Laffer points, area of fiscal contradictions and taxpayers’ acceptance power

Cover Page

Abstract


The Laffer curve is the eternal problem of mathematical economics. Attempts to find the Laffer curve functions lead to new results that do not give the function in coordinates “tax burden - tax revenues” but give results in larger dimensions. Purpose of the article is developing tools to access the excessive tax burden on organizations. The general methods used in the article are analysis, generalization, synthesis. Special methods are mathematical induction, mathematical methods. In the study previously proposed mathematical models of Laffer curves by V.G. Papava (Ananiashvili, Papava, 2010) and E.V. Balatskii (Balatskii, 2000) are generalized and clarified. Taxation limit concept is expanded and necessity of determining the lower taxation limit is shown. The new approach to determining the values of Laffer points based on the use of tax burden and current assets turnover ratio is proposed. The determination of taxpayers’ acceptance power (in meaning “exponent”) is introduced and the property linking it with area of fiscal contradictions is shown. The constancy of the location of the first and second kind Laffer points is proved. Conditions limiting the sets of values of Laffer points are given. As a result the concept of the area of fiscal contradictions is divided with concepts of Laffer curves and Laffer points.


Е.В. Балацким был предложен трехпараметрический метод оценки эффективности фискальной политики (Балацкий, 2000): X = α + βθ + γθ2; T = θX, где X - величина ВВП; T - сумма налоговых поступлений в бюджет страны; θ - размер усредненного совокупного налога; α, β, γ - параметры, подлежащие оценке. Такой подход имеет следующее обоснование: кривая Лаффера часто изображается параболой, поэтому функцию, графиком которой является кривая Лаффера, понимают как квадратичную. Максимум квадратичной функции достигается в единственной точке перегиба - вершине параболы, что тоже соответствует пониманию кривой Лаффера. Глобально среди элементарных квадратичная функция является единственной, имеющей точку максимума, хотя локально таких функций можно придумать много. Предположение о существовании точки Лаффера второго рода - максимума налоговой кривой Лаффера - для квадратичной функции, задающей налоговую кривую Лаффера, выполняется только тогда, когда коэффициент, стоящий перед переменной в квадрате, отрицателен: $ arg max{X | X < ¥} Û γ < 0. (1) 0 £ θ £ 1 Решая уравнение dX = 0, dq получаем значение точки Лаффера первого рода - максимума производственной кривой Лаффера: argmax X =- b > 0. (2) q 2g В силу (1) и (2) имеем β > 0. (3) Получим оценку β, при которой вершина параболы лежит на оси абсцисс: X = a 2 2 2 +bq + gq = a + gq = a + 2 agq + gq2; ( ) ( ) ( ) b= 2 ag. (4) Чтобы максимум кривой Лаффера достигался в значениях, больших нуля, необходимо, чтобы выполнялось условие $maxT > 0 Û b > 2 ag. (5) Условие (5) строже условия (3), и в практических расчетах должно применяться условие (5). В силу (1), (3) и (4) При решении уравнения α < 0. (6) dT = 0 dq может получиться два значения, тогда возникает необходимость определения не только верхнего предела налоговых изъятий1: ⎛ max argmin(X | X ³ 0) = min ⎜1; max -b ± b2 - 3ag ⎞ ⎟, ⎝⎜ 3g ⎠⎟ но и нижнего: ⎛ min argmin(X | X ³ 0) = max ⎜0; min -b ± b2 - 3ag ⎞ ⎟. ⎝⎜ 3g ⎠⎟ Обоснование существования некого нижнего предела налоговых изъятий этой моделью закономерно, но примитивно, так как данная модель зависит исключительно от налоговой нагрузки. Рассматривая функцию X, возникает вопрос об экономической интерпретации параметров. При θ = 0 X = α, (7) что в силу (6) невозможно и доказывает необходимость некого минимального уровня налогообложения организаций. Двухпараметрический метод оценки эффективности фискальной политики (Балацкий, 2000) устраняет ситуацию, возникающую в (7): X = βθ + γθ2; T = θX. (8) Для системы (8) не выполняется условие (5), что затрудняет экономическую интерпретацию коэффициентов. Расчеты, проведенные нами в 2016 г. для Российского экономического университета имени Г.В. Плеханова, подтверждают выводы Е.В. Балацкого о том, что точки Лаффера «либо отсутствуют, либо имеют нереалистичные значения» (как при трехпараметрическом методе), либо «неправдоподобно скачут по годам» (как при двухпараметрическом методе) (Балацкий, 2003). 1 Е.В. Балацкий перевел на английский язык «предел налоговых изъятий» как limit of tax exemptions (Энциклопедия..., 2016). Но tax exemption - это «освобождение от налогов, налоговая льгота» (Факов, 2011). Изъятие - в налоговом праве: налоговая льгота, направленная на выведение из-под налогообложения отдельных объектов (предметов) налогообложения (Налоговое право..., 2015). Здесь «налоговые изъятия» понимаются не как налоговая льгота, а как изъятия в пользу государства, поэтому перевод термина «предел налоговых изъятий» стоит пересмотреть. В качестве альтернативного названия того же по смыслу явления существует термин «граница налогообложения» (англ. taxation limit) (Финансово-кредитный..., 2002). Новый подход к определению точек Лаффера Е.В. Балацкий указал, что «понятие предела налоговых изъятий связано с таким фундаментальным понятием, как воспроизводственный цикл» (Энциклопедия..., 2016). В настоящей статье внимание уделяется не экономическому содержанию этапов воспроизводственного цикла, а количеству таких циклов. Определение. Коэффициент оборачиваемости (число оборотов) оборотных активов m (Финансово-кредитный..., 2002) вычисляется следующим образом: m = P , O где P - выручка от реализации продукции; O - средняя величина оборотных активов. По смыслу P является монотонно неубывающей в календарном году функцией, принимающей неотрицательные значения, O - функция, принимающая положительные значения, тогда m - функция, принимающая неотрицательные безразмерные значения: P ³ 0, O > 0 Þ m ³ 0. (9) Е.В. Балацкий предложил эконометрические регрессионные полиномы с оговоркой, что их степень не должна быть слишком большой (Балацкий, 2000): m X = åbi qi ; i =0 m T = åbi qi +1. i =0 Действительно, коэффициент оборачиваемости оборотных активов экономики Российской Федерации в третьем тысячелетии находился в пределах от 2 до 3. Минимальные и максимальные значения коэффициента также представлены в таблице. В экономике необходимо стремиться к созданию моделей, свободных от показателей, выражаемых в деньгах, какими являются коэффициенты βi, отдавая предпочтение относительным. Пусть ВВП задается равенством X m = åqi , b i =1 тогда налоговые поступления задаются равенством T X =q , b b где X/β и T/β не означают деление в смысле арифметической операции. Таблица/Table Оборачиваемость оборотных активов экономики Российской Федерации [Current assets turnover ratios in Russia’s economy] Год Средний коэффициент оборачиваемости оборотных активов, единиц Наибольший коэффициент оборачиваемости оборотных активов в разрезе отраслей, единиц Отрасль, имеющая наибольший коэффициент оборачиваемости Наименьший коэффициент оборачиваемости оборотных активов в разрезе отраслей, единиц Отрасль, имеющая наименьший коэффициент оборачиваемости 1998 1,38 2,34 связь 0,96 строительство 1999 1,76 2,57 торговля и общественное питание 1,01 жилищно-коммунальное хозяйство 2000 2,24 2,95 связь 1,29 сельское хозяйство 2001 2,34 3,16 торговля и общественное питание 1,28 2002 2,43 3,00 1,26 2003 2,73 5,71 деятельность прочего сухопутного транспорта 0,99 деятельность железнодорожного транспорта 2004 2,88 5,90 деятельность железнодорожного транспорта 1,41 сельское хозяйство, охота и лесное хозяйство 2005 2,98 7,83 1,34 научные исследования и разработки 2006 2,98 7,66 1,29 сельское хозяйство, охота и лесное хозяйство 2007 2,81 7,20 1,27 2008 2,52 6,21 1,21 научные исследования и разработки 2009 2,22 5,37 1,08 производство транспортных средств и оборудования 2010 2,61 9,23 финансовая деятельность 1,11 научные исследования и разработки 2011 2,57 8,57 1,03 2012 2,38 5,22 0,95 2013 2,47 8,78 0,88 2014 2,28 5,37 0,77 2015 2,22 6,00 0,56 государственное управление и обеспечение военной безопасности, социальное страхование Источник: рассчитано автором по данным сборников «Финансы России». URL: https://bit.ly/2RQaAJm (дата обращения: 31.10.2018). Редко на один наблюдаемый период приходится целое число оборотов оборотных активов, то есть в виде суммы ряда сумма ее m членов найдена быть не может, поэтому показатели X/β и T/β надо рассматривать как суммы геометрических прогрессий. Размер налоговой нагрузки, приходящейся на один оборот, является и первым членом, и знаменателем прогрессии, так как предполагается, что оборотные активы, совершая один оборот, возвращаются с каждым последующим оборотом в таком же размере обратно к отрасли или хозяйствующему субъекту в виде выручки от продажи продукции. В случае расширения (сужения) производства, то есть вложений в оборотные активы, выручка увеличивается (уменьшается) во столько же раз. В этом же смысле модель не учитывает инфляцию, так как предполагается, что рынок реагирует моментально. Так как выручка от реализации продукции P считается нарастающим итогом с начала года, а средняя величина оборотных активов O увеличивается (уменьшается) с увеличением (уменьшением) текущей величины оборотных активов, будет наблюдаться замедление (ускорение) оборачиваемости оборотных активов, что в случае отраслей экономики и хозяйствующих субъектов, занятых реальным производством продукции, не является существенным. В настоящей статье предполагается, что для существования геометрической прогрессии необходимо и достаточно существование первого члена и знаменателя геометрической прогрессии, поэтому для любого положительного m можно найти x-тый член геометрической прогрессии, следовательно, и сумму первых m членов геометрической прогрессии. Очевидно, что сумма m членов геометрической прогрессии является непрерывно возрастающей функцией для положительной убывающей последовательности чисел на множестве не только целых, но и действительных чисел. Пусть существуют две функции: PLCF (англ. product Laffer curve function) и TLCF (англ. tax Laffer curve function), описывающие производственную и налоговую кривые Лаффера соответственно, которым принадлежат точки Лаффера первого и второго рода соответственно. Из выделяемых А. Лаффером отличительных черт кривой Лаффера в дальнейшем изложении принимается только то, что максимум кривой Лаффера достигается в точке Лаффера. Определение. Точка Лаффера первого рода вычисляется следующим образом: x (xm -1) S m PLCF = argmax PLCF = "x "m , x -1 (10) где x - налоговая нагрузка, приходящаяся на один оборот оборотных активов некоторого хозяйствующего субъекта или отрасли. Определение. Точка Лаффера второго рода вычисляется следующим образом: x (xm+1 -1) S m TLCF = argmaxTLCF = "x "m . x -1 (11) Данный подход утверждает, что точка Sm является точкой Лаффера не для всех x и m, а для каждой конкретной пары таких значений. Постоянство взаимного расположения точек Лаффера Утверждение. Точка Лаффера первого рода строго меньше точки Лаффера второго рода: S m < S m . (12) PLCF TLCF Доказательство. Налоговая нагрузка рассматривается в интервале1 0 < x < 1. (13) В силу (9) и (13) для любого x (10) и (11) приводят к (12), что и требовалось доказать. Зона фискальных противоречий Определение. Зона фискальных противоречий является разностью между значениями точек Лаффера второго и первого рода (Энциклопедия..., 2016): AFC = S m · S m , TLCF PLCF где AFC (англ. area of fiscal contradictions) - зона фискальных противоречий. Свойство 1. Количественное измерение зоны фискальных противоречий возможно без вычисления значений точек Лаффера. По определению, с учетом (9)- (13): AFC = xm+1 > 0. В таком случае достаточно оценить налоговую нагрузку исходя из фактически уплаченных налогов на момент, когда m очень близко к некоторому натуральному числу. Позитивным экономическим ориентиром является минимизация зоны фискальных противоречий. Глобально ни налоговая нагрузка, ни оборачиваемость оборотных активов не являются предметом управления, поэтому зону фискальных противоречий стоит понимать не только как размер налоговой нагрузки, но и как распределение этой налоговой нагрузки во времени. Все рациональные хозяйствующие субъекты максимально откладывают уплату налогов в пределах сроков, определенных законодательством о налогах и сборах. Частично зона фискальных противоречий покрывается этими сроками: logxAFC = m + 1. (14) С целью обеспечения платежеспособного функционирования хозяйствующие субъекты могут пользоваться своим правом получать отсрочку, рассрочку или инвестиционный налоговый кредит в порядке и на условиях, предусмотренных 1 С точки зрения геометрической прогрессии строгость неравенств объясняется ограничением на ее знаменатель. Налоговым кодексом Российской Федерации (пп. 4 п. 1 ст. 21 Налогового кодекса Российской Федерации). Хотя данные механизмы не находят широкого применения на практике, предложенный выше инструментарий может быть использован для определения срока, на который необходимо отложить уплату налогов и сборов. В (14) видно, что всегда необходимо времени на один оборот оборотных активов больше, чем получилось по результатам финансово-хозяйственной деятельности, чтобы покрыть зону фискальных противоречий, при этом продолжительность (в днях) одного оборота не имеет значения. Данный подход можно использовать при пересмотре такого элемента налогообложения, как сроки уплаты налога. Зона фискальных противоречий представляется вполне реальной категорией оценки налоговых рисков при должной последующей разработке темы. Часто фискальные противоречия приводят к сокрытию объектов налогообложения, формированием теневой экономики (Оленёв, Стародубцева, 2008). Модификация энтропийной модели совокупного выпуска и бюджетных доходов В.Г. Папава предложил следующую функцию для описания налоговой кривой Лаффера (Ананиашвили, Папава, 2010): ⎧0 при t = 0; T = ⎨ (15) ⎩-Y0t ln t при 0 < t £ 1, где Y0 - величина ВВП (Y), соответствующая максимальным налоговым поступлениям в бюджет; t - средняя налоговая ставка1. Предполагается, что величина собираемых налогов равна доле t ВВП Y: Из (16), по В.Г. Папава, следует: T = Yt. (16) Y = -Y0lnt при 0 < t £ 1. (17) Можно представить (15) и (17) следующим образом (для 0 < t £ 1): Y = -Y0 ln t = Y0 log 1 t = Y0 log1 t ; e -1 e T = Y0t log1 t , e (18) где e - математическая константа. 1 t имеет тот же смысл, что и θ. При этом значения t, меньшие точки Лаффера t = 1/e, дают значения больше единицы, то есть предположение Артура Лаффера не подтверждается: "t ¹ argmaxT $T ⎛t < argmaxT ⎞ = T ⎛t > argmaxT ⎞. (19) ⎝⎜ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ 0

Gleb V. Shcherbakov

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Author for correspondence.
Email: glijeb@ya.ru
6 Miklukho-Maklaya St., Moscow, 117198, Russian Federation

master student of S.M. Nikol’skii Mathematical Institute of Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University).

  • Ananiashvili Yu., Papava V. (2010). Nalogi i makroekonomicheskoe ravnovesie: laffero-keinsianskii sintez [Taxes and macroeconomic equilibrium: Lafferian and Keynesian synthesis]. Stockholm, CA & CC Press. (In Russ.)
  • Balatskii E.V. (2003). Invariantnost’ fiskal’nykh tochek Laffera [Invriance of Laffer fiscal points]. Mirovaya ekonomika i mezhdunarodnye otnosheniya, (6), 62-71. (In Russ.)
  • Balatskii E.V. (2000). Effektivnost’ fiskal’noi politiki gosudarstva [Efficiency of State Fiscal Policy]. Studies on Russian Economic Development, (5), 32-45. (In Russ.)
  • Mironov V.A. (2009). Distortnost’ v sbalansirovannoi sisteme pokazatelei effektivnosti menedzhmenta: monografiya [Distortion in a balanced system of management performance indicators: monograph]. Tver’: Tver State Technical University Publ. (In Russ.)
  • Nalogovoe pravo: uchebnik dlya vuzov [Tax law: textbook for higher schools]. (2015). Moscow: Al’pina Publ. (In Russ.)
  • Tax Code of the Russian Federation (part 2). No. 117-FZ. (August 5, 2000). (In Russ.)
  • Olenyov N.N., Starodubtseva V.S. (2008). Issledovanie vliyaniya tenevogo oborota na sotsial’noekonomicheskoe polozhenie v Respublike Altai [Study of the influence of shadow turnover on the socio-economic situation in the Republic of Altai]. Regional Economics: Theory and Practice, 11(68), 32-37. (In Russ.)
  • Faekov V.Ya. (2011). Bol’shoi finansovyi slovar’: v 2 t. [New Financial Dictionary: in 2 vol.]. Moscow: International Relations Publishing House. (In Russ.)
  • Finansovo-kreditnyi entsiklopedicheskii slovar’ [Finance & credit encyclopedic glossary]. (2002). Moscow: Finansy i statistika Publ. (In Russ.)
  • Maiburov I.A., Ivanov Yu.B. (2016). Entsiklopediya teoreticheskikh osnov nalogooblozheniia [Encyclopedia of theoretical foundations of taxation]. Moscow: UNITY-DANA Publ. (In Russ.)

Views

Abstract - 129

PDF (Russian) - 82

PlumX


Copyright (c) 2019 Shcherbakov G.V.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.