Differential Properties of Generalized Potentialsof the Type Bessel and Riesz Type

Cover Page

Abstract


In this paper we study differential properties of convolutions of functions with kernels thatgeneralize the classical Bessel-Macdonald kernels ... The theory ofclassical Bessel potentials is an important section of the general theory of spaces of differentiablefunctions of fractional smoothness and its applications in the theory of partial differentialequations. The properties of the classical Bessel-Macdonald kernels are studied in detail in thebooks of Bennett and Sharpley, S. M. Nikolskii, I. M. Stein, V. G. Mazya. The local behavior ofthe Bessel-Macdonald kernels in the neighborhood of the origin is characterized by the presenceof a power-type singularity ||-. At infinity, they tend to zero at an exponential rate. Therecent work of M. L. Goldman, A. V. Malysheva, and D. Haroske was devoted to the investigationof the differential properties of generalized Bessel-Riesz potentials.In this paper we study the differential properties of potentials that generalize the classicalBessel-Riesz potentials. Potential kernels can have nonpower singularities in the neighborhoodof the origin. Their behavior at infinity is related only to the integrability condition, so thatkernels with a compact support are included. In this connection, the spaces of generalized Besselpotentials generated by them belong to the so-called spaces of generalized smoothness. The casewith the satisfied criterion for embedding potentials in the space of continuous bounded functionsis considered. In this case, the differential properties of the potentials are expressed in termsof the behavior of their module of continuity in the uniform metric. Criteria for embedding ofpotentials in Calderon spaces are established and explicit descriptions of the module of continuityof potentials and optimal spaces for such embeddings are obtained in the case when the basespace for potentials is the Lorentz weight space. These results specify the general constructionsestablished in previous works.


В работе изучаются дифференциальные свойства свёрток функций с ядрами, обобщающими классические ядра Бесселя-Макдональда Теория классических потенциалов Бесселя является важным разделом общей теории пространств дифференцируемых функций дробной гладкости и её приложений в теории дифференциальных уравнений в частных производных. Свойства классических ядер Бесселя-Макдональда подробно изучены в книгах Беннетта и Шарпли [1], С. М. Никольского [2], И. М. Стейна [3], В. Г. Мазьи [4]. Локальное поведение ядер Бесселя-Макдональда в окрестности начала координат характеризуется наличием особенности степенного типа 1 /|| - . В данной статье мы изучаем дифференциальные свойства свёрток функций с ядрами, обобщающими классические ядра Бесселя-Макдональда. В отличие от классического случая в них допускаются нестепенные особенности ядер в окрестности начала координат (см. подробнее [5, 6]). Интегральные свойства обобщённых потенциалов Бесселя-Рисса были рассмотрены в нашей работе [7]. Мы опираемся в наших оценках на результаты работы [8]. Дифференциальные свойства потенциалов характеризуются с помощью модулей непрерывности любых порядков в равномерной норме. В данной работе установлены точные оценки модулей непрерывности порядка ∈ . Отметим, что общие точные по порядку оценки для модулей непрерывности потенциалов были получены работах М. Л. Гольдмана, А. В. Малышевой, Д. Хароске [9 - 11]. Здесь мы конкретизируем эти общие результаты в случае, когда базовое пространство для потенциалов является весовым пространством Лоренца с общими весовыми функциями. Полученная конкретизация общих построений позволяет дать явные выражения для точных мажорант модулей непрерывности потенциалов и применить эти оценки для описания пространств типа Кальдерона, в которые вложены пространства потенциалов. 2. Вспомогательные определения Пространство потенциалов на -мерном евклидовом пространстве определяем как множество свёрток ядер потенциалов с функциями из базового пространства (см. где - перестановочно инвариантное пространство (кратко: ПИП). При этом используется аксиоматика, введённая авторами К. Беннетт и Р. Шарпли [1]. В частности, - ассоциированное ПИП, т. е. ПИП с нормой: Для ПИП ( R ), ′ ( R ) рассмотрим пространства ˜ - их представления Люксембурга, т. е. ПИП, для которых выполнены следующие соотношения ˜ - убывающая перестановка функции , т. е. неотрицательная убывающая непрерывная справа функция на R + = (0 , ∞ ), которая равноизмерима : Введём понятие максимальной функции (см. [7]): Введём класс монотонных функций следующим образом: функция Φ :, если для Φ выполнены следующие условия:: 1) Φ - убывающая и непрерывная на (0, ) функция; 2) существует постоянная ∈ R + такая, что Определение 1. Пусть Считаем, что если Определение 2. Пусть Считаем, что где - ПИП, если Определение 3 (см. [6]). Потенциалы ∈ называются обобщёнными потенциалами Бесселя, если Определение 4. Модуль непрерывности для в равномерной норме: Определение 5. Пространством Лоренца , где и > 0 - измеримые функции, называются пространства измеримых функций c конечной нормой (см. [7]): Определение 6. Пусть - идеальное пространство и ∈ . Мы вводим пространство Кальдерона 3. Вспомогательные теоремы Замечание 1. Пусть пусть - веса, и Мы будем использовать результат из работы [8]. А именно, при Кроме того, наилучшая постоянная в оценке () удовлетворяет условию . Теорема 1 (см. [10]). Пусть и функция такова, что при некотором Для свёртки справедлива оценка 1 ∈ R + имеет место оценка и выполнены соотношения Тогда свёртка , определённая в (2) , непрерывна на R + , и при для модуля непрерывности справедлива оценка 1 - постоянная из условия (3), Замечание 2. При выполнении условия неравенство (1) выполнено для любой функции т. е. теорема 1 применима для любого потенциала поскольку для него верна формула (2). Далее рассмотрены некоторые более простые оценки модулей непрерывности при дополнительных ограничениях на ядра потенциалов. Лемма 1. Пусть выполнено следующее условие: где не зависит от . Кроме того, пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда где 2 - постоянная из (4). Лемма 2. Для классических потенциалов, если > , справедлива оценка где ˜ Основная часть Лемма 3. Пусть выполнены условия леммы 1 и, кроме того, Доказательство (леммы 3). Из леммы 1 следует, что Мы будем использовать следующий вариант «второй перестановки»: Подставим эти обозначения в неравенство (7): Из этой оценки следует, что Тогда получим Из определения нормы в () следует По замечанию 1 отсюда следует, что Приведём критерий вложения пространства потенциалов в пространство Кальдерона Λ( ; ) (см. [11]). Теорема 2. Пусть выполнены условия леммы 1, тогда это условие выполнено при Доказательство (теоремы 2). При ∞ справедливо следующее вложение Теперь покажем, что В работе [11] установлено, что где - конус из функций Поэтому можно записать формулу для ℎ() в виде При условии где не зависит от , имеем: Вложение → означает, что это даёт оценку оценка примет вид При условии (5) и при можно писать, что Отметим, что и условии можно использовать критерий: Итак, при и условии 3 < ∞ справедливо вложение Здесь Φ 0 - функция, введённая в лемме 1. 5. Заключение В работе получены следующие основные результаты: 1. рассмотрены общие свойства потенциалов, построенных на базе весовых пространств Лоренца c общими весами; 2. установлены точные по порядку оценки равномерных модулей непрерывности потенциалов в случае вложения пространства потенциалов в пространство непрерывных ограниченных функций; 3. получены критерии вложений пространства потенциалов в пространство Кальдерона, приведена конкретизация этих вложений в случае базовых весовых пространств Лоренца.

N Kh Alkhalil

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Author for correspondence.
Email: khaleel.almahamad1985@gmail.com
6, Miklukho-Maklaya St., Moscow, 117198, Russian Federation

Alkhalil N. - student of Nonlinear Analysis and Optimization Department of Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Kh Almohammad

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Email: khaleel.almahamad1985@gmail.com
6, Miklukho-Maklaya St., Moscow, 117198, Russian Federation

Almohammad Kh. - student of Nonlinear Analysis and Optimization Department of Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

  • C. Bennett, R. Sharpley, Interpolation of Operators, Vol. 129, Academic Press, New York, 1988.
  • S. M. Nikolsky, Approximation of Functions of Several Variables and Embedding Theorems, Nauka, Moscow, 1977, in Russian.
  • E. M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Mir, Moscow, 1973, in Russian.
  • V. G. Mazya, Sobolev Spaces, LSU, Leningrad, 1985, in Russian.
  • M. L. Goldman, The Cone of Permutations for Generalized Bessel Potentials, Vol. 260, 2008, pp. 151–163, in Russian.
  • M. L. Goldman, On Optimal Investment Potentials of the Generalized Bessel and Riesz, Vol. 269, 2010, pp. 91–111, in Russian.
  • Kh. Almohammad, N. Alkhalil, Integral properties of generalized bessel and riesz potentials, Bulletin of RUDN University. Series: Mathematics. Information Sciences. Physics 25 (4) (2017) 331–340, in Russian. doi: 10.22363/2312-9735-2017-25-4-340-349.
  • A. Gogatishvili, M. Johansson, C. A. Okpoti, L. E. Persson, Characterization of Embeddings in Lorentz Spaces Using a Method of Discretization and Anti- Discretization, Bulletin of the Australian Mathematical Society 76 (2007) 69–92.
  • M. L. Goldman, A. V. Malysheva, Two-Sided Estimate for the Modulus of Continuity of a Convolution, Differential Equations 49 (5) (2013) 557–568.
  • M. L. Goldman, A. V. Malysheva, An Estimate of the Uniform Modulus of the Generalized Bessel Potential Continuity, Proceedings of Steklov Mathematical Institute 283 (2013) 1–12, in Russian.
  • M. L. Goldman, D. Haroske, Optimal Calderon Spaces for Generalized Bessel Potentials, Doklady Mathematics 492 (1) (2015) 404–407, in Russian.

Views

Abstract - 110

PDF (Russian) - 50


Copyright (c) 2018 Alkhalil N.K., Almohammad K.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.