Solitary Right Hand Polarized Electromagnetic Wavein Relativistic Plasma

Cover Page

Abstract


In this paper of the nonlinear laser wave propagation in the hot plasma along the strong exter-nal magnetic field under the electron cyclotron resonance conditions is investigated. The strongnonlinearity of such a process is caused by the relativistic electron movement and resonancewave ponderomotive force acting on the electrons. The system of equations for the enveloperight hand polarized laser pulse is derived using the hydrodynamics and Maxwell’s equations.The numerical integration of this system for the cold plasma case discovered the soliton solu-tions. This kind of solutions take a form of the envelope solitons containing inside them the plasma oscillations. The analytical expression for the energy density integral in a cold plasma isderived. It follows from the numerical results that for a hot plasma under cyclotron resonanceconditions the soliton solution becomes unstable. In this case the energy density conservationbreaks down, but electron momentum density conserves. It is concluded that the nonlinear sat-uration of the field amplitude is due to the plasma charge separation under electromagneticradiation pressure. In this case the discrete set of the envelope soliton carrier frequency is de-termined by the ratio of the frequency of the nonlinear longitudinal electron oscillations to theLangmuir frequency of plasma. For the low density plasma the discrete frequency spectrumobtained by the numerical integration transforms to the continuous one.


1. Введение Известно [1-3], что электрон может быть ускорен до высоких энергий в электромагнитном поле плоской волны, распространяющейся вдоль внешнего магнитного поля со скоростью света. Характерной особенностью этого способа ускорения является рост энергии частицы поперёк магнитного поля с последующей перестройкой поперечного движения электрона в продольное под действием силы Лоренца. В работе [4] было показано, что существуют электромагнитные импульсы, распространяющиеся в холодной плазме вдоль сильного магнитного поля в условиях циклотронного резонанса, имеющие вид солитонов со «встроенными» ленгмюровскими колебаниями. При этом насыщение амплитуды поля возникает из-за разделения зарядов плазмы под действием давления излучения, а дискретный набор частот определяется отношением частоты нелинейных колебаний плазмы к ленгмюровской частоте. Распространение уединённой ионно-акустической волны большой амплитуды в замагниченной плазме рассмотрено в работе [5]. Проблема решена без учёта нейтральности плазмы в пределах импульса, а потенциал определялся уравнением Пуассона. Найдены решения в форме сверхзвуковых и почти звуковых уединённых волн, распространяющихся относительно магнитного поля. Импульс имеет несколько пиков и существует для дискретного набора параметров волны. Амплитуда и частота уединённой волны определены как функции числа Маха, определяющего угол распространения относительно магнитного поля. Динамика солитонов в электронноионной плазме аналитически и численно исследована в работе [6]. 2. Основные уравнения Рассмотрим электромагнитную волну, распространяющуюся в плазме вдоль внешнего магнитного поля B 0 , направленного вдоль оси (см. рис. 1): Рис. 1. Геометрия электромагнитной волны Поля E и B описываются уравнениями Максвелла: (1) (2) (3) где A - вектор-потенциал, - плотность электронов, 0 - плотность невозмущённой плазмы, - гидродинамическая скорость электронов. Ионы считаем неподвижными. Движение электронов будем описывать релятивистскими гидродинамическими уравнениями где p = v - релятивистский импульс электронов, - электронная температура. Заметим, что в согласии с работой [7], массу электрона в уравнениях движения (4)-(6) следует заменить эффективной тепловой массой , которая определяется соотношением: , где - функции Макдональда. 3. Поперечное и продольное движения плазмы Введём поперечные и продольную ˜координаты смещения электрона от положения равновесия с помощью соотношений:(8) Уравнения (8) можно рассматривать как определение координат смещения которые функционально не связаны с поперечными координатами , системы отсчёта. Заметим, что ненулевое поперечное смещение электрона следует из наличия у него ненулевой поперечной скорости и не приводит к появлению зависимости функций поля от поперечных координат, если все электроны в поперечной плоскости движутся синхронно. Поскольку компоненты поля и гидродинамических переменных не зависят от поперечных координат, прямое интегрирование уравнений (1)-(4) с учётом соотношений (8) приводит к закону сохранения поперечного импульса: и введены комплексные величины: Мы предполагаем, что в отсутствие поля импульс и поперечное смещение электрона равны нулю. Из уравнений (3) для продольного поля и уравнения непрерывности (7) получаем: Учитывая, что интеграл последнего уравнения можно записать в виде: Нелинейный циклотронный резонанс После перехода к безразмерным переменным из (1), (2) и (4)-(5) получаем следующую систему уравнений: где введены следующие обозначения: (14) Будем искать решение системы уравнений (11)-(13) в виде бегущего импульса огибающей правополяризованной волны: (15) где - фаза волны, которая выбирается таким образом, чтобы величина Ξ оставалась вещественной, а амплитуда зависела от автомодельной переменнойЧастота и волновое число определяются равенствами: так что выполняется следующее соотношение: (16) В этом случае а безразмерные уравнения (11)-(13) можно записать в виде: где штрихом обозначена производная по . Так как и также зависят только от , то уравнение (16) имеет интеграл: Уравнение (17) является нелинейным обобщением условия циклотронного резонанса. Заметим, что система (17)-(20) не требует медленности изменения амплитуды волны и остаётся справедливой при Продольное смещение электронов и продольное электрическое поле = -() не зависят от циклотронной фазы Φ, как это имеет место и в линейной теории, что является следствием предположения (15) о циркулярной поляризации волны. Заметим также, что требование приводит к следующему выражению для циклотронной фазы Φ: Т.е. наша система математически эквивалентна уравнениям, получаемым из исходных с помощью подстановки: (21) Однако подстановка (21) не содержит физически осмысленного разделения на поперечные (циклотронные) и продольные (плазменные) колебания. В отсутствие теплового разброса сохраняется интеграл плотности энергии: (22) В случае конечного теплового разброса плотность энергии перестаёт сохраняться, однако, вводя потенциал можно записать закон сохранения плотности продольного импульса: (23) Заметим, однако, что интеграл продольного импульса (23) требует введения дополнительной переменной , и поэтому, в отличие от интеграла энергии (22), не приводит к реальному ограничению траектории движения. Получить аналитические решения системы уравнений (17)-(20) в общем случае весьма сложно. В связи с этим было проведено численное интегрирование этой системы в широкой области изменения параметров. Результаты расчётов показали, что для холодной плазмы существуют солитоны огибающей (рис. 2) с дискретным спектром несущей частоты. В нагретой плазме полученные решения не удовлетворяли солитонным граничным условиям при (рис. 3). Отсюда можно сделать вывод о том, что при конечных температурах плазмы авторезонансные солитоны огибающей формироваться не могут. Рис. 2. Солитонное решение в холодной плазме, Рис. 3. Электромагнитный импульс в нагретой плазме, Заключение В работе получена система уравнений (17)-(20) для огибающей нелинейной правополяризованной лазерной волны в нагретой плазме. Анализ численных решений этой системы показал, что в условиях электронно-циклотронного резонанса в холодной плазме такая волна может переходить в солитон огибающей. При этом продольные плазменные колебания целиком заперты внутри солитона. Такие решения возникают из-за сильной нелинейности, связанной с релятивистским движением электронов и резонансным возрастанием пондеромоторной силы. Численное интегрирование для плазмы с конечной температурой показало, что в условиях циклотронного резонанса устойчивых солитонных решений не существует. Построено аналитическое выражение для интеграла продольного импульса электронов в нагретой плазме. Сделан вывод о том, что нелинейное насыщение амплитуды излучения связано с возбуждением продольных колебаний плазмы под действием пондеромоторной силы. В этом случае дискретный набор значений несущей частоты солитона огибающей зависит от отношения частоты нелинейных продольных колебаний к ленгмюровской частоте плазмы.

V G Dorofeenko

Department of Kinetic Equations Keldysh Institute of Applied Mathematics, Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: dorofeen@gmail.com
4 Miusskaya pl., Moscow, 125047, Russian Federation

Dorofeenko V. G. - professor, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, senior researcher of Department of Kinetic Equations of Keldysh Institute of Applied Mathematics, Russian Academy of Sciences

V B Krasovitskiy

Department of Kinetic Equations Keldysh Institute of Applied Mathematics, Russian Academy of Sciences

Email: krasovit@mail.ru
4 Miusskaya pl., Moscow, 125047, Russian Federation

Krasovitskiy V. B. - professor, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, expert of Department of Kinetic Equations of Keldysh Institute of Applied Mathematics, Russian Academy of Sciences

V A Turikov

Department of Applied Physics Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Email: turikov_va@rudn.university
6 Miklukho-Maklaya St., Moscow, 117198, Russian Federation

Turikov V. A. - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, assistant professor of Department of Applied Physics of Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

  • А. А. Kolomensky, А. N. Lebedev, Resonance Phenomena During the Particles Movement in a Plane Electromagnetic Wave, JETP 44 (1) (1963) 261–269, in Russian.
  • V. Ya. Davydovskii, About the Possibility of the Resonance Acceleration of Charged Particles by Electromagnetic Waves in a Constant Magnetic Field, JEPT 43 (3) (1962) 886–888, in Russian.
  • C. S. Roberts, S. J. Buchsbaum, Motion of a Charged Particle in a Constant Magnetic Field and a Transverse Electromagnetic Wave Propagating along the Field, Physical Review 135 (1964) 381–389.
  • V. B. Krsovitskiy, V. V. Prudskikh, Autoresonant Soliton in Plasma, Plasma Physics Reports 20 (1994) 564–570, in Russian.
  • V. V. Prudskikh, Supersonic and Near-Sonic Solitary Ion-Sound Waves in a Magnetized Plasma, Plasma Physics Reports 36 (2010) 1052–1058, in Russian.
  • S. Poornakala, A. Das, P. K. Kaw, A. Sen, Z. M. Sheng, Y. Sentoku, K. Mima, K. Nishkava, Weakly Relativistic One-Dimensional Laser Pulse Envelope Solitons in a Warm Plasma, Physics of Plasmas 9 (2002) 3802–3810.
  • D. I. Dzhavakhishvili, N. L. Tsintsadze, Transport Phenomena in a Completely Ionized Ultrarelativistic Plasma, JEPT 64 (1973) 1214–1325, in Russian.

Views

Abstract - 84

PDF (Russian) - 41


Copyright (c) 2017 Dorofeenko V.G., Krasovitskiy V.B., Turikov V.A.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.