Carleman’s Formula for Solutions of the Generalized Cauchy-Riemann System in Multidimensional Spatial Domain

Cover Page

Abstract


In this paper, we consider the restoration problem for solutions of the generalized Cauchy- Riemann system in a multidimensional spatial domain using their values on a piece of the boundary of the domain, i. e., the Cauchy problem. We construct an approximate solution of this problem based on the Carleman matrix method.

Full Text

ВВЕДЕНИЕ В монографии И. Н. Векуа [5] существенно расширяются рамки классической теории аналити- ческих функций и ее применений. В ней рассматривается класс функций, который объединяет семейства решений весьма широкого класса эллиптических систем дифференциальных уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными. Это - обобщенная система Коши-Римана, для решений которой сохраняется ряд основных свойств аналитических функций одной комплекс- ной переменной. В настоящей работе рассматривается задача восстановления решения системы уравнений [17,18] n i=1 ( ∂Fi ∂xi \ + Hi = 0, ∂Fj ∂Fk H F + H F = 0, i, k,j = 1,..., n, (1.1) ∂xk - ∂xj - k j j k которая является n-мерным аналогом обобщенной системы Коши-Римана, по ее известным зна- чениям на части границы этой области, т. е. задача Коши. Когда все Hi = 0, то система (1.1) является системой Рисса [24, с. 106]. Как известно, система Коши-Римана в физических прило- жениях привела к далеко идущим обобщениям [6, 7, 32]. Задача Коши для обобщенной системы Коши-Римана, как и многие задачи Коши нахождения регулярных решений эллиптических уравнений и систем, в общем случае оказывается неустой- чивой относительно равномерно малых изменений начальных данных. Таким образом, эти задачи некорректно поставлены [1, с. 39]. В монографиях Л. А. Айзенберга [2] и Н. Тарханова [34] рассматривается регуляризация задачи Коши для системы Коши-Римана и для системы с инъективным символом, там же приведена обширная библиография. При исследовании задачи Коши для системы (1.1) будем априори предполагать существование ее решения. Более того, предполагается, что решение принадлежит некоторому заданному подмно- жеству функционального пространства, обычно компактному [12, с. 4]. Единственность решения Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2019 95 следует из общей теоремы Холмгрена [4, с. 58]. В этих условиях устанавливается явная форму- ла восстановления, которая является аналогом классической формулы Б. Римана, В. Вольтерра и Ж. Адамара, построенной ими для решения задачи Коши в теории гиперболических уравне- ний [20, теорема 2.1]. Если при указанных условиях вместо данных Коши заданы их непрерывные приближения с уклонением в равномерной метрике, заданным положительным числом, при усло- вии, что решение ограничено на части поверхности конуса T ≡ ∂Gρ = ∂Ωρ \ S, то предполагается явная формула регуляризации [20, теорема 2.2]. Метод получения указанных результатов основан на построении в явном виде матрицы фун- даментального решения обобщенной системы Коши-Римана, зависящей от положительного пара- метра, исчезающего при стремлении параметра к бесконечности на T ≡ ∂Gρ, когда полюс фунда- ментального решения лежит в полупространстве yn > 0 (см. [20, лемма 1.2]). Следуя М. М. Лав- рентьеву и Ш. Ярмухамедову, матрицу фундаментальных решений с указанным свойством назовем матрицей Карлемана для полупространства (см. [12, с. 34], [28]). После построения матрицы Карлемана в явном виде формула продолжения, а также регуляризация решения задачи Коши, выписываются в виде обобщенной пространственной интегральной формулы Коши. Полученная в [20, теорема 2.1] формула продолжения позволяет формулировать критерий разрешимости зада- чи Коши [20, теорема 3.1]. На протяжении последних десятилетий сохранился интерес к классическим некорректным за- дачам математической физики. Это направление в исследовании свойств решений задачи Коши для уравнения Лапласа начато в работах [9-14] и развивалось впоследствии в [3-30]. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МАТРИЦЫ КАРЛЕМАНА Пусть Rn - вещественное n-мерное евклидово пространство, x = (x1,..., xn), y = (y1,..., yn) ∈ Rn, x× = (x1,..., xn 1), y× = (y ,...,y ) ∈ Rn-1, - 1 n-1 π s = α2 = |y× - x×| = (y1 - x1)2 + ... +(yn -1 - x n-1 )2, r2 = s +(yn - xn )2 = |y - x|2,τ = tg , ρ > 1, 2ρ Gρ = {y : |y×| < τy1, y1 > 0}, ∂Gρ = {y : |y×| = τy1, y1 > 0}, Gρ = Gρ ∪ ∂Gρ, ε, ε1и ε2 - достаточно малые постоянные положительные числа, Gε × o × ε ε ε ρ = {y : |y | < τ (y1 - ε)}, ∂Gρ = {y : |y | = τ (y1 - ε)} Gρ = Gρ ∪ ∂Gρ, C = {ς : ς = ξ + iη, -∞ < ξ < ∞, -∞ < η < ∞}, Ωρ - ограниченная односвязная область в Rn с границей ∂Ωρ, состоящей из части поверхности ко- нуса T ≡ ∂Gρ и гладкого куска поверхности S, лежащего на конусе Gρ. Случай ρ = 1 предельный. В этом случае ∂G1 - плоскость Rn-1 и G1 - полупространство y1 > 0, Ω1 - односвязная ограни- ченная область в Rn с границей, состоящей из части плоскости Rn-1 и гладкого куска поверхности S, лежащей в полупространстве y1 � 0, Ωρ = Ωρ ∪ ∂Ωρ, S0 - внутренние точки поверхности S. F (x) = (F1(x), F2(x),..., Fn(x)) - вектор-функция, которая имеет в этой области непрерывные производные первого порядка. A(Ωρ) - совокупность вектор-функций класса C1(Ωρ), удовлетво- ряющий эллиптической системе (1.1) и непрерывной на Ωρ = Ωρ ∪ ∂Ωρ, H = (H1, H2,..., Hn) - заданный постоянный вектор. Легко можно показать, что Fi - решение системы (1.1), удовлетворяют уравнению D.ϕ - |H2|ϕ = 0. (2.1) Вводим следующие обозначения: Lkj (X1, X2,..., Xn; H) = Ljk (X1, X2,..., Xn; H) = = (Xj - Hj )Fk - (Xk - Hk )Fj + δkj (Xi + Hi)Fi, k � j, Lk (X, H)F = (Lk1F, Lk1F,..., LknF ), k = 1,..., n, (2.2) где δij - символ Кронекера. Тогда систему (1.1) можно записать в виде: 1 ∂ Lk ( ∂x ∂ ,..., ∂xn ; H)F = 0, k = 1,..., n. (2.3) k Для каждого векторного оператора Lk определяем сопряженный векторный оператор L∗ равенством: ∂ ∂ Тогда легко получить, что k V · Lk ( ∂x ; H)+ FL∗( ∂x ) = div Fk. (2.4) ∂ ∂ L∗ 1 k ( ∂x ∂ ∂ ∂ ,..., ∂xn ∂ ; H)F = 1 = Lk (- ∂x ∂x ,..., - k-1 , ∂xk ,..., ∂xn ; -H1,..., -Hk, Hk+1,..., Hn)F. (2.5) Постановка задачи (задача Коши). Известны данные Коши решения системы (2.3) на поверх- ности S: F (y) = f (y),y ∈ S, (2.6) где f (y) = (f1(y),..., fn(y)) - заданная на S непрерывная вектор-функция. Требуется восстано- вить вектор-функцию F (x) в Ωρ, исходя из заданной f, т. е. решить задачу аналитического продол- жения решения обобщенной системы Коши-Римана в многомерной евклидовой пространственной области по ее значениям на гладком куске S границы. Если вместо f (y) заданы ее приближения fδ (y) с точностью δ ∈ (0, 1) в метрике C(S), а также число B - размер компакта, которому принадлежат решения, то речь идет о построении семейства вектор-функций F (x, fδ ) = Fσδ (регуляризация), сходящихся к точному решению зада- чи (2.3), (2.6) в Ω при подходящем выборе параметра регуляризации σ = σ(δ) и δ → 0 (см. [4]). Следуя [26], функцию Fσδ назовем регуляризованным решением задачи Коши для обобщенной системы Коши-Римана. Регуляризованное решение определяет устойчивость метода приближенного решения задачи. В данной работе на основе результатов работ [12, с. 4], [28, 30] по задаче Коши для уравнений Лапласа и Гельмгольца построена матрица Карлемана в явном виде и на ее основе - регуля- ризованное решение задачи Коши для системы (2.3). В [25] приведены теоремы существования матрицы Карлемана и критерий разрешимости более широкого класса краевых задач для эллипти- ческих систем. Ранее в [3,25] доказано, что матрица Карлемана существует во всякой задаче Коши для решений эллиптических систем, если только данные Коши задаются на граничном множестве положительной меры. Поскольку в данной статье речь идет о явных формулах, то построение мат- рицы Карлемана в элементарных и специальных функциях представляет значительный интерес. Функция Карлемана задачи Коши для уравнения Лапласа и в близких к нему случаях, когда ∂Ω \ S - часть поверхности конуса, построена в [28]. Матрицу Карлемана для уравнения Коши- Римана в случае, когда S - произвольное множество положительной меры, построил Л. А. Айзенберг [3]. Развивая идею С. Е. Мергеляна [14], указавшего способ построения функции Карлемана в задаче Коши для уравнения Лапласа в случае, когда S - кусок с гладким краем границы од- носвязной области, на основе теорем об аппроксимации в [26] построена матрица Карлемана для эллиптических систем. В том случае, когда n = 2, H = 0, рассматриваемая система (2.3) будет обобщенной системой Коши-Римана, теория которой разработана Векуа [5], а формула продолжения решения по ее зна- чениям на куске границы получена Т. Ишанкуловым [10]. Если n = 3, то F (y) будет обобщенным потенциальным вектором, в котором система (2.3) (ряд аналитических фактов) изучена в [16], а формула продолжения решения по ее значениям на куске границы и аналог теоремы Фок-Куни получена в работе [20]. В настоящей работе утверждается, что все результаты, полученные в трехмерном случае в [22], остаются справедливыми для системы (2.3). Именно, в этом случае явно строится фундаментальная матрица, которая является ядром обобщенных интегралов Коши и типа Коши. Пусть Uk = (uk,..., uk ) - фундаментальное решение системы [17, 18]: k где ui 1 определяются равенствами: ui n L∗ ∂ k k ( ∂x ; H)U ∂Φ0 = 0, (2.7) k (y, x) = ( ∂xk - Hk Φ0) · sign(k - i), i /= k, ui ∂Φ0 i(y, x) = ( ∂xi + HiΦ0), (2.8) где Φ0 - классическое фундаментальное решение уравнения (1.1). Справедливо Определение 2.1. Матрица M0(y, x; H) называется матрицей фундаментальных решений си- стемы (2.3), где а Uk определяется согласно (2.8). Следуя [28], приведем k M0(y, x; H) = ⊗L∗(α; 0)U k ⊗, (2.9) Определение 2.2. Матрицей Карлемана задачи (2.3), (2.6) называется матрица Mσ (y, x; H) размера n × n, удовлетворяющая следующим двум условиям: Mσ (y, x; H) = M0(y, x; H)+ Gσ (y, x; H), где σ - положительный числовой параметр, матрица Gσ (y, x; H) по переменной y удовлетворяет системе (2.3) всюду в области Ωρ, M0(y, x; H) - матрица фундаментальных решений уравнений (2.3); Г ∂Gρ |Mσ (y, x; H)|dSy � ε(σ) при фиксированном x ∈ Ωρ, где ε(σ) → 0 при σ → ∞; здесь и 1 далее |Mσ | означает евклидову норму матрицы Mσ = ||Mij ||, т. е. |Mσ | = 3 2 M , в ), 2 ij частности, |F | = 1 ( n \ 2 F ), 2 i для вектора F. ij=1 i Для F (y) ∈ A(Ωρ) справедлива обобщенная пространственная интегральная формула Коши [17]: r ∂Ωρ M0(y, x; H)F (y)dSy = ( 0, x /∈ Ωρ, (2.10) F (x), x ∈ Ωρ, а также получен аналог интеграла типа Коши, даны изящные формулы скачков для предельных значений этого интеграла [18]. Поскольку матрица Карлемана отличается от матрицы фундаментальных решений на решение транспонированной системы, то обобщенная интегральная формула Коши остается справедливой, если в ней заменить фундаментальное решение на матрицу Карлемана. С целью построения приближенного решения задачи (2.3), (2.6) рассмотрим матрицу k Mσ (y, x; H) = ⊗L∗(α; 0)V k ⊗, (2.11) где V k = (v1,..., vk ) определяется равенством 1 n vi ∂Φσ ∂Φσ k (y, x) = ( ∂xk i - Hk Φσ ) · sign(k - i) при i /= k, vi(y, x) = ( ∂xi + HiΦσ ), (2.12) а функция Φσ (y, x; λ) при s � 0,v � 1 определяется следующим равенством: ∂m-1 r∞ K(w) ψ(λu) 2 2 где CnK(xn)Φσ (y, x; λ) = ∂sm-1 Im w 0 √u2 + α2 du, w = i u + α + yn, (2.13) ( uJ0(λu), n = 2m, m � 1, ψ(λu) = cos(λu), n = 2m + 1, m � 1, J0(λu) - функция Бесселя нулевого порядка; здесь берется регулярная ветвь аналитической функ- ции J0(λ) в C(n)(Ωρ), n = 2m, вещественная при λ > 0,λ = |H|2, ( (-1)m2( - 1)(m - 2)!(n - 2)ωn, n = 2m, m � 2, Cn = (-1)m2( - 2n + 1)(m - 1)!(n - 2)πωn , n = 2m + 1, m � 1, ωn - площадь единичной сферы в Rn. Пусть K(w) - целая функция комплексного переменного, вещественная при вещественном w (w = u + iv, u, v - действительные числа), K(u) /= ∞, |u| < ∞, удовлетворяющая условиям sup |K(p)(u + iv) exp(v)| Im λ|| = M (u) < ∞,p = 0, 1,... (2.14) v�1 При вещественном w из вещественности K(w) имеем K(w) = K(w). Так как ( K(w)\ Im = 1 ( K(w) K(w) � - = wK(w) - wK(w) = w 2i w w 2i(r2 + u2) то (2.13) имеет вид (yn - xn) Im K(w) - √s + u2 Re K(w) = r2 + u2 , (2.15) ∂m-1 r∞( (y x ) Im K(w) � ψ(λu) CnK(xn)Φ(y, x; λ) = ∂sm-1 0 n - n √s + u2 - Re K(w) r2 + u2 du. (2.16) Из (2.14) и (2.16) следует, что при y /= x интеграл в (2.13) абсолютно сходится. Если K(w) ≡ 1, то функция Φσ (y, x; λ) является классическим фундаментальным решением уравнения Гельмгольца, то есть o 0 n rn-2 Φ (y, x; λ) ≡ Φ (y, x; λ) = C 1 e-λr. Согласно [20], можно показать, что 1 ∂m-1 r∞ ψ(λu) -λr В [11] доказана rn-2 e = ∂sm-1 0 r2 + u2 du. Лемма 2.1. Функция Φσ (y, x; λ), определенная формулой (2.13), представима в виде Φσ (y, x; λ) = Φ0(r; λ)+ gσ (y, x; λ), (2.17) где Φ0(r; λ) - классическое фундаментальное решение уравнения (1.1): n ( λ \ 2 -1 Kn m m-1 m -m- 1 Φ0(r; λ) = Am 2 2 -1 (λr), A2m = (-1) 2 , A2m+1 = (-1) 2 2 , K0(λ) - функция Макдональда [15, 27], gσ (y, x; λ) - регулярные решения (2.3) по y в Rn для λ ∈ Cn(Ω.) Верна аналогичная лемма для системы (2.3). Лемма 2.2. Матрица Mσ (y, x; H), определенная формулой (2.11), является матрицей Кар- лемана задачи (2.3), (2.6), т. е. представима в виде Mσ (y, x; H) = M0(r; λ)+ Gσ (y, x; H), (2.18) где Gσ = ||Gijσ (y, x, σ)||n×n - матрица, определенная для всех значений y, x и по переменной y удовлетворяющая системе (2.3) во всем пространстве Rn. Доказательство. Из леммы 2.1 и определения 2.1 следует (2.15). Так как Δ ( ∂ \ ∂y gσ - λ2gσ = 0, то отсюда нетрудно видеть, что матрица Gσ (y, x; H) удовлетворяет уравнению (2.3), т. е. она есть регулярное решение по переменной y, включая и точку y = x. Из формулы (2.13) видно, что на ∂Gρ функция Φσ (y, x; λ) и ее градиент ∇Φσ (y, x; λ) при σ →∞ n экспоненциально стремятся к нулю при всех y1,..., yn-1 и x ∈ R ,x > 0. Тогда при σ → ∞ мат- n рица Mσ (y, x; H), также стремится к нулю при всех y1,..., yn-1 и x ∈ R ,x > 0. Согласно опреде- лению 2.1 матрица Mσ (y, x; H), определенная формулой (2.11), является матрицей Карлемана для области Ωρ и части ∂Gρ. ЦЕЛАЯ ФУНКЦИЯ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ СВОЙСТВА При решении задачи (2.3), (2.6) формула продолжения выражается через целую функцию Миттаг-Леффлера, поэтому приведем без доказательства основные ее свойства. Они даны в [8, гл. 3, § 2] с подробными доказательствами. Целая функция Миттаг-Леффлера определяется рядом w ∞ n Eρ(w) = , ρ > 0, w ∈ C, E1(w) = exp(w), n=0 Γ(1 + n/ρ) где Γ - гамма-функция Эйлера. Всюду в дальнейшем будем предполагать, что ρ > 1. Обозначим через γ = γ(1, β), 0 < β < π , ρ > 1, контур в комплексной плоскости w, пробегаемый в ρ направлении неубывания arg w и состоящий из луча arg w = -β, |w| � 1, дуги -β � arg w � β, окружности |w| = 1 и луча arg w = β, |w| � 1. Контур γ разбивает C на две односвязные бесконечные области Ω- и Ω+, лежащие слева и справа от γ соответственно. Будем предполагать, что π 2ρ π < β < , ρ > 1. ρ При этих условиях справедливы следующие интегральные представления: Eρ(w) = ρ exp(wρ)+ ψρ(w), w ∈ Ω+, (3.1) Eρ(w) = ψρ(w), E× (w) = ψ× (w), w ∈ Ω-, (3.2) где ρ ρ r exp(ςρ) ρ ρ r exp(ςρ) ψρ(w) = 2πi γ dς, ψ× (w) = ς - w ρ 2πi γ dς. (ς - w)2 (3.3) Так как Eρ(w) вещественно при вещественном w, имеем ψρ(w)+ψρ(w) ρ r exp(ςρ)(ς - Re w) (3.4) Re ψρ(w) = = 2 2πi γ dς, (ς - w)(ς - w) Im ψρ(w) = ψρ(w) - ψρ(w) = 2i ρ Im w r 2πi γ exp(ςρ) dς. (ς - w)(ς - w) (3.5) ψ× Im ρ(w) = ρ - r 2exp(ς ρ)(ς Re w) dς. (3.6) Im w 2πi γ (ς - w)2(ς - w)2 Всюду в дальнейшем в определении контура γ(1, β) будем брать β = π 2ρ ε2 + , ρ > 1. Ясно, что 2 если π 2ρ ρ то w ∈ Ω- и Eρ(w) = ψρ(w). Обозначим + ε2 � | arg w| � π, (3.7) ρ r Tk,p(w) = 2πi γ ςpeςp dς, k = 1, 2,..., p = 0, 1,... (ς - w)k (ς - w)k При π 2ρ + ε2 � | arg w| � π справедливы неравенства 1 C × C2 C3 (3.8) |Eρ(w)| � 1+ |w| , |Eρ(w)| � 1+ |w|2 , |Tk,p(w)| � 1+ |w|2k , где C , C , C - постоянные, не зависящие от w. Выберем в (3.4) β = π + 1 2 3 2ρ ε2 < 2 π , ρ > 1. Тогда ρ Eρ(w) = ψρ(w), где ψρ(w) определяется из (3.3). При этом заметим, что cos ρβ < 0 и интеграл сходится: r |ζ|p exp[cos ρβ|ζ|ρ]|dς| < ∞, p = 0, 1,... (3.9) γ Далее, при достаточно большом |w|(w ∈ Ω+, w ∈ Ω-) имеем ε2 ε2 ς γ min |ς - w| � |w| sin ∈ Теперь из (3.2) и разложения ς γ 2 , min |ς - w| � |w| sin ∈ . (3.10) 2 1 ς - w для больших |w| получаем 1 ζ - = + w w(ς - w) 1 1 ς - , = - w w ζ + w(ς - w) (3.11) 1 1 ρ 1 r const ε2 Eρ(w) - Γ-1(1 - ) � w ρ 2π sin |w|2 2 γ r |ς| exp[cos ρβ|ς|ρ]|dς| � , |w|2 Γ-1(1 - 1 ) = ρ exp(ςρ)dς. ρ 2πi γ Отсюда следует первое из неравенств (3.8). Из (3.10), (3.3) и разложения 1 (ς - w)2 1 = w2 ς - 2 w2(ς - w) + ς2 w2(ς - w)2 при больших |w| аналогично выводим неравенство 1 1 const E× -1 ρ(w) - Γ (1 - ) � ρ w2 . |w|3 Второе неравенство из (3.8) доказано. ФОРМУЛА КАРЛЕМАНА В формуле (2.16) в качестве K(w) выберем целую функцию Миттаг-Леффлера K(w) = exp(aw2)Eρ(σw), где ρ > 1,w = i√u2 + s + y1 - x1, a > 0 и σ � 0. Полученное при этом фундаментальное решение уравнения Гельмгольца Φσ (y - x; λ) и его производные по переменной σ имеют вид Φσ (y - x; λ) dΦσ (y - x; λ) o - и Pσ (y - x; λ) = соответственно. Из леммы 2.1 следует, что F (y x; λ) является dσ регулярным решением уравнения Гельмгольца в Rn, однако 1 Φσ (y - x; λ) = 4π r∞ г Im 0 ρ eaw2 E (σw) l w r∞ ψ(λu)du √u2 + s , (4.1) dΦσ (y - x, λ) 1 I aw2 l ψ(λu)du Pσ (y - x; λ) = = dσ 4π 0 Im e ρ E× (σw) √u2 + s . (4.2) Согласно (2.16), выделяя мнимые части в (4.1), (4.2) будем иметь: r∞ au2 ψ(λu)du где 1 Φσ (y - x; λ) = 4π e- as+a(y1-x1)2 0 e- ϕσ (y, x, λ, u) u2 + r2 , (4.3) (y1 - x1) 2 ϕσ (y, x, λ, u) = √u2 + s Im Eρ(σw) - Re Eρ(σw) cos(λ u + s)+ + Im E (σw)+ (y1 - x1) Re E (σw) ρ √u2 + s ρ sin(λ u2 + s), λ = 2a(y1 - x1), (4.4) 1 Pσ (y - x; λ) = 4π e- as+a(y1-x1)2 r∞ φσ (y, x, k, u)e 0 -au2 ψ(λu)du, (4.5) где 1 2 φσ (y, x, k, u) = √u2 + s (sin(λ u ρ + s) Re E× (σw)+ cos(λ u2 ρ + s) Im E× (σw)). (4.6) Если σ = 0 и K(0) = Eρ(0) = 1, тогда функция Φ0(y - x; λ) из (3.1) определяет классическое фундаментальное решение уравнения Гельмгольца. Следствие 4.1. Матрица M1σ (y, x; H) при y /= x, определенная формулой ∂ M1σ (y, x; H) = ∂σ Mσ (y, x; H), (4.7) соответственно удовлетворяет системе (2.3) по переменной y в Rn, включая точку y = x. В точке (0, 0,..., 0) ∈ ∂Ωρ нормальная производная не определена. Так как F (y), Φσ (y - x; λ), Mσ (y - x; H) (x ∈ Ωρ) имеют непрерывные частные производные вплоть до ∂Ωρ, ∂F (0) = ∂n ∂F ∂yn (0), ∂Mσ ∂n (0, x) = ∂Mσ ∂yn (0, x), x ∈ Ωρ. При фиксированном x ∈ Ωρ обозначим через S∗ ту часть S, на которой |y×| = τy1 - |x×| � α. Если x = x0 ∈ Ωρ, то S = S∗ (в этом случае |y×| = τy1 - |x×| = τy1, α = |y×| и неравенство означает, что y лежит внутри или на конусе |y×| = τy1 - |x×|). Предположим, что F (y) ∈ A(Ωρ) ограничена на ∂Ωρ: |F (y)| � B, y ∈ T = ∂Ωρ \ S, (4.8) где B - заданное положительное число. В этом предположении верна обобщенная интегральная формула Коши r F (x) = Mσ (y - x; H)F (y)dSy, x ∈ Ωρ. (4.9) Обозначим ∂Ωρ r Fσ (x) = S ∂Fσ r (x) = Mσ (y - x; H)F (y)dSy, x ∈ Ωρ, (4.10) ∂Mσ (y - x; H)F (y)dS , x ∈ Ω . (4.11) ∂xj ∂xj y ρ S Замечание 4.1. Из-за присутствия α0 = x2 + ... + x2 в β = τy1 - α0 функция Φσ (y - x; λ), 2 n y ∈ ∂Ωρ не имеет производных по xj, j = 2,..., n, в точках x = x0 = (x1, 0,..., 0) ∈ Ωρ. Поэтому ∂Fσ (x) определены всюду в Ω , кроме точек x = x . Доопределим в точках x = x производные ∂xj ρ 0 0 следующим образом. В (4.10), (4.11) величину β = τy1 полагаем равной β = τy1 (γ = τx1). Тогда Φσ (y - x; λ), y ∈ ∂Ωρ дифференцируема по переменной x всюду в Ωρ. Таким образом, при ∂Fσ x /= x0 ∈ Ωρ производные ∂xj определяются по формуле (4.11), где β = τy1 - α0. Затем в ∂Fσ правой части (4.11) положим α0 = 0 (β = τ y1) и вычислим производные по формуле ∂xj (x). Теорема 4.1. Пусть F (y) ∈ A(Ωρ) и F (y) = f (y), где f (y) - заданные на S вектор-функции класса C(S). Тогда для любого x ∈ Ωρ справедливы формулы Карлемана: r F (x) = lim σ→∞ Fσ (x) = lim σ→∞ S Mσ (y, x; H)f (y)dSy, ∂Fσ (x) = lim ∂Fσ (x) = lim r ∂Mσ (y x; H)F (y)dS . (4.12) ∂xj σ→∞ ∂xj σ→∞ S ∂xj - y Доказательство. Согласно формуле (4.9), имеем r F (x) = S Mσ (y, x; H)f (y)dSy + r ∂Ωρ\S Mσ (y, x; H)f (y)dSy, ∂Ωρ = S ∪ (∂Ωρ\S). (4.13) Оценим Mσ (y, x; H). Для этого необходимо оценить ∂Φσ По построению Φσ (y - x; λ), 1 r∞ ∂xi (y - x; λ), i = 1,..., n. Im Eρ(σw) ψ(λu)du Φσ (y - x; λ) = 4π 0 - Re Eρ(σw)+ (y1 - x1) r∞ √u2 + s u2 + r2 , (4.14) 1 Pσ (y - x; λ) = 4π ψ(λu)du Im E× (σw) √ , ρ u2 + s 0 Pσ (y - x; λ) = ∂Φσ (y - x; λ) . ∂σ Аналогично [31], приводим следующее утверждение. Лемма 4.1. Пусть K - компакт в Gρ, δ - расстояние от K до ∂Gρ. Тогда для σ � 0 при x ∈ K, y ∈ Rn\Gρ (|y×| � τy1) справедливы неравенства |Φσ (y - x; λ)| + ∂ ∂yi Φσ (y - x; λ) � C4(ρ, δ)r 1+ σδ , (4.15) |Pσ (y - x; λ)| + ∂ ∂yi Pσ (y - x; λ) � C5(ρ, δ)r 1+ σ2δ2 , r � δ > 0. (4.16) Из леммы 4.1 следует утверждение теоремы. Действительно, если K - компакт в Ωρ, то K ⊂ Gρ. Поэтому неравенства для Φσ (y, x; λ) и ее производных из леммы сохраняются и в том случае, когда x ∈ K ⊂ Ωρ и y ∈ ∂Ωρ\S ⊂ ∂Gρ (в этом случае δ - расстояние от компакта K ⊂ Ωρ до ∂Ωρ.) Теперь устремим σ к бесконечности. Тогда предел интеграла в (4.13) по части ∂Ωρ\S границы ∂Ωρ равен нулю, и получаем формулы (4.12). Доказательство. Нужно оценить интеграл справа в равенстве (4.14) и его производные. С этой o ε ρ целью выберем ε > 0 такое, чтобы K ⊂ Gρ(|x×| � τ (x1 - ε)), Gρ ⊂ Gρ. Так как расстояние от ∂Gε π до ∂Gρ равно ετ1, то δ � ετ1. В условиях леммы имеем 2ρ τw = iτ u2 + s + τy1 - τx1 = u2 + s(i tg + τy1 - τx1 √u2 + s ), u � 0, ρ > 1, τy1 - τx1 |y×|- |x×|- ετ × × π π √u2 + s � � 1 - ε1, y |y× - x×| /= x , | arg(a ± tg 2ρ )| � 2ρ ; a � 1. Таким образом выполняется (3.7): π + ε 2 2 � | arg w| � π, ρ > 1, arg(τw) = arg w, Re w < 0 при ρ y× = x×, неравенство подавно выполняется. Поэтому Eρ(w) = ψρ(w), w ∈ Ω-, где β = π + ε2 . 2ρ 2 Интегралы оцениваем согласно неравенствам (3.8): C6(ρ, δ)σr |Re Eρ(σw)| � 1+ σ2|w|2 , |w|2 = u2 + r2 � r2 � δ2, δ � τ1ε, (4.17) Im Eρ(σw) C7(ρ, δ)σr √u2 + s � 1+ σ2|w|2 , (4.18) где постоянные C6, C7 не зависят от σ, x, y. Вычислим производные функции, определенные равенствами (3.4), (3.5) по переменным yi, i = 1, 2,...,n и заметим, что оценки (4.17) и (4.18) для них сохраняются, но с другими по- стоянными. Тогда получим неравенства (4.15). Оценка (4.16) для Pσ (y - x; λ) и ее производных следует из второй формулы (4.14) и нера- венств (3.8), где E× (w) = ψ× (w), а также формулы (3.6). ρ ρ Формулы (4.12) можно написать в эквивалентной форме: где r∞ F (x) = 0 r J1σ (x, H)dσ + S M0(y, x; H)f (y)dSy, (4.19) r J1σ (x; H) = - S d M1σ (y, x; H)f (y)dSy, M1σ (y, x; H) = dσ Mσ (y, x; H). (4.20) Теорема 4.2. Пусть S ⊂ C2, f (y) ∈ C(S0) ∩ L(S). Тогда для существования решений F (y) ∈ A(Ωρ) таких, что F (y) = f (y), y ∈ S0, необходимо и достаточно, чтобы для каждого x ∈ Gρ сходился несобственный интеграл (равномерно на компактах из Gρ): ∞ r J1σ (x; H)dσ < ∞, (4.21) 0 где J1σ (x; H) определяется формулой (4.20). Если условие (4.21) выполнено, то аналитическое продолжение осуществляется эквива- лентными формулами (4.12) и (4.19). Доказательство. Необходимость. Пусть F (y) ∈ A(Dρ)∪S0)∩L(S) с условием (2.6), K - компакт 2ε ε ρ в Gρ и ε > 0 такое, что K ⊂ Gρ ⊂ Gρ ⊂ Gρ. Ясно, что расстояние от K до ∂Gε не меньше ετ1, а ρ расстояние от ∂G2ε ρ до ∂Gε равно ετ1. ρ Пусть теперь y ∈ Rn/Gε (|y×| � τ (y1 - ε), y1 > ε), x ∈ K (|x×| � τ (x1 - 2ε), x1 > 2ε). Тогда arg w = arg(σw) = arg(iτ √u2 + s + τy1 - τx1) и τy1 - τx1 |y×|- |x×|- ε × × π √u2 + s � � 1 - ε1, u � 0, y |y× - x×| /= x , τ = 2ρ, ρ > 1. Поэтому для arg w справедливо неравенство (3.7), при этом если y× = x×, то Re w < 0 и это неравенство имеет место. Следовательно, для Φσ (y - x; λ), Pσ (y - x; λ) справедливы оцен- 1 ε ρ ε ки (4.15), (4.16) из леммы 4.1, где δ � ετ . Обозначим S = Gε ∩ S, при этом часть S ⊂ S вместе ρ с частью Tε поверхности конуса ∂Gε в объединении состоит из замкнутой кусочно-гладкой по- верхности Sε ∪ Tε (направление внешней нормали согласовано), являющейся границей односвязной ограниченной области. Интеграл в правой части формулы (4.20) представим в виде суммы двух интегралов согласно представлению S = Sε ∪ (S \ Sε). Так как функция Pσ (y - x; λ) является регулярным решением системы (2.3), в силу формулы Стрэттона-Чу, интеграл по части Sε ра- вен интегралу по Tε, причем y ∈ Tε, x ∈ K, для Pσ (y - x; λ) справедливы неравенства (4.16) и продолжение функции F (y) ограничено постоянными числами, зависящими от ε. Поэтому модуль const интеграла по части Sε не превосходит величины 1+ δ2σ2 с постоянной, зависящей от ρ, ε, δ и диа- метра области Dρ. Так как |y| � τ (y1 - ε), y1 � ε, когда y ∈ S \ Sε и x ∈ K, f (y) ∈ C(S0) ∩ L(S), то эти неравенства сохраняются для модуля интеграла по части S \ Sε. Отсюда следует (4.21). Достаточность. В условиях теоремы функции F (x) определим для x ∈ Gρ \ S0 правыми ча- стями (4.20). Рассмотрим первое слагаемое в правой части равенства (3.7). Так как Pσ (y - x; λ) - решение системы (2.3) при σ � 0 в Gρ, функции J1(x, σ) при σ � 0 также являются решением системы (2.3) в Gρ. Поэтому из (4.21) заключаем, что первое слагаемое в правой части (4.20) представляет собой решение системы (2.3) в Gρ как предел равномерно сходящейся последова- тельности решений системы уравнений (2.3) функций n r Fn(x) = 0 J1σ (x; H)dσ, n = 1, 2,... Второе слагаемое является интегралом типа Коши и представляет одно решение в Ωρ, а другое в Ω× × + ρ = Gρ/Ωρ. Поэтому правая часть в (4.20) определяет в Ωρ и Ωρ два различных решения F и F -(x) соответственно. Это следует из (2.18). Если x1, x2 - две точки на нормали в точке x ∈ S0, симметричные относительно точки x, то - lim [F +(x1) F -(x2)] = f (x), (4.22) x1→x причем предельные соотношения выполняются равномерно относительно x на каждой компактной части S0. Если max y1 < x1 где y ∈ S, x ∈ Gρ, то Re w = y1 - x1 < 0 и для Φσ (y - x; λ) и ее производных справедливы неравенства (4.15), (4.16). Видим, что P -(x) = 0, и согласно теореме ρ единственности F -(x) ≡ 0, x ∈ Ωρ. Ясно, что F -(x) гладко продолжается на Ω× ∪ S0. Тогда F +(x) также гладко продолжается как функция класса C(Ωρ ∪ S0) (cм. [17]). Следовательно, F +(x) = f (x), x ∈ S0. Теперь положим F (x) = F +(x), x ∈ Ωρ ∪ S0.

About the authors

E N Sattorov

Samarkand State University

Email: Sattorov-e@rambler.ru
Samarkand, Uzbekistan

F E Ermamatova

Samarkand State University

Email: Fotima-e@mail.ru
Samarkand, Uzbekistan

References

  1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. - М.: Наука, 1978.
  2. Айзенберг Л. А. Формулы Карлемана в комплексном анализе. Первые приложения. - Новосибирск: Наука, 1990.
  3. Айзенберг Л. А., Тарханов Н. Н. Абстрактная формула Карлемана// Докл. АН СССР. - 1988. - 298, № 6. - С. 1292-1296.
  4. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. - М.: Мир, 1966.
  5. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. - М.: Физматгиз, 1988.
  6. Владимиров В. С., Волович И. В. Суперанализ I. Дифференциальное исчисление// Теор. мат. физ. - 1984. - 59, № 1. - С. 3-27.
  7. Владимиров В. С., Волович И. В. Суперанализ II. Интегральное исчисление// Теор. мат. физ. - 1984. - 60, № 2. - С. 169-198.
  8. Джарбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функции в комплексной области. - М.: Наука, 1966.
  9. Иванов В. К. Задача Коши для уравнения Лапласа в бесконечной полосе// Дифф. уравн. - 1965. - 1, № 1. - С. 131-136.
  10. Ишанкулов Т. И. О возможности обобщенно-аналитического продолжения в область функций, заданных на куске ее границы// Сиб. мат. ж. - 2000. - 41, № 6. - С. 1350-1356.
  11. Лаврентьев М. М. О задаче Коши для линейных эллиптических уравнений второго порядка// Докл. АН СССР. - 1957. - 112, № 2. - С. 195-197.
  12. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1962.
  13. Махмудов О. И. Задача Коши для системы уравнений теории упругости и термоупругости в пространстве// Изв. вузов. Сер. Мат. - 2004. - 501, № 2. - С. 43-53.
  14. Мергелян С. Н. Гармоническая аппроксимация и приближенное решение задачи Коши для уравнения Лапласа// Усп. мат. наук. - 1956. - 11, № 5. - С. 3-26.
  15. Никифоров Л. Ф., Уваров В. Б. Основы теории специальных функций. - М.: Наука, 1974.
  16. Оболашвили Е. И. Пространственный аналог обобщенных аналитических функций// Сообщ. АН ГССР. - 1974. - 73, № 1. - С. 20-24.
  17. Оболашвили Е. И. Обобщенная система Коши-Римана в многомерном евклидовом пространстве// Сб. докл. Межд. конф. по компл. анализу и его применениям к уравн. с частн. производными (Галле, ГДР, 18-24 октября 1976 г.). - Галле, 1977. - С. 36-39.
  18. Оболашвили Е. И. Обобщенная система Коши-Римана в многомерном пространстве// Тр. Тбилис. мат. ин-та. - 1978. - 58. - C. 168-173.
  19. Сатторов Э. Н. Регуляризация решения задачи Коши для обобщенной системы Моисила-Теодореску// Дифф. уравн. - 2008. - 44, № 8. - С. 1100-1110.
  20. Сатторов Э. Н. О продолжении решений обобщенной системы Коши-Римана в пространстве// Мат. заметки. - 2009. - 85, № 5. - С. 768-781.
  21. Сатторов Э. Н. Регуляризация решения задачи Коши для системы уравнений Максвелла в бесконечной области// Мат. заметки. - 2009. - 86, № 6. - С. 445-455.
  22. Сатторов Э. Н. О восстановлении решений обобщенной системы Моисила-Теодореску в пространственной области по их значениям на куске границы// Изв. вузов. Сер. Мат. - 2011. - 1. - С. 72-84.
  23. Сатторов Э. Н., Мардонов Дж. А. Задача Коши для системы уравнений Максвелла// Сиб. мат. ж. - 2003. - 44, № 4. - С. 851-861.
  24. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. - М.: Мир, 1974.
  25. Тарханов Н. Н. О матрице Карлемана для эллиптических систем// Докл. АН СССР. - 1985. - 284, № 2. - С. 294-297.
  26. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации// Докл. АН СССР. - 1963. - 151, № 3. - С. 501-504.
  27. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. - М.: ИЛ, 1957.
  28. Ярмухамедов Ш. О задаче Коши для уравнения Лапласа// Докл. АН СССР. - 1977. - 235, № 2. - С. 281-283.
  29. Ярмухамедов Ш. Об аналитическом продолжении голоморфного вектора по его граничным значениям на куске границы// Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. наук. - 1980. - 6. - С. 34-40.
  30. Ярмухамедов Ш. О продолжении решения уравнения Гельмгольца// Докл. РАН. - 1997. - 357, № 3. - С. 320-323.
  31. Ярмухаммедов Ш. Функция Карлемана и задача Коши для уравнения Лапласа// Сиб. мат. ж. - 2004. - 45, № 3. - С. 702-719.
  32. Brackx F., Delanghe K., Sommen F. Clifford analysis. - Boston-London-Melbourne: Pitman, 1982.
  33. Makhmudov O., Niyozov I., Tarkhanov N. The Cauchy problem of couple-stress elasticity// Contemp. Math. - 2008. - 455. - С. 297-310.
  34. Tarkhanov N. N. Cauchy problem for solutions of elliptic equations. - Berlin: Akademie-Verlag, 1995.

Statistics

Views

Abstract - 114

PDF (Russian) - 65

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies