование происходит только с одной стороны сечения, в зоне III весь материал работает упруго. Границы зон определяются размерами l1, l2 в системе координат xy. Распределение напряжений по высоте сечения и деформации элементарно- го участка длиной dx для зоны I представлены на рис. 2а,б. При этом размеры и положение упругого ядра определяются формулой: , (1) полученной из уравнений равновесия внешних и внутренних усилий (рис. 2а). В равенстве (1) используются выражения для безразмерных границ z1,2=Z1,2/h; безразмерных усилий n, m; усилий Np, Mp, обеспечивающих незави- симо друг от друга переход всего сечения в зону пластического течения [14], а именно: ; , ; , (2) , . (3) Формулы (3) содержат выражения продольной силы N и изгибающего мо- мента M в расчетном сечении, причем для консольной схемы (рис.1а): , . (4) Основными расчетными параметрами средней линии сечения в зоне I яв- ляются ее деформации ?0 и кривизна 1/?, определяемые из схемы деформирова- ния (рис. 2б) по формулам: , . (5) Исходя из равенства первой производной от функции продольных переме- щений u(x) продольным деформациям ?0 и равенства второй производной от функции прогибов w(x) кривизне средней линии стержня 1/?, с учетом (5) имеем: , . (6) При наличии (1) дифференциальные уравнения (6) принимают вид: , , (7) где с учетом равенств (2) обозначено , , , . (8) Интегрируя (7), приходим, с точностью до постоянных С11, С12, С13 к сле- дующим выражениям для продольных и нормальных линейных перемещений u1, w1, а также углов поворота ?1 в зоне I: , , . (9) Параметры границ упругого ядра, полученные из уравнений равновесия усилий в сечении стержня в зоне II (рис.2в) определяются соотношениями: , . (10) Рассматривая продольные и изгибные деформации элементарного участка стержня для исследуемой зоны (рис.2г), представим их следующим образом: , . (11) Уравнение равновесия с учетом зависимостей (10), (11) принимают вид: , , (12) где обозначено , . (13) Интегрируя (12), получим с точностью до постоянных С21, С22, С23 следующие выражения для линейных u2, w2 и угловых ?2 перемещений стержня в зоне II: , , . (14) Упругий характер деформирования стержня в зоне III позволяет предста- вить его перемещения u3, w3, ?3 с точностью до постоянных C31, C32, С33. Границы между зонами I-II и II-III характеризуются условиями: z2=-0,5 для формулы (1) (рис. 2а), и z1=0,5 для первой формулы (10) (рис. 2в). Тогда грани- цы зон могут быть установлены из следующих зависимостей: при x=l1: ; при x = l2: . (15) Равенства (15), дополненные условием предельной несущей способности [10]: (16) и представленные графически на рис.1г, определяют области действия полу- ченных решений для различных схем расположения упругого ядра сечения. С учетом равенств (2), (3), (8) из (15) следует: , . (17) Девять произвольных постоянных интегрирования дифференциальных уравнений определяются из девяти граничных условий, имеющих вид: при x=l1: , , , (18) при x=l2: , , , (19) при x=l: , (20) где первая группа условий (18), (19) относится к внутренним границам, а вторая (20) обеспечивает консольное закрепление стержня длиной l. Переходя к шарнирно опертому стержню замечаем (рис.1б), что полученные расчетные соотношения не изменяются за исключением формул (4), (20), которые с учетом симметрии расчетной схемы следует представить следующим образом: , , (21) при x=0: , при x=l: . (22) Необходимо отметить, что полученный набор решений для перемещений стержня является наиболее полным, так как включает все варианты распределе- ния упругих и пластических деформаций. При этом возможны частные случаи, когда в пролете стержня отсутствует одна из зон I, II, или когда весь стержень деформируется упруго. Наличие соотношений (15)-(17) позволяет заранее про- извести соответствующий анализ и сформировать условия, аналогичные равен- ствам (18), (19). В этом случае целесообразно обеспечить автоматическое вы- полнение этих условий и исключить из решения часть произвольных постоян- ных. Тогда расчетные соотношения для отдельного стержня e принимают вид: , (23) где - матрица искомых перемещений; - матрица известны частных реше- ний для сечений различного типа и различных нагрузок, и при этом обеспечи- вающая условия совместности перемещений для внутренних границ стержня; - матрица фундаментальных решений дифференциальных уравнений; - вектор-столбец произвольных постоянных общего решения этих уравнений. Компоненты векторного равенства (23) имеют следующий вид: , , , , (24) где матрица a(x) соответствует структуре решения (9), (14). Наличие соотношений (23), (24) позволяет производить расчеты не только отдельных стержней прямоугольного сечения, но и статически определимых стержневых систем в упруго-пластической стадии работы материала. При этом составная конструкция может быть образована последовательным соединением участков, а также иметь структуру ветвящегося типа. В последнем случае гра- ничные условия задачи формируется автоматически по формулам [19]: , j=1,2…m, (25) , j=1,2…m1, (26) где n - число участков-элементов длиной Le; m, m1 - число узлов и простых уз- лов стержневой системы; - матрицы, преобразующие перемещения из локального в глобальный базис и одновременно осуществляющие необходимую компоновку внешних связей и элементов в узле j; - вектор-столбец внешних заданных кинематических воздействий в узле j; ? - параметр, принимающий значения 0 и 1 для начального и конечного сечений элемента. Как показано в работе [19], общее число условий внешнего опирания конст- рукции (25) и сопряжения элементов-стержней системы (26) составляет 3n. Сле- довательно, подстановка зависимостей (23) в граничные условия (25), (26) приво- дит к замкнутой системе неоднородных линейных алгебраических уравнений от- носительно неизвестных произвольных постоянных (e=1, n). Определив эти постоянные, получаем в явном виде искомые функции перемещений (23). Решение задачи для отдельного стержня проиллюстрируем численно на примере с исходными данными: l=3 м, b=0,1 м, h=0,15 м, E=206000 МПа, ?p=240 МПа, Px=400 кН, Py=44 кН. На рис.3а показаны границы области пла- стических деформаций консольного стержня, полученные по формулам (1), (10) при Px=0 (пунктирные линии) и Px?0 (сплошные линии). В первом случае имеем l1=l2=2,045 м и высоту упругого ядра сечения, примыкающего к заделке ?Z=Z1-Z2=38,7 мм. Наличие продольной силы изменяет форму области неупру- гого деформирования таким образом, что ее размеры характеризуются парамет- рами l1=2,222 м, l2=1,818 м, ?Z=25,8 мм. На рис.3б представлены результаты для прогибов консольного стержня из упругого материала (кривая 1), упруго- пластического материала при Px=0 (кривая 2), упругопластического материала при Px?0 (кривая 3). Перемещения на свободном конце стержня для указанных вариантов расчета составили 68,35 мм, 83,34 мм, 89,41 мм. Следовательно, на- личие продольной силы привело к увеличению максимальных прогибов на 7,3%. Расчет шарнирно опертого стержня при действии указанной на рис.1б нагрузки показал, что все результаты на половине пролета совпадают с результатами рас- чета консольного стержня. С помощью представленного точного решения вы- полнена проверка вычислительного комплекса ANSYS при использовании ко- нечного элемента Beam189. Максимальный прогиб составил 89,07 мм. Разница результатов точного и конечно-элементного расчета не превышает 0,38 %. Далее рассмотрим результаты точного аналитического решения для стерж- невой системы, представленной на рис.1в. Геометрические параметры конст- рукции: L1=2 м, L2=3 м, L3=1 м, L4=2,5 м, ?=30°, ширина всех сечений b=0,1 м, высота сечения горизонтального участка и наклонного стержня соответственно h1=0,15 м, h2=0,22 м. Характеристики материала аналогичны предыдущему примеру. Значения нагрузок: Py=50 кН, Px=124 кН, M=140 кН•м, q=10 кН/м. Ну- мерация узлов и стержней приведена на рис.1в, где также показана глобальная система координат XOY. Оси x местной системы отсчета направлены от начала к концу стержня. Условия внешнего опирания (25) в развернутом виде записы- ваются следующим образом: , . (27) Аналогично для условий сопряжения стержней (26) имеем: , , , (28) где обозначено: , . (29) На рис.3в в масштабе 10:1 изображены перемещения стержневой системы в упруго-пластической (сплошные линии) и упругой (пунктирные линии) поста- новке. В первом и втором случае максимальный прогиб горизонтального участ- ка конструкции wmax составляет соответственно 119,58 мм и 92,86 мм. На рис.3г показаны границы зон пластического течения конструкции. При этом l1= 1,666 м, l2= 1,559 м, ?Z= 367 мм. Результаты расчета той же задачи по программе ANSYS приведены в таб- лице 1. Там же производится сравнение результатов точного и конечно- элементного (в скобках) расчетов для различных уровней нагрузки Py при про- чих неизменных параметрах. Длина конечных элементов Beam189 составляет 0,1 м, количество слоев сетки по высоте сечения равно 30. Таблица 1 Py, кН wmax, мм ?Z, мм ?, % 50 119,58 (119,41) 55,1 0,14 55 140,23 (139,63) 45,1 0,43 60 180,77 (178,01) 32,1 1,53 65 375,59 (303,70) 5,72 19,14 Как следует из таблицы 1, точность конечно-элементного расчета сущест- венно зависит от соотношения упругих и пластических деформаций по высоте сечений. Так, в наиболее нагруженном сечении при ?Z /h1?0,3 погрешность составляет не более 0,43%, а при приближении к предельному состоянию, ко- гда ?Z /h1=0,03813, она достигает 19,14%. Заключение 1. Получено новое точное решение краевой задачи для стержня и плоской статически определимой стержневой системы ветвящегося типа в физически нелинейной постановке. 2. Установлены в явном виде размеры зон с различными схемами располо- жения упругого ядра прямоугольного сечения. Автоматическое выполнение условий сопряжения указанных зон позволяет снизить количество произволь- ных постоянных для каждого стержня в общем случае с девяти до трех. 4. Тестирование конечного элемента Beam189 показало существенную за- висимость точности вычислений комплекса ANSYS от соотношения упругих и пластических деформаций.

E YA ELENITSKIY

LTD «Globaltanksengineering» , Samara, Russia

Author for correspondence.
Email: elenit@list.ru
443010, г. Самара, ул. Галактионовская, д.139, кв.4

к.т.н., доцент

  • Petrov V.V. (2014). Nelinejnaya inkrementalnaya stroitelnaya mekhanika, Moscow: Infa-Inzheneriya, 480 p.
  • Ilyushin A.A. (1948). Plastichnost, Moscow: Gostekhizdat, 376 p.
  • Birger I.A. (1975). Obshchie algoritmy resheniya zadach teorii uprugosti, plastichnosti i polzuchesti // Uspekhi mekhaniki deformiruemyh sred, – №2. M.: Nauka, p.51-73.
  • Kantorovich L.V. (1948). Funkcionalnyj analiz i prikladnaya matematika // Uspekhi matematicheskih nauk, t. III, №6. M.: Izd. AN SSSR, p.89-185.
  • Zenkevich O. (1975). Metod konechnyh ehlementov v tekhnike, Moscow: Mir, 541 p.
  • Petrov V.V. (1975). Metod posledovatel'nyh nagruzhenij v nelinejnoj teorii plastin i obolochek, Saratov: Izd-vo Saratovskogo un-ta, 119 p.
  • Novozhilov V.V. (1948). Osnovy nelinejnoj teorii uprugosti, Moscow: Gostekhizdat, 211 p.
  • Rzhanicyn A.R. (1954). Raschet sooruzhenij s uchetom plasticheskih svojstv materiala, Moscow: Gosstrojizdat, 288 p.
  • Stok B., Halilovic M. (2009). Analytical solutions in elasto-plastic bending of beams with rectangular cross section, Applied Mathematical Modelling, Vol. 33, №3, p.1749-1760.
  • Bin J. Wanji C. (2010). A new analytical solution of pure bending beam in couple stress elasto-plasticity: theory and applications, International Journal of Solids and Structures, Vol. 47, №6, p. 779-785.
  • Joudaki J., Sedighi M. (2015). Effect of material's behavior on residual stress distribution in elastic–plastic beam bending: An analytical solution, Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part L: Journal of Materials Design and Applications, p.1-12.
  • Nie G. J., Zhong Z. (2013). Analytical solution for elastic and elastoplastic bending of a curved beam composed of inhomogeneous materials, Key Engineering Materials. – Trans Tech Publications, Vol. 535, p.353-356.
  • Lukash P.A. (1978). Osnovy nelinejnoj stroitelnoj mekhaniki. Moscow: Strojizdat, 208 p.
  • Bezuhov N.I., Luzhin O.V. (1974). Prilozhenie metodov teorii uprugosti i plastichnosti k resheniyu inzhenernyh zadach. Moscow: Vysshaya shkola, 200 p.
  • Salazar J. A., Lange D.F., Cruz A.T., Castillo H.I., Rodriguez G.M. (2013). Elastoplastic Analysis of a Cantilever Beam under Combined Compressive and Bending Load, ASME 2013 International Mechanical Engineering Congress and Exposition.–American Society of Mechanical Engineers, p. V009T10A025-V009T10A033.
  • Darkov A.V., Shaposhnikov N.N. (2008). Stroitelnaya mekhanika, St. Petersburg: Lan, 656 p.
  • Sokolovskij V.V. (1969). Teoriya plastichnosti, Moscow: Vysshaya shkola, 608 p.
  • Chica E., Teran J. M. G., Iban A. L. (2008). Yield surface for elastoplastic beam 2D element considering damage material, 8th World Congress on Computational Mechanics (WCCM8), 5th European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (Eccomas 2008).
  • Elenitskiy E.Ya. (2016). Boundary value problem for branching type flexible compound structures, Structural Mechanics of Engineering Construction and Building, №6, p.73-80.

Views

Abstract - 546

PDF (Russian) - 101


Copyright (c) 2017 ELENITSKIY E.Y.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.