Translational Rectilinear Motion of a Solid Body Carrying a Movable Inner Mass

Cover Page

Abstract


We consider the motion of the mechanical system consisting of the case (a solid body) and the inner mass (a material point). The inner mass circulates inside the case on a circle centered at the center of mass of the case. We suppose that absolute value of the velocity of circular motion of the inner mass is constant. The case moves translationally and rectilinearly on a flat horizontal surface with forces of viscous friction and dry Coulomb friction on it. The inner mass moves in vertical plane. We perform the full qualitative investigation of the dynamics of this system. We prove that there always exist a unique motion of the case with periodic velocity. We study all possible types of such a periodic motion. We establish that for any initial velocity, the case either reaches the periodic mode of motion in a finite time or asymptotically approaches to it depending on the parameters of the problem.


Full Text

ВВЕДЕНИЕ Рассмотрим механическую систему, состоящую из твёрдого тела массой M и движущейся внутри него материальной точки массой m. Тело находится на горизонтальной плоскости, на которую оно опирается своей плоской гранью. Движение точки внутри тела происходит в вертикальной плоскости по круговой траектории радиуса R, центр которой совпадает с центром масс тела. При движении (скольжении) тела в области его контакта с плоскостью возникают силы сухого и вязкого трения. Внутренняя масса с внешней средой не взаимодействует, а угловая скорость ω радиус-вектора, описывающего её круговое движение внутри тела, постоянна. Следует отметить, что рассматриваемую здесь механическую систему можно также интерпретировать как твёрдое тело, внутри которого вращается маятник. Ось вращения маятника параллельна опорной плоскости и проходит через центр масс тела. К оси маятника приложен управляющий момент, который обеспечивает вращение маятника с постоянной угловой скоростью. Исследование динамики тел, несущих подвижные массы, представляет не только теоретический интерес, но может иметь и прикладное значение для создания вибрационных роботов, движущихся посредством перемещения внутренних масс. Важным преимуществом таких устройств является то, что они не требуют специальных движителей (колес, гусениц и т. д.) и могут быть конструктивно выполнены в форме запаянных капсул. Это делает их устойчивыми к внешним воздействиям, 557 РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2019 РИС. 1. Механическая система поэтому вибрационные роботы могут оказаться весьма перспективными для работы в агрессивных средах как на твёрдых поверхностях, так и в жидкостях. В частности, они могут представлять интерес для космических проектов, при исследовании поверхностей небесных тел. Прикладным задачам динамики, математического моделирования движения, а также вопросам конструирования мобильных роботов, способных передвигаться по поверхности благодаря перемещению внутренних масс, посвящено много работ [9,10,25-29,34-38]. Строгое теоретическое исследование задач динамики и оптимального управления движением механических систем, состоящих из корпуса (несущего тела) и внутренних подвижных масс, было начато в работах [18,22]. Работы [4,6], посвящены поиску оптимального управления с целью максимизации средней скорости несущего тела. В предположении о малости коэффициента трения скольжения в работе [4] методами усреднения изучены стационарные периодические режимы движения. В [16] аналогичная методика применялась для исследования движения несущего тела при наличии вязкого трения, а в [17,19] - для анализа движения тела по наклонной плоскости. Рассматривался также случай двумерного движения [14, 23, 39]. В частности, были изучены способы маневрирования (поворотов) и перемещения несущего тела из исходного положения в заданное. Анализ безударных прыжков тела, несущего две подвижные массы, по горизонтальной плоскости был выполнен в [1]. Ряд работ посвящён анализу динамики и построению оптимального управления двухмассовой системой, состоящей из твёрдого тела и материальной точки, перемещающейся внутри тела по некоторой траектории. В [3] исследовалась динамика несущего тела в предположении, что внутренняя масса перемещается внутри него в вертикальной плоскости прямолинейно, а координаты её относительного движения меняются по гармоническому закону. В [33] исследовались режимы движения несущего тела, при которых оно совершает остановки, покоится в течении конечного интервала времени, а затем продолжает скольжение по горизонтальной плоскости, проведён анализ бифуркации указанных режимов. Построению оптимального управления движением корпуса при прямолинейном относительном движении внутренней массы посвящены работы [5, 7, 8]. Задачи оптимального управления движением корпуса в случае кругового относительного движения внутренней массы при некоторых ограничениях, наложенных на её ускорение, рассматривались в [11,12]. В [24] построены траектории относительного движения внутренней массы, обеспечивающие оптимальное управление корпусом. Целью данной работы является полное качественное исследование динамики описанной выше механической системы при всех допустимых значениях параметров и начальных условий. При нулевой начальной скорости корпуса анализ динамики данной системы был выполнен в [2, 15]. В работах [30, 31] были изучены некоторые режимы движения корпуса при отличной от нуля начальной скорости. Без учёта сил вязкого трения анализ движения корпуса при всех значениях параметров задачи и начальных скоростях был выполнен в [32]. 1. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ Пусть параметры системы и начальная скорость корпуса выбраны так, что он совершает поступательное прямолинейное движение (скольжение без отрыва от горизонтальной плоскости). Тогда движение центра масс O1 тела и внутренней подвижной массы будет происходить в некоторой фиксированной вертикальной плоскости, с которой свяжем абсолютную систему координат OXY (рис. 1). Введём ещё подвижную систему координат O1ξη (рис. 1), начало которой расположено в центре масс O1 тела, а оси O1ξ и O1η имеют соответственно горизонтальное и вертикальное направление. Без ограничения общности будем считать, что в начальный момент (t = 0) внутренняя масса, двигаясь против часовой стрелки, проходит нижнюю точку окружности. Тогда относительное движение массы описывается формулами ξ∗ = Rsinωt, η∗ = -Rcosωt. В такой постановке задачи положение корпуса полностью задаётся координатой X его центра масс, а уравнение движения имеет вид MX¨ + m(X¨ - Rω2 sinωt) = Fc - νX.˙ (1.1) Через ν обозначен коэффициент вязкого трения, а через Fc - сила сухого трения, которая описывается моделью Кулона (см. например, [13]): ⎧-kNsignX,˙ если, Fc = ⎪⎨mξ¨∗, если (1.2) ⎪⎩kNsign(mξ¨∗), если X˙ = 0 и |mξ¨∗| > kN, где k - коэффициент сухого трения. Нормальная реакция N изменяется по закону N = (M + m)g + Rω2 cosωt. Введём безразмерные координату x, время t и параметры μ,λ: , (1.3) где g - ускорение свободного падения. Отметим, что новое время t играет роль угловой координаты, определяющей положение внутренней массы на окружности. Далее мы будем опускать значок «штрих» в обозначении нового времени, сохраняя для него прежнее обозначение t. В новых переменных уравнение движения корпуса по горизонтальной поверхности примет вид u˙ + αu = sint + fc, (1.4) где u = x˙ - безразмерная скорость корпуса, а функция fc задаётся следующим образом: ⎧-k(μ + cost)signu, если = 0; fc = ⎪⎨-sint, если u = 0 и |sint| k(μ + cost); (1.5) ⎪⎩-k(μ + cost)sign(sint), если u = 0 и |sint| > k(μ + cost). Согласно (1.4) и (1.5) движение корпуса в положительном направлении описывается уравнением u˙ + αu = f1(t), а в отрицательном направлении - уравнением (1.6) u˙ + αu = f2(t), где f1(t) и f2(t) определяются по формулам (1.7) f1(t) = sint - k(μ + cost), f2(t) = sint + k(μ + cost). (1.8) 2. О ХАРАКТЕРЕ ДВИЖЕНИЯ КОРПУСА С НУЛЕВОЙ НАЧАЛЬНОЙ СКОРОСТЬЮ. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ Далее будем считать, что параметры системы удовлетворяют следующим неравенствам . (2.1) Первое неравенство гарантирует, что существует такой момент времени, при котором горизонтальная составляющая силы инерции, приложенная к внутренней массе, по абсолютной величине превзойдёт силу сухого трения, т. е. относительное движение внутренней массы может вывести корпус из состояния покоя. Второе неравенство означает, что во всё время движения вертикальная составляющая силы инерции по абсолютной величине не превосходит силы тяжести, приложенной в центре масс системы, т. е. корпус будет двигаться без отрыва от поверхности. Кроме того, будем считать, что геометрия корпуса и его начальная скорость таковы, что он не опрокидывается во время движения. Исследование динамики корпуса начнем с определения моментов времени, в которые горизонтальная составляющая силы инерции, приложенная к внутренней массе, по абсолютной величине равна силе сухого трения и противоположна ей по направлению. Эти моменты времени находятся из уравнения sint = ±k(μ + cost). (2.2) На интервале t ∈ (0,2π) данное уравнение имеет следующие корни: , (2.3) РИС. 2. Зоны замедления Моменты времени ti (i = 1,2,3,4) задают интервалы (t2,t3) и (t4,t1+2π), на которых ускорение корпуса противоположно направлению его скорости или равно нулю. При прохождении первого из указанных интервалов внутренняя масса находится в верхней части траектории движения, при прохождении второго - в нижней части. Указанные интервалы назовём соответственно верхней и нижней зонами замедления (рис. 2). Они играют важную роль при анализе характера движения корпуса. В частности, если корпус остановится в момент прохождения внутренней массой зоны замедления, то он будет оставаться в состоянии покоя до тех пор, пока она не покинет зону замедления. Такое явление называют залипанием корпуса [8]. Отметим ещё, что имеет место следующие неравенство t1 + t2 > π, (2.4) и тождество , (2.5) которыми мы воспользуемся ниже. Далее в данном разделе мы предполагаем, что скорость корпуса при t = t1 равна нулю, т. е. t1 - момент начала движения. Ниже будет показано, что в зависимости от значений параметров k, μ, α движение системы может иметь качественно различный характер. Движение с залипанием в верхней и нижней зонах замедления. Движение корпуса от момента времени t1 до первой остановки описывается уравнением (1.6). Пусть корпус, начав движение в момент времён t1, совершит остановку в некоторый момент времени. Поскольку функция u(t), полученная как решение уравнения (1.6), убывает на всём интервале (t2,t3], то для того, чтобы она обращалась в нуль на указанном интервале, её значение на его правой границе t = t3 должно быть либо отрицательным, либо обращаться в нуль. Таким образом, решая уравнение (1.6) с начальным условием u(t1) = 0, находим следующее условие остановки корпуса на интервале (t2,t3], т. е. в верхней зоне замедления: . (2.6) Введём функции G1 и G2: . (2.7) Тогда неравенство (2.6) можно переписать в виде . (2.8) Напомним, что t1 и t3 выражаются через k и μ по формулам (2.3), поэтому левая часть неравенства (2.8) представляет собой функцию параметров k, μ и α. Таким образом, если параметры задачи k, μ и α удовлетворяют неравенствам (2.1) и (2.8), то корпус будет совершать движение с остановкой в верхней зоне замедления. Итак, в момент времени t1 корпус начинает движение и, перемещаясь в положительном направлении оси OX, останавливается в некоторый момент времени. Далее на промежутке (ложном (отрицательном) направлении. С момента времениt1 + ΔtI∗,t3) корпус будет находиться в состоянии покоя, а затем начнёт движение в противопо-t3 до следующей остановки движение корпуса описывается уравнением (1.7). Покажем, что если корпус остановится в верхней зоне замедления, то, начав движение в момент времени t3 в отрицательном направлении, он остановится и в нижней зоне замедления, причём перемещение корпуса за период будет нулевым. Интегрируя уравнение (1.6) с начальным условием u(t1) = 0, имеем u(t1 + τ) = G1(t1 + τ) - e-ατG1(t1). (2.9) Аналогично, интегрируя уравнение (1.7) с нулевым начальным условием u(t3) = 0, получаем u(t3 + τ) = G2(t3 + τ) - e-ατG2(t3). (2.10) Используя тождество (2.5) и явные выражения (2.9), (2.10), можно показать, что u(t1 + τ) = -u(t3 + τ). (2.11) В частности, имеет место равенство . (2.12) Последнее означает, что корпус совершит остановки в верхней и нижней зонах замедления в моменты времени t = t1 + ΔtI∗, t = t3 + ΔtI∗, т. е. как в положительном, так и в отрицательном направлении корпус будет двигаться в течение одного и того же периода времени . Величина определяется из уравнения u(t1 + ΔtI∗) = 0. Поскольку u = x,˙ то, интегрируя обе части равенства (2.11) по τ на интервале времени от 0 до ΔtI, имеем ∗ . (2.13) Равенство (2.13) означает, что перемещения корпуса в положительном и отрицательном направлениях равны по абсолютной величине, т. е. корпус совершает 2π-периодическое возвратнопоступательное движение. Первое из неравенств (2.1) и неравенство (2.8) определяют в пространстве параметров k, μ и α область, в которой корпус совершает периодическое возвратно-поступательное движение с залипаниями в верхней и нижней зонах замедления. При таком движении перемещение корпуса за время полного оборота внутренней массы по окружности будет равно нулю. Указанную область будем называть областью I. Движение с залипанием только в нижней зоне замедления. Пусть теперь условие (2.8) не выполнено, т. е. имеет место неравенство eαt3G1(t3) - eαt1G1(t1) > 0. (2.14) В этом случае корпус остановится в некоторый момент времени, т. е. после того как внутренняя масса пройдёт верхнюю зону замедления и до её попадания в нижнюю зону замедления. Это нетрудно доказать от противного. Действительно, пусть , тогда u(t4) > 0. С другой стороны, интегрируя уравнение (1.6) на интервале (t1,t4) с нулевым начальным условием, имеем (2.15) или . (2.16) Очевидно, что первое слагаемое в квадратных скобках правой части (2.16) будет отрицательным. Учитывая, что t4 = 2π - t1, второе слагаемое можно представить в следующем виде: (2.17) Подынтегральное выражение в правой части равенства (2.17) на интервале (t1,π) может принимать только отрицательные значения, поэтому и второе слагаемое в квадратных скобках правой части (2.16) будет отрицательным. Из этого следует, что u(t4) < 0, т. е. приходим к противоречию с предположением. Таким образом, если корпус не остановится при прохождении внутренней массой верхней зоны замедления, то остановка обязательно произойдёт на интервале времени (t3,t4). Величина определяется из уравнения . (2.18) После остановки в момент времени корпус, изменив направление, будет двигаться с отрицательной скоростью до новой остановки. Выясним, каким условиям должны удовлетворять параметры задачи k, μ и α, чтобы эта остановка произошла в нижней зоне замедления. На интервале времени от до новой остановки скорость корпуса определяется в результате решения уравнения (1.7) с начальным условием . В момент времени t4 скорость корпуса принимает отрицательное значение. Заметим теперь, что любое решение уравнения (1.7) является непрерывной и возрастающей функцией на интервале (t4,t1 + 2π). Если эта функция принимает отрицательное значение на левой границе указанного интервала, то для её обращения в нуль на данном интервале необходимо и достаточно, чтобы на правой границе интервала (при t1 + 2π) она принимала неотрицательное значение, т. е. было выполнено неравенство . (2.19) Используя введённые выше обозначения, последнее неравенство можно переписать в виде , (2.20) где ΔtII зависит от параметров задачи и находится из уравнения (2.18). Таким образом, если параметры∗ k, μ и α принадлежат области, заданной неравенствами (2.14) и (2.20), то в момент времени t1 корпус начнёт движение в положительном направлении, пройдёт без остановки верхнюю зону замедления и остановится в некоторый момент времени. Затем корпус изменит направление движения и будет перемещаться до новой остановки, которая произойдёт в некоторый момент времени , когда внутренняя масса будет находиться в нижней зоне замедления. После остановки корпус будет оставаться в состоянии покоя до момента времени t1 + 2π. Это означает, что при движении корпуса с остановкой только в нижней зоне замедления, его скорость будет 2π-периодически меняющейся функцией времени. Область пространства параметров, заданную неравенствами (2.14) и (2.20), будем называть областью II. Покажем теперь, что для значений параметров из области II корпус за один период изменения скорости, т. е. за время полного оборота внутренней массы по окружности, перемещается в положительном направлении. Используя тождество (2.5), нетрудно показать, что для произвольного τ выполняется равенство sin(t1 + τ) - k(μ + cos(t1 + τ)) = -sin(t3 + τ) - k(μ + cos(t3 + τ)). (2.21) Из выражения (2.21), следует, что при τ > ΔtII справедливо равенство ∗ u˙(t1 + τ) + αu(t1 + τ) = -u˙(t3 + τ) - αu(t3 + τ). Введём обозначение (2.22) g(τ) = u(t1 + τ) + u(t3 + τ). Тогда равенство (2.22) перепишется в следующей эквивалентной форме: (2.23) g˙ = αg. (2.24) Интегрируя уравнение (2.24) при , получим , (2.25) или, учитывая обозначения (2.23), . (2.26) Полагая в (2.26) , имеем . (2.27) Поскольку в момент временискорость корпуса положительна, то на основании последнего равенства она будет положительна и в момент времени t1+ΔtII∗∗. Поэтому первая остановка корпуса произойдёт после момента времени, т. е. будет справедливым неравенство , которое можно переписать как . (2.28) Нетрудно заметить, что выражение в правой части неравенства (2.28) задаёт время движения корпуса в положительном направлении. Поскольку в отрицательном направлении корпус будет двигаться в течение промежутка времени, то из неравенства (2.28) сразу следует, что время движения в положительном направлении превосходит время движения в отрицательном направлении. Вычислим путь, пройденный корпусом за период 2π: . (2.29) Без ограничения общности можно положить x(t1) = 0. Преобразуем интеграл в правой части (2.29): (2.30) Учитывая (2.26), последнее выражение можно переписать так: . (2.31) Все слагаемые в правой части (2.31), очевидно, положительны, поэтому корпус будет совершать периодическое движение с залипанием только в нижней зоне замедления, а перемещение корпуса за период будет положительным. Движение с остановками вне зон замедления. Теперь предположим, что условие (2.20) не выполнено, т. е. справедливо следующее неравенство: . (2.32) Тогда тело, начав движение в момент времени t1 с положительной скоростью, остановится на промежутке (t3,t4) и сразу начнёт движение в отрицательном направлении до остановки на промежутке (t1 + 2π,t2 + 2π). В этом случае движение корпуса не будет периодическим. За период времени 2π корпус дважды меняет направление движения на противоположное. Изменение направления движения с положительного на отрицательное происходит в моменты времени , а с отрицательного на положительное - в моменты времени При заданных k, μ и α величины определяются следующим образом. Сначала из уравнения находится момент первой остановки t(0)∗ . Моменты следующих остановок определяются в результате последовательного решения уравнений G1(t(∗∗n))e(αtn+1)∗∗(n) - G1(t(∗n))eαt∗((nn)) = 0, (2.33) G2(t∗(n+1))eα(2π+t∗ ) - G2(t∗∗)eαt∗∗ = 0. Таким образом, при выполнении неравенства (2.32) движение корпуса не будет периодическим ни по скорости, ни по координате. Область пространства параметров, заданную неравенством (2.32) и неравенствами , будем называть областью III. Ниже будет показано, что при значениях параметров из области III движение будет асимптотически приближаться к некоторому единственному периодическому режиму движения без остановок в зонах замедления трением, а перемещение корпуса за период будет положительным. 3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ КОРПУСА Уравнение (1.4), описывающее движение корпуса, имеет при u = 0 разрыв в правой части и не удовлетворяет условию Липшица, поэтому к нему неприменимы классические теоремы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Общие выводы о существовании, единственности и непрерывности решения уравнения (1.4) можно получить на основании теории, развитой для систем с разрывной правой частью [20,21]. В частности, можно показать, что для уравнения (1.4) имеет место правосторонняя единственность решения, т. е. при t > t0 всегда существует единственное решение, удовлетворяющее начальному условию u(t0) = u0. Также нетрудно показать, что при t > t0 решение уравнения (1.4) непрерывно зависит от t, начального условия и параметров задачи k, μ. В данном разделе мы установим некоторые общие свойства решений уравнения (1.4), которые будут использованы ниже при анализе движения корпуса с произвольной начальной скоростью. Покажем сначала, что если функция u(t) является решением уравнения (1.4), то последовательность её значений u(t+2πn), n ∈ N обладает свойством монотонности. С этой целью рассмотрим два решения u(1)(t) и u(2)(t) уравнения (1.4). Эти решения являются непрерывными функциями t и при однозначно определяются своими начальными условиями . Пусть , тогда возможны два случая: • либо при всех и из непрерывности функций u(1)(t) и u(2)(t) сразу следует, что u(1)(t) < u(2)(t); • либо существует такой момент времени t∗, что при . В последнем случае из непрерывности u(1)(t) и u(2)(t) следует, что u(1)(t) < u(2)(t) при, а из правосторонней единственности решения уравнения (1.4) с начальным условием u(t∗) = 0 следует, что при t t∗ выполняется тождественное равенство u(1)(t) ≡ u(2)(t). Таким образом, если, то при всех имеет место неравенство и, в частности, . (3.1) Предположим теперь, что u(1)(t1) < u(1)(t1 + 2π). В этом случае, выбирая начальное условие, определяющее решение u(2)(t), так, что u(2)(t1) = u(1)(t1 + 2π), в силу 2π-периодичности правой части уравнения (1.4) приходим к тождественному равенству u(2)(t) ≡ u(1)(t + 2π), которое позволяет переписать неравенство (3.1) в виде . (3.2) Продолжая далее по индукции, имеем . (3.3) Таким образом, последовательность значений u(1)(t1 + 2πn) является неубывающей. Аналогично можно показать, что в случае u(1)(t1) > u(1)(t1 + 2π) будет выполнено неравенство , т. е. последовательность значений u(1)(t1 + 2πn) будет невозрастающей. В предельном случае u(1)(t1) = u(1)(t1 + 2π) начальные условия решений u(1)(t) и u(2)(t) совпадают, поэтому в силу единственности решения уравнения (1.4) при t > t1 тождественно равны и сами эти решения u(1)(t) ≡ u(2)(t). С другой стороны, как было показано выше, u(2)(t) ≡ u(1)(t + 2π), поэтому при всех t > t1 справедливо равенство u(1)(t) = u(1)(t + 2π), (3.4) которое означает, что u(1)(t) является периодической функцией t. Приведенные выше рассуждения остаются в силе, если в качестве начального момента времени выбрать не t1, а любое произвольное значение. Таким образом, мы приходим к следующему утверждению. Лемма 3.1. Пусть функция u(t), заданная на промежутке [t1;+∞), является решением уравнения (1.4), тогда её значения u(t∗ + 2πn), где n ∈ N, образуют монотонную последовательность при любом. Исследуем теперь вопрос о существовании 2π-периодических решений уравнения (1.4), описывающих движение корпуса без залипания. Предположим, что уравнение (1.4) допускает указанное 2π-периодическое решение, которое далее будем обозначать u∗(t). Покажем, что на интервале [t1;t1 +2π] функция u∗(t) дважды обращается в нуль и меняет свой знак. Действительно, рассуждая от противного, будем считать, что на интервале [t1;t1 + 2π], и для определённости положим u∗(t) > 0. Тогда из уравнения (1.6) имеем . (3.5) Учитывая, что функция f1(t) принимает положительные значения при t ∈ (t1,t2) и отрицательные при t ∈ (t2,t1 + 2π), оценим интеграл в правой части (3.5): (3.6) . Таким образом, имеет место неравенство . (3.7) Из (3.5) и (3.7), учитывая, что e-2πα < 1, приходим к неравенству u∗(t1 + 2π) < u∗(t1) - 2πkμe-α(t1+2π-t2). (3.8) Последнее противоречит условию 2π-периодичности u∗(t). Поэтому функция u∗(t) обязательно обратится в нуль и поменяет знак на интервале [t1;t1 + 2π]. Кроме того, из непрерывности и 2πпериодичности u∗(t) следует, что на указанном интервале u∗(t) изменит свой знак чётное число раз. Поскольку функция u∗(t) описывает движение корпуса без залипания, то она может обратиться в нуль лишь на интервалах [t1;t2] и [t3;t4]. Покажем, что на каждом из этих интервалов она может обратиться в нуль только один раз. Пусть в момент времени t0 ∈ [t1,t2] корпус покоился или двигался в положительном направлении, тогда на интервале от t = t0 до первой остановки его скорость определяется в результате решения уравнения (1.6) и имеет следующий явный вид: . (3.9) По предположению , поэтому выражение (3.9) положительно на всём интервале [t1,t2], т. е. двигаясь в момент времени t0 с положительной скоростью, корпус на интервале [t1,t2] сохранит направление своего движения, а его скорость не обратится в нуль. Предположим теперь, что в момент времени t0 ∈ [t1,t2] корпус двигался в отрицательном направлении. В этом случае на интервале времени от t = t0 до первой остановки его скорость находится из уравнения (1.7). Правая часть этого уравнения на интервале [t1,t2] положительна, поэтому его решения являются возрастающими функциями времени и при подходящем выборе начального условия u(t0) < 0 обращаются в нуль на указанном интервале. Из сказанного выше следует, в частности, что периодическое решение u∗(t) уравнения (1.4) может обратиться в нуль на интервале [t1,t2] только один раз, причём будет выполнено условие u∗(t1) < 0. Аналогично можно показать, что и на интервале [t3,t4] периодическое решение u∗(t) уравнения (1.4) также может обратиться в нуль только один раз и в этом случае выполняется условие u∗(t3) > 0. Моменты времени t∗ ∈ [t1,t2] и t∗∗ ∈ [t3,t4], при которых периодическое решение u∗(t) обращается в нуль, находятся из условий , (3.10) Условия (3.10) можно переписать явно в виде системы из двух уравнений относительно t∗ и t∗∗: G1(t∗)eαt∗ - G1(t∗∗)eαt∗∗ = 0, (3.11) G2(t∗∗)eαt∗∗ - G2(t∗)eα(t∗+2π) = 0. Система уравнений (3.11) имеет решение не при всех допустимых значениях параметров k,μ,α. Найдём необходимое условие существования решения системы (3.11), а именно, покажем от противного, что система (3.11) может иметь решение только для значений параметров из области III. Пусть при значениях параметров k,μ,α из области I система уравнений (3.11) имеет решение, тогда величины t∗ и t∗∗ однозначно определяют периодическое движение корпуса без залипания в зонах замедления. Наряду с этим периодическим движением рассмотрим движение корпуса с нулевой начальной скоростью u(t1) = 0. Ранее было показано, что в этом случае корпус, начав движение в положительном направлении, останавливается в верхней зоне замедления, т. е. на интервале (t2,t3). Момент остановки корпуса определится из условия . (3.12) Функция f1(t) положительна на интервале (t1,t2) и отрицательна на интервале (t2,t1 + 2π), поэтому функция возрастает на интервале (t1,t2) и убывает на интервале (t2,t1 + 2π). Аналогично функция возрастает на интервале (t∗,t2) и убывает на интервале (t2,t1 + 2π). Принимая во внимание равенство и учитывая, что в силу (3.12), приходим к неравенству , из которого следует, что на интервале функция непрерывна, монотонна и принимает значения противоположных знаков на границах этого интервала. Следовательно, она обращается в нуль в единственной точке данного интервала. С другой стороны, в силу (3.10) выполняется равенство , поэтому t∗∗ ∈ (t2,t1 + ΔtI∗). Таким образом, , т. е. корпус, начав движение в момент времени t = t∗, остановится в верхней зоне замедления. Последнее противоречит предположению о существовании периодического режима движения без залипания. Из данного противоречия следует, что в области I система (3.11) не имеет решений и периодического режима движения корпуса без залипаний не существует. Предположим теперь, что система уравнений (3.11) имеет решение для значений параметров задачи из области II. Напомним, что в этой области существует периодический режим движения с залипанием в нижней зоне замедления, т. е. корпус, начав движение с нулевой начальной скоростью, остановится в некоторый момент времени на интервале [t3,t4], который находится из условия . (3.13) Ранее было показано (см. (2.19)), что в области II . (3.14) Знак равенства в (3.14) имеет место на границе, разделяющей области II и III. Также как это было сделано для области I, можно показать, что в области II будут выполнены неравенства с учётом которых второе уравнение системы (3.10) можно переписать в виде , (3.15) или в виде (3.16) Оценим теперь знак правой части (3.16). С этой целью перепишем условие (3.13) в виде . (3.17) С учётом первого из уравнений (3.10), последнее равенство принимает вид . (3.18) Заметим, теперь, что при любом t выполняется неравенство f2(t) > f1(t), поэтому . (3.19) Учитывая теперь очевидное неравенство (3.20) имеем . (3.21) В силу (3.16) и (3.21) приходим к следующему неравенству: . (3.22) Таким образом, для существования решения системы (3.10) необходимо выполнение неравенства (3.22), что невозможно в силу (3.14). Следовательно, в области II система (3.10) действительных решений не имеет и периодического режима движения без залипания не существует. На основании проведенного исследования можно сформулировать следующее утверждение. Лемма 3.2. Для значений параметров вне подобласти III периодических решений уравнения (1.4), описывающих движение корпуса без залипания, не существует. Отметим, что в области III неравенство (3.22) выполняется. Численный анализ системы уравнений (3.10) показал, что в области III она имеет действительное решение. Аналитически этот факт будет установлен ниже в разделе 6. Здесь же покажем единственность указанного решения. Пусть система (3.10) имеет два различных решения, т. е. существуют две пары t(1)∗ , t(1)∗∗ и (2) (2) t∗ , t∗∗ , удовлетворяющие равенствам (3.23) и . (3.24) Далее для определённости положим. Тогда, очевидно, будет выполнено неравенство t(1)∗∗ > t(2)∗∗ , а из условий (3.23) и (3.24) имеем , (3.25) Вычитая первое равенство из второго, получаем . (3.26) После несложных преобразований последнее равенство можно представить в виде . (3.27) Все слагаемые выражения (3.27) всегда неотрицательны. Причём одновременно обратиться в нуль они могут только при t(1)∗ = t(2)∗ и t(1)∗∗ = t(2)∗∗ , что и доказывает единственность решения системы уравнений (3.10). Таким образом, имеет место следующее утверждение. Лемма 3.3. Уравнение (1.4) может иметь периодическое решение, описывающее движение корпуса без залипания, только при значениях параметров из области III. Если такое решение существует, то оно единственно. Отметим ещё свойства монотонности решений уравнения (1.4) на интервале [t1;t1+2π]. Несложный анализ показывает, что правая часть уравнения (1.6) положительна на промежутке (t1;t2) и отрицательна на промежутке (t2;t1 +2π), а правая часть уравнения (1.7) положительна на промежутках [t1;t3), (t4;t1+2π) и отрицательна на промежутке (t3;t4). Поэтому справедливо следующее, важное для исследования общего характера движения корпуса, утверждение. Лемма 3.4. Пусть функция u(t), заданная на интервале [t1;t1 + 2π], является решением уравнения (1.4), тогда: 1. Если u(t1) < 0, то функция u(t) либо возрастает на всём промежутке [t1;t2] до значения , либо она возрастает и обращается в нуль в некоторой внутренней точке промежутка [t1;t2], а затем принимает только положительные значения до конца указанного промежутка. Если же u(t1) > 0, то функция u(t) принимает положительные значения на всём промежутке [t1;t2]. 2. Если u(t2) > 0, то функция u(t) либо убывает на всём промежутке [t2;t3] до значения , либо она убывает и обращается в нуль в некоторой внутренней точке промежутка [t2;t3], а затем сохраняет нулевое значение до конца указанного промежутка. 3. Если u(t2) < 0, то функция u(t) либо возрастает на всём промежутке [t2;t3] до значения , либо она возрастает до нулевого значения, которое принимает в некоторой внутренней точке промежутка [t2;t3], а затем остается тождественно равной нулю до конца указанного промежутка. 4. Если u(t3) > 0, то функция u(t) либо убывает на всём промежутке [t3;t4] до значения , либо она убывает и обращается в нуль в некоторой внутренней точке промежутка [t3;t4], а затем принимает только отрицательные значения до конца указанного промежутка. Если же u(t3) < 0, то функция u(t) принимает отрицательные значения на всём промежутке [t3;t4]. 5. Если u(t4) > 0, то функция u(t) либо убывает на всём промежутке [t4;t1 + 2π] до значения, либо она убывает и обращается в нуль в некоторой внутренней точке промежутка [t4;t1 +2π], а затем сохраняет нулевое значение до конца указанного промежутка. 6. Если u(t4) < 0, то функция u(t) либо возрастает на всём промежутке [t4;t1 + 2π] до значения, либо она возрастает до нулевого значения, которое принимает в некоторой внутренней точке промежутка [t4;t1 + 2π], а затем остается тождественно равной нулю до конца указанного промежутка. Замечание. Из леммы 3.4 следует, что решения уравнения (1.4) не меняют своего знака на промежутках [t2;t3] и [t4;t1 + 2π]. 4. АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЯ КОРПУСА В ОБЛАСТИ I Полагая, что параметры k и μ принимают значения из области I, исследуем характер движения корпуса при отличной от нуля начальной скорости. Обозначим через u0(t) решение уравнения (1.4) с начальным условием u0(t1) = 0, которому соответствует периодическое движение корпуса с залипанием как в верхней, так и в нижней зонах замедления. Для получения качественных выводов о движении корпуса при ненулевой начальной скорости исследуем поведение интегральных кривых уравнения (1.4) на интервале времени (t1,t1 + 2π]. Определяющую роль здесь играют интегральные кривые, которым соответствует движение корпуса с остановкой на одной из границ верхней или нижней зоны замедления. В пространстве решений (t,u) уравнения (1.4) эти кривые являются границами областей, в которых решения имеют качественно различный характер. Рассмотрим движение корпуса с остановкой в момент времени t = t2. Решение уравнения (1.4), описывающее такое движение, будем обозначать через u(2)(t). При движении с положительной скоростью корпус на интервале времени от t1 до t2 сохраняет направление своего движения (лемма 3.4), поэтому остановка на указанном интервале возможна только при движении в отрицательном направлении. Таким образом, внутри промежутка [t1,t2] функция u(2)(t) принимает только отрицательные значения и обращается в нуль на его правой границе. На промежутке (t2,t3] функция u(2)(t) тождественно обращается в нуль, поэтому u(2)(t3) = u0(t3) = 0. Поскольку для уравнения (1.4) имеет место правосторонняя единственность решений, то при всех t > t3 выполняется тождественное равенство u(2)(t) ≡ u0(t). Учитывая, что u(2)(t2) = 0, нетрудно найти начальное условие, определяющее решение u(2)(t): u(2)(t1) = G2(t1) - eα(t2-t1)G2(t2). (4.1) Используя свойство монотонности решений на интервале [t2,t3] (лемма 3.4), можно показать, что остановка корпуса в момент времени t3 возможна как при движении в положительном направлении, так и при движении в отрицательном направлении. В первом случае движение описывается решением уравнения (1.4) с начальным условием , (4.2) а во втором случае - решением с начальным условием . (4.3) В силу правосторонней единственности решений уравнения (1.4), на интервале [t1,t3) выполняются очевидные неравенства , поэтому функция положительна на всём указанном интервале, а функция - отрицательна. При всех t > t3 имеют место тождественные равенства . Обозначим через решения уравнения (1.4), заданные начальными условиями, удовлетворяющими неравенствам соответственно. Поскольку u-3 (t1) < 0, то решение u-3 (t) возрастает на промежутке (t1,t2], и принимает на его правой границе отрицательное значение. По лемме 3.4 это решение также возрастает и на промежутке (t2,t3], обращается в нуль в некоторой его внутренней точке и сохраняет нулевое значение до его правой границы. Начальное значение решения может быть как положительным, так и отрицательным. Если , то решение положительно на всём промежутке (t1,t2]. Если же , то решение возрастает и обращается в нуль в некоторой внутренней точке промежутка [t1,t2], а затем до конца этого промежутка принимает только положительные значения. По лемме 3.4 решение убывает на промежутке (t2,t3], обращается в нуль в некоторой его внутренней точке и сохраняет нулевое значение до его правой границы. В силу правосторонней единственности решений уравнения (1.4), при всех t > t3 выполняются тождественные равенства . В пространстве решений уравнения (1.4) интегральные кривые u-(t) лежат в области, ограниченной кривыми, а интегральные кривые u+(t) лежат в области, ограниченной кривыми . При эти области вырождаются в кривую u0(t). Таким образом, если в момент времени t = t1 скорость корпуса находится в диапазоне значений от до , то корпус останавливается в верхней зоне замедления [t2,t3] и остается в покое до момента времени t = t3, а затем начинает совершать периодическое движение, которое описывается решением u0(t), т. е. при t > t3 корпус движется возвратно поступательно с залипанием в верхней и нижней зонах замедления. Пусть u(4)(t) - решение уравнения (1.4), описывающее движение корпуса с остановкой в момент времени t4. Покажем, что u(4)(t) > 0 при t < t4, т. е. остановка корпуса в момент времени t = t4 возможна лишь при движении корпуса в положительном направлении. Действительно, рассуждая от противного, предположим сначала, что при некотором t∗ < t3 выполняется u(4)(t∗) < 0. Тогда, если u(3)(t∗) < u(4)(t∗) < 0, - то, как показано выше, при всех t > t3 выполняется тождественное равенство u(4)(t) ≡ u0(t) и, в частности, u(4)(t4) ≡ u0(t4) < 0. Если же , то при всех t > t∗ выполняется неравенство , а значит, . В обоих случаях приходим к противоречию с условием u(4)(t4) = 0. Пусть теперь t3 < t∗ < t4 и u(4)(t∗) < 0, тогда, интегрируя уравнение (1.7) на интервале от t∗ до t4 с начальным условием u(t∗) = u(4)(t∗) < 0, имеем . (4.4) Функция f2(t) принимает на интервале (t3,t4) только отрицательные значения, поэтому правая часть выражения (4.4) отрицательна. Следовательно, и в этом случае приходим к противоречию с условием u(4)(t4) = 0. Таким образом, u(4)(t) > 0 на всём интервале t1,t4 и поэтому является решением уравнения (1.6) на указанном интервале. Несложные вычисления показывают, что это решение задаётся следующим начальным условием: u(4)(t1) = G1(t1) - eα(t4-t1)G1(t4). (4.5) Обозначим через решения уравнения (1.4) с начальными значениями из диапазона от . На интервале [t1,t3] для этих решений выполнено неравенство и, в частности, . Поэтому по лемме 3.4 решение сначала убывает на интервале [t3,t4], обращается в нуль в некоторой внутренней точке и сохраняет отрицательное значение до конца этого интервала, т. е. . Следовательно, снова применяя лемму 3.4, приходим в заключению, что решения возрастают при t > t4 и, в силу неравенства с учётом непрерывности и правосторонней единственности, обращаются в нуль в некоторой внутренней точке интервала (t4,t1 + 2π), а затем остаются тождественно равными нулю до момента времени t1 + 2π. Таким образом, при t > t1 + 2π справедливо тождественное равенство . Из сказанного выше следует, что, если в момент времени t1 скорость корпуса имела значение из диапазона от, то, двигаясь в положительном направлении, корпус остановится на интервале (t3,t4) и сразу начнёт движение в отрицательном направлении до остановки в нижней зоне замедления, после чего он будет оставаться в покое до момента времени t1 +2π, т. е. выйдет на периодический режим движения. Пусть- решения уравнения (1.4), описывающие движение корпуса, при котором он, двигаясь в положительном и отрицательном направлениях соответственно, совершит остановку в момент времени t1 + 2π. Как было показано ранее, решенияне меняют знака на промежутке (t1,t1 + 2π], поэтому в силу очевидных неравенств решения также не меняют знака на промежутке (t1,t1 + 2π]. Таким образом, на всём интервале [t1,t1 + 2π] функции являются решениями уравнений (1.6) и (1.7) соответственно. Можно показать, что определяются начальными условиями u(1)+ (t1) = (1 - e2πα)G1(t1), (4.6) u(1)- (t1) = (1 - e2πα)G2(t1). (4.7) Поскольку обе функции обращаются в нуль в момент времени t = t1 + 2π, то - и, следовательно, при всех t > t1 + 2π выполняются тождественные равенства . Обозначим через решения с начальными условиями, удовлетворяющими u(4)(t1) < . В силу правосторонней единственности решения уравнения (1.4) будут справедливы следующие неравенства: - - . Учитывая теперь, что при t > t1 + 2π выполняются равенства , приходим к тождественным равенствам , которые также будут справедливы при t > t1 + 2π. Таким образом, если начальная скорость корпуса лежит в диапазоне от или от , то корпус, двигаясь в отрицательном или положительном направлениях соответственно, остановится в нижней зоне замедления и будет оставаться в покое до её правой границы, а затем начнёт совершать периодические возвратно-поступательные движения с залипанием в верхней и нижней зонах замедления. Объединяя результаты проведенного исследования, можно утверждать, что если начальная скорость принадлежит диапазону значений от, то в течение промежутка времени [t1,t1 + 2π] корпус выйдет на вышеуказанный периодический режим движения. Остается рассмотреть случай движения корпуса, когда его начальная скорость лежит вне диапазона значений от. Пусть , тогда в силу правосторонней единственности решения уравнения (1.4) функция u(t) будет сохранять положительный знак на промежутке (t1,t1 + 2π). В этом случае скорость корпуса за один оборот внутренней массы по окружности уменьшится на конечную величину. Действительно, интегрируя уравнение (1.6) на интервале [t1,t1 + 2π], имеем u(t1 + 2π) = e-2παu(t1) + (1 - e-2πα)G1(t1). (4.8) Из (4.8) получаем следующую оценку изменения скорости корпуса на интервале [t1,t1 + 2π]: . (4.9) Аналогичное утверждение справедливо и для случая движения без остановок в отрицательном направлении. В частности, если , то имеет место следующая оценка изменения скорости корпуса на интервале [t1,t1 + 2π]: . (4.10) Таким образом, если в начальный момент t = t1 скорость корпуса меньше или больше , то за один оборот внутренней массы по окружности она уменьшится по модулю на конечную величину. Поэтому через конечное число оборотов значение скорости попадет в диапазон значений от. Следовательно, в течение конечного промежутка времени движение корпуса выйдет на периодический режим, который описывается решением u0(t). На рис. 3 сверху представлено пространство решений уравнения (1.4), построенное на основе проведенного выше анализа и позволяющее получить полную качественную картину движения корпуса для значений параметров из области I. Часть пространства решений, ограниченная горизонтальными пунктирными прямыми линиями, показана в нижней части рис. 3 в увеличенном масштабе. Жирными линиями изображены интегральные кривые, разделяющие пространство решений на области, для которых движение корпуса име качественно различный характер. В частности, интегральные кривыеограничивают область, соответствующую движению корпуса, при котором он на интервале времени [t1;t1 + 2π] совершит остановку в зоне замедления и выйдет на периодический режим. Суммируя результаты данного раздела, можно сделать следующий вывод. Если параметры задачи принимают значения из области I, то при любой начальной скорости корпус за конечный промежуток времени перейдёт в периодический режим, т. е. будет двигаться возвратнопоступательно с залипанием в верхней и нижней зонах замедления. 5. О КАЧЕСТВЕННОМ ХАРАКТЕРЕ ДВИЖЕНИЯ КОРПУСА В ОБЛАСТИ II Анализ движения корпуса на интервале [t1,t1 + 2π] для значений параметров из области II можно выполнить так же, как это было сделано в предыдущем разделе для значений параметров из области I. Не останавливаясь на деталях этого анализа, опишем его основные результаты. Здесь возможны два качественно различных случая: u(3)- (t1) > u(1)- (t1) и u(3)- (t1) < u(1)- (t1). Уравнениеразделяет область II на две подобласти IIa и IIb. При α = 0,25 они изображены на рис. 4. РИС. 3. Пространство решений уравнения (1.4) в подобласти I (k =0,7,μ =1,5,α =0,3). Если выполняется неравенство , где величины вычисляются по формулам (4.3), (4.7), то, как и для значений параметров из области I, при начальной скорости, корпус на всём интервале [t1,t1 +2π] будет двигаться без остановки, а его скорость на указанном интервале уменьшится на конечную величину. Если же, то на интервале [t1,t1 + 2π] корпус совершит остановку в нижней зоне замедления и будет оставаться в покое до конца этого интервала, после чего начнёт двигаться 2π-периодически, останавливаясь и залипая только в нижней зоне замедления. На рис. 5 представлено пространство решений уравнения (1.4), которое даёт полную характеристику движения корпуса на интервале [t1,t1 + 2π] в описанном выше случае. Если выполнено неравенство , т. е. значения параметров принадлежат подобласти IIb, то решениеописывает движение корпуса в отрицательном направлении с остановкой в момент времени t = t3 и без остановки в нижней зоне замедления. Поэтому при начальной скорости корпус на всём интервале (t1,t1+2π] будет двигаться в отрицательном направлении без остановок, и за время движения его скорость по модулю уменьшится на конечную величину. В пространстве решений уравнения (1.4), представленном на рис. 6, такому движению соответствуют интегральные кривые, расположенные ниже кривой. РИС. 5. Пространство решений уравнения (1.4) в подобласти IIа (k =0,35,μ =1,5). РИС. 6. Пространство решений уравнения (1.4) в подобласти IIb (k =0,225, μ =1,5, α =0,25). При корпус на интервале (t1,t1 + 2π] будет двигаться в положительном направлении, также без остановок, а его скорость уменьшится на конечную величину. Этому движению соответствует область пространства решений, расположенная выше интегральной кривой (см. рис. 6). Предположим теперь, что в начальный момент выполнено неравенство . Этому неравенству, в частности, удовлетворяет решение, которое на интервале (t1,t1 + 2π] описывает движение корпуса с тремя остановками: в моменты времени t(1)∗ и t(1)∗∗ на промежутках [t1,t2] и [t3,t4] соответственно, а также в момент времени t = t1 + 2π на правой границе нижней зоны замедления. После каждой остановки корпус начинает движение в противоположном направлении. Можно показать, что при значениях параметров из подобласти IIb решениезадаётся начальным условием , (5.1) где величина t(1)∗ определяется в результате решения системы уравнений eαt∗∗(1)G1(t(1)∗∗ ) - eαt(1)∗(1)G1(t(1)∗ ) = 0, (5.2) eα(t1+2π)G2(t1) - eαt∗∗ G2(t(1)∗∗ ) = 0 относительно . Отметим, что при t > t1 + 2π интегральная криваяописывает периодическое движение с залипанием в нижней зоне замедления, т. е. , где, как и ранее, через u0(t) обозначено периодическое решение уравнения (1.4), заданное начальным условием u0(t1) = 0. Заметим ещё, что в отличие от области I в области II интегральная кривая описывает движение с отрицательной начальной скоростью, которая определяется по формуле , (5.3) где t(3)∗ ∈ (t1,t2) - момент остановки и изменения направления движения корпуса. Величина находится из уравнения . (5.4) На основе анализа поведения интегральных кривых (см. рис. 6) можно сделать следующие выводы. 1. Если в начальный момент выполнено неравенство , то корпус не остановится в верхней зоне замедления, но совершит остановку в нижней зоне замедления и будет находиться в покое до момента времени t = t1 + 2π, после чего начнёт двигаться 2π-периодически с залипанием только в нижней зоне замедления. На рис. 6 такому движению соответствует область, ограниченная интегральными кривыми); при t > t1 + 2π она вырождается в кривую u0(t). 2. Если в начальный момент выполнено неравенство , то на интервале (t1,t1 + 2π] корпус будет двигаться без остановок в зонах замедления, и в момент времени t = t1 + 2π он будет иметь ненулевую (отрицательную) скорость. На рис. 6 такому движению соответствует область, ограниченная интегральными кривыми и . Она выделена серым цветом. 3. Если в начальный момент выполнено неравенство , то корпус, двигаясь с отрицательной скоростью, остановится на интервале (t1,t2) и, изменив направление скорости, начнёт движение в положительном направлении до остановки в верхней зоне замедления, где он будет находиться в покое до момента времени t = t3. Затем он начнёт движение в отрицательном направлении. На рис. 6 такому движению соответствует область, ограниченная интегральными кривыми); при t > t3 эти интегральные кривые совпадают () и данная область вырождается в одну интегральную кривую. 4. Если в начальный момент выполнено неравенство , то корпус, двигаясь с отрицательной скоростью, остановится в верхней зоне замедления и будет находиться в покое до момента времени t = t3, затем он начнёт движение в отрицательном направлении со скоростью. На рис. 6 такому движению соответствует область, ограниченная интегральными кривыми ); при t > t3 эти интегральные кривые совпадают () и данная область вырождается в одну интегральную кривую. Докажем теперь, что для значений параметров из подобласти IIb независимо от величины начальной скорости корпус за конечное время выйдет на периодический режим движения, соответствующий интегральной кривой u0(t). Для этого достаточно показать, что если , то через конечный промежуток времени корпус остановится в нижней зоне замедления. Рассмотрим функцию, зависящую от k, μ и α: . (5.5) На границе, разделяющей область II на подобласти IIa и IIb, выполнено равенство . Нетрудно показать, что данное равенство можно записать в следующей эквивалентной форме: или . Следовательно, если параметры k, μ и α лежат на границе, разделяющей подобласти IIa и IIb, то , (5.6) т. е. функция Δ(k,μ,α) принимает только положительные значения. Покажем, что в самой подобласти IIb она не может принимать отрицательные значения. Действительно, Δ(k,μ,α) непрерывно зависит от своих аргументов k, μ и α, поэтому, если она в подобласти IIb при некоторых значениях параметров примет отрицательное значение, то в подобласти IIb должен существовать такой набор значений k0, μ0, α0 при котором функция Δ(k,μ,α) обращается в нуль. Это означает, что в данном случае будет выполнено условие . (5.7) Условие (5.7) задаёт периодический режим движения без залипаний, но как было показано ранее, в области II такого режима движения не существует. Данное противоречие доказывает положительность функции Δ(k,μ,α) в подобласти IIb и, как следствие, выполнение неравенства . (5.8) На основании леммы 3.1 значения образуют монотонную последовательность, а в силу последнего неравенства эта последовательность является неубывающей. Последовательность является ограниченной, а именно , т.к. в противном случае , что невозможно в силу правосторонней единственности и непрерывности решений уравнения (1.4). В силу монотонности и ограниченности последовательность имеет предел. Покажем, что этот предел равен нулю. Действительно, если это не так, то существует предельный режим движения корпуса с 2π-периодически изменяющейся скоростью, при котором корпус не останавливается ни в нижней, ни в верхней зоне замедления, т. е. движется без залипания. Последнее противоречит лемме 3.2, на основании которой указанного режима движения корпуса в области II не существует, поэтому . Более того, начиная с некоторого n = N, все члены последовательности обращаются в нуль, так как в противном случае существует предельный 2π-периодический режим движения с остановкой корпуса на правой границе нижней зоны замедления, что невозможно в силу существования периодического режима движения с остановкой внутри нижней зоны замедления. Следовательно, при t > t1 + 2πN. Если начальная скорость u(t1) удовлетворяет неравенству , то при t > t3 корпус будет двигаться со скоростью . Последнее означает, что в данном случае при t > t1 + 2πN корпус выйдет на режим движения с 2π-периодически меняющейся скоростью u0(t). Если же начальная скорость корпуса лежит в интервале значений , то в силу правосторонней единственности и непрерывности решений уравнения (1.4) при t > t1 будет выполнено неравенство . Поэтому u(t) ≡ u0(t) при t > t1 + 2πN∗, где N∗ - некоторое натуральное число (). Следовательно, и в этом случае корпус за конечный промежуток времени выйдет на режим движения с 2π-периодически меняющейся скоростью u0(t). На основании результатов данного раздела приходим к следующему выводу. Если параметры задачи принимают значения из области II, то при любой начальной скорости корпус за конечный промежуток времени перейдёт в 2π-периодический режим, т. е. будет двигаться с 2π-периодически меняющейся скоростью, залипая только в нижней зоне замедления и перемещаясь за период в положительном направлении. 6. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ КОРПУСА В ОБЛАСТИ III Характер движения корпуса для значений параметров из области III можно исследовать так же, как это было сделано для областей I и II. В частности, при начальной скорости корпус на интервале (t1,t1 + 2π] будет двигаться в отрицательном направлении, и за время движения его скорость по модулю уменьшится на конечную величину, а при корпус на указанном интервале будет двигаться в положительном направлении, и его скорость также уменьшится на некоторую конечную величину. Если же начальная скорость корпуса лежит в диапазоне , то на интервале (t1,t1 + 2π] он будет совершать остановки, меняя направление движения на противоположное или залипая в зонах замедления. Рассмотрим этот случай более подробно. На рис. 7 изображено пространство решений уравнения (1.4), построенное для значений параметров из области III. Как и в области II, определяющую роль здесь играют интегральные кривые . На рис. 7 они выделены жирными линиями. Заметим только, что в отличие от области II, в области III интегральной кривой соответствует движение корпуса с двумя остановками: в момент времени t(1)∗ на промежутке [t3,t4] и в момент времени t = t1 + 2π на правой границе нижней зоны замедления. В области III эта интегральная кривая задаётся начальным условием где t(1)∗ - корень уравнения eα(t1+2π)G2(t1) eαt(1)∗ G2(t(1)) = 0, (6.2) , (6.1) - ∗ принадлежащий промежутку [t3,t4]. Начальные условия, определяющие интегральные кривые вычисляются по формулам (4.3) и (5.3) соответственно. На основе анализа поведения интегральных кривых (1.4) можно сделать следующие выводы о движении корпуса на интервале времени (t1,t1 + 2π]. 1. Если в начальный момент выполнено неравенство , то корпус не остановится в верхней зоне замедления, но совершит остановку в нижней зоне замедления и будет находиться в покое до момента времени t = t1 + 2π. На рис. 7 такому движению соответствует область, ограниченная интегральными кривыми ); при эти интегральные кривые совпадают ( ), и данная область вырождается в одну интегральную кривую. 2. Если в начальный момент выполнено неравенство , то на интервале (t1,t1 +2π] корпус будет двигаться без остановки в нижней зоне замедления, и в момент времени t = t1+2π он будет иметь ненулевую (отрицательную) скорость. На рис. 7 такому движению соответствует область, ограниченная интегральными кривыми и , она выделена серым цветом. 3. Если в начальный момент выполнено неравенство , то корпус остановится в верхней зоне замедления и будет находиться в покое до момента времени t = t3, затем он начнёт движение в отрицательном направлении со скоростью. РИС. 7. Пространство решений уравнения (1.4) в подобласти III (k =0,15, μ =1,5, α =0,25). На рис. 7 такому движению соответствует область, ограниченная интегральными кривыми ); при эти интегральные кривые совпадают ( ), и данная область вырождается в одну интегральную кривую. Сформулированные выше утверждения позволяют сделать важные выводы о движении корпуса на бесконечном интервале времени. В частности, если в начальный момент времени , то при некотором натуральном n либо выполняется равенство , т. е. при движение корпуса будет описываться решением , либо выполняется неравенство . Аналогично, если , то при некотором целом неотрицательном m, либо будет выполнено равенство , т. е. при движение корпуса будет описываться решением, либо будет выполнено неравенство . Таким образом, чтобы получить выводы о предельном характере движения корпуса, необходимо исследовать поведение решений уравнения (1.4), заданных начальными условиями из промежутка , на неограниченном интервале времени. Исследуем сначала свойства монотонности решения. В частности, покажем, что выполняется неравенство . (6.3) Решение описывает движение, при котором корпус в некоторый момент времени t(3)∗ > t1 начинает движение в положительном направлении и движется до остановки в момент времени t3. Затем он сразу начинает движение в противоположном направлении. Покажем, что следующая остановка корпуса произойдёт в некоторый момент времени t(3)∗∗ < t(3)∗ +2π. Поскольку на интервале (3) времени (t∗ ,t3) функцияопределяется в результате решения уравнения (1.6) с нулевым начальным условием, то условие остановки при t = t3 имеет вид . (6.4) Скорость движения корпуса в отрицательном направлении при t > t3 определяется в результате решения уравнения (1.7) с нулевым начальным условием и имеет вид (6.5) Покажем, что интеграл в правой части (6.5), вычисленный при больше нуля. С этой целью воспользуемся тождеством (2.21), которое перепишем в виде f1(t + τ) = -f2(t3 + τ). (6.6) Используя соотношение (6.6) и учитывая, что t3 = 2π - t2, нетрудно показать справедливость следующей цепочки равенств: (6.7) Заметим теперь, что в силу (2.4) имеют место неравенства t(3)∗ + t1 + t2 > π + t(3)∗ > t3. Поэтому интеграл в выражении (6.7) можно представить в виде (6.8) (6.9) а учитывая (6.4), его можно переписать как (6.10) Поскольку имеют место неравенства t3 < t1 + π < t(3)∗ + π < t(3)∗ + t2 + t1, то второе слагаемое (6.10) можно представить в виде (6.11) (6.12) Учитывая теперь, что и подставляя (6.12) в (6.10), имеем (6.13) Заметим теперь, что функция f1(t) на интервалах [t3,t1 +π] и [t(3)∗ +π,t(3)∗ +t2 +t1] отрицательна, поэтому первые два слагаемых в (6.13) меньше нуля. Кроме того заметим, что функция f1(τ + π) отрицательна при τ ∈ (t1,t(3)∗ ) и имеет место равенство f1(τ + π) + f1(τ) = -2kμ, поэтому третье слагаемое в (6.13) также отрицательно. Следовательно, интеграл в левой части (6.13) строго меньше нуля. Последнее означает, что интеграл в правой части (6.5), вычисленный при t = t(3)∗ + 2π, больше нуля. Из этого следует, что решение уравнения (1.4) обращается в нуль внутри интервала , т. е. Интегрируя уравнение (1.4) на интервалах [t1 + 2π,t(3)∗∗ ] и [t1,t(3)∗ ] и учитывая, что , получаем (6.14) Сравнивая последние два выражения, приходим к неравенству . Поэтому на основании леммы 3.1 значения образуют монотонно возрастающую последовательность. Аналогично можно показать, что в области III значения образуют монотонно убывающую последовательность. Поскольку , то последовательность значений ограничена сверху, а последовательность 2πn) ограничена снизу. Следовательно каждая из указанных последовательностей должна иметь предел. Это означает, что решение асимптотически приближается к некоторому периодическому режиму. Тот же вывод можно сделать и о решении. В силу единственности периодического режима движения (см. лемму 3.3) указанные последовательности имеют один и тот же предел, соответствующий периодическому движению корпуса без залипаний в верхней и нижней зонах замедления. Поскольку решенияв пространстве решений ограничивают область интегральных кривых, заданных начальным условием из интервала , то все интегральные кривые из этой области асимптотически приближаются к интегральной кривой, отвечающей периодическому режиму движения. На основании результатов данного раздела приходим к следующему выводу. В подобласти III существует периодический режим движения без остановок в зонах замедления трением, и при произвольной начальной скорости движение корпуса будет асимптотически приближаться к этому периодическому режиму. 7. ВЫВОДЫ Пространство параметров задачи k,μ,α разделяется на три области I, II и III, в каждой из которых существует единственный режим движения с 2π-периодически меняющейся скоростью. В указанных областях периодическое движение имеет качественно различный характер. В области I корпус, двигаясь с 2π-периодически меняющейся скоростью, на интервале времени 2π дважды совершает остановку, после которой остается в покое в течении конечного промежутка времени (залипает), а затем продолжает движение в противоположном направлении. При этом периодически меняется как скорость корпуса, так и его координата, так, что за период времени 2π корпус совершает нулевое перемещение. Интервалы покоя корпуса имеют место при прохождении внутренней массой так называемых (верхней и нижней) зон замедления, в которых горизонтальная составляющая силы инерции, приложенная к внутренней массе, не превосходит силы трения скольжения, приложенной к корпусу. Независимо от величины начальной скорости корпуса, его движение за конечный промежуток времени перейдёт в указанный периодический режим. В области II корпус, двигаясь с 2π-периодически меняющейся скоростью, не останавливается при прохождения внутренней массой верхней зоны замедления, поэтому за период времени 2π залипание корпуса происходит только один раз, когда внутренняя масса находится в нижней зоне замедления. В этом случае координата корпуса уже не является периодической функцией времени, а корпус за время полного оборота внутренней массы по окружности совершает перемещение в положительном направлении. Как и в области I, независимо от величины начальной скорости корпуса, его движение за конечный промежуток времени перейдёт в указанный периодический режим. В области III движение корпуса с 2π-периодически меняющейся скоростью характеризуется тем, что он совершает остановки вне зон замедления. После каждой остановки корпус не залипает, а сразу же начинает движение в противоположную сторону, совершая за время полного оборота внутренней массы по окружности перемещение в положительном направлении. Указанное периодическое движение имеет характер предельного режима, к которому движение корпуса асимптотически приближается независимо от величины его начальной скорости.

About the authors

B. S. Bardin

Moscow Aviation Institute (National Research University); Mechanical Engineering Research Institute of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: bsbardin@yandex.ru
Moscow, Russia

A. S. Panev

Moscow Aviation Institute (National Research University)

Email: a.s.panev@gmail.com
Moscow, Russia

References

  1. Бардин Б.С. О безударных прыжках тела, несущего подвижные массы// В сб.: «Труды XVIII Межд. симп. “Динамика виброударных сильно нелинейных систем” (DYVIS-2015)». - 2015. - С. 42-49.
  2. Бардин Б.С., Панёв А.С. О периодических движениях тела с подвижной внутренней массой по горизонтальной поверхности// Тр. МАИ. - 2015. -84.
  3. Бильченко Г.Г. Влияние подвижного груза на движение носителя// В сб.: «Аналитическая механика, устойчивость и управление. Труды XI Межд. Четаевской конференции». - 2017. - С. 37-44.
  4. Болотник Н.Н., Зейдис И.М., Циммерманн К., Яцун С.Ф. Динамика управляемых движений вибрационных систем// Изв. РАН. Теор. и сист. управл. - 2006. - № 5. - С. 157-167.
  5. Болотник Н.Н., Нунупаров А.М., Чащухин В.Г. Капсульный вибрационный робот с электромагнитным приводом и возвратной пружиной: динамика и управление движением// Изв. РАН. Теор. и сист. управл. - 2016. - № 6. - С. 146-160.
  6. Болотник Н.Н., Фигурина Т.Ю. Оптимальное управление прямолинейным движением твёрдого тела по шероховатой плоскости посредством перемещения двух внутренних масс// Прикл. мат. мех. - 2008. -72, № 2. - С. 216-229.
  7. Болотник Н.Н., Фигурина Т.Ю., Черноусько Ф.Л. Анализ и оптимизация движения тела, управляемого посредством подвижной внутренней массы// Прикл. мат. мех. - 2012. -71, № 1. - С. 3-22.
  8. Болотник Н.Н., Черноусько Ф.Л. Мобильные роботы, управляемые движением внутренних тел// Тр. Ин-та мат. и мех. УрО РАН. - 2010. -16, № 5. - С. 213-222.
  9. Волкова Л.Ю., Яцун С.Ф. Моделирование плоского управляемого движения трёхмассовой вибрационной системы// Изв. РАН. Теор. и сист. управл. - 2012. - № 6. - С. 122-141.
  10. Волкова Л.Ю., Яцун С.Ф. Изучение закономерностей движения прыгающего робота при различных положениях точки закрепления ноги// Нелин. динамика. - 2013. -9, № 2. - С. 327-342.
  11. Голицына М.В. Периодический режим движения вибрационного робота при ограничении по управлению// Прикл. мат. мех. - 2018. -82, № 1. - С. 3-15.
  12. Голицына М.В., Самсонов В.А. Оценка области допустимых параметров системы управления вибрационным роботом// Изв. РАН. Теор. и сист. управл. - 2018. - № 2. - С. 85-101.
  13. Иванов А.П. Основы теории систем с трением. - Ижевск: Ижевский ин-т комп. иссл., 2011.
  14. Иванов А.П., Сахаров А.В. Динамика твёрдого тела с подвижными внутренними массами и ротором на шероховатой плоскости// Нелин. динамика. - 2012. -8, № 4. - С. 763-772.
  15. Панёв А.С. О движении твёрдого тела с подвижной внутренней массой по горизонтальной поверхности в вязкой среде// Тр. МАИ. - 2018. -98.
  16. Соболев Н.А., Сорокин К.С. Экспериментальное исследование модели виброробота с вращающимися массами// Изв. РАН. Теор. и сист. управл. - 2007. - № 5. - С. 161-170.
  17. Сорокин К.С. Перемещение механизма по наклонной шероховатой плоскости за счёт движения внутренних осциллирующих масс// Изв. РАН. Теор. и сист. управл. - 2009. - № 6. - С. 150-158.
  18. Черноусько Ф.Л. О движении тела, содержащего подвижную внутреннюю массу// Докл. РАН. - 2005. -405, № 1. - С. 56-60.
  19. Фигурина Т.Ю. Оптимальное управление движением системы двух тел по прямой// Изв. РАН. Теор. и сист. управл. - 2007. - № 2. - С. 65-71.
  20. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью// Мат. сб. - 1960. -51, № 1. - С. 99-128.
  21. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. - М.: Наука, 1985.
  22. Черноусько Ф.Л. Анализ и оптимизация движения тела, управляемого посредством подвижной внутренней массы// Прикл. мат. мех. - 2006. -70, № 6. - С. 915-941.
  23. Черноусько Ф.Л. Движение тела по плоскости под влиянием подвижных внутренних масс// Докл. РАН. - 2016. -470, № 4. - С. 406-410.
  24. Черноусько Ф.Л. Оптимальное управление движением двухмассовой системы// Докл. РАН. - 2018. - 480, № 5. - С. 528-532.
  25. Яцун С.Ф., Безмен П.А., Сапронов К.А., Рублев С.Б. Динамика мобильного вибрационного робота с внутренней подвижной массой// Изв. Курск. гос. техн. ун-та. - 2010. -31, № 2. - С. 21-31.
  26. Яцун С.Ф., Волкова Л.Ю. Моделирование динамических режимов вибрационного робота, перемещающегося по поверхности с вязким сопротивлением// Спецтехн. и связь. - 2012. - № 3. - С. 25-29.
  27. Яцун С.Ф., Лупехина И.В., Сапронов К.А. Моделирование движения прыгающего вибрационного микроробота// Изв. Курск. гос. техн. ун-та. - 2009. -27, № 2. - С. 25-31.
  28. Яцун С.Ф., Мищенко В.Я., Сафаров Д.И. Исследование движения двухмассового вибрационного робота// Изв. вузов. Сер. Машин. - 2006. - № 5. - С. 32-42.
  29. Яцун С.Ф., Разинькова А.В., Гранкин А.Н. Исследование движения виброробота с электромагнитным приводом// Изв. вузов. Сер. Машин. - 2007. - № 5. - С. 53-64.
  30. Bardin B., Panev A. On dynamics of a rigid body moving on a horizontal plane by means of motion of an internal particle// Vibroeng. Procedia. - 2016. -8. - С. 135-141.
  31. Bardin B.S., Panev A.S. On the motion of a rigid body with an internal moving point mass on a horizontal plane// AIP Conf. Proc. - 2018. -1959. - 030002.
  32. Bardin B.S., Panev A.S. On the motion of a body with a moving internal mass on a rough horizontal plane// Russ. J. Nonlin. Dyn. - 2018. -14, № 4. - С. 519-542.
  33. Fang H., Xu J. Stick-slip effect in a vibration-driven system with dry friction: Sliding bifurcations and optimization// J. Appl. Mech. - 2014. -81, № 5. - 061001.
  34. Vartholomeos P., Papadopoulos E. Dynamics, design and simulation of a novel microrobotic platform employing vibration microactuators// J. Dyn. Syst. Meas. Control. Trans. ASME. - 2006. -128, № 1. - С. 122-133.
  35. Vartholomeos P., Papadopoulos E. Analysis and experiments on the force capabilities of centripetal-forceactuated microrobotic platforms// IEEE Trans. Robot. - 2008. -24. - С. 588-599.
  36. Vartholomeos P., Papadopoulos E., Vlachos K. Analysis and motion control of a centrifugal-force microrobotic platform// IEEE Trans. Automat. Sci. Eng. - 2013. -10. - С. 545-553.
  37. Vlachos K., Papadimitriou D., Papadopoulos E. Vibration-driven microrobot positioning methodologies for nonholonomic constraint compensation// Engineering. - 2015. -1. - С. 66-72.
  38. Wang Q.M., Zhang W.M., Ju J.C. Kinematics and dynamics analysis of a micro-robotic platform driven by inertial-force propulsion// Appl. Mech. Mater. - 2015. -733. - С. 531-534.
  39. Xiong Z., Jian X. Locomotion analysis of a vibration-driven system with three acceleration controlled internal masses// Adv. Mech. Eng. - 2015. -7. - С. 1-12.

Statistics

Views

Abstract - 100

PDF (Russian) - 27

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies