Integral Properties of Generalized Potentials of the Type Besseland Riesz Type

Cover Page

Abstract


In the paper we study integral properties of convolutions of functions with kernels generalizingthe classical Bessel-Macdonald kernels (), ∈ , 0 < < . The local behavior of Bessel-Macdonald kernels in the neighborhood of the origin are characterized by the singularity ofpower type ||-. The kernels of generalized Bessel-Riesz potentials may have non-powersingularities in the neighborhood of the origin. Their behavior at the infinity is restricted onlyby the integrability condition, so that the kernels with compact support are included too. In thepaper the general criteria for the embedding of potentials into rearrangement invariant spacesare concretized in the case when the basic space coincides with the weighted Lorentz space.We obtain the explicit descriptions for the optimal rearrangement invariant space for such anembedding.


1. Введение В данной статье мы изучаем обобщения ядер Бесселя-Макдональда. В отличие от классического случая в них допускаются нестепенные особенности ядер в окрестности начала координат. Их поведение на бесконечности связано лишь с условием интегрируемости, так что в рассмотрение включены и ядра с компактным носителем. В связи с этим порождённые ими пространства обобщённых потенциалов Бесселя относятся к так называемым пространствам обобщённой гладкости. Оценки свёрток, возникающих при описании пространства потенциалов исследованы О’Нейлом [1]. Общие критерии вложений обобщённых потенциалов Бесселя и Рисса в различные перестановочно инвариантные пространства исследовались в работах М. Л. Гольдмана [2]. Постановки задач об оптимальных вложениях пространств обобщённой гладкости и ряд важных результатов в этом направлении содержатся в работах Ю. В. Нетрусова [3, 4], М. Л. Гольдмана и др. [5, 6]. 2. Вспомогательные определения. Потенциалы типа Бесселя и типа Рисса Всюду в этой работе есть перестановочно инвариантное пространство (кратко: ПИП), - ассоциированное ПИП. Вводим также пространства - их представления Люксембурга, т. е. такие ПИП, что где * - убывающая перестановка функции , т. е. неотрицательная убывающая непрерывная справа функция на которая равноизмерима с . Пространство потенциалов определяем как множество свёрток ядер потенциалов с функциями из базового пространства где - перестановочно-инвариантное пространство, а ядро - специального вида, (фактор-норма). Ядро представления назовём допустимым, если Здесь свёртка определяется как интеграл Замечание 1. В случае допустимых ядер мы можем для потенциалов определить убывающие перестановки - положительная измеримая функция В частности, когда = 1, Определение 1. Функция Φ : ( принадлежит классу , если: 1) Φ - убывающая и непрерывная на функция; 2) существует постоянная ∈ R + такая, что Определение 2. Пусть Считаем, что . Считаем, что ПИП, если при справедливо представление Определение 3. Пусть Тогда потенциалы называются обобщёнными потенциалами Рисса. Определение 4. Пусть Потенциалы называются обобщёнными потенциалами Бесселя, если Определение 5. Пусть оператор Определение 6. Пространствами Лоренца Λ () и Γ (), где и > 0 - измеримые функции, называются пространства измеримых функций с конечной нормой. В частности когда = 1, Ассоциированными к пространствам Лоренца являются пространства 3. Интегральные свойства потенциалов Задача - описать оптимальное ПИП для вложения т. е. такое ПИП что 1) 2) если ПИП (R ) такое, что есть вложение Теорема 1 (см. [6]). Для потенциалов типа Рисса вложение эквивалентно ограниченности оператора Теорема 2 (см. [6]). В случае обобщённых потенциалов Бесселя вложение справедливо тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия: 1) оператор ограничен; 2) справедливо вложение Теорема 3 (см. [6]). При = ∞ для потенциалов типа Рисса, для потенциалов типа Бесселя имеет место эквивалентность 4. Основная часть Замечание 2. Мы будем использовать результат из работы [7]. Именно, при 1 Лемма 1. Доказательство. Из замечания 2 получим Теорема 4. Пусть 1 Кроме того, пусть Тогда оптимальное ПИП для вложения имеет эквивалентную норму Доказательство. Учитывая определение ассоциированных пространств для пространств Лоренца, мы можем представить норму оператора Re ,∞ : Применяя результат леммы 1, получим Из определении функции мы можем представить норму оператора Re ,∞ в пространстве Мы хотим оценить слагаемое 2 слагаемым 1 . Из убывания функции * получим для 1 : где - постоянная, не зависящая от функций такая, что 2 6 . Достаточно, чтобы определённая следующим образом постоянная была конечна: Эта постоянная и есть константа из условия теоремы. Здесь мы применили обобщённое неравенство Харди для функции одной переменной, приведённое в книге В. Г. Мазьи [8, Глава 1]. Итак, мы получили, чтопоэтому можно писать Эти оценки дают, что даёт, что норма в оптимальном ПИП ˜является ассоциированной к норме (1), т. е. Осталось заметить, что можно описать эквивалентную норму ассоциированного пространства в следующем виде (см. [7]): Учтём теперь обозначение Отсюда следует, что Итак, теорема доказана. Замечание 3. Условие приведённое в работе [9], гарантирует эквивалентность При его выполнении получаем эквивалентность норм Последнее равенство опирается на соотношение Формула в правой части неотрицательна, убивающая и непрерывная, т. е. она совпадает со своей убывающей перестановкой. 5. Заключение В работе получены следующие основные результаты. 1. Рассмотрены общие свойства потенциалов, построенных на базе весовых пространств Лоренца с общими весами. 2. Установлены эквивалентные описания конусов убывающих перестановок для потенциалов, построенных на базе весовых пространств Лоренца с общими весами. 3. Получены критерии вложений пространства потенциалов в перестановочно инвариантные пространства и даны описания оптимальных перестановочно инвариантных пространств для таких вложений. Приведена конкретизация этих вложений в случае базовых весовых пространств Лоренца.

Kh Almohammad

Department of Nonlinear Analysis and Optimization Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN university)

Author for correspondence.
Email: khaleel.almahamad1985@gmail.com
6, Miklukho-Maklaya St., Moscow, 117198, Russian Federation

Almohammad Kh. - student of Nonlinear Analysis and Optimization Department of Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

N Kh Alkhalil

Department of Nonlinear Analysis and Optimization Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN university)

Email: khaleel.almahamad1985@gmail.com
6, Miklukho-Maklaya St., Moscow, 117198, Russian Federation

Alkhalil N. - student of Nonlinear Analysis and Optimization Department of Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

  • R. O’Neil, Convolution Operators and
  • M.L. Goldman, On the Cones of Rearrangements for Generalized Bessel and Riesz Potentials, Complex Variables and Elliptic Equations.
  • Yu.V. Netrusov, Embedding Theorems of Lizorkin–Triebel Spaces, Notes of scientific seminars LOMI 159 (1987) 103–112, in Russian.
  • Yu.V. Netrusov, Embedding Theorems of Besov Spaces into Ideal Spaces, Notes of scientific seminars LOMI 159 (1987) 69–82, in Russian.
  • M.L. Goldman, F. Henriques, Description of Rearrangement Invariant Shell of an Anisotropic Calderon Space, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics 248 (2005) 94–105, in Russian.
  • M.L. Goldman, On Optimal Investment Potentials of the Generalized Bessel and Riesz, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics 269 (2010) 91–111, in Russian.
  • A. Gogatishvili, M. Johansson, C.A. Okpoti, L. E. Persson, Characterization of Embeddings in Lorentz Spaces Using a Method of Discretization and Anti- Discretization, Bulletin of the Australian Mathematical Society 76 (2007) 69–92.
  • V.G. Mazya, Sobolev Spaces, Publishing house Leningrad state University, Leningrad, 1985, in Russian.
  • A.V. Malysheva, Optimal Embedding of the Generalized Riesz Potentials, Bulletin of Peoples’ Friendship University of Russia. Series: Mathematics. Information Sciences. Physics (2) (2013) 28–37, in Russian.

Views

Abstract - 83

PDF (Russian) - 35


Copyright (c) 2017 Almohammad K., Alkhalil N.K.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.