On a Method of Investigation of the Self-Consistent NonlinearBoundary-Value Problem for Eigen-Valueswith Growing Potentials

Cover Page

Abstract


One of the most common methods for investigating multiparticle problems in the frameworkof the variational approach is the transition to a nonlinear one-particle problem by introducinga self-consistent field that depends on the states of these particles. The paper considers anonlinear boundary value eigenvalue problem for the Schr¨odinger equation with a growingpotential including a dependence on the wave function and a power dependence on the coordinate = where = 1,2,3.... For n = 2, the boundary value problem for the Schr¨odinger equation(linear problem) has an exact solution. For even powers of , it is shown that solutions of sucha problem can be expressed in terms of solutions corresponding to the linear problem, and for= 2 the solution can be obtained in explicit form. The set of solutions obtained for= 2 ischaracterized by equal distances between neighboring eigenvalues. It is shown that the solutionof the nonlinear problem differs from the solution of the linear problem by the shift of theeigenvalues. In the case of a potential higher than the quadratic one, new growing potentialsof a lesser degree appear. For the case of odd values of, the transition is discussed, from theintegro-differential formulation of the problem to a system of differential equations which can besolved numerically on the basis of the method of successive approximations, which has provedits effectiveness in the study of the polaron model.


1. Введение При исследовании решений многочастичных задач применяя вариационный принцип и путём введения самосогласованного поля, можно свести их к одночастичной задаче. Самосогласованные поля сами зависят от состояний этих частиц, и тем самым задача становиться нелинейной. В качестве характерного примера можно привести концепцию полярона, являющуюся одной из классических моделей квантовой теории поля, которая имеет многочисленные приложения в физике конденсированных сред. Отметим, что проблема полярона была первоначально сформулирована как задача автолокализованного электрона в ионном кристалле. В настоящее время исследованию автолокализованных состояний в конденсированных средах посвящено много оригинальных работ, обзоров и монографий [1 - 5]. Эффект автолокализации в жидкостях приводит к образованию в них сольватированных электронов, играющих важную роль во многих химических процессах [6, 7]. Под действием облучения вода (или иная среда) переходит в особое состояние, характеризуемое специальными физическими и химическими свойствами [8]. Подобные задачи возникают в рамках квантово-механической задачи двух тел, и её изучение является актуальной проблемой современной физики элементарных частиц. Например, в нерелятивистской потенциальной модели описание спектра тяжёлых кваркониев [9] сводится к решению уравнения Шрёдингера для двух тел. Релятивистское обобщение этой модели в рамках КХД, необходимое для единообразного описания спектров лёгких и тяжёлых кваркониев, приводит к релятивистским вариантам уравнения Шрёдингера. В качестве эффективного потенциала межкваркового взаимодействия обычно используется сочетание растущего и кулоновского потенциалов. Численные исследования задач на собственные значения с кулоновским и линейно растущими потенциалами приведены в работах [10, 11]. Другой пример использования самосогласованного поля - уравнение Хартри для исследования задач в ядерной или атомной физике, в том числе для системы электронов [12]. где потенциалы определяются из системы уравнений Пуассона где яд ( ) - потенциал взаимодействия того электрона в кулоновском поле ядра. Полученная таким способом потенциальная энергия (2) называется самосогласованным полем Хартри. Путём введения самосогласованного поля (2) многоэлектронная задача сводится к одноэлектронной, т.е. к решению уравнения Шрёдингера (1) , содержащего координаты только одного электрона. Самосогласованное поле, правильно учитывающее симметрию перестановки частиц, было получено Фоком [12]. Система нелинейных интегро-дифференциальных уравнений Фока отличается от системы Хартри с присутствием обменного интеграла, обусловленным симметризацией координатных функций. В данной работе предложен метод исследования решений нелинейной краевой задачи на собственные значения для уравнения Шрёдингера с растущим потенциалом, включающим зависимость от волновой функции. 2. Постановка задачи Изучение стационарных автолокализованных состояний в среде, как правило, сводится к исследованию решений нелинейной краевой задачи в рамках уравнения Шрёдингера, которое в безразмерных переменных имеет вид при условии сохранения нормировки а также граничные условия имеют вид: Потенциал (4) является самосогласованным, т.е. так как зависит от самого решения уравнения (3) . Характер такой зависимости, а также форма функции определяются конкретной моделью. Так, при исследовании состояний полярона . Тогда функция Φ удовлетворяет дифференциальному уравнению Отметим, что с вычислительной точки зрения обычно более удобно исследовать систему дифференциальных уравнений (3) и (6) с граничными условиями (5) , а не систему интегро-дифференциальных уравнений (3) - (5) . В работе проводится исследование нелинейной краевой задачи (3) - (5) , где потенциал имеет вид 3. Методы исследования и анализ полученных результатов Исследование свойств решений задачи (3)-(5), (7) будем проводить отдельно для чётных и нечётных значений. 1. Рассмотрим случай, когда = 2 , 4 , 6 , . . . . Сферически симметричное решение (3) ищем в виде с граничными условиями Тогда (4) примет следующий вид При = 2, после интегрирования по углам получим Уравнение (3) для сферически симметричных решений в безразмерных переменных перепишем в виде с граничными условиями Решая уравнение (10) с этими же граничными условиями, находим собственные значения . Далее будем сравнивать аналитическое решения уравнения (10) с потенциалом Φ = 2 (линейная задача) с решениями нелинейной задачи с потенциалом (9) . Решения ищем в виде где - нормировочные постоянные, которые имеют вид Подставляя выражения (11) для разных в уравнение (10) с потенциалом получим систему алгебраических уравнений для нахождения собственных значений и параметров 10. Решая эту систему уравнений, получим Для нелинейной задачи с потенциалом где собственные значения сдвигаются на Тогда имеем Таким образом, решение нелинейной краевой задачи с потенциалом (9) свели к решению линейной задачи с потенциалом Действительно, если потенциал (9) поставить в уравнение (10) , то получаем линейную задачу со сдвинутым собственным значением Так как уравнение (10) с потенциалом Φ = 2 имеет аналитическое решение, то и нелинейная задача также имеет аналитическое решение (см. табл. 1). Интегралы с функциями (11) вычисляются аналитически. Так как вычисления интегралов громоздкие, мы их опускаем, в таблице приведены только окончательные результаты. Из полученных результатов следует, что расстояния между соседними собственными значениями нелинейной задачи эквидистантны (см. последние колонки табл. 1). А также проверено, что решения (11) ортогональны, т.е. При = 4 после интегрирования по углам (8) получим Таблица 1 Собственные значения линейной задачи , нелинейной задачи и значения интеграла 2 при = 2, = 0, 1, 2, 3, 4 c 0.25 1.0 4.0 Собственные 0 1.5 3 6 значения 1 3.5 7 14 линейной 2 5.5 11 22 задачи 3 7.5 15 30 E 4 9,5 19 38 0 3 1,5 0,75 Значения 1 7 3,5 1,75 интеграла 2 11 5,5 2,75 2 3 15 7,5 3,75 4 19 9,5 4,75 Собственные 0 2,25 4,50 9 значения 1 5,25 10,5 21 нелинейной 2 8,25 16,5 33 задачи 3 11,25 22,5 45 ¯ 4 14,25 28,5 57 Расстояние 3 6 12 между соседними 3 6 12 собственными 3 6 12 значениями 3 6 12 При = 6 получим В этом случае кроме потенциалов Φ = 4 , Φ = 6 исходной задачи в нелинейной задаче появляются новые растущие потенциалы меньшей степени (см. (12) и (13) ). Однако найти аналитические решения не удалось. 2. Теперь рассмотрим случаи, когда n принимает нечётные значения = 1 , 3 , 5 , . . . Пусть = 1. Тогда Эта функция обладает следующими свойствами: (14) Действуя на функцию Φ 1 (⃗) оператором ∆, получим Действуя на функцию Φ 2 (⃗) оператором ∆, получим Таким образом, вместо системы интегро-дифференциальных уравнений (3) - (5) получили систему трёх дифференциальных уравнений (3) , (15) , (16) . Сферические симметричные решения системы (3) , (15) , (16) ищем в виде При написании граничных условий (19) учтены свойства (14) и (17) . Для решения задачи (18) , (19) можно использовать алгоритм на основе метода последовательных приближений, успешно апробированный для решения системы уравнений полярона в работе [13]: 1) решаем третье уравнение системы (18) при заданном (в начальном приближении) и найдём 2 ; 2) решаем второе уравнение для нахождения 1 ; 3) решая первое уравнение, найдём в следующем приближении +1 ; 4) повторяем весь алгоритм до самосогласования, т.е. где - заданная малая положительная величина, влияющая на точность получаемого численного решения. Точность определяется порядком аппроксимации и шагом дискретной сетки. Пусть = 3. Тогда Φ 3 Действуя на функцию Φ 3 (⃗) оператором ∆ несколько раз, получим Таким образом, получили систему четырёх дифференциальных уравнений. Аналогично, при = 5, получим систему пяти дифференциальных уравнений и т.д. Для численного решения этих систем необходимо обобщить вышеописанный алгоритм на случаю большего числа уравнений. 4. Выводы Из полученных результатов можно сделать следующие выводы: а) При исследовании обсуждаемой нелинейной краевой задачи (3) - (5) , (7) в случае чётных значений , эта задача сведена к решению линейной задачи. При = 2 получено аналитическое решение нелинейной задачи, характеризующееся эквидистантностью расстояний между соседними собственными значениями спектра. б) Для случая нечётных значений на основе исходной системы интегродифференциальных уравнений формулируется система дифференциальных уравнений, численное решение которой может быть проведено на основе метода последовательных приближений, что является предметом дальнейшей работы.

I V Amirkhanov

Joint Institute for Nuclear Research

Author for correspondence.
Email: camir@jinr.ru
6 Joliot-Curie Str., Dubna, Moscow region, Russia, 141980

Amirkhanov I. V. - Senior Researcher, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Head of Sector “Scientific Division of Computational Physics”. Laboratory of Information Technologies of the Joint Institute for Nuclear Research, Dubna

N R Sarker

Joint Institute for Nuclear Research

Email: sarker@jinr.ru
6 Joliot-Curie Str., Dubna, Moscow region, Russia, 141980

Sarker Nil Ratan - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher “Scientific Division of Computational Physics”. Laboratory of Information Technologies of the Joint Institute for Nuclear Research, Dubna

  • S. I. Pekar, Studies on the Electronic Theory of Crystals, GITGL, Moscow, 1951, in Russian.
  • N. I. Kashirina, V. D. Lakhno, Mathematical Modeling of Autolocalized States in Condensed Media, Fizmatlit, Moscow, 2013, in Russian.
  • I. V. Amirkhanov, I. V. Puzynin, T. A. Strizh, V. D. Lakhno, Solution of LLP Equations in Bipolaron Theory, Bulletin of the Academy of Sciences, the series of physical 59 (8) (1995) 106–110, in Russian.
  • I. V. Amirkhanov, E. V. Zemlyanaya, V. D. Lakhno, I. V. Puzynin, T. P. Puzynina, T. A. Strizh, Numerical Investigation of the Quantum Field Model of the Strong- Binding Binucleon, Mathematical Modelling 8 (1997) 51–59, in Russian.
  • I. V. Amirkhanov, V. D. Lakhno, I. V. Puzynin, T. A. Strizh, V. K. Fedyanin, Numerical Study of a Nonlinear Self-Consistent Eigenvalue Problem in the Generalized Polaron Model, 1988, in Russian.
  • J. Thompson, Electrons in Liquid Ammonia, Mir, Moscow, 1979, in Russian.
  • I. V. Amirkhanov, I. V. Puzynin, T. A. Strizh, O. V. Vasilyev, V. D. Lakhno, Numerical Investigation of a Nonlinear Self-Consistent Eigenvalue Problem in the Generalized Model of a Solvated Electron, 1990, in Russian.
  • V. D. Lakhno, A. V. Volokhova, E. V. Zemlyanaya, I. V. Amirkhanov, I. V. Puzynin, T. P. Puzynina, Polaron Model of the Formation of Hydrated Electron States, Surface. X-ray, synchrotron and neutron studies (1) (2015) 1–6, in Russian.
  • A. A. Bykov, I. M. Dremin, A. V. Leonidov, Potential models of quarkonium, Successes of Physical Sciences 143 (1984) 3, in Russian.
  • I. V. Amirkhanov, E. V. Zemlyanaya, I. V. Puzynin, T. P. Puzynina, T. A. Strizh, On Some Problems of Numerical Investigation of the Eigenvalue Problem in the Momentum Representation, Mathematical modeling 9 (10) (1997) 111–119, in Russian.
  • I. V. Amirkhanov, E. V. Zemlyanaya, I. V. Puzynin, T. P. Puzynina, T. A. Strizh, Numerical Investigation of Relativistic Equations for Bound States with Coulomb and Linear Potentials, Math modeling 12 (12) (2000) 79–96, in Russian.
  • D. Potter, Computational Methods in Physics, Mir, Moscow, 1975, in Russian.
  • I. V. Amirkhanov, et al., Numerical Study of the Dynamics of Polaron States, Bulletin of Tver University. Series: Applied Mathematics (17) (2009) 5–14, in Russian.

Views

Abstract - 78

PDF (Russian) - 26


Copyright (c) 2018 Amirkhanov I.V., Sarker N.R.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.