Bianchi Type VIII Cosmological Models Described with Caplygin Gas Equation of State Fluid Sources

Cover Page

Abstract


Within the general theory of relativity the Bianchi type VIII cosmological models with rotation and expansion have been built. It’s known that dark energy can be simulated by different kinds of energy-stress tensor, therefore the sources of gravitation in present article are an anisotropic fluid, with a pressure component satisfying to Chaplygin gas equation of state and a perfect fluid in the first case and an anisotropic fluid, Chaplygin gas and cosmological constant in the second case. It has been proved that the model, when expanding from Plank scale to the modern size gives satisfactory value of the angular velocity value. The found solutions can be used for effects taking place nowadays and at the inflationary stage.


1. Введение Обращение к анизотропной космологии обусловлено наблюдательными фактами [1- 3], демонстрирующими возможность крупномасштабных отклонений от изотропии в наблюдаемой Вселенной, при этом глобальная анизотропия Вселенной может быть связанна в том числе и с космологическим вращением. С другой стороны, в нынешнюю эпоху Вселенная расширяется с ускорением, причиной которого является, по-видимому, тёмная энергия. В работах [4, 5] авторами были получены результаты для метрики рассматриваемого типа, но с другими материальными источниками. В данной работе в рамках общей теории относительности построена космологическая модель с расширением и вращением с метрикой типа VIII по Бьянки вида d�2 = ��� ���� , (1) где ��� - элементы лоренцевой матрицы, �, � = {0, 1, 2, 3}, �� - ортонормированные 1-формы, выражающиеся через масштабный фактор � следующим образом: �0 = d� - �����, �� = d� - �����, при этом �� = {0, 0, 1}, �� = {�, �, �}, � = {1, 2, 3}. 1-формы �� имеют следующий вид: �1 = ch � cos � d� - sin � d�, �2 = ch � sin � d� + cos � d�, �3 = sh � d� + d�. (2) Источниками гравитации в первой модели являются анизотропная жидкость, которая описывает вращающуюся тёмную энергию, и идеальная жидкость, описывающая барионную материю. Во второй модели - анизотропная жидкость и космологическая постоянная, описывающие вращающуюся тёмную энергию, и газ Чаплыгина, описывающий некую экзотическую материю. Построенные космологические модели отличны от ранее найденных космологических решений для метрики (1) с базисными 1-формами (2). Расчёты, связанные с решением уравнений Эйнштейна, проведены с использованием тетрадного формализма в естественно возникающем базисе лоренцевой тетрады. 2. Космологическая модель с анизотропной жидкостью и пылевидной материей Будем искать для метрики (1) космологическое решение уравнений Эйнштейна 1 ��� - 2 ��� � = ��� . (3) �2(3 - �2 - 4�2) + 4�4(3�2 - 12)�˙ 2 - 8�4��¨ 2 �00 = �11 = 4�4�2�2 = �(1 + �3 ) + �, (1 - �2)(︀�2 + 4�4(�˙ 2 + 2��¨))︀ 4�4�2�2 = �, (4) �2(4�2 + 3�2 - 1) + 4�4(3 - �2)�˙ 2 - 8�4�2��¨ 2 �33 = 4�4�2�2 = � + ��3 , �2 + 4�4(�˙ 2 - ��¨) √︁ 2 �03 = 2�4��2 = ��3 1 + �3 . У нас используется такая система единиц, что скорость света и гравитационная постоянная, умноженная на 8�, равны единице. При этом тензор энергии-импульса анизотропной жидкости в тетрадном представлении имеет вид � (1) �� = (� + �) ���� + (� - �)���� - ���� , (5) 0 где �, � - давления анизотропной жидкости в трёх направлениях, определяемых тетрадой, � - плотность энергии идеальной жидкости, �� = �� - вектор 4-скорости сопутствующей анизотропной жидкости в проекции на тетраду, - вектор анизотропии в проекции на тетраду. В координатном представлении � = {0, 0, 0, 1} - вектор анизотропии в проекции на тетраду. В координатном представлении �� = �(�) (3) � �� = �� �3 = {0, �� sh(�), 0, ��} . Тензор энергии-импульса идеальной пылевидной жидкости имеет вид: � (2) �� = ����� , (6) где � = {�0, 0, 0, �3}, � - плотность жидкости. В итоге суммарный тензор энергии-импульса имеет вид ��� = � (1) (2) �� + ��� = (� + �) ���� + (� - �)���� - ���� + ����� . (7) Пусть давление � удовлетворяет уравнению состояния газа Чаплыгина � = -�/�. (8) Выражая из (4) с учётом (8) параметры материи, имеем плотность энергии анизотропной жидкости � = (︀ 4�4�2�2� )︀ , (9) её давления (�2 - 1) �2 + 4�4(�˙ 2 + 2��¨) - - (1 �2)(︀�2 4�4(�˙ 2 + 2��¨))︀ � = � 4�4�2�2� , (10) �2(4�2 + 3�2 - 1) + 4�4(3 - �2)�˙ 2 - 8�4�2��¨ � = 4�4�2�2 - (︁ �2 +4�4 (�˙ 2 -��¨) )︁2 (︁ (1-�2 )(�2 +4�4 (�˙ 2 +2��¨)) )︁ 2�4 ��2 4�4 �2 �2 , (11) - (︁ �2 (3-�2 -4�2 )+4�4 (3�2 -12 )�˙ 2 -8�4 ��¨ )︁ (︁ (1-�2 )(�2 +4�4 (�˙ 2 +2��¨)) )︁ + � 4�4 �2 �2 4�4 �2 �2 плотность изотропной пылевидной жидкости (︁ �2 (3-�2 -4�2 )+4�4 (3�2 -12 )�˙ 2 -8�4 ��¨ )︁ (︁ (1-�2 )(�2 +4�4 (�˙ 2 +2��¨)) )︁ + � 4�4 �2 �2 � = (︁ (1- 4�4 �2 �2 �2 )(�2 +4�4 (�˙ 2 +2��¨)) )︁ - 4�4 �2 �2 (︁ �2 +4�4 (�˙ 2 -��¨) )︁2 (︁ (1-�2 )(�2 +4�4 (�˙ 2 +2��¨)) )︁ 2�4 ��2 4�4 �2 �2 , (12) - (︁ (1-�2 )(�2 +4�4 (�˙ 2 +2��¨)) )︁ (︁ �2 (3-�2 -4�2 )+4�4 (3�2 -12 )�˙ 2 -8�4 ��¨ )︁ + � 4�4 �2 �2 4�4 �2 �2 и квадрат её скорости 2 (︃�2 + 4�4(�˙ 2 - ��¨) )︃ 2�4��2 (︃(1 - �2)(︀�2 + 4�4(�˙ 2 + 2��¨) 4�4�2�2 )︀ )︃2 �2 . (13) 3 = ⎛ ⎝(� + �)2 - (︃�2 + 4�4(�˙ 2 - ��¨) 2�4��2 )︃2 (︃ (1 - �2)(︀�2 + 4�4(�˙ 2 + 2��¨))︀ 4�4�2�2 )︃2⎞ ⎠ Поскольку число уравнений превышает число неизвестных, наложим дополнительное условие (︃(︂ 3�¨ )︂ � = + � � )︃ (︂ 1 - �2 )︂ �2 �2 , (14) которое влечёт за собой уравнение, определяющее масштабный фактор: �˙ 2 - ��¨ = �, (15) где введено обозначение � = � - �2/4�4. Его общее решение даётся комбинацией экспонент, выбором постоянных интегрирования, всегда приводящихся к одному из следующих выражений: � = (√�/�) sh(��), � > 0, (16) � = (√-�/�) ch(��), � < 0, (17) � = �0���, � = 0. (18) Данными зависимостями можно моделировать как современную стадию ускоренного расширения, так и обе стадии инфляции. Кинематические параметры вращающейся анизотропной жидкости имеют следующий вид: § параметр расширения: Θ = 3�˙ /�, § ускорение: � = �˙ /��, § параметр вращения: � = 1/2�2�, § сдвиг отсутствует. 3. Космологическая модель с анизотропной жидкостью, газом Чаплыгина и Λ-членом Рассмотрим ситуацию, когда источниками гравитации являются сопутствующая анизотропная жидкость, идеальная жидкость с уравнением состояния газа Чаплыгина и лямбда-член. Введя обозначения: � - плотность сопутствующей анизотропной жидкости, �, � - её давления, - плотность газа Чаплыгина, � - его давление, и учтя Λ-член, получим следующий тензор энергии-импульса: ��� = (� + �) ���� - ���� + ( + �)���� - ���� + Λ��� . (19) Примем �� = {1, 0, 0, 0}, а также запишем уравнения состояния идеальной жидкости � = ��, � = -�/. Тогда уравнения Эйнштейна (3) примут следующий вид: �2(3 - �2 - 4�2) + 4�4(3�2 - 1)�˙ 2 - 8�4��¨ �00 = �11 = 4�4�2�2 = � + + Λ, (20) (1 - �2)(�2 + 4�4(�˙ 2 + 2��¨)) 4�4�2�2 = � + � - Λ, (21) �33 = �2(4�2 + 3�2 - 1) + 4�4(3 - �2)�˙ 2 - 8�4�2��¨ 4�4�2�2 = � + � - Λ, (22) �2 + 4�4(�˙ 2 - ��¨) �03 = 2�4��2 = 0. (23) Решение уравнений (20)-(23) даёт масштабный фактор � = (�/2�2�) ch(��), (24) и, с учётом уравнений состояния, = ( + √2 - 4�)/2, где ��2(3 - �2 - 4�2) + �2(�2 - 1) + 4�4(�(3�2 - 1) + �2 - 1)�˙ 2 = 4�4�2�2 + 8�4(�2 - 1 - �)��¨ + 4�4�2�2 - Λ(� + 1). (25) Плотность энергии всегда положительна при условиях � > √︀1 + �, �2 < 1 (3 - �2), � < 2� 3(�2 - 1) + �2 . (26) 4 2�3 + Λ�2 Отметим, что кинематические параметры этой модели аналогичны величинам, рассмотренным в предыдущем случае. При этом вращение затухает, но анизотропная жидкость, в отличие от ситуации, имеющей место в отсутствие газа Чаплыгина, не изотропизируется. Качественное рассмотрение первой стадии инфляции при расширении Вселенной от планковского масштаба до современного размера наблюдаемой Вселенной 1028 см, даёт порядок угловой скорости вращения 10-11 рад/год.

Daniil M Yanishevskiy

Perm State University

Author for correspondence.
Email: ydm86@yandex.ru
15, Bukireva str., Perm, 614990, Russian Federation

competitioner of Department of Higher Mathematics

  • K. Land, J. ao Magueijo, Examination of Evidence for a Preferred Axis in the Cosmic Radiation Anisotropy, Physical Review Letters 95 (2005) 071301–071304. doi: 10.1103/PhysRevLett.95.071301.
  • A. Payez, J. R. Cudell, D. Hutsem´ekers, New Polarimetric Constraints on AxionLike Particles, Journal of Cosmology and Astroparticle Physics 2012 (07) (2012) 041. doi: 10.1088/1475-7516/2012/07/041.
  • A. R. Liddle, M. Cortes, Cosmic Microwave Background Anomalies in an Open Universe, Physical Review Letters 111 (2013) 111302. doi: 10.1103/PhysRevLett.111.111302.
  • G. M. Bradley, E. Sviestins, Some Rotating, Time-Dependent Bianchi Type VIII Cosmologies with Heat Flow, GRG 16 (1984) 1119–1133. doi: 10.1007/BF00760236.
  • E. V. Kuvshinova, V. N. Pavelkin, V. F. Panov, O. V. Sandakova, Bianchi Type VIII Cosmological Models with Rotating Dark Energy, Gravitation and Cosmology 20 (2014) 141–143. doi: 10.1134/S0202289314020078.

Views

Abstract - 136

PDF (Russian) - 36


Copyright (c) 2018 Yanishevskiy D.M.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.