Multiservice Queuing System with Elastic and Streaming Flows and Markovian Arrival Process for Modelling LTE Cell with M2M Traffic

Abstract


Internet of Things (IoT) is thought to become the third wave of the Internet and to bring important changes into both technological and business aspects of telecommunications. However, for this to happen, an infrastructure should be developed in order to provide network access and management functions to millions, if not billions of IoT-enabled devices. LTE networks could play the key role in the IoT communications landscape, provided that their capabilities are enhanced to efficiently support IoT devices and provide massive machine-to-machine connections without hampering human-to-human communications. Our paper addresses resource allocation in an LTE cell with both human-to-human and machine-to-machine connections. The cell is modeled as a multiservice queuing system with streaming and elastic jobs flows. Resources for machine-to-machine connections are allocated in batches of fixed size; requests for them arrive according to a Markovian arrival process. We obtain the stationary probability distribution of the system and formulas for request blocking probabilities.

1. Введение В последние годы эволюция сетей сотовой подвижной связи была направлена в первую очередь на повышение скорости передачи данных и обеспечение высокого качества обслуживания (quality of service, QoS), что связано прежде всего с распро- странением мультимедийных и интерактивных приложений. Однако расширение межмашинных коммуникаций (machine to machine, M2M), влекущее за собой разви- тие Интернета вещей (ИВ; Internet of Things, IoT), предъявляет к сетям иные, во многом противоположные требования, обусловленные характеристиками трафика, генерируемого приложениями данного типа, а также ограничениями на передающие устройства (дешевизна, долгий срок службы элементов питания). Интернет вещей - это не просто совокупность разнообразных приборов и дат- чиков, связанных между собой проводными и беспроводными каналами связи и подключенных к сети Интернет. Под ИВ понимают глобальную инфокоммуникацион- ную инфраструктуру с возможностями автоматического конфигурирования, которая объединяет физические и виртуальные “вещи”, обладающие не только физически- ми свойствами, но и виртуальной субъектностью, и таким образом обеспечивает более тесную интеграцию реального и виртуального миров, где взаимодействие осу- ществляется как между людьми, так и между устройствами. Предполагается, что в Статья поступила в редакцию 30 октября 2016 г. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда и DST (Индия) (грант № 16-49-02021) в рамках совместного научно-исследовательского проекта Института проблем управ- ления им. В.А. Трапезникова Российской академии наук и CMS Колледжа Коттаям. будущем “вещи” станут активными участниками хозяйственной, социальной и инфор- мационной деятельности, смогут взаимодействовать между собой и с окружающим миром путем обмена информацией об окружающей среде, автономного реагирова- ния на события реального мира и влияния на них, выполняя действия или запуская процессы в том числе и без прямого участия человека [1]. Существующие и потенциальные приложения ИВ весьма разнообразны, однако по требованиям к устройствам и характеристикам трафика их разделяют на две круп- ные категории: массовые (также называемые massive MachineType Communications, mMTC) и критические. Данные категории и сферы применения соответствующих приложений и устройств представлены в табл. 1. Перечисленные в табл. 1 характе- ристики обозначают, условно говоря, границы шкалы, на которой можно разместить самые различные приложения ИВ. Исходя из известных на сегодняшний день техно- логий, можно предположить, что приложения массового типа будут обеспечивать существенно большее число подключений по сравнению с критическими приложе- ниями, однако последние смогут приносить более высокий доход оператору сети связи. Основные категории приложений ИВ Таблица 1 Тип приложений Массовый Критический Характеристики устройств и трафика их эксплуатации; Примеры сфер при- менения удаленную хирургию; § низкая стоимость устройств и § низкое энергопотребление; § малый объем передаваемых дан- ных; § чрезвычайно большое количе- ство устройств § высочайшая надежность; § крайне низкая задержка пе- редачи данных; § крайне высокая готовность § «умные» здания и города; § «умное» сельское хозяйство; § коммунальное хозяйство (счет- чики, освещение и т. п.); § логистика и отслеживание гру- зов; § носимые устройства и др. § телемедицина, включая § безопасность дорожного движения и беспилотный транспорт; § робототехника и др. Концепция ИВ была официально представлена отрасли Международным Союзом Электросвязи еще в 2005 г. в одноименном докладе [2], однако, для того чтобы это направление стало полноценной “третьей волной” в развитии сети Интернет (“второй волной” принято считать распространение доступа в Интернет с мобильных устройств), необходимо развертывание сетевой и информационной инфраструктуры, которая могла бы поддержать лавинообразный рост M2M-соединений и обеспечить необходимые функции управления. Весьма вероятно, что такая инфраструктура не будет однородной, по крайней мере на начальном этапе развития ИВ. Уже сегодня на место в ней претендуют как широко известные, так и новые, разработанные специально для обслуживания массового ИВ технологии и протоколы сетевого доступа, среди которых стандарты проводной связи (Ethernet, оптоволоконные сети доступа, BACnet и др.), стандарты сотовой подвижной связи (GPRS, EDGE, HSPA, LTE и LTE Advanced), технологии ячеистых (mesh) сетей (например, ZigBee), технологии энергоэффективных сетей дальнего радиуса действия (low-power wide- area network, LPWAN), включая SigFox и LoRa, стандарты сетей связи через линии электропередачи (PRIME, G3) и стандарты беспроводных локальных и городских вычислительных сетей (Wi-Fi и WiMAX) [3]. Стандарты сетей сотовой подвижной связи занимают в этом ряду особое ме- сто, поскольку обладают такими преимуществами, как широчайшая зона покрытия, устойчивое положение операторов на рынке услуг связи и поддержка производите- лей оборудования, возможность обслуживать широкий спектр ИВ-приложений, не ограничиваясь простейшими передающими устройствами, управление качеством об- служивания (QoS), управление доступом и безопасность. При работе над вышедшем в середине 2016 г. релизом 13 спецификаций LTE (LTE Advanced Pro), межмашин- ным коммуникациям и ИВ было уделено особое внимание. За очень короткое время 3GPP подготовил вошедший в этот релиз специальный стандарт для обслуживания межмашинных соединений массового типа NB-IoT (Narrowband Internet of Things - узкополосный Интернет вещей), позволяющий оператору сети LTE использовать имеющуюся инфраструктуру для развертывания сети доступа для простейших ста- ционарных ИВ-устройств (скорость передачи данных до 200 кбит/с) и призванный составить конкуренцию быстро распространяющимся технологиям LPWAN SigFox и LoRa. Кроме того, в арсенале 3GPP для обслуживания M2M-трафика массово- го типа имеются технологии EC-GSM-IoT (Extended Coverage GSM for IoT) и LTE Cat-M1 (также известная как enhanced Machine-Type-Communications, eMTC, или LTE-M), первая из которых предназначена для развертывания сети массового ИВ на сети GSM, тогда как вторая позволяет обслуживать M2M-устройства с макси- мальной скоростью передачи 1 Мбит/с и ограниченной мобильностью в сотах LTE. Важнейшую роль в обеспечении межмашинного взаимодействия играет изначально предназначенный для обслуживания основного трафика LTE стандарт 3GPP LTE Cat 1. Он применяется для подключения M2M-устройств, которым необходима пол- ная мобильность и/или передача данных со скоростью более 1 Мбит/с. К таким устройствам относятся носимые устройства, устройства, осуществляющие передачу видео или аудио, устройства, которыми оснащен автотранспорт и др. На данный момент не существует общепринятого подхода к обслуживанию M2M- устройств в сетях связи общего пользования, в том числе оптимального метода для распределения ограниченного количества радиоресурсов между пользователями услуг связи и большим количеством подобных устройств. Однако учитывая большой рыночный потенциал данного сегмента, операторы совместно с международными стандартизующими организациями формулируют широкий класс задач планирова- ния радиоресурсов для эффективного обслуживания трафика ИВ [4-9]. Общими для большинства исследований являются такие характеристики М2М-трафика, как малый размер передаваемых блоков данных и большое количество подключаемых устройств. Значительное число работ посвящено исследованию задачи предотвраще- ния перегрузок на базовой станции беспроводной сети последующего поколения с М2М-трафиком [4, 6, 10, 11]. Результаты подобных исследований позволяют оператору принять решение использовать ту или иную схему выделения доступных частотно- временных ресурсов для передачи блоков данных от М2М-устройств [8, 12, 13]. Схема динамического распределения радиоресурсов соты сети LTE, когда для обслужива- ния трафика межмашинного взаимодействия выделяются фиксированные диапазоны пропускной способности, а остальные ресурсы доступны для пользователей телефо- нии, предложена в [14]. Здесь же в терминах математической теории телетрафика построена модель такой соты и рассмотрены ее ветоятностно-временные характери- стики, для того чтобы оценить эффективность предложенной схемы для обеспечения требований к качеству обслуживания. Однако в предложенной модели поступление запросов на передачу блоков данных от М2М-устройств для простоты моделируется с помощью пуассоновского входящего потока. В настоящей работе также рассматрива- ется сота LTE с трафиком телефонии и М2М, однако, в отличие от [14], поступление запросов на передачу М2М-трафика описывается с помощью более общего марков- ского входящего потока (Markovian Arrival Process, MAP). 2. Постановка задачи Будем рассматривать соту сети LTE, в которой предоставляется услуга теле- фонии (или любая другая услуга, требующая широкополосной передачи потоков данных), а также передаются блоки данных М2М-устройств. Перед тем как перейти к построению математической модели, сделаем ряд упрощающих предположений относительно функционирования рассматриваемой соты сети (см. рис. 1). Будем предполагать, что все пользователи услуги телефонии и М2М-устройства имеют одинаковое значение отношения сигнал/шум и не меняют своего положения относи- тельно базовой станции. Таким образом, устанавливаемые радиоканалы будут иметь одинаковые характеристики, и скорость передачи данных будет зависеть только от количества выделенных единиц канального ресурса. Под единицей канального ресурса (ЕКР) подразумевается некая условная величина, которая соответствует ми- нимально допустимой скорости передачи данных (например, в бит/с) для заданного количества выделенных физических ресурсных блоков. Будем считать, что пиковая пропускная способность соты составляет ЕКР. Пользователи телефонии РБ 1 РБ 2 РБ 3 f . . .… Условная единица канального ресурса ЕКР 1 ЕКР 2 ЕКР 3 ЕКР 5 ЕКР 6 . .… . М2М-устройства Базовая станция LTE РБ N-1 РБ N t ЕКР С-2 ЕКР С-1 ЕКР С [бит/с] Рис. 1. Упрощающие предположения и условная единица канального ресурса С ростом интенсивности предложенной нагрузки планировщик на базовой станции сети LTE должен определять оптимальный размер диапазона радиоресурсов, исходя из установленных оператором сети ограничений на качество обслуживания, напри- мер вероятность потерь запросов пользователей телефонии и среднее время передачи блоков данных М2М-устройств. Поскольку зачастую блоки М2М-данных имеют крайне малый размер и поступают от большого количества устройств, оказывается нецелесообразно выделять для передачи данных от одного М2М-устройства целый ресурсный блок (РБ, диапазон частот), который является минимальным ресурсным элементом, выделяемым планировщиком базовой станции LTE [15]. В [6, 10, 12] рас- сматривается выделение одного ресурсного блока для передачи данных от множества М2М-устройств. В частности, в исследовании [12] предложена модель обслуживания М2М-устройств с помощью искусственно (виртуально) выделенных поднесущих на доступной частотной емкости соты LTE. Для того чтобы сети беспроводной связи последующих поколений стали эффек- тивным механизмом обслуживания М2М-трафика необходимо разработать такие методы распределения радиоресурсов, которые обеспечат минимальное влияние на качество обслуживания традиционных абонентов, приносящих пока основной до- ход операторам сетей связи. Поэтому будем считать, что часть ЕКР соты доступна только трафику телефонии и не может использоваться для передачи данных от М2М-устройств. 3. Система массового обслуживания Функционирование такой соты LTE может быть описано в терминах теории те- летрафика с помощью мультисервисной системы массового обслуживании (СМО) с потоковыми заявками, которые соответствуют вызовам телефонии, и эластичны- ми заявками, соответствующими передаче блоков данных М2М-устройств. Пусть на СМО, состоящую из приборов и не имеющую мест для ожидания, поступают за- явки двух типов: потоковые и эластичные (рис. 2). Эластичным заявкам доступно :( приборов и они обслуживаются в соответствии с дисциплиной справедливого разделения процессора (Egalitarian Processor Sharing, EPS [16]), однако для обслу- живания одной эластичной заявки в каждый момент времени требуется не менее приборов. При этом пусть приборы для обслуживания эластичных заявок выделя- ются блоками по ;;? приборов. Потоковым заявкам в каждый момент времени доступны все приборы системы, не вошедшие в блоки приборов, выделенные для обслуживания эластичных заявок. Эластичные заявки Q0 Q1 , , c ∙ c () Потоковые заявки , , ∙ (, ) Рис. 2. СМО с потоковыми и эластичными заявками ≥ ≥ Положим, что входящий поток эластичных заявок является MAP-потоком. Поток эластичных заявок поступает на систему от источника, который может находиться в одном из ��-состояний и характеризуется двумя квадратными матрицами 0 и 1 порядка , 1 0, 0 + 1 = , где матрица интенсивностей переходов цепи Маркова описывающей состояния источника [17, 18]. Мы предполагаем, что матрица 1 отлична от нулевой, а матрица неприводима. Обозначим вектор-строку стационарных вероятностей состояний источника и 1 вектор-столбец из единиц. Тогда интенсивность поступающего потока эластичных заявок дается формулой = qQ11. Пусть длины эластичных заявок распределены по экспоненциальному закону с параметром . Напомним, что в системе EPS с одним прибором остаточная ⌊ ⌋ {︀ ∈ }︀ ⌊ ⌋ {︀ ∈ }︀ длина заявки - это количество работы по ее обслуживанию с единичной скоростью, измеряемое в единицах времени [16]. При этом заявка обслуживается с переменной скоростью до тех пор, пока ее остаточная длина не станет равной нулю. = ⌊/⌋ = max {︀ ∈ : :( }︀ таких блоков, максимальное число эластичных = ⌊/⌋ = max {︀ ∈ : :( }︀ таких блоков, максимальное число эластичных Обозначим = / = max : :( максимальное число эластичных заявок, которые могут быть одновременно обслужены одним блоком приборов. По- скольку для обслуживания эластичных заявок может быть выделено самое большое · ⌈ ⌉ · { ∈ } · ⌈ ⌉ · { ∈ } заявок, которые могут быть одновременно обслужены СМО, равняется = MS . Если в системе находится эластичных заявок, то общее число обслуживающих их приборов равно () = / = min : ;;? / , причем ресурс этих приборов равномерно распределяется между всеми эластичными заявками, то есть каждая из них обслуживается () приборами. Пусть в системе обслуживаются эластичных заявок. Тогда при поступлении в систему ( + 1)-й эластичной заявки происходит следующее: 1. Если на момент поступления ( + 1) = (), то заявка принимается на обслу- живание без выделения дополнительных приборов. При этом ресурс приборов перераспределяется поровну между ( + 1) заявками (каждая эластичная заяв- ка обслуживается (+1) = () приборами вместо () ; скорость обслуживания падает). +1 +1 2. Если на момент поступления заявки ( + 1) > (), ( + 1) :( и среди доступных эластичным заявкам приборов есть свободных приборов, заявка принимается на обслуживание с выделением дополнительно блока из приборов. При этом скорость обслуживания всех эластичных заявок возрастет, так как они дополнительно получат свободный ресурс нового блока. 3. В противном случае (выделение блока требуется, но свободных приборов не достаточно) заявка будет потеряна. Если эластичная заявка была принята на обслуживание, она будет находиться в системе до тех пор, пока ее остаточная длина не станет равной нулю, после чего покинет систему. Пусть в системе находятся эластичных заявок. Тогда в момент ухода любой эластичной заявки приборы перераспределяются между оставшимися заявками этого типа следующим образом: - - - - 1. Если ( 1) = () (оставшиеся заявки нельзя «утрамбовать» в меньшее чис- ло блоков), приборы не освобождаются, а перераспределяются поровну между оставшимися эластичными заявками, скорость обслуживания которых увеличи- вается. 2. Если ( 1) < (), то блок из приборов высвобождается, а оставшиеся эла- - - стичные заявки занимают ( 1) приборов, деля их ресурс поровну (скорость обслуживания падает). Для обслуживания одной потоковой заявки требуется приборов. Предполагается, что поступающие заявки этого типа образуют пуассоновский поток с интенсивностью ⌊ - ⌋ ⌊ - ⌋ - - и время занятия ими приборов распределено по экспоненциальному закону с параметром . Пусть в системе обслуживается эластичных заявок и потоковых заявок. Тогда для обслуживания потоковых заявок доступны С () приборов, которые могут обслужить максимум () = ( ())/ потоковых заявок. При поступлении в систему потоковая заявка будет принята на обслуживание, если на момент ее поступления свободны хотя бы приборов. Заявка занимает приборов на время своего обслуживания, после чего покидает систему ( приборов при этом высвобождаются). Если при поступлении потоковой заявки + 1 > (), значит в системе меньше чем свободных приборов и поступившая потоковая заявка будет потеряна. Добавим, что в данных обозначениях поступившая эластичная заявка будет потеряна, если в момент ее поступления > ( + 1). 1. Стационарное распределение вероятностей состояний СМО и ее стационарные характеристики Обозначим () число обслуживаемых СМО эластичных заявок, () - число пото- ковых заявок, и () - состояние источника в момент времени ;;? 0. Тогда функциони- рование СМО описывает составной марковский процесс () = ((), (), ()), ;;? 0, с пространством состояний = {(, , )| ;;? 0, ;;? 0, :( , ()+ :( , 1 :( :( }. ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ Матрица интенсивностей переходов A этого процесса является блочной трехдиа- гональной: D0 Λ0 ⎥ ⎥ ⎢⎢M1 D1 Λ1 ⎥ 2 2 A = ⎢⎢⎢⎢ M . . . . . . ⎢⎣ ⎢⎣ . D . D ⎥⎦ ⎥⎦ . . -1 Λ-1 ⎥⎥⎥⎥ . (1) M D В этой матрице блок, находящийся на пересечении ��-й блочной строки и -го блочного столбца, сам является блочной матрицей, имеющей блочный размер ( () + × × 1) ( () + 1) и составленной из квадратных матриц порядка . Диагональные блоки матрицы A имеют блочную трехдиагональную структуру: ⎡ ⎡ ⎥ ⎥ D = F,0 I ⎢⎢⎢ I F,1 I ⎥⎥⎤ . . . . . . ⎢⎢⎢ . . . ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ = ⎢⎢⎢⎢⎢ ⎢⎣ ( + 1)I F, (+1) I ( ( + 1) + 1)I G, (+1)+1 I . . . . . . . . . ( () - 1)I G, ()-1 I ()I G, () 0 :( < , ⎥⎥⎥⎥⎥ , ⎥⎦ ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎡G,0 I ⎤ где D = ⎢⎢⎢⎢⎢ I G,1 I ⎢⎣ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎥⎦ . . . . . . . . . ( () - 1)I G, ()-1 I ()I G, () ⎥⎥⎥⎥⎥ , F = Q0 - ( + + ())I, G = Q - ( + + ())I, ̸= (), F () = Q0 - ( () + ())I, G () = Q - ( () + ())I, а внедиагональные блоки матрицы A являются блочными диагональными прямо- угольными матрицами: M = (()I, ..., ()I), Λ = (Q1, ..., Q1). (2) Запишем стационарное распределение вероятностей процесса () в векторном виде, согласованном с разбиением (1) матрицы интенсивностей переходов на блоки: ≤ ≤ ≤ ≤ = (0, 1, ..., ), где = (,0, ,1, ..., , ()), 0 . Учитывая специальный вид поддиагональных блоков матрицы , вектор можно вычислить с помощью алгоритма, предложенного в [19]. Зная стационарное распределение вероятностей, легко вычислить вероятности блокировок потоковых п и эластичных э заявок: ∑︁ ∑︁ п = p =0 , () 1 1, э = -1 ∑︁ ∑︁ =0 () ∑︁ ∑︁ = (+1)+1 p, Q11. Длительности обслуживания эластичных заявок имеют функцию распределения фазового типа, которая характеризуется 1) стационарным распределением ˜ цепи Маркова, вложенной по моментам поступления эластичных заявок, и 2) матрицей интенсивностей переходов ˜ марковского процесса, обрывающегося в момент ухода рассматриваемой эластичной заявки из системы. Поэтому зная стационарное распре- деление ˜ и матрицу ˜, нетрудно вычислить моменты длительностей обслуживания эластичных заявок. Зная стационарное распределение процесса (), стационар- ное распределение ˜ цепи Маркова, вложенной по моментам времени, образующим марковский поток событий, можно найти по известным формулам [17], а матрица ˜ получается из матрицы вычеркиванием первого блочного столбца, первой блочной строки, и умножением в формуле (2) коэффициента () на множитель (1 - 1 ). 2. Заключение Построенная в настоящей работе математическая модель позволяет исследовать распределение радиоресурсов в соте сети LTE, обслуживающей трафик телефонии и межмашинного взаимодействия, в предположении, что ресурсы для пропуска трафика межмашинного взаимодействия выделяются диапазонами фиксированного размера, а поступление запросов на его передачу описывается с помощью марковского входящего потока. References 1. O. Vermesan, et al., Internet of things strategic research roadmap, accessed 30 Oct. 2016 (2011). URL http://www.internet-of-things-research.eu/pdf/IoT_Cluster_ Strategic_Research_Agenda_2011.pdf 2. International Telecommunication Union (November 2005). 3. W. Guibene, K. E. Nolan, M. Y. Kelly, Survey on Clean Slate Cellular-IoT Standard Proposals, in: 2015 IEEE International Conference on Computer and Information Technology. IEEE Computer Society, 2015, pp. 1596-1599. 4. M. Cheng, G. Lin, H. Wei, Overload Control for Machine-Type-Communications in LTE-advanced System, IEEE Communications Magazine 50(6) (2012) 38-45. 5. C.-X. Wang, F. Haider, X. Gao, Y. Y. Xiao-Hu You, D. Yuan, H. Aggoune, H. Haas, S. Fletcher, F. Hepsaydir, Cellular Architecture and Key Technologies for 5G Wireless Communication Networks, IEEE Communications Magazine 52(2) (2014) 122-130. 6. C. Ide, B. Dusza, M. Putzke, C. Mu¨ller, C. Wietfeld, Influence of M2M Communication on the Physical Resource Utilization of LTE, in: Proc. of the 11th Wireless Telecommunications Symposium (WTS 2012). London, 2012, pp. 1-6. 7. S.-Y. Lien, K.-C. Chen, Massive Access Management for QoS Guarantees in 3GPP Machine-to-Machine Communications, IEEE Communications Magazine 15(3) (IEEE Communications Letters) 2011. 8. K. Zheng, F. Hu, W. Wang, W. Xiang, M. Dohler, Radio Resource Allocation in LTE-Advanced Cellular Networks with M2M Communications, IEEE Communications Magazine 50(7) (2012) 184-192. 9. A. E. Koucheryavy, A. Futahi, E. A. Koucheryavy, LTE and Wireless Sensor Networks, Mobile Telecommunications (2012) 38-41In Russian. 10. O. Dementev, O. Galinina, M. Gerasimenko, T. Tirronen, J. Torsner, S. Andreev, Y. Koucheryavy, Analyzing the Overload of 3GPP LTE System by Diverse Classes of Connected-Mode M2M Devices, in: Proc. of the IEEE World Forum on Internet of Things, 2014, pp. 309-312. 11. I. A. Buturlin, Y. V. Gaidamaka, A. K. Samouylov, Utility Function Maximization Problems for Two Cross-Layaer Optimization Algorithms im OFDM Wireless Networks, T-Comm - Telecommunications and Transport (7) (2012) 30-32, in Russian. 12. M. Beale, Future Challenges in Efficiently Supporting M2M in the LTE Standards, in: Proceedings of the 10th Wireless Communications and Networking Conference WCNCW 2012, Paris, 2012, pp. 186-190. 13. S. Y. Shin, D. Triwicaksono, Radio Resource Control Scheme for Machine-to-Machine Communication in LTE Infrastructure, in: Proc. of the 3rd International Conference on ICT Convergence ICTC 2012, Jeju Island, Korea, 2012, pp. 1-6. 14. I. A. Buturlin, I. A. Gudkova, A. V. Chukarin, On Radio Resource Allocation Scheme Model with Fixed Capacities for Machine Type Communications in LTE Network, T-Comm - Telecommunications and Transport (8) (2014) 14-18, in Russian. 15. G. P. Basharin, S. V. Shtatnov, Multiservice Model for Elastic Traffic with Finite Number of Sources, T-Comm - Telecommunications and Transport (7) (2010) 4-7, in Russian. 16. S. F. Yashkov, Mathematical Problems of the Theory of Processor-Sharing Queues, Review of Schience and Technology (Itogi nauki i techniki), Series “Probability theory. Mathematical statistics. Technical Cybernetics” 29 (1990) 3-82, in Russian. 17. V. A. Basharin, G. P.and Naumov, Simple Matrix Description of Peaked and Smooth Traffic and its Applications, in: Proc. of the 3 Int. Seminar on Teletraffic Theory “Fundamentals of Teletraffic Theory”, VINITI, Moscow, 1984, pp. 38-44. 18. V. A. Naumov, Markovian Models of Jobs Flows, UDN Publisher, Moscow, 1987, pp. 67-73, in Russian. 19. V. A. Naoumov, G. P. Basharin, Losungsmethoden fur lineare algebraische Gleichunssysteme stationarer charakteristiken, Academie-Verlag, Berlin, 1983, pp. 387-430. © Вишневский В. М., Самуйлов К. Е., Наумов В. А., Яркина Н. В., 2016

V M Vishnevsky

V.A. Trapeznikov Institute of Control Sciences

Email: vishn@inbox.ru
Moscow, Russia Russian Academy of Sciences

K E Samouylov

RUDN University (Peoples’ Friendship University of Russia)

Email: ksam@sci.pfu.edu.ru
Moscow, Russia

V A Naumov

Service Innovation Research Institute (PIKE)

Email: valeriy.naumov@pfu.fi
Helsinki, Finland

N V Yarkina

RUDN University (Peoples’ Friendship University of Russia)

Email: nat.yarkina@mail.ru
Moscow, Russia

Views

Abstract - 1076

PDF (Russian) - 167


Copyright (c) 2016 Вишневский В.М., Самуйлов К.Е., Наумов В.А., Яркина Н.В.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.