Geometrization of Maxwell's Equations in the Construction of Optical Devices

Cover Page

Abstract


The development of physics in the XX-th century was closely linked to the development of the mathematical apparatus. The General Relativity demonstrated the power of the geometric approach. Unfortunately, the infiltration of this apparatus in other domains of physics is rather slow. For example, there were some attempts of integration of the geometric methods in electrodynamics, but until recently they remained only as a theoretical exercise. Interest to the geometric methods in electrodynamics is summoned by practical necessity. The following algorithm of designing of the electromagnetic device is possible. We construct the estimated trajectories of propagation of electromagnetic waves. Then we calculate the parameters of the medium along these trajectories. The inverse problem is also interesting. The paper considers the techniques of construction of optical devices based on the method of geometrization of Maxwell’s equations. The method is based on representation of material equations in the form of an effective space-time geometry. Thus we get a problem similar to that of some bimetric theory of gravity. That allows to use a well-developed apparatus of differential geometry. On this basis, we can examine the propagation of the electromagnetic field on the given parameters of the medium. It is also possible to find the parameters of the medium by a given law of propagation of electromagnetic fields.

1. Введение Аппарат дифференциальной геометрии являлся основным языком физики XX-го века. Его базовые элементы развивались в рамках общей теории относительности. Возникает желание применить этот развитый и к другим областям физики, в частности к оптике. Первые попытки применения методов дифференциальной геометрии в электродинамике следует отнести к публикациям И. Е. Тамма [1-3]. В 1960 году Е. Плебаньский предложил метод геометризации материальных уравнений электромагнитного поля [4-7], ставший классическим. Все последующие работы либо использовали его, либо пытались немного подправить, не меняя идеологии [8]. К сожалению, в статье Плебаньского [4] нет никакого вывода формул, а идеология вывода также не выражена явно. Кроме того, методика Плебаньского выглядит скорее как хитрый трюк. Автор постарался выполнить геометризацию уравнений Максвелла более формально. 2. Обозначения и соглашения • Будем использовать нотацию абстрактных индексов [9]. В данной нотации тензор как целостный объект обозначается просто индексом (например, xi), компоненты обозначаются подчёркнутым индексом (например, xi). • Будем придерживаться следующих соглашений. Греческие индексы (a, ) будут относиться к четырёхмерному пространству и в компонентном виде будут иметь следующие значения: a = 0, 3. Латинские индексы из середины алфавита (i, , k) будут относиться к трёхмерному пространству и в компонентном виде будут иметь следующие значения: i = 1, 3. • Запятой в индексе обозначается частная производная по соответствующей координате (,i := ∂i ); точкой с запятой - ковариантная производная (;i := i). • Для записи уравнений электродинамики в работе используется система СГС симметричная [10]. 3. Представления уравнений Максвелла Будем использовать запись уравнений Максвелла в криволинейных координатах. Более подробное описание дано в статьях [11-15]. Уравнения Максвелла в 3-х мерной форме имеют вид: где eik - альтернирующий тензор. Запишем уравнение Максвелла через тензоры электромагнитного поля Fa и Ga [16-18]: где тензоры Fa и Ga имеют следующие компоненты Здесь Ei, i - компоненты векторов напряжённости электрического и магнитного полей соответственно; Di, i - компоненты векторов электрической и магнитной индукции соответственно. Запишем уравнения (2) и (3) через дифференциальные формы в формализме расслоенных пространств. Будем рассматривать расслоение (5) где = M 4 - четырёхмерное пространство. При этом мы не делаем предположение о метрике данного пространства. Зададим F (2-форма), G (бивектор) и (вектор): Тогда уравнения (2) и (3) примут вид: Здесь d = ♯-1 d ♯ - дивергенция, ♯ : Λk Λn-k задаёт двойственность Пуанкаре. При этом Fa и Ga имеют смысл кривизны в кокасательном ( *) и касательном ( ) расслоениях. Связь между этими величинами задаётся следующим образом: (9) Тогда уравнение (8) примет вид: В линейном случае соотношение (9) можно задать как В этом случае уравнение (8) примет вид: Будем считать, что l задаёт на некоторую эффективную метрику. Тензор проницаемостей Будем считать, что отображение l : Λ2 Λ2 линейное и локальное. Тогда его можно представить в следующем виде: где lagd - тензор проницаемостей, содержащий информацию как об диэлектрической и магнитной проницаемостях, так и об электромагнитной связи [1, 3]. Из (13) видно, что lagd имеет следующую симметрию: Для уточнения симметрии, тензор lagd можно представить в следующем виде [19-22]: Очевидно, что lagd имеет 36 независимых компонент, (1)lagd имеет 20 независимых компонент, (2)lagd имеет 15 независимых компонент, (3)lagd имеет 1 независимую компоненту. Далее будем рассматривать только часть (1)lagd . Запишем материальные уравнения: где i и i - тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей, (1)gi и (2)gi - перекрёстные члены. Учитывая структуру тензоров Fa и Ga (4), а также уравнения связи (16), запишем 5. Линейная локальная геометризация уравнений Максвелла Плебаньским была предложена простейшая геометризация уравнений Максвелла [4, 5, 23, 24]. Несмотря на некоторые недостатки, этот метод нашёл применение, например, в трансформационной оптике, где соотношение i = i является желательным [7, 25, 26]. Основная идея геометризации по Плебаньскому заключается в следующем: • Записать уравнения Максвелла в среде в пространстве Минковского. • Записать вакуумные уравнения Максвелла в эффективном римановом пространстве. • Приравнять соответствующие члены уравнений. • В результате мы получим выражение диэлектрической и магнитной проницаемостей через геометрические объекты. Однако данный подход к геометризации выглядит скорее как трюк. Автор постарался выполнить данные вычисления более формально. 5.1. Вспомогательные соотношения для метрического тензора Нам понадобятся простые соотношения для метрического тензора. Выражение (19) приводит к следующим частным соотношениям: Соотношение (20) перепишем в виде Подставляя (22) в (21), получаем: Это соотношение будет использовано позднее для упрощения записи итоговых уравнений. • Уравнения связи для движущихся сред Минковским были выведены уравнения связи для изотропных движущихся сред [16,27] (уравнения Минковского для движущихся сред). Пусть ua - 4-скорость среды. Считая диэлектрическую и магнитную проницаемости и скалярами, можно записать В трёхмерном виде уравнения (24) принимают следующий вид: Тамм расширил уравнения (25) для анизотропного случая [1,3], а именно, считая, что диэлектрическая и магнитная проницаемости имеют вид и вектор скорости ui системы отсчёта - параллельным одной из главных осей анизотропии. Тогда уравнения Минковского для движущихся сред приобретут следующий вид: • Общая геометризация Проведём геометризацию уравнений Максвелла. Введём эффективную метрику в ga . Тогда запишем лагранжиан электромагнитного поля в виде лагранжиана Янга-Миллса: Построим тензор lagd следующим образом: Тогда уравнение (13) примет следующий вид: Для наглядности распишем по компонентам: На основании (17) получим: На основании (17) с учётом соотношения (23) получим: Из (28) можно формально выписать выражение для диэлектрической проницаемости: При этом геометрический смысл второго члена в (28) нуждается в дальнейшем уточнении. Из (29) можно формально выписать выражение для магнитной проницаемости: Таким образом, геометризованные уравнения связи координатах имеют следующий вид: Леонгард предложил интерпретировать перекрёстный член в уравнениях (32) как скорость движения геометризованной системы отсчёта [6]. Действительно, на основании (25) уравнения (32) можно переписать в виде: где ui - трёхмерная скорость движения системы отсчёта. 6. Заключение Автор предложил формальный подход к проблеме геометризации уравнений электромагнитного поля. В качестве иллюстрации представлен метод локальной линейной геометризация уравнений Максвелла. Следует отметить, что данный метод нельзя считать полностью удовлетворительным. Действительно, полный тензор проницаемостей lagd имеет 36 независимых компонент. И даже его основная часть, тензор (1)lagd , имеет 20 независимых компонент. В то время как риманов метрический тензор имеет только 10 независимых компонент. Также следует сказать, что предложенный метод отличается по идеологии и результатам от метода Плебаньского.

D S Kulyabov

RUDN University (Peoples’ Friendship University of Russia)

Email: ds@sci.pfu.edu.ru
6 Miklukho-Maklaya str., Moscow, Russia, 117198 Department of Applied Probability and Informatics; Laboratory of Information Technologies Joint Institute for Nuclear Research 6 Joliot-Curie, Dubna, Moscow region, Russia, 141980

Views

Abstract - 408

PDF (Russian) - 184

PlumX


Copyright (c) 2017 Кулябов Д.С.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.