Existence of Weak Solution of the Aggregation Integro-Differential Equation

Cover Page

Abstract


In this work, we investigate the mixed problem for anisotropic integro-differential equation with variable nonlinearity indices. Using the discretization method with respect to time, we prove the existence of a weak solution in a bounded cylinder. We give an estimate of the lifetime of the solition.

Full Text

1. ВВЕДЕНИЕ Пусть Ω - ограниченная область пространства Rn, n � 2, с границей класса C1. Рассмотрим в цилиндрической области DT = Ω × (0,T ) уравнение β(x, u)t = div(a(x, u, ∇u) - β(x, u)G(u)) + f (x, u) (1.1) с начальным и краевым условиями u(x, 0) = u0, u0(x) � 0, x ∈ Ω, (1.2) (a(x, u, ∇u) - uG(u)) · ν = 0 на ∂Ω × (0,T ), (1.3) где ν - вектор внешней нормали. Здесь β(x, r), f (x, r), a(x, r, y) - каратеодориевы функции. Функция β, β(x, 0) = 0 - нечетная и возрастает по r. Требование нечетности несущественно, поскольку нас интересуют только неотрицательные решения уравнения (1.1). Интегральный оператор G(u) = (G1(u), G2(u),..., Gn(u)) определяется формулами r Gi(v) = Ω gi(x, y)b(v(y))dy. В настоящей работе доказывается существование слабого решения задачи (1.1)-(1.3) для анизотропного уравнения с переменным показателем нелинейности. Модельный пример уравнений (1.1) можно получить из уравнения агрегации - vt = div /|∇A(v)|p(x)-2∇A(v) - v∇K ∗ v\ , 0 <p � p(x) � p+, x ∈ Ω, рассмотренного в случае p(x) = 2 в работе [9]. В этой работе доказывается существование и единственность решения задачи для указанного уравнения. После замены v = b(u), где b(u) - обратная к монотонно возрастающей функции A(u), приходим к уравнению вида b(u)t = div /|∇u|p(x)-2∇u - b(u)∇K ∗ b(u)\ . Здесь оператор свертки определяется формулой K ∗ u(x, t) = [ K(x - y)u(y, t)dy. Ω Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2017 557 Функция K(x) подчиняется условиям (см. [9]): r K ∈ C2(Rn), Rn K(x)dx = 1; (1.4) ∂K(x - y) ∂νx � 0, x ∈ ∂Ω, y ∈ Ω. (1.5) За последние 15 лет появилось огромное число работ, посвященных изучению явлений агрегации в биологических системах. Был предложен ряд нелокальных моделей, см. [11, 15, 17, 18, 21] и имеющиеся там ссылки. Модели агрегации без диффузии изучались в работе [20]. В основном рассматриваются уравнения без слагаемого f, отвечающего за процессы рождения-уничтожения в колониях бактерий. В работе [12] приводится вывод одномерного уравнения агрегации. Кроме того, для этого уравнения в работе найдены стабильные состояния и изучены их свойства. Отметим еще интересную работу [10], в которой изучается задача для системы ⎧ m ⎨ ut(x, t) = div[∇u (x, t) - u(x, t)∇φ(x, t)], t > 0, x ∈ Rn , n � 3, m > 1, -±φ(x, t) = u(x, t), t > 0, x ∈ Rn, ⎩ u(x, 0) = u0(x), x ∈ Rn. n c В этой работе показано, что при m = 2 - 2 существует критическое значение M массы M = [ u0(x)dx такое, что если 0 < M < Mc, то решение существует глобально, а если M > Mc, то Rd решение «взрывается» за конечное время. Следует отметить также работы об оптимальной эксплуатации возобновляемых ресурсов (см. [2] и имеющиеся там ссылки). В работе [13] для уравнения агрегации ut(x, t) = div[∇um(x, t) - u(x, t)∇K ∗ u(x, t)], t > 0, x ∈ Rn, n � 2, m > 1, - дан хороший обзор результатов. В частности, при m > 2 2 решение существует глобально при n - всех t > 0. Если же m < 2 2 , то решение «взрывается» за конечное время. В этой работе n - доказано, что при m> 2 2 существует единственное (с точностью до трансляций) стационарное n решение задачи при любой массе, оно радиально симметрично и имеет компактный носитель. В двумерном случае с ньютоновским взаимодействием при любой массе доказана сходимость решений уравнения агрегации к этому равновесному состоянию. Отметим, что методы доказательства единственности ренормализованного решения для уравнений с двойной нелинейностью, использованные в работах [6, 14], основанные на методе удвоения С. Н. Кружкова [4], не пригодны для уравнения (1.1) ввиду наличия нелокального интегрального оператора. 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ Через Lp(·)(Q) обозначим пространство Орлича r Lp(·)(Q) = {u : Q |u(x)| p(x) dx < ∞}, + соответствующее функции p(x), 1 < p- � p(x) � p , с нормой Люксембурга r u(x) p(x) k ||u||p(·),Q = inf{k > 0 : Q dx � 1}. Ниже в качестве Q могут выступать области Ω, DT и другие, причем индекс Q = Ω может быть опущен. Будут рассматриваться только функции p(x), удовлетворяющие условию C |p(x) - p(y)| � - ln |x - y| (2.1) при |x - y| � 1/2, x, y ∈ Ω. При таком условии имеет место сходимость осреднений (см. [1]): если f ∈ Lp(·)(Q) продолжена нулем вне ограниченной области Q и r fρm (x) = Rn n f (y)ρm(x - y)dy, n то fρm → f в пространстве Lp(·)(R ) при m → ∞. Здесь ρm(x) = m ρ(m|x|) - ядро осреднения. T Сходимость имеет место и для осреднений Стеклова: fh → f в пространстве Lp(·)(D 1 t+h ) при h → 0, h fh(x, t) = [ t f (x, τ )dτ. p Определим анизотропное пространство Соболева-Орлича W 1(Ω) как пополнение пространства C1(Ω) по норме p (Ω) ||u||W 1 n i = ||ux i=1 ||pi(·),Ω + u 1,Ω = ||∇u||p,Ω + u 1,Ω, где функции pi(x) удовлетворяют условиям (2.1) и 1 < p- � pi(x) � p+, x ∈ Ω. p Пространство W 0,1(DT ) определяется как пополнение пространства C1(DT ) по норме p (DT ) ||u||W 0,1 n i = ||ux || i=1 pi(·),D T + u 1,D T = ||∇u|| p,D T + u 1,DT . p Пусть X = {∇u| u ∈ W 0,1(DT )}. n T -1 -1 × × Пространство ТТ Lpi(·)(D ), pi + pi = 1, обозначим через X . Элементы v ∈ X действуют i=1 p как функционалы на элементы u ∈ W 0,1(DT ) по формуле (v, u)DT = [ v · ∇udxdt. DT Неравенство Пуанкаре u p-,Ω � C ∇u p-,Ω, где u = u - c, c = |Ω| -1 r Ω p udx, u ∈ W 1(Ω), p - устанавливает вложение W 0,1(DT ) ⊂ Lp из теоремы Реллиха-Кондрашова. - (DT ). Компактность этого вложения при p < n следует Другое вложение установлено в работе [16]. Положим pM (x) = max(p1(x), p2(x),..., pn(x)), x ∈ Ω. Тогда [16, следствие 2.1] если то вложение компактно. Определим еще пространство ess inf(pM (x) - p∗(x)) > 0, W 1 p (Ω) '→ Lp∗(·)(Ω) с нормой p V = L - p (0,T ; W 0,1(Ω)) ⎛ T ⎞1/p- r p ||u||V = ⎝ 0 p,Ω ||u(t)|| - dt⎠ . Через Lip0(Q) обозначим пространство липшицевых функций с компактным носителем, лежащим в Q. Приведем условия на функции, входящие в уравнение (1.1). Функция β(x, r) нечетна по r ∈ R и при некоторых M0, MT удовлетворяет условиям: sβ(x, r) � rβ(x, s) при 0 < M0 � r < s � MT , x ∈ Ω; (2.2) j β(x, MT ) ∈ Lpm(·), где pm(x) = max(pj (x)), x ∈ Ω. (2.3) Пусть функция q(x, r) определяется равенством f = β(x, r)q(x, r) и ограничена: |q(x, r)| � q0 при |r| � MT . (2.4) Будем предполагать, что неотрицательная измеримая начальная функция u0 ограничена: u0(x) � 0 M0. Очевидно, что β(x, u0) ∈ L1(Ω), и при любом δ > 0 найдется функция v ∈ C1(Ω) такая, что r |β(x, u0) - β(x, v)|dx < δ. Ω Функции ai(x, r, y) непрерывны по r ∈ R, y ∈ Rn и измеримы по x ∈ Ω. Положим n S(x, y) = |yi|pi(x). i=1 Пусть существуют функция F (x) ∈ L1(Ω) и непрерывная функция C(m), m � 0, такие, что |aj (x, r, y)|pj (x) � C(m)(F (x)+ S(x, y)) (2.5) при всех r ∈ [-m, m], y ∈ Rn, x ∈ Ω. Отметим, что из этого условия легко следует, что T T при всех u ∈ L∞(D p ), v ∈ W 0,1(DT aj (x, u, ∇v) ∈ Lpj (·)(D ). ) (2.6) Условия монотонности и коэрцитивности записываются в следующем виде: Λ(x, r, y, z) = (a(x, r, y) - a(x, r, z)) · (y - z) � 0, y /:= z; (2.7) a(x, r, y) · y � δ0S(x, y) - F (x), ∀r ∈ R, y ∈ Rn, x ∈ Ω. (2.8) Опишем теперь условия на функции, определяющие интегральный оператор G(v) : gi(x, y) ∈ C1(P ), P = {(x, y) : x, y ∈ Ω,x /:= y}, n | i=1 λ (gi(x, y))xi | + |gi(x, y)| � C(1 + |x - y|- ), λ ∈ (0, n), (x, y) ∈ P. (2.9) Функция b(s) � 0, b(0) = 0, удовлетворяет условию Липшица: |b(s1) - b(s2)| � Lk |s1 - s2|, s1, s2 ∈ [0, k], ∀k > 0. (2.10) Предполагается, что n νigi(x, y) � 0, x ∈ ∂Ω, y ∈ Ω. (2.11) i=1 Мы будем использовать следующее утверждение об оценках интегралов типа потенциалов [7, гл. I, §6]. Лемма 2.1. Если λ< n, 1 + 1 = 1, 1 <p< ∞, f (x) ∈ L (Ω), то функция q q q r v(x) = q f (y)dy |x - y|λ Ω непрерывна и удовлетворяет неравенству |v(x)| � C f q,Ω. Из этой леммы и условий (2.9), (2.10) следует, что G(v) ∈ C1(Rn), |G(v)| � CG, |divG(v)| � dG при |v(x)| � MT . (2.12) Отметим, что из (2.12) следует, что G(u(t)) ∈ C1(Rn) при почти всех t ∈ (0,T ). Определим функции ⎧ 3. ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТОВ ⎧ Tkv = ⎪⎨k при v > k, v при |v| � k, ⎪⎩-k при v < -k; η(r) = ⎪⎨0 при r > 1, 1 - r при 0 � r � 1, ⎪⎩1 при r < 0. Обозначим через sign+(s) многозначную функцию, равную 1 при s > 0, нулю при s < 0, [0, 1] при s = 0; r+ = max(r, 0). Пусть χ(P ) обозначает логическую функцию, равную 1, когда P истинно, и 0, когда P ложно. T Определение 3.1. Функция u : DT → [0, ∞) называется слабым решением задачи (1.1)-(1.3), если u ∈ L∞(D ), u ∈ V и для всех пробных функций φ ∈ C ∞(DT ) таких, что φ(T ) = 0, выполнено равенство r r ((β(x, u0) - β(x, u))φt + (a(x, u, ∇u) - β(x, u)G(u)) · ∇φ) dxdt = DT DT f (x, u)φdxdt. Теорема 3.1. Пусть выполнены условия (2.1)-(2.11), B(x, u0) ∈ L1(Ω), 0 � u0(x) � M0. Поло- | жим T = μ-1 ln MT M0 - 1|, где μ = 1 + q0 + dG. Тогда существует слабое решение задачи (1.1)-(1.3) такое, что r B(x, u(x, t))dx � C, t ∈ [0,T ], Ω 0 � u(x, t) � MT . Следуя [8], положим 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ СЛАБОГО РЕШЕНИЯ r r B(x, r) = β(x, r)r - Φ(x, r), Φ(x, r) = 0 β(x, s)ds, (4.1) B(x, r) = Ψ(x, β(x, r)); Ψ(x, r) = sup{sr - Φ(x, s)}. s Поскольку β(x, r) ∈ L1(Ω) - возрастающая по r функция, то Φ и Ψ - выпуклые функции при фиксированных x, B(x, r) возрастает по r на [0, ∞). Интегрированием по частям устанавливается формула r r B(x, r) = 0 sdβ(x, s), из которой следует, что B(x, r) ∈ L1(Ω), B(x, r) � 0 и B(x, r) - B(x, r0) � (β(x, r) - β(x, r0))r0, r, r0 ∈ R. (4.2) Решение задачи (1.1)-(1.3) будем строить как предел решений уравнений, полученных дискретизацией уравнения (1.1) по переменной t. Выберем целое m > 0. Пусть h = T /m (всюду в этом параграфе) и положим ∂-h t β(x, u(t, x)) = Будем предполагать сначала, что β(x, u(t, x)) - β(x, u(t - h, x)) . h где ρ = MT , и пусть a(x, r, y) = a(x, Tρr, y), (4.3) β(x, r) = β(x, ρ)+ (r - ρ)p--1, r > ρ. (4.4) Эти ограничения несущественны, поскольку построенное решение будет удовлетворять неравенству 0 � u(x, t) � ρ, (x, t) ∈ DT . Введем обозначения β1(x, r) = β(x, Tρr), u1(x, t) = Tρu(x, t - h). Рассмотрим эллиптическое уравнение ∂-h 1 1 1 t β(x, u(t)) = div(a(x, u (t), ∇u(t)) - β1(x, u(t))G(u (t))) + β1(x, u(t))q(x, u (t)), (4.5) которое решается последовательно на интервалах ((k - 1)h, kh], k = 1, 2,..., m, с ограниченным начальным условием 0 u(t, x) = u0m(x), t ∈ (-h, 0]. (4.6) Начальные функции берутся гладкие, u0m(x) ∈ C∞(Ω), так, чтобы B(x, u0m(x)) → B(x, u0(x)) в L1(Ω) при m → ∞. Краевое условие имеет вид: (a(x, u1(t), ∇u(t)) - β1(x, u(t, x))G(u1(t))) · ν = 0 на ∂Ω × (0,T ). (4.7) Зафиксируем m. Определим кусочно постоянную функцию M (t) = M0 при t � 0, M (t + h) = M (t)/(1 - μh) при t> 0. Тогда при малых h справедливо неравенство M0 M (T ) = (1 - μh)m � M0(exp(μT )+ 1) = MT . Докажем индукцией по k разрешимость задачи (4.5), (4.6) и неравенства 0 � u(x, t) � M (t), x ∈ Ω, t ∈ ((k - 1)h, kh]. (4.8) При k = 0 неравенства выполнены. Пусть для k - 1 решение задачи существует и удовлетворяет (4.8). Зафиксируем t ∈ ((k - 1)h, kh]. Разрешимость задачи (4.5)-(4.7) будет следовать из разрешимости операторного уравнения A(v) = F = β1(x, u1(t))/h (см. [5, теорема 2.1, гл. 2]), где оператор A : W 1(Ω) → W -1(Ω) определяется формулой p p r (A(v), ϕ) = Ω [(h-1β(x, v) - q(x, u1(t))β1(x, v))ϕ + + (a(x, u1(t)), ∇v) - β1(x, v)G(u1(t))) · ∇ϕ]dx, ϕ ∈ C∞(Ω). Покажем, что A(v) ∈ W -1(Ω) для любого v ∈ W 1(Ω). Из (2.5) и неравенства Юнга следует, что p r r |a(x, u1(t), ∇v) · ∇ϕ|dx � Ω Ω p C(MT )(F (x)+ S(x, ∇v)) + S(x, ∇ϕ)dx < C(v) p при всех v ∈ W 1(Ω) и ϕ таких, что ϕ p W 1(Ω) = 1. Тогда в силу (4.4) и (2.3) r r β(x, v)ϕdx � 2 Ω Ω r |β(x, ρ)ϕ|dx + Ω |ϕ|χ(v > ρ)(v - ρ) p- p--1 dx � r p p � 4 β(x, ρ) p1(·),Ω ϕ p1(·),Ω + Ω (|ϕ| - + |v| - )dx � C(v) p при всех v ∈ W 1(Ω) и ϕ таких, что ϕ p W 1(Ω) = 1. Далее запишем неравенства, вытекающие из (2.3): r (|β(x, MT )ϕxi |dx � 2 β(x, MT ) pi(·) ϕxi pi(·) � C ϕxi pi(·). (4.9) Ω Теперь с помощью неравенства (2.12) устанавливаем, что r r β1(x, v)G(u1(t))) · ∇ϕ(t)dx � CG Ω Ω (|β(x, MT )∇ϕ|dx � C1. p Из полученных оценок следует, что A(v) ∈ W -1(Ω). Монотонность оператора A�, определяемого формулой r (A�(v), ϕ) = Ω [(h-1β(x, v) - q(x, u1(t))β1(x, v))ϕ + a(x, u1(t), ∇v) · ∇ϕ]dx, при достаточно малых h следует из монотонности функции β и условия (2.7). Далее, псевдомонотонность оператора, определяемого формулой r (B(v), ϕ) = Ω [-β1(x, v)G(u1(t)) · ∇ϕ]dx, легко следует из неравенства [ |β1(x, v)|pm(x)dx � [ |β1(x, ρ)|pm(x)dx < ∞. Действительно, из Ω p - компактности вложения W 1(Ω) ⊂ Lp Ω p (Ω) и слабой сходимости vj → v в пространстве W 1(Ω) следует сильная сходимость vj → v в пространстве Lp- . Тогда можно выделить подпоследовательность vjk такую, что vjk → v почти всюду. Так как |β1(x, vj )| � β(x, ρ) и из (2.3) следует, что β(x, ρ) ∈ Lpm(·)(Ω), то по теореме Лебега об ограниченной сходимости r pm |β1(x, vjk ) - β1(x, v)| Ω (x) dx → 0, k → ∞. Легко видеть, что сходимость имеет место для всей последовательности, а не только для подпоследовательности. Поэтому lim (B(vj ), vj - ϕ) = (B(v),v - ϕ), что доказывает псевдомонотонность i→∞ оператора B. Из равенства A = A� + B следует псевдомонотонность оператора A. Осталось проверить условие коэрцитивности. Пользуясь (2.12) и неравенством Юнга, запишем неравенства r r |β1(x, v)G(u1(t))) · ∇v|dx � CG Ω Ω β(x, ρ)|∇v|dx � (4.10) r � (C(δ0)β(x, ρ)pm(x) + Ω δ0 4 S(x, ∇v))dx. Воспользовавшись неравенствами (2.8), (4.10), получим r (A(v), v) = Ω h-1vβ(x, v)+ (a(x, u1(t), ∇v) - (4.11) - β1(x, v)G(u1(t))) · ∇v - β1(x, v)q(x, u1(t))vdx � r f 3δ0 ∇ � S(x, v)+ v(β(x, v)h-1 4 Ω \ - q0β1(x, v)) dx - C1(δ0). p (Ω) Отсюда следует коэрцитивность: A((v), v)/ v W 1 → ∞ при v → ∞ и достаточно малых h. p (Ω) Действительно, пусть v W 1 = A, где A достаточно большое число, причем ∇v p,Ω � A/2. W 1 Тогда v -1 p (Ω) [ S(x, ∇v)dx � C(A), где lim Ω A→∞ C(A) = ∞. Если же v 1 � A/2, то v p- � C1A. Поэтому из (4.4) следует r r p p vβ(x, v)dx � Ω Ω - χ(|v| � 2ρ)|v - ρ|p- dx � C v p- - C2 � C3A - - C2. Таким образом, при A →∞ v 1 � A/2 и имеем r W 1 v -1 p (Ω) Ω vβ(x, v)dx → ∞. Итак, разрешимость уравнения A(v) = F установлена. Таким образом, если положить u(x, t) = v(x), t ∈ ((k - 1)h, kh], то будем иметь решение задачи (4.5)-(4.7). Докажем индукцией по k неравенства (4.8). Пусть u(s) = max(0,u - s), s � 0. Умножим уравнение (4.5) на (-u)(0)(t) и проинтегрируем по Ω: r t (-u)(0)(t)(∂-hβ(x, u(t)) - β1(x, u(t))q(x, u1(t)))dx = Ω r = - (a(x, u, ∇u(t)) - β1(x, u(t))G(u1(t))) · ∇(-u)(0)(t)dx. Ω Пользуясь индукционными предположениями M (t - h) � u(t - h) � 0, нечетностью функции β и неравенством (2.8), будем иметь r / ( - Ω r u)(0) (t)β(x, u(t))/h - β1(x, u(t))G(u(t - h)) · ∇(-u) r (0) (t)\ dx � � β1(x, u(t))q(x, u(t - h))(-u)(0)(t)dx � Ω Ω q0β1(x, u(t))(-u)(0)(t)dx. Пользуясь (2.11), запишем соотношения r r - β1(x, u(t))G(u(t - h)) · ∇(-u)(0)(t)dx = Ω Ω G ·∇ -(-u)(0)(t) r β1(x, r)drdx � 0 -(-u)(0)(t) r r r � - β1(x, r)drdivG(u(t - h))dx � dG Ω 0 Ω -(-u)(0)(t)β1(x, -(-u)(0)(t))dx. Предыдущие выкладки приводят к неравенству r (-u)(0)(t)β(x, u(t))(1/h - q0 - dG)dx � 0. Ω При достаточно малых h в силу нечетности функции β отсюда следует, что (-u)(0)(t) = 0. Умножим теперь уравнение (4.5) на u(s)(t), s > 0, и проинтегрируем по Ω: r t u(s)(t)(∂-hβ(x, u(t)) - β(x, u(t))q(x, u(t - h))dx = Ω r = - (a(x, u, ∇u(t)) - β(x, u(t))G(u(t - h))) · ∇u(s)(t)dx. Ω Пользуясь (2.8) и индукционным предположением, запишем неравенство u(s)(t) r / r dx � u(s)(β(x, u(t)) - β(x, M (t - h))/h - G(u(t - h)) ·∇ Ω 0 r β(x, s + r)dr\ � q0β(x, u(t))u(s)(t)dx. Ω Используя (2.11), находим, что r Ω G(u(t - h)) ·∇ u(s)(t) r β(x, s + r)drdx � 0 u(s)(t) r r r � - β(x, s + r)drdivG(u(t - h))dx � dG Ω 0 Ω u(s)(t)β(x, s + u(s)(t))dx. Из проведенных выкладок устанавливаем соотношение r u(s)(β(x, u(t))(1 - q0h - dGh) - β(x, M (t - h)))dx � 0. Ω s - Поскольку при s> M (t - h) из (2.2) следует неравенство M (t β(x, M (t h)) � β(x, s), то - h) r u(s)/ s M (t - h) (1 - q0h - dG 1 1. - \ β(x, M (t - h))dx � 0. Ω При s = M (t - h) 1 - (q0 + 1)h - dGh - M (t h) = = M (t) отсюда следует равенство u(s) = 0, завершающее 1 - μh индукцию. Таким образом, из доказанного неравенства u(x, t) � M (t) следует, что β1(x, u(t)) = β(x, u(t)) и u1(t) = u(t - h). Решение задачи (4.5)-(4.7) в дальнейшем будем обозначать через um(t). После умножения уравнений (4.5) на α(t)um(t), α ∈ C∞(R), α � 0, и интегрирования по Ω будем иметь r /αu ∂-hβ(x, u (t)) + (a(x, u , u (t)) β(x, u (t))G(u )) αu \dx = m t m Ω r mh ∇ m - m mh ·∇ m = um(t)αβ(x, um(t))q(x, umh)dx, (4.12) Ω где umh = um(t - h). Оценим снизу параболический член с помощью неравенства (4.2) при α � 0: Тогда r r t αum∂-hβ(x, um(t))dx � Ω Ω T α(B(x, um(t)) - B(x, um(t - h)))/hdx. (4.13) T -h r r r t αum∂-hβ(x, um(t))dxdt � h-1 0 Ω 0 r B(x, um(t))(α(t) - α(t + h))dxdt. (4.14) Ω Отметим, что правая часть в (4.12) ограничена числом, не зависящим от m и t. Пользуясь (2.8), (4.10) и (4.13), из (4.12) (c α = 1) после интегрирования по t ∈ [0,τ ] выводим неравенство τ r r h-1 B(x, um(t))dtdx + τ 3δ0 r r 4 S(x, ∇um(t))dxdt � (4.15) Ω τ -h 0 Ω r � C(T + Ω B(x, u0)dx). Поскольку функция B(x, um(t)) кусочно постоянна по времени, при достаточно больших m (и малых h) устанавливаем неравенство r max [0,T ] Ω r B(x, um(t))dx + DT S(x, ∇um)dxdt � C. (4.16) p Отсюда и из (4.8) следует ограниченность последовательности um в пространствах W 0,1(DT ) и T L∞(D ). Неравенство (4.16) при помощи условий (2.5), (2.8) позволяет установить ограниченность последовательности a(x, umh∇um) в пространстве X×: a(x, umh∇um) Xt � C. (4.17) Это влечет сходимость при m →∞ (по подпоследовательности): ai(x, umh, ∇um(t)) → vi, i = 1, 2,..., n, (4.18) p (·) слабо в пространствах L (DT i ), а также um → u, (4.19) p слабо в пространстве W 0,1(DT ). Далее, как и в работе [8], устанавливается компактность последовательности β(x, um(t)) в пространстве L1(DT ). В следующей лемме из работы [8] функция β предполагается неубывающей. Лемма 4.1. Пусть последовательность um → u слабо в Lq (DT ), q > 1, ограничена в 1 L1([0,T ]; W 1(Ω)), и выполнено T -μ r B(x, um(t))dx � c, t ∈ (0,T ), Ω r r (β(x, um(t + μ)) - β(x, um(t)))(um(t + μ) - um(t))dxdt � cμ (4.20) 0 Ω при 0 <μ< μ0 и любом m> 1/μ. Тогда найдется подпоследовательность такая, что β(x, um) → β(x, u) в L1(DT ) и почти всюду в DT . Для доказательства неравенства (4.20) установим оценку T -kh r I := 0 r (β(x, um(t + kh)) - β(x, um(t)))Δkhum(t)dxdt � Ckh, (4.21) Ω где Δkhum(t) = um(t + kh) - um(t), k = 0,..., m. p Пусть γ(x) ∈ W 1(Ω), ti = ih, i = 0,..., m. Из (4.5) следует равенство r (β(x, um(ti + h)) - β(x, um(ti)) - hβ(x, um(ti + h))q(x, um(ti)))γdx = Ω r = h (β(x, um(ti + h))G(um(ti)) - a(x, um(ti), ∇um(ti + h)) · ∇γdx. Ω После суммирования по i = s,...,s + k - 1 будем иметь r (β(x, um(ts+k )) - β(x, um(ts)))γdx = Ω k-1 r k-1 r = h l=0 Ω β(x, um(ts+l+1))q(x, um(ts+l))γdx+ +h l=0 Ω (β(x, um(ts+l+1))G(um(ts+l)) - a(x, um(ts+l), ∇um(ts+l+1))) · ∇γdx. Выберем γs(x) = h(um(ts+k, x) - um(ts, x)) и просуммируем по s = 0,...,m - k. Получим k-1 m-k r I = h l=0 s=0 Ω (β(x, um(ts+l+1))G(um(ts+l)) - a(x, um(ts+l), ∇um(ts+l+1))) × k-1 m-k r Следовательно, × ∇γs(x)dx + h l=0 s=0 Ω k-1 T -kh νβ(x, um(ts+l+1))q(x, um(ts+l))γsdx. I = h r l=0 0 m r ((β(x, u Ω (t + lh + h))G(um (t + lh))- -a(x, um(t + lh), ∇um(t + lh + h))) · ∇Δkhum+ +β(x, um(ts+l+1))q(x, um(ts+l))Δkhum)dxdt. Пользуясь (4.9), (2.12), выводим оценку k-1 T -kh r r l=0 0 β(x, um(t + lh + h))G(um(t + lh))∇um(t + lh + h)) dxdt � Ω � Ck||∇um(t + lh + h))||p,DT � C1k. В силу (4.17) имеем k-1 T -kh r l=0 0 r |a(x, um(t + lh), ∇um(t + lh + h)) · ∇(um(t + kh) - um(t))|dxdt � Ω p (D � 2k||a(x, um(t), ∇um(t + h))||Xt(DT -h)||um||W 1 T ) � Ck. Постоянная C не зависит от m и h. В итоге имеем оценку (4.21). В силу того, что функция um(t) кусочно постоянна, из нее следует неравенство (4.20) при μ ∈ [1/m, T ]. По лемме 4.1 выбираем подпоследовательность β(x, um) такую, что β(x, um) → β(x, u) в L1(DT ) и почти всюду в DT . В силу строгой монотонности функции β отсюда следует также сходимость um → u почти всюду в DT (4.22) по некоторой подпоследовательности. Тогда umh → u и B(x, um) → B(x, u) почти всюду в DT . В силу ограниченности решений имеем также сходимость um → u в пространстве Lq (DT ) при любом q > 1. Из леммы 2.1, а также из (2.9) и (2.10), следует неравенство |Gi(u1) - Gi(u2)| � C u1 - u2 q,Ω, i = 1, n, (4.23) при достаточно большом q > 1. Поэтому ограниченность последовательности G(umh) в простран- T стве L∞(D ) влечет сходимость при m →∞ (по подпоследовательности) Gi(umh) → Gi(u) сильно в Lq (DT ). (4.24) при любом q > 1. Докажем, что aj (x, umh, ∇u) → aj (x, u, ∇u) (4.25) T сильно в Lpj (·)(D ). В силу (2.5) интегралы [ T |a(x, umh, ∇u)| pj (x) dxdt равностепенно абсолютно D непрерывны. Поэтому (4.25) легко следует из теоремы Витали [3, гл. III, § 6, теорема 15]. 0 После умножения уравнений (4.5) на ϕ(t) ∈ C∞(-1,T - δ) и интегрирования по DT получим: r t ϕ(∂-hβ(x, um(t)) - β(x, um(t))q(x, umh)+ (4.26) DT +(a(x, umh, ∇um(t)) - β(x, um(t))G(umh)) · ∇ϕdxdt = 0. Нетрудно видеть, что при 2h< δ, m → ∞, имеет место соотношение T -h h r r r ϕ∂-h t β(x, um)dxdt = - DT 0 Ω r m t - β(x, u )∂hϕ(t)dxdt 1 r r h 0 Ω r ϕ(t)β(x, u0m)dxdt → (4.27) →- β(x, u)ϕtdxdt - DT Ω ϕ(0)β(x, u0)dx. После предельного перехода в (4.26) с учетом (4.18), (4.24) и (4.27), будем иметь r ((β(x, u0) - β(x, u))ϕt + viDiϕ - β(x, u)G(u) · ∇ϕ) dxdt = (4.28) DT r = β(x, u)q(x, u)ϕdxdt. DT Следующая лемма использует идею работы [19]. Лемма 4.2. Пусть β(x, r) - каратеодориева функция, неубывающая по r, и измеримые функции v : DT → R, v0 : Ω → R таковы, что β(x, v) ∈ L1(DT ), β(x, v0) ∈ L1(Ω). Пусть w ∈ X× + L1(DT ) и r φt(β(x, v) - β(x, v0))dxdt + (w, φ)DT = 0 DT 0 при всех φ ∈ C∞((-1,T ) × Rn). Тогда r -(β(x, v)t, ξ(x, v)ϕ)DT = DT v r ϕt ξ(x, r)dβ(x, r)dxdt (4.29) v0 при всех ограниченных ξ(x, s), монотонных и липшицевых по s, таких, что ∇ξ(x, v) ∈ X, и ϕ ∈ C∞(Rn × (-1,T )) (либо ξ = ξ(s) ∈ Lip R). 0 0 Доказательство см. в [6]. Обычно формулу (4.29), в частной форме установленную впервые в работе [8], называют «формулой интегрирования по частям» и доказывают только для функций ξ = ξ(v) (см. [14]). Из (4.28) легко следует, что β(x, u)t ∈ X× + L1(DT ). Действительно, в силу (4.18) v = (v1,..., vn) ∈ X×, и из (2.3), (2.4), (4.8) находим, что β(x, u)G(u) ∈ X×, (4.30) а также β(x, u)G(u) ∈ L1(DT ), β(x, u)q(x, u) ∈ L1(DT ). (4.31) Применяя к (4.28) лемму 4.2, получаем r r ⎛ u n ⎞ ⎝ϕt DT u0 ξ(r)dβ(x, r) - viDi(ξ(u)ϕ)+ β(x, u)G(u) · ∇(ϕξ(u))⎠ dxdt = (4.32) i=1 r = - β(x, u)q(x, u)ξ(u)ϕdxdt, DT где ξ(r) = Tk (r), ϕ = ϕ(t) ∈ C∞(0,T ) (либо ξ ∈ Lip (R), ϕ ∈ C1(Rn × (-1,T ))). Тогда, в силу 0 0 0 неравенств 0 � u(x, t) � MT , будем иметь при k > MT равенство ξ(u) = u, поэтому (4.32) принимает вид r ! n \ ϕtB(x, u(t)) - viϕDiu + β(x, u)G(u) · ∇(ϕu) DT i=1 r dxdt = (4.33) = - β(x, u)q(x, u)uϕdxdt. DT Отсюда следует, что функция [ B(x, u(t))dx абсолютно непрерывна по t. Ω 0 Проинтегрировав (4.12) по t ∈ (0,T ), после предельного перехода m → ∞, используя (4.14), получим при неотрицательных функциях α ∈ C∞(0,T ) r r - αtB(x, u)dxdt � lim inf m→∞ -αa(x, umh, ∇um) · ∇umdxdt+ DT DT r + (αβ(x, u)G(u) · ∇u + β(x, u)q(x, u)uα) dxdt. DT Сложив это с (4.33), в котором выбрано ϕ = α, будем иметь r n r lim sup m→∞ DT αa(x, umh, ∇um) · ∇umdxdt � i=1DT αviDiudxdt. (4.34) p Воспользуемся условием (2.7) при ϕ ∈ W 0,1(DT ): r 0 � α(a(x, umh, ∇um) - a(x, umh, ∇ϕ)) · ∇(um - ϕ)dxdt = DT r r = αa(x, umh, ∇um) · ∇umdxdt - DT DT r αa(x, umh, ∇um) · ∇ϕ)dxdt- - αa(x, umh, ∇ϕ) · ∇(um - ϕ)dxdt. DT После предельного перехода m →∞ с использованием соотношений (4.19), (4.25), (4.34) устанавливаем неравенство r r 0 � αv · ∇udxdt - DT DT r αv · ∇ϕdxdt - DT αa(x, u, ∇ϕ) · ∇(u - ϕ)dxdt. Перепишем его в виде r 0 � α(v - a(x, u, ∇ϕ)) · ∇(u - ϕ)dxdt. DT Подставляя сюда ϕ = u - εψ, получим r 0 � α(v - a(x, u, ∇(u - εψ))) · ∇ψdxdt. DT Предельный переход ε → 0 приводит к соотношению r 0 � α(v - a(x, u, ∇u)) · ∇ψdxdt. DT p Ввиду произвольности ψ ∈ W 0,1(DT ), а также α � 0, это влечет равенства vi = ai(x, u, ∇u). Тогда (4.28) совпадает с (3.1).

About the authors

V F Vildanova

Bashkir State Pedagogical University

Email: gilvenera@mail.ru
3a Oktyabrskoy Revolyutsii st., 450000 Ufa, Russia

F Kh Mukminov

Institute of Mathematics with Computer Center of the RAS; Ufa State Aviation Technical University

Email: mfkh@rambler.ru
112 Chernyshevskogo st., 450008 Ufa, Russia; 12 Karla Marksa st., 450008 Ufa, Russia

References

  1. Алхутов Ю. А., Жиков В. В. Теоремы существования и единственности решений параболических уравнений с переменным порядком нелинейности// Мат. сб. - 2014. - 205, № 3. - С. 3-14.
  2. Беляков А. О., Давыдов А. А. Оптимизация эффективности циклического использования возобновляемого ресурса// Тр. ИММ УрО РАН. - 2016. - 22, № 2. - С. 38-46.
  3. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. - М.: ИЛ, 1962.
  4. Кружков С. Н. Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными// Мат. сб. - 1970. - 81(123), № 2. - С. 228-255.
  5. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. - М.: Мир, 1971.
  6. Мукминов Ф. Х. Единственность ренормализованного решения эллиптико-параболической задачи в анизотропных пространствах Соболева-Орлича// Мат. сб. - 2017. - 208, № 8. - С. 1187-1206.
  7. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. - М.: Наука, 1988.
  8. Alt H. W., Luckhaus S. Quasilinear elliptic-parabolic differential equations// Math. Z. - 1983. - 183.- С. 311-341.
  9. Bertozzi A., Slepcev D. Existence and uniqueness of solutions to an aggregation equation with degenerate diffusion// Commun. Pur. Appl. Anal. - 2010. - 9, № 6. - С. 1617-1637.
  10. Blanchet A., Carrillo J. A., Laurencot P. Critical mass for a Patlak-Keller-Segel model with degenerate diffusion in higher dimensions// Calc. Var. - 2009. - 35. - С. 133-168.
  11. Boi S., Capasso V., Morale D. Modeling the aggregative behavior of ants of the species Polyergus rufescens// Nonlinear Anal. Real World Appl. - 2000. - 1. - С. 163-176.
  12. Burger M., Fetecau R. C., Huang Y. Stationary states and asymptotic behaviour of aggregation models with nonlinear local repulsion// SIAM J. Appl. Dyn. Syst. - 2014. - 13, № 1. - С. 397-424.
  13. Carrillo J. A., Hittmeir S., Volzone B., Yao Y. Nonlinear aggregation-diffusion equations: radial symmetry and long time asymptotics// arxiv:1603.07767v1[math.ap]. - 2016.
  14. Carrillo J., Wittbold P. Uniqueness of renormalized solutions of degenerate elliptic-parabolic problems// J. Differ. Equ. - 1999. - 156. - С. 93-121.
  15. Eftimie R., Vries G., Lewis M. A., Lutscher F. Modeling group formation and activity patterns in selforganizing collectives of individuals// Bull. Math. Biol. - 2007. - 146, № 69. - С. 1537-1565.
  16. Fan X. Anisotropic variable exponent Sobolev spaces and p(x)-Laplacian equations// Complex Var. Elliptic Equ. - 2011. - 56, № 7-9. - С. 623-642.
  17. Milewski P. A., Yang X. A simple model for biological aggregation with asymmetric sensing// Commun. Math. Sci. - 2008. - 6. - С. 397-416.
  18. Morale D., Capasso V., Oelschlager K. An interacting particle system modelling aggregation behavior: from individuals to populations// J. Math. Biol. - 2005. - 50. - С. 49-66.
  19. Otto F. L1-contraction and uniqueness for quasilinear elliptic-parabolic equations// J. Differ. Equ. - 1996. - 131. - С. 20-38.
  20. Topaz C. M., Bertozzi A. L. Swarming patterns in a two-dimensional kinematic model for biological groups// SIAM J. Appl. Math. - 2004. - 65. - С. 152-174.
  21. Topaz C. M., Bertozzi A. L., Lewis M. A. A nonlocal continuum model for biological aggregation// Bull. Math. Biol. - 2006. - 68. - С. 1601-1623.

Statistics

Views

Abstract - 79

PDF (Russian) - 28

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies