Метод конечных элементов высокого порядка точности решения краевых задач для эллиптического уравнения в частных производных

Обложка

Аннотация


Предложена новая вычислительная схема метода конечных элементов высокого порядка точности решения краевых задач для эллиптического уравнения в частных производных, сохраняющая непрерывность производных приближенного решения в ограниченной области многомерного евклидова пространства. Кусочно-непрерывный базис метода конечных элементов генерируется с помощью интерполяционных полиномов Эрмита нескольких переменных и обеспечивает непрерывность не только приближенного решения, но и его производных до заданного порядка на границах конечных элементов в зависимости от гладкости переменных коэффициентов уравнения и границы области. Эффективность и порядок точности вычислительной схемы, алгоритма и программы демонстрируется на примере точно-решаемой краевой задачи на собственные значения для треугольной мембраны в зависимости от числа конечных элементов разбиения области и от размерности собственного вектора алгебраической задачи. Показано, что для достижения заданной точности приближённого решения схемой метода конечных элементов с интерполяционными полиномами Эрмита длина собственного вектора примерно в два раза меньше, чем для схем с интерполяционными полиномами Лагранжа, сохраняющих на границах конечных элементов только непрерывность приближённого решения. Вычислительная схема метода конечных элементов высокого порядка точности ориентирована на расчёты спектральных и оптических характеристик квантовомеханических систем.


Александр Александрович Гусев

Лицо (автор) для связи с редакцией.
gooseff@jinr.ru
Объединённый институт ядерных исследований ул. Жолио-Кюри, д. 6, г. Дубна, Московская область, Россия, 141980

Автор благодарит О. Чулуунбаатара, С.И. Виницкого, В.Л. Дербова, В.П. Гердта, А. Гужджа и Л.А. Севастьянова за сотрудничество.

  • Symbolic-Numerical Solution of Boundary-Value Problems with Self-Adjoint Second-Order Differential Equation using the Finite Element Method with Interpolation Hermite Polynomials / A.A. Gusev, O. Chuluunbaatar, S.I. Vinitsky et al. // Lecture Notes in Computer Science. 2014. Vol. 8660. Pp. 138-154.
  • Gusev A.A., Hai L.L., Chuluunbaatar O., Vinitsky S.I. Program KANTBP 4M for Solving Boundary-Value Problems for Systems of Ordinary Differential Equations of the Second Order. http://wwwinfo.jinr.ru/programs/jinrlib/.
  • Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. Москва: Мир, 1980.
  • Ramdas Ram-Mohan L. Finite Element and Boundary Element Applications in Quantum Mechanics. New York: Oxford Univ. Press, 2002.
  • Algorithms for Solving the Parametric Self-Adjoint 2D Elliptic Boundary-Value Problem Using High-Accuracy Finite Element Method / A.A. Gusev, O. Chuluunbaatar, S.I. Vinitsky, V.L. Derbov, A. G´o´zd´z // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика, Информатика, Физика. 2017. Т. 25, № 1. С. 36-55.
  • Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. Москва: Наука, 1973.
  • Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. Москва: Наука, 1989.
  • Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. Москва: Стройиздат, 1982.
  • Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. Москва: Наука, 1987.
  • Becker E.B., Carey G.F., Tinsley Oden J. Finite Elements. An Introduction. Vol. I. New Jersey: Englewood Cliffs, Prentice Hall, 1981.
  • Стренг Г., Фикс Г. Теория метода конечных элементов. Москва: Мир, 1977.

Просмотры

Аннотация - 1217

PDF (Russian) - 78


© Гусев А.А., 2017

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.