Eigen Waves of a Plane Symmetric Anisotropic Waveguide

Cover Page

Abstract


Precise dispersion equations for a plane symmetric dielectric anisotropic waveguide are obtained, in which the waveguide layer is isotropic, and the framing media are assumed to be anisotropic uniaxial media. The tensors of the dielectric permittivity of the framing media are not assumed to be diagonal, namely, in one of them this tensor is formed by rotating the diagonal tensor by some angle between the optical axis of the anisotropic medium and the direction of propagation of the electromagnetic wave. The tensor of dielectric permittivity of another anisotropic medium is rotated by the same angle, but in the opposite direction, with the optical axes of both framing media lying in a plane parallel to the boundaries of the waveguiding structure. Thus, in framing media, the existence of six-component electromagnetic waves is maintained. In the dispersion properties of such a waveguide, certain features are observed in comparison with the case when the framing media are assumed to be isotropic. It is found that the first symmetric mode of such a waveguide has a finite deceleration with zero thickness of the isotropic layer, which indicates the possibility of the appearance of surface electromagnetic waves (the so-called Dyakonov waves) at the boundaries of this isotropic layer. It is noted that the transition of the antisymmetric mode to the Dyakonov wave occurs with a finite thickness of the waveguiding layer. Dependencies of the deceleration of the elementary (symmetric) mode on the angle of rotation of the optical axis of anisotropic media relative to the direction of propagation of the guided wave of the waveguide structure are given.


1. Введение Интерес исследователей к свойствам волн Дьяконова является постоянным на протяжении нескольких десятков лет. За это время изучены многие особенности таких волн, возникающих на границах анизотропных сред в различных геометриях. Наиболее важной особенностью волн Дьяконова является (в отличие от плазмонов) отсутствие потерь энергии по мере их распространения вдоль границы анизотропной среды. Основные результаты исследования свойств таких волн достаточно подробно изложены в обзорах [1,2]. Следует отметить, что за столь долгий период исследования волн Дьяконова экспериментальных работ проведено очень мало [3], что обусловлено, может быть, специфическими условиями существования этих волн. Многие авторы считают, что для их наблюдения можно использовать свойства тонкоплёночных оптических волноводов, волноведущий слой которых либо является анизотропным, либо окружающие среды являются анизотропными. Показано [4,5], что при некоторых условиях удаётся выделить случай, когда перенос энергии по волноведущей структуре осуществляется только за счёт волн Дьяконова. Настоящая работа ставит своей целью выбор такой анизотропной волноводной структуры, которая бы допускала распространение в ней волн Дьяконова и, с другой стороны, позволяла бы провести экспериментальную проверку полученных результатов. 2. Выбор волноведущей структуры В качестве материала для волноведущего слоя возьмём изотропную среду, диэлектрическая проницаемость которой равна εs, а обрамляющие среды будем считать анизотропными с диэлектрической проницаемостью εМ‚1,2. Используемая система координат приведена на рис. ??. Предположим, что электромагнитные волны распространяются вдоль оси Z, а по оси Y структура не ограничена. Все три среды являются немагнитными и непоглощающими. PIC Рис. 1. Система координат и исследуемая волноводная структура Тензоры диэлектрической проницаемости обрамляющих сред определяются следующим образом. Исходный тензор в диагональном виде выглядит как: ε = εo 0 0 0 εo 0 0 0 εe . Оптическая ось направлена вдоль OZ. При повороте по часовой стрелке на угол j вокруг оси OX компоненты тензора преобразуются в соответствии с матрицами поворота C1(j) и C2(j) [6] C1(j) = 1 0 0 0 cos j - sin j 0 sinj cosj ,C2(j) = C1(-j). Результирующие тензоры диэлектрической проницаемости εМ‚1 и εМ‚2 обрамляющих сред вычисляются по формулам ε1 = C1εC1T = εo 0 0 0 ε22(j) ε23(j) 0 ε23(j) ε33(j) ,ε2(j) = ε1(-j). Таким образом, для среды при X > d∕2 элементы тензора вычисляются по формулам ε22(j) = εo cos2j + εe sin2j,ε 33(j) = εo sin2j + εe cos2j, ε23(j) = ε32(j) = -sinjcosj(εe - εo), а для среды при X < -d∕2 по формулам с учётом изменения знака угла поворота на обратный ε22(j) = εo cos2j + εe sin2j,ε 33(j) = εo sin2j + εe cos2j, ε23(j) = ε32(j) = sinjcosj(εe - εo). В сформированной таким образом анизотропной структуре будем искать решение уравнений Максвелла для направляемых (волноводных) электромагнитных волн, распространяющихся вдоль оси OZ, которая является биссектрисой угла между оптическими осями верхней и нижней анизотропных сред. Пусть зависимость полей электромагнитных волн от времени и координат имеет вид exp -i wt -kxx + kyy + kzz, где k® = (kx,ky,kz)T - волновой вектор. Для каждой из этих волн должно выполняться волновое уравнение (в гауссовой системе), полученное из уравнений Максвелла в векторной форме: k® ґH® = -k0D®, k® ґE® = k0H®, k® ЧH® = 0, k® ЧE®№0. Это уравнение имеет вид: k® ґk® ґE® + k02 ЧD® = 0®,где k0 = w c ,D® = ε(j) ЧE®. Не теряя общности, можно предположить, что решением этого волнового уравнения является набор плоских волн с фазовыми фронтами параллельными оси OY, или ¶в€•¶y = 0, а с ним и ky = 0. 3. Дисперсионные уравнения для направляемых мод Имея в виду эти предварительные замечания, представим поля в волноведущем слое (εs) в виде суперпозиции ТЕ- и ТМ- волн, поскольку в обрамляющих анизотропных средах предполагается наличие шестикомпонентных волн. Пусть ТЕ-волна с положительным поперечным волновым числом kx имеет амплитуду A, B - амплитуда ТМ-волны с положительным kx. Для ТЕ- и ТМ-волн, имеющих отрицательный kx, обозначим амплитуды через C и D соответственно. Тогда суммарные поля в изотропном слое можно записать следующим образом: E®s(x) = -g kx Ч B Ч eikxx + g kx Ч D Ч e-ikxx 1 kx Ч A Ч eikxx - 1 kx Ч C Ч e-ikxx B Ч eikxx + D Ч e-ikxx Ч eigz Ч e-iwt, H®s(x) = -g kx Ч A Ч eikxx + g kx Ч C Ч e-ikxx -εs kx Ч B Ч eikxx + εs kx Ч D Ч e-ikxx A Ч eikxx + C Ч e-ikxx Ч eigz Ч e-iwt. (1) Здесь введены следующие обозначения: g - продольное волновое число, нормированное на k0, kx - поперечное волновое число волноведущего слоя, также нормированное на k0. A, B, C и D - неизвестные амплитуды, x - поперечная координата, z - продольная координата. Множитель e-iwt в дальнейшем будем подразумевать, не указывая в явном виде. Для записи амплитуд напряжённостей полей в окружающих средах необходимо решить задачу на собственные значения и собственные волны выведенного в предыдущем разделе волнового уравнения, что подробно сделано в работах [7,8]. Здесь же приведём окончательные выражения. В верхней среде (см. рис. ??) эти поля состоят из линейной комбинации обыкновенной и необыкновенной волн с различными амплитудами (F и E): E®t(x) = ig E Te To2e-Tex-d 2 + F 1 T oe-Tox-d 2 -εotg f To2 Ee-Tex-d 2 - 1 tg fFe-Tox-d 2 Ee-Tex-d 2 + Fe-Tox-d 2 Ч eigz, H®t(x) = g Чεotg f To2 Ee-Tex-d 2 + 1 tg fFe-Tox-d 2 iεo ЧTe To2Ee-Tex-d 2 + 1 T oFe-Tox-d 2 -i ЧTeεotg f To2 Ee-Tex-d 2 + To 1 tg fFe-Tox-d 2 Ч eigz. (2) Обозначения здесь следующие: To - мнимая часть поперечного волнового числа обыкновенной волны, нормированная на k0, To = g2 - εo; Te - мнимая часть поперечного волнового числа необыкновенной волны (нормировано на k0), Te = g2 1 + Dε εo cos2f - εe, Dε = εe - εo, f - угол поворота осей симметрии верхней анизотропной среды (положительный); E и F - неизвестные амплитуды необыкновенной и обыкновенной волн в верхней анизотропной среде. В нижней анизотропной среде поля записываются аналогичным образом, но поперечные волновые числа должны быть отрицательными (что приведёт к экспоненциальному убыванию всех амплитуд при удалении от волноводного слоя), отрицательным должен быть и угол поворота f. E®d(x) = -ig G Te To2eTex+d 2 + H 1 T oeTox+d 2 εotg f To2 GeTex+d 2 + 1 tg fHeTox+d 2 GeTex+d 2 + HeTox+d 2 Ч eigz, H®d(x) = -g Чεotg f To2 GeTex+d 2 + 1 tg fHeTox+d 2 -iεo ЧTe To2GeTex+d 2 + 1 T oHeTox+d 2 -i ЧTeεotg f To2 GeTex+d 2 + To 1 tg fHeTox+d 2 Ч eigz, (3) G и H - амплитуды необыкновенной и обыкновенной волн в нижней анизотропной среде. Сшивая тангенциальные компоненты полей на границах волноведущего слоя ± d∕2, получим уравнение вида: M(A,B,†,H)T = 0, (4) где M[ε o,ε e, ± d∕2,±j] - квадратная матрица размером 8 ґ 8, а (A,B,†,H)T - вектор неизвестных амплитуд. Требуя равенства нулю определителя матрицы M, получим дисперсионные уравнения. Поскольку исследуемая волноведущая структура симметрична, то, как и следовало ожидать, дисперсионных уравнений будет два, одно из них для симметричных мод структуры, другое - для антисимметричных. Каждое из этих уравнений является квадратным, поэтому даёт два корня. Итак, для симметричных мод: tgy1,2 = M(Toεs + Teεo) ∓M2 (To εs + Te εo )2 - 4NLTo 2 εs εo 2kxNεo , (5) где для краткости введены обозначения: M = (To2 - εo tgf2),N = (TeTo - εo tgf2),L = To2 -Te Toεo tgf2 . Для антисимметричных мод: ctgy3,4 = -M(Toεs + Teεo) ∓M2 (To εs + Te εo )2 - 4NLεs εo 2kxNεo ,y = kxd 2 . (6) Графически зависимости замедлений этих мод от толщины изотропного слоя выглядят следующим образом: Рис. 2. Зависимость замедления от толщины изотропного слоя: g1,2 - симметричные моды, g3,4 - антисимметричные Уровень gmin = εe ∕ 1 + Dε ∕εo cos f2 получается из условия Te = 0, при g < gmin исследуемая структура переходит в режим излучения в окружающие анизотропные среды, так как Te становится мнимой величиной. Отметим одну интересную особенность на рис. ??, а именно - простейшая симметричная мода волноводной структуры g1 при нулевой толщине изотропного слоя имеет замедление, превышающее gmin. Как было показано в [8-10], вдоль границы раздела анизотропных сред в этом случае может распространяться поверхностная (Дьяконовская [11]) электромагнитная волна, замедление которой зависит от угла поворота f. Но и в исследуемой нами волноводной структуре простейшая мода g1 может трансформироваться при определённых условиях в поверхностную, Дьяконовскую, моду. Для этого необходимо лишь подобрать соответствующий угол поворота, что иллюстрирует рис. ??. Рис. 3. Совокупность поверхностных (gD1, gD3) и волноводных мод (g2, g3, g4) исследуемой структуры Естественно, что при вычислении gD1,3 по дисперсионным уравнениям (??) и (??) использована подстановка kx = ig2 - εo = iKx, y = iY, Y = Kxd∕2, позволяющая вычислять Дьяконовские моды. Как видно из рис. ??, в поверхностные моды переходят первая симметричная и первая антисимметричная волноводные моды. Отметим, что диапазон углов поворота, при которых существуют поверхностные моды довольно узкий, в чём можно убедиться, построив зависимости замедлений по (??) и (??) от угла поворота при фиксированной толщине изотропного слоя d (рис. ??). Рис. 4. Зависимость замедления от угла поворота для простейших симметричной и антисимметричной мод. Переход в поверхностные моды происходит, когда замедление превышает εs. Пунктирная линия соответствует условию Te = 0 4. Собственные поля направляемых мод Выяснив в основном дисперсионные свойства исследуемой структуры, перейдём теперь к вычислению амплитуд полей собственных электромагнитных волн для каждой из четырёх мод, описываемых вектором A,B,†,H)T. Поскольку уже известны все собственные числа для матрицы M[ε o,ε e, ± d∕2,±j] в (??), то не составляет труда вычислить и неизвестные амплитуды из уравнения (??). В результате имеем: Для симметричных мод (??): As = To2εs cosyL - Tekxεo sinyM To2kx tgf ,Bs = -iεo sinyTe - To T0 , Es = 2sinyToεs cosy - kxεo siny kx ,Fs = -2sinyTo2εs cosy - Tekxεo siny Tokx , Cs = As,Ds = -Bs,Gs = -Es,Hs = -Fs. (7) Для антисимметричных мод (??): Aas = iTo2εs sinyL + Tekxεo cosyM To2kx tgy ,Bas = -εo cosyTe - To T0 , Eas = 2cosyToεs siny + kxεo cosy kx ,Fas = -2cosyTo2εs siny + Tekxεo cosy Tokx , Cas = Aas,Das = Bas,Gas = Eas,Has = Fas. (8) Здесь, напомним, y = kxd∕2. Теперь, воспользовавшись выражениями (??), (??) и (??), можно вычислить компоненты всех полей для любой из волноводных мод рассматриваемой структуры. В качестве примера на рис. ?? приведены графики поперечного распределения компонент напряжённости электрического поля простейшей симметричной моды при следующих параметрах волноведущей структуры: f = 0,203 рад, εs = 16, εe = 36, εo = 4. Рис. 5. Поперечные распределения компонент электрического поля для простейшей симметричной моды. Все величины выражены в относительных единицах, d - толщина изотропного слоя (в единицах длины волны) Аналогичные зависимости для режима Дьяконовских мод можно получить с учётом указанной выше замены: kx = ig2 - εo = iKx, y = iY. Эти зависимости количественно будут подобны указанным на рис. ??, с той лишь разницей, что все тригонометрические функции станут гиперболическими. 5. Заключение Таким образом, нам удалось показать, что в исследуемой волноведущей структуре возможна реализация двух типов распространения направляемых волн - обычное волноводное распространение и смешанный тип, когда наряду с обычными волноводными присутствуют и поверхностные волны Дьяконовского типа. Переключение между указанными режимами можно обеспечить путём подбора угла между оптическими осями обрамляющих сред и направлением фазовой скорости волноводной волны. Наряду с этим получены точные аналитические выражения как для фазовых скоростей, так и для компонент напряжённостей полей направляемых волн различных типов. Отмечено, что даже при нулевой толщине изотропного слоя структура сохраняет способность поддерживать направляемую волну, которая в этом случае является поверхностной волной. Рассмотренная конструкция этой структуры, по мнению авторов, может быть реализована в эксперименте, причём в качестве изотропного слоя можно использовать жидкость с соответствующей диэлектрической проницаемостью. Последнее позволит плавно менять углы f оптических осей анизотропных сред относительно оси OZ.

O N Bikeev

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN university)

Author for correspondence.
Email: bickejev@gmail.com
6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russian Federation

Head of Laboratory of Institute of Physical Researches and Technologies of Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN university)

K P Lovetskiy

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN university)

Email: lovetskiy_kp@rudn.university
6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russian Federation

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Department of Applied Probability and Informatics of Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

A L Sevastianov

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN university)

Email: sevastianov_al@rudn.university
6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russian Federation

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, assistant professor of Department of Applied Probability and Informatics of Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

  • O. Takayma, L.-C. Crasovan, S. Johansen, D. Mihalache, D. Artigas, L. Torner, Dyakonov Surface Waves: A Review, Electromagnetics 28 (2008) 126–145.
  • J. A. Polo Jr., L. A., A Surface Electromagnetic Waves: a Review, Laser & Photonics Reviews 5 (2011) 234–246.
  • O. Takayama, L. Crasovan, D. Artigas, L. Torner, Observation of Dyakonov Surface Waves, Physical Review Letters 102 (2009) 043903.
  • L. Torner, C. Santos, J. P. Torres, D. Mihalache, New Waveguide Modes in Anisotropic Structures, Fiber and Integrated Optics 13 (1993) 271–280.
  • M. A. Boroujeni, M. Shahabadi, Modal Analysis of Multilayer Planar Lossy Anisotropic Optical Waveguides, Journal of Optics A: Pure and Applied Optics 8 (2006) 856–863.
  • G. Kweon, S. Hwang-bo, C. Kim, Eigenmode of Anisotropic Planar Waveguide, Journal of the Optical Society of Korea 8 (3) (2004) 137–146.
  • J. Lekner, Reflection and Refraction by Uniaxial Crystals, Journal of Physics: Condensed Matter 3 (1991) 6121–6133.
  • O. N. Bikeev, L. A. Sevastianov, Surface Electromagnetic Waves at the Interface of Two Anisotropic Media, RUDN Journal of Mathematics, Informational Sciences and Physics 25 (2) (2017) 141–148, in Russian. doi: 10.22363/2312-9735-2017-25-2-141-148.
  • S. R. Nelatury, J. A. Polo, A. Lakhtakia Jr., Surface Waves with Simple Exponential Transverse Decay at a Biaxial Bicrystalline Interface: Errata, Journal of the Optical Society of America A 24 (2007) 2102–2102.
  • D. B. Walker, E. N. Glytsis, T. K. Gaylord, Surface Mode at Isotropic-Uniaxial and Isotropic-Biaxial Interfaces, Journal of the Optical Society of America A 15 (1) (1998) 248–260.
  • N. S. Averkiev, M. I. Dyakonov, Electromagnetic Waves Localized at the Boundary of Transparent Anisotropic Media, Optics and Spectroscopy 68 (5) (1990) 1118–1121.

Views

Abstract - 1495

PDF (Russian) - 238


Copyright (c) 2018 Bikeev O.N., Lovetskiy K.P., Sevastianov A.L.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.