Continuation of Analytic and Pluriharmonic Functions in the Given Direction by the ChirkaMethod: a Survey

Cover Page

Abstract


In this paper, we provide a survey of results on analytic and plurisubharmonic continuations of functions that have this set of singularities along a fixed direction. We show the advantages of using the pluripotential theory and the Jacobi-Hartogs series for description of the singular set of such functions.

Full Text

ВВЕДЕНИЕ Начнем со следующей теоремы, опубликованной в совместной с Е. М. Чиркой работе [18]. Теорема 1.1. Пусть функция f голоморфна в поликруге U = ×U ×Un ⊂ Cn-1 ×C и при каж- tz zn дом фиксированном ×a из некоторого не плюриполярного множества E ⊂× U функция f (×a, zn) переменного zn продолжается до функции, голоморфной на всей плоскости за исключением некоторого полярного (дискретного) множества особенностей Sta. Тогда f голоморфно про- должается в (×U × C) \S, где S - замкнутое плюриполярное (аналитическое) подмножество ×U × C. Трудный момент доказательства теоремы - это описание особого множества вне U ; априори J ta∈tU Sta может быть всюду плотным в ×U × [C \ Un] . Эти трудности преодолевается следующим путем: 1). С использованием следующего критерия принадлежности ростка f классу R0 А. А. Гончара в терминах тейлоровских коэффициентов, устанавливается, что f (×a, zn) принадлежит R0 для всех фиксированных ×a ∈× U : пусть f (z)= a0 + a1z + a2z2 + ... (1.1) - росток голоморфной в точке 0 ∈ C функции. Рассматривая f (rz) вместо f (z), мы можем считать, что в (1.1) радиус сходимости ряда R > 1. Тогда определены величины Vm = max j1,j2,...,jm mod ... ... ... ... aj1 aj1+1 ... aj1+m-1 aj2 aj2+1 ... aj2+m-1 , (1.2) ajm ajm+1 ... ajm+m-1 где mod |·| обозначает модуль соответствующего определителя. Теорема 1.2 (см. [10]). Функция f ∈ O ({|z| � 1}) принадлежит классу R0 тогда и только 2 V тогда, когда lim m→∞ 1/m m = 0. Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2019 83 Отметим, что величина Vm в (1.2) по содержанию близка к модулю определителя Ганкеля Am = a1 a2 ... am a2 a3 ... am+1 ... ... ... ... , mod Am = |Am| � Vm. am am+1 ... a2m-1 Вполне вероятно, что сформулированная теорема 1.2 справедлива и в терминах определителей Ганкеля в следующем виде, что функция f ∈O ({|z| � 1}) принадлежит классу R0 тогда и только 2 тогда, когда lim m→∞ |Am|1/m = 0. Однако доказательство этого утверждения пока не представ- ляется нам возможным. Напомним, что функция f ∈ O ({|z| � 1}) является рациональной функ- цией степени m тогда и только тогда, когда Am+1 = Am+2 = ... = 0 или, что то же самое, Vm+1 = Vm+2 = ... =0 (теорема Кронекера). 2). Поскольку множество E ⊂× U не является плюриполярным, то из теоремы 1.2 вытекает, что f (×a, zn) ∈ R0, ∀ ×a ∈× U. Тогда по теореме Гончара [4, 5] f (×z, zn) не имеет многозначного продолжения, т. е. ее естественная область существования W(f,U ) однолистна, W(f,U ) ⊂ Cn. 3). Далее в доказательстве теоремы 1.1, чтобы добраться до неизвестных особых точек функ- ции f, используется один прекрасный метод, основанный на разложении ростка функций в ряд Якоби-Хартогса. Метод был разработан Е. М. Чиркой [19], где он использовал такие ряды для вычисления скорости рационального приближения. Ряды Якоби-Хартогса. Рассмотрим на плоскости C рациональную лемнискату Gr, точнее, объединение нескольких связных компонент множества |g(z)| <r, определяемого некоторой раци- ональной функцией g. Пусть f (z) голоморфна в окрестности Gr. Функция F (z, w)= 1 2πi r ∂Gr f (ξ) g(ξ) - w · g(ξ) - g(z) dξ ξ - z голоморфна в области Gr × {|w| < r} , причем F (z, g(z)) ≡ f (z) в Gr по интегральной формуле Коши. Разложим F (z, w) в ряд Хартогса по w: ∞ F (z, w)= , ck (z)wk. k=0 Подставляя в него w = g(z), мы получим разложение в ряд Якоби: с рациональными коэффициентами ∞ f (z)= , ck (z)gk (z) (1.3) k=0 1 ck (z)= 2πi r ∂Gr f (ξ) g(ξ) - g(z) dξ. gk+1(ξ)(ξ - z) (1.4) Областью сходимости ряда (1.3) является внутренность лемнискаты |g(z)| < R, где радиус сходимости R определяется по формуле lim k→∞ c = 1/k 1 l k lK R. Здесь K - произвольный компакт положительной емкости, не содержащий полюсов g, а предел в левой части равенства не зависит от выбора такого компакта. Теперь вернемся к нашей функции f (×z, zn) ∈ O(×U ×Un), которая при каждом фиксированном ×z из некоторого не плюриполярного множества E ⊂× U по переменной zn продолжается до функции, голоморфной на всей плоскости, за исключением некоторого полярного (дискретного) множества особенностей. Фиксируем рациональную функцию вида zm g(zn)= n pm(zn) , (1.5) где pm(zn) - некоторый полином степени m > 0 с рациональными коэффициентами и p(0) ⊕= 0. Разлагаем функцию f (×z, zn) в ряд Якоби-Хартогса: ∞ f (×z, zn)= , ck (×z, zn)gk (zn). (1.6) k=0 Из формулы коэффициентов (1.4) мы видим, что ck (×z, zn) - рациональные функции по zn, degzn ck (×z, zn) � m, с коэффициентами, голоморфными в ×U. Область сходимости этого ряда есть Gg = {|g(zn)| < R∗(×z)} , где R∗(×z) = lim tw→tz R(×w) - нижняя регуляризация функции R(×z) = Rg (×z), 1 R(×z) = lim k→∞ lck (×z, zn)l . 1/k {|zn|�δ} ∗ Отметим, что «иррегулярное» множество Ig = {Rg (×z) < Rg (×z)} является плюриполярным множе- ством в ×U. 4). Далее применяется теория плюрипотенциала: обозначим через I = J Ig счетное объеди- g нение иррегулярных множеств по всем счетным семействам рациональных функций вида (1.5). Оно является плюриполярным множеством. Следовательно, множество E\I не является плю- риполярным. Так как функция f как сумма ряда (1.6) голоморфно продолжается в область Gg = {|g(zn)| < Rg (×z)} , то она голоморфно продолжается и в объединение G = J G , причем ∗ g g это продолжение однозначно согласно 2). Если ×a ∈ E\I, то нетрудно видеть, что ∗ G ∩ {×z =× a} = I {|g(zn)| < Rg (×z)� ∩ {×z =× a} = g = I {|g(zn)| < Rg (×z)� ∩ {×z =× a} = C\Sta. g Таким образом, если fˆ- голоморфное продолжение функции f, то ее особое множество S облада- ет тем свойством, что пересечение S ∩ {×z} = Stz - полярное (дискретное) для всех ×z ∈ E\I. Так как особое множество S, кроме того, псевдовогнутое, то утверждение теоремы непосредственно вытекает из следующих известных фактов (см. [9, 10, 24, 25, 29]): пусть S ⊂× U × Un - псевдово- гнутое множество такое, что S ∩ {×U × ∂Un} = ∅ и E - некоторое неплюриполярное множество в ×U. Тогда а) если пересечения {×z}∩ S, ∀ ×z ∈ E - конечные (дискретные), то они конечны (дискретны) для всех ×z ∈× U, а S является аналитическим множеством в ×U × Un; б) если пересечения {×z}∩S, ∀ ×z ∈ E - полярные, то они являются полярными для всех ×z ∈× U, а S является плюриполярным множеством в ×U × Un. ДАЛЬНЕЙШИЕ РАЗВИТИЕ ТЕОРЕМЫ 1.1 Имеющие непосредственное отношения к теореме 1.1 результаты имеются в работах У. Ротштей- на (мероморфное продолжение) [26] и М. Казаряна (одна особая точка) [7, 8] (см. также [21]). Дальнейшие развитие теорема 1.1 получила в серии работ автора, С. Имамкулова, Ж. Хужамо- ва, А. Атамуратова и М. Ваисовой (см. [1-3, 6, 12, 15-17, 20, 22]), в которых разобраны и случаи граничных множеств: f (×z, zn) ∈ O(×D × Un) и E ∈ ∂×D. В частности, верна следующая теорема. Теорема 2.1 (см. [16, 22]). Пусть ×D ⊂ Cn-1 - ограниченная область с гладкой границей, E ⊂ ∂D - подмножество положительной меры Лебега, mes2n-1E > 0, f (×z, zn) ∈ O(×D × Un) ∩ C ((×D ∪ E) × Un) , Un = {|zn| < r} , r > 0. Если при каждом фиксированном ×a ∈ E функция f (×a, zn) переменной zn продолжается до функции, голоморфной на всей плоскости, за исклю- чением некоторого полярного (дискретного) множества особенностей Sta, то f голоморфно продолжается в (×D ×C)\S, где S - замкнутое плюриполярное (аналитическое) подмножество ×D × C. В связи с теоремой 2.1 интересным является следующий вопрос: если E ⊂ ∂D - открытое под- множество, то сохранится ли непрерывность функции f (×z, zn) ∈ O(×D × Un) ∩ C ((×D ∪ E) × Un) вплоть до граничного множества (E × C) \S ? Следующий пример показывает, что без дополни- тельного условия ограниченности функции f ее непрерывность может нарушаться. В случае огра- ниченности функции на множестве ((×D ∪ E) × C) \S требуемая непрерывность функции вытекает из свойств ограниченных сепаратно-аналитических функций (см. [17]). Пример 2.1. Берем в бикруге функцию U × V = {|z| < 1}× {|w| < 1} Из неравенства ∞ f (z, w)= , (1 - z) e k=1 k2(z-1) k2 wk. (1 - z) ek2(z-1) k2 k w � 2 ek2 Re(z-1) � k2 2 k2 , |z| � 1, |w| � 1, следует, что ряд равномерно сходится в замкнутом поликруге U × V и его сумма f (z, w) ∈ O(U × V ) ∩ C(U × V ). Более того, для любого фиксированного z0 ∈ U, |z0| =1 функция f (z0, w) голоморфно продолжается на всю плоскость C. Однако ( 1 \ ∞ e-k2/j2 2j , k f 1 - j , 2 = k=1 j2k2 2 � j4 → ∞ при j → ∞, что показывает неограниченность f (z, w) вблизи граничной прямой {z = 1}. Имеет место следующая теорема. Теорема 2.2 (см. [12]). Если в условиях теоремы 2.1 E - открытое подмножество границы ∂×D, то для любого ε > 0 существует открытое плотное подмножество Eε ⊂ E такое, что аналитическое продолжение f, которое голоморфно в (×D × C)\S, будет непрерывным в ((×D ∪ Eε) × C) \S ε, где S ε есть ε-окрестность множества S. В работе [6] С. Имамкулов несколько усилил теорему 2.1, доказав ее для порождающего мно- гообразия M ⊂ ∂ ×D. Теорема 2.3. Пусть ×D ⊂ Cn-1 - ограниченная область с гладкой границей и M ⊂ ∂ ×D - гладкое порождающее k-мерное многообразие, n - 1 � k � 2n - 3. Предположим, что функция f (×z, zn) голоморфна в поликруговой области (×D × Un), Un = {|zn| < r} , r > 0, непрерывна на (×D × Un) и при каждом фиксированном ×ξ из некоторого множества E ⊂ M положительной меры Лебега на M, mk (E) > 0, функция f (×ξ, zn) переменной zn продолжается до функции, голоморфной на всей плоскости, за исключением некоторого полярного (дискретного) множе- ства особенностей. Тогда f (×z, zn) голоморфно продолжается в (×D × C)\S, где S - замкнутое плюриполярное (аналитическое) подмножество ×D × C. Отметим, что в доказательствах этих теорем также существенно используется метод разложе- ния функций в ряд Якоби-Хартогса. СЛУЧАЙ ПЛЮРИГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Лемма Хартогса о голоморфном продолжении вдоль фиксированного направления справедлива и в случае плюригармонических (ph) функций: если функция u(×z, zn) плюригармонична в области U =× U ×Un ⊂ Cn-1 ×C и при каждом фиксированном ×a ∈× U функция u(×a, z ) переменного z tz zn n n гармонически продолжается в большой круг U˜n ⊃ Un, то функция u(×z, zn) плюригармонически продолжается в U˜ =× U × U˜n. В самом деле, функция f (×z, zn) = u(×z, zn)+ v(×z, zn), где v(×z, zn) - сопряженная плюригар- моническая функция в U =× U × Un, будет сопряженной по zn в Хартогса f голоморфно продолжается в U˜ , т. е. u(×z, zn) ∈ ph(U˜ ). U˜n. Следовательно, по лемме Однако в случае, когда u(×z, zn) по направлению Ozn имеет особенность, такое простое дока- зательство не проходит, так как сопряженная гармоническая функция в неодносвязную область может продолжаться неоднозначным образом, т. е. функция f (×z, zn) = u(×z, zn)+ v(×z, zn) может быть многозначной. Тем не менее, имеет место теорема. Теорема 3.1. Пусть функция u(×z, zn) плюригармонична в поликруге U =× U ×Un ⊂ Cn-1×C tz zn и при каждом фиксированном ×a из некоторого неплюриполярного множества E ⊂× U функция u(×a, zn) переменного zn продолжается до функции, гармонической на всей плоскости, за ис- ключением некоторого полярного (дискретного) множества особенностей Sta. Тогда u(×z, zn) плюригармонически (может быть, многозначно) продолжается в (×U × C)\S, где S - замкну- тое плюриполярное (аналитическое) подмножество ×U × C. Более того, если E всюду плотно в ×U, то продолжение u(×z, zn) является однозначным. Доказательство. Приведем ход доказательства этой теоремы, которая в работах [12,17] доказана в частном случае. Так как u(×z, zn) ∈ ph(×U × Un), то в ×U × Un существует голоморфная функция f (×z, zn) ∈ O(×U × Un): u(×z, zn)= f (×z, zn)+ f (×z, zn). Отсюда ∂u ∂zn ∂(f + f ) = = ∂zn ∂f ∂zn ∈ O(×U × Un), причем для фиксированного ×z0 ∈ E функция ∂u ∂zn (×z0, zn) голоморфна в C\Stz0. По теореме 1.1 функция ∂u ∂zn голоморфно продолжается в (×U × C)\S, где S является замкнутым плюриполярным (аналитическим) подмножеством ×U × C. Положим r F (×z, zn)= ∂u ∂zn dzn, γ[0,zn] где γ ⊂ C\Stz - произвольный спрямляемый путь. Ясно, что F представляет собой многозначную аналитическую функцию в (×U × C)\S. Кроме того, 2 Re F (×z, zn)= u(×z, zn) - u(0, zn). (3.1) Действительно, если w(z),z = x + iy - гладкая функция в плоской области D ⊂ C и γ ⊂ D - спрямляемая кривая, соединяющая ×z, ××z ∈ D, то r ∂w ∂z γ 1 r dz = 2 γ ∂w dx + ∂x ∂w i r dy + ∂y 2 γ ∂w ∂x dy - ∂w dx = ∂y 1 i r 2 [w(××z) - w(×z)] + 2 γ ∂w ∂x dy - ∂w dx, ∂y что влечет справедливость (3.1). Следовательно, функция u(×z, zn)= 2 Re F (×z, zn) - u(0, zn) явля- ется многозначной плюригармонической функцией. Функция u(×z, zn) является однозначной тогда и только тогда, когда Re F (×z, zn) является одно- значной, т. е. когда f ∂u Re γ ∂zn dzn =0 (3.2) для любой замкнутой спрямляемой кривой γ ⊂ {×z}\Stz . Для доказательства второй части теоремы нам нужно доказать равенство (3.2). Предположим противное, что существуют точка ×z0 ∈× U и спрямляемая замкнутая кривая γ ⊂ {×z0}\Stz0 такие, что f ∂u(×z0, zn) Re γ ∂zn dzn ⊕= 0. Тогда существует окрестность ×V ⊂× U, ×z0 ∈× V такая, что γ ⊂ {×z}\Stz , ∀ ×z ∈× V. Интеграл f ∂u(×z, zn) γ ∂zn dzn представляет собой голоморфную в ×V функцию. Следовательно, функция f ∂u(×z, zn) Re γ ∂zn dzn является плюригармонической в ×V. Для ×z ∈ E она равна нулю, ибо функция u(×z, zn) является однозначной. Из всюду плотности E отсюда вытекает, что f ∂u(×z, zn) Re γ ∂zn dzn ≡ 0 в ×V, что противоречит включению ×z0 ∈× V. Теорема доказана. Замечание 3.1. В случае, когда в теореме 3.1 при каждом фиксированном ×a ∈ E функция u(×a, zn) переменного zn продолжается до функции, гармонической на всей плоскости, за исклю- чением некоторого дискретного множества Sta, теорему можно существенно усилить. А именно, для однозначности продолжения u(×a, zn) от E можно потребовать лишь, что E не является мно- жеством нулей плюригармонических функций (в частности, хаусдорфова мера H2n-1(E) > 0). В самом деле, в этом случае особое множество S ⊂× U × C будет аналитическим множеством. Рассмотрим совокупность его регулярных точек S0 ⊂ S такую, что в некоторой окрестности V каждой точки z0 ∈ S0 множество V ∩ S является графиком аналитической функции, V ∩ S = {zn = a(×z)} . Тогда проекция π(S\S0) множества S\S0 в ×U является плюриполярным множеством. Следовательно, E\π(S\S0) тоже не будет нулем никакой плюригармонической функции. Отсюда мы заключаем, что множество π-1(E) ∩ S0 не является множеством нулей плюригармонических на S0 функций. Для каждой точки z = (×z, zn) ∈ S0 определим функцию Φ(×z, zn)= Re f ∂u γ ∂zn dzn, (3.3) где γ ⊂ {×z}\Stz - окружность |zn -a(×z)| = ε, ε > 0 такая, что внутри нее помимо a(×z) нет других точек сечения Stz. Ясно, что функция Φ определена и плюригармонична на аналитическом мно- жестве S0. Если ×z0 ∈ E\π(S\S0), то функция u(×z0, zn) является однозначной в π-1 {×z0� \Stz0 . Следовательно, Φ(×z0, zn) = 0 ∀zn ∈ Stz0 . Таким образом, мы доказали, что Φ(×z, zn) = 0 на π-1(E) ∩ S0. Отсюда вытекает, что Φ(×z, zn) ≡ 0 на S0, ибо множество π-1(E) ∩ S0 не является множеством нулей плюригармонических на S0 функций. Так как множество π(S\S0) плюриполяр- ное, а значит нигде не плотное в ×U, то отсюда следует (3.2). Как показывает следующий пример, в случае, когда множество E ⊂× U - лишь не плюриполяр- ное, теорема 3.1 не верна. Пример 3.1. Рассмотрим в поликруге U × V = {|z| < 1}× {|w| < 1} функцию u(z, w)= Re[z ln(w - 1)]. Ясно, что u(z, w) плюригармонична в U × V. Вещественный интервал E = (-1, 1) является неплюриполярным множеством в U, причем для любого фиксированного z = x ∈ E функция u(x, w)= x ln |w - 1| является гармонической по w в C\{w = 1}. Однако u(z, w)= Re[z ln(w - 1)] не является однозначной плюригармонической функцией в C2\{w = 1}, она многозначная. ГРАНИЧНЫЙ ВАРИАНТ Для граничных множеств E ⊂ ∂ ×D, в отличие от голоморфных функций, плюригармоническое продолжение имеет ряд трудностей. ( 1 2 Пример 4.1. Рассмотрим в поликруге U × V = {|z| < 1}× ( 1+ z \2 |w| < 2 ⊂ C голоморфную функцию f (z, w)= exp 1 - z ln(w - 1). Тогда функция u(z, w)= Re f (z, w) ∈ ph(U ×V )∩C∞ ((U \{1}) × V ) , причем при фиксированном z = ξ, |ξ| = 1, ξ ⊕=1 имеем u(ξ, w)= Re exp ( 1+ ξ \2 1 - ξ ln |w - 1|, и эта функция по переменной w является гармонической вне {w = 1}. Однако u(z, w) не является однозначной плюригармонической функцией в (U × C)\{w = 1}. Сформулируем следующую проблему, которая нам кажется правдоподобной. Проблема 4.1. Пусть ×D ⊂ Cn-1 - ограниченная область с гладкой границей, u(×z, zn) ∈ ph(×D×Un)∩C(×D×U ), Un = {|zn| < r} , r > 0. Если при каждом фиксированном ×ξ ∈ ∂×D, функ- ция u(×ξ, zn) переменного zn продолжается до функции, гармонической на всей плоскости C, за исключением конечного числа особых точек Stz = {β1(×ξ), β2(×ξ),..., βm(×ξ)} , m = m(×ξ), то u(×z, zn) плюригармонически (однозначно) продолжается в (×D × C)\S, где S ⊂× D × C - аналитическое множество. Отметим, что при выполнении условий, приведенных в проблеме 4.1, производная ∂u 1 ( ∂u = ∂u 1 - i ∂zn 2 ∂xn ∂yn является голоморфной в ×D × Un и непрерывной в ×D × Un функцией, причем для фиксированных ×z ∈ ∂ ×D она голоморфна на всей плоскости C, за исключением конечного числа особых точек Stz = {β1(×ξ), β2(×ξ),..., βm(×ξ)} . В самом деле, берем произвольный поликруг ×U ⊂× D. Так как u(×z, zn) ∈ ph(×U × Un), то в ×U × Un существует голоморфная функция f (×z, zn) ∈ (×U × Un) : u(×z, zn) = Re f (×z, zn) = 1 2 [f (×z, zn)+ f (×z, zn)]. Отсюда ∂u ∂zn ∂f = ∂zn ∈ O(×U × Un). По формуле Шварца при фиксированном ×z ∈× U справедливы равенства 2π 1 r f (×z, zn)= 2π 0 и u(×z, reit 2π reit + zn ) reit - zn dt + i Im f (×z, 0), zn ∈ Un, Но функция ∂u ∂zn 1 ∂f = 2 ∂zn 1 r = 4π 0 u(×z, reit) 2π d dzn ( reit + zn 1 reit - zn dt, (×z, zn) ∈× U × Un. ∂u ∂zn 1 r = 4π 0 u(×z, reit) d dzn ( reit + zn 1 dt reit - zn определенa в ×D × Un, является голоморфной в ×D × Un и непрерывной в ×D × Un, причем для ×z ∈ ∂ ×D она голоморфна на всей плоскости C, за исключением конечного числа особых точек. Отсюда и по теореме 2.1 функция ∂u ∂zn голоморфно продолжается в (×D × C)\S, где особое множество S является аналитическим множеством. Как в теореме 3.1, функция r F (×z, zn)= ∂u ∂zn dzn, γ[0,zn] где γ ⊂ C\Stz - произвольный спрямляемый путь, представляет собой многозначную аналитиче- скую функцию в (×D × C)\S, причем u(×z, zn) = Re F (×z, zn)+ u(0, zn). Эта формула дает нам многозначное плюригармоническое продолжение функции u(×z, zn). Для установления справедли- вости сформулированной проблемы 4.1 нужно лишь доказать однозначность функции u(×z, zn), используя условие ее однозначности для всех граничных точек ×z ∈ ∂ ×D. Ниже мы покажем, что в случае бесконечного числа особых точек Stz = {β1(×ξ), β2(×ξ),.. .} проблема 4.1 имеет отрицательный ответ. Пример 4.2 (см. [12]). Рассмотрим аналитическое в C2\{w = 0} множество ( A = exp ( 1 \ 1+ = z w ( = w = 1 -1+ lnz + 2kπi , k = 0, ±1, ±2,... . Очевидно, что его замыкание ( ( 1 \ A = exp 1+ w = z ∪ {w = 0} является псевдовогнутым плюриполярным множеством, т. е. C2\A является псевдовыпуклым мно- жеством. Покажем, что A является L-полным, т. е. ∃ u(z, w) ∈ L : A = {u(z, w) = -∞}, где L = {u(z, w) ∈ psh(C2) : u(z, w) � const + ln (1+ (|z|2 + |w|2)1/2) . Для этого заметим, что аналитическое множество B = {exp(1 + w) - z = 0} является полным плюриполярным множеством, B = {(z, w) ∈ C2 : ln | exp(1 + w) - z| = -∞}. Следовательно, оно является L-полным, т. е. ∃ u(z, w) ∈ L : B = {u(z, w) = -∞} (см. [14]). Положим v(z, w) = u(z, 1/w)+2 ln |w|. Функция v(z, w) является плюрисубгармонической в C2\{w = 0} и, кроме того, в окрестности плоскости w =0 имеет место v(z, w)= u(z, 1/w)+2 ln |w| � const + ln r|w| + (1+ |zw|2)1/2'\ + ln |w|. Отсюда вытекает, что v(z, w) плюрисубгармонически продолжается на w = 0, т. е. v(z, w) ∈ psh (C2) . Нетрудно видеть, что ( ( 1 \ {v(z, w)= -∞} = exp 1+ w = z ∪ {w = 0} = A, что означает полноту и, следовательно, L-полноту плюриполярного множества A. Положим S = A∩(U ×C). Заметим, что S ⊂ {|z| < 1}×{|w| < 1} и, так как открытое множество {v(z, w) < α} является полиномиально выпуклым для любого α ∈ R и A = {v(z, w) = -∞}, то отсюда легко следует, что компакт S = A∩(U ×C) - полиномиально выпуклый, где U = {|z| < 1} - единичный круг. Покажем, что граница Шилова алгебры полиномов P (S) есть топологическая граница ∂S. Предположим противное, что для некоторого полинома p(z, w) норма lplS = p(z0, w0) = 1, (z0, w0) ∈ S ∩ (U × C), но lpl∂S < 1. Берем концентрический круг U × ⊂⊂ U такой, что lpl∂St < 1, где S× = S ∩ (U × × C). Тогда последовательность аналитических множеств Bk = ( 1 (z, w) ∈ U × × {|w| < 1} : p(z, w)=1 + k обладает следующими свойствами: а) Bk ⊂ U × C и Bk → B∞, ∂Bk → ∂B∞ относительно метрики Хаусдорфа, где B∞ = 0 {(z, w) ∈ U × × {|w| < 1} : p(z, w)= 1} ; б) B∞ • (z ∞ , w0), но ∂B ⊂⊂ (U × C)\S. По принципу непрерывности это противоречит псевдовыпуклости (U ×C)\S в точке (z0, w0) ∈ S. При фиксированном ξ = eiϕ ∈ ∂U, -π � ϕ � π, сечение Sξ = ( 1 -1+ iϕ + 2kπi , k = 0, ±1, ±2,... ⊂ ∂S состоит из бесконечного числа точек. Заметим, что аналитическая поверхность S\{w = 0} биго- ломорфно эквивалентна кругу |v| < 1: Ψ(v)= ( exp ( v - 1 \ v +1 1+v \ - , 2 : U → S\{w = 0}. 1 Берем на окружности ∂U = {eiϕ, -π � ϕ � π} меру dϕ. Она является представляющей 2π мерой алгебры полиномов P (U ) относительно точки 0: p(0) = 1 Г p(eiϕ)dϕ, ∀p ∈ P (U ). Образ 2π ∂U 2π этой меры dθ = 1 dΨ- на ∂S\{w = 0} является представляющей мерой алгебры полиномов P (S) относительно точки (e-1, -1/2) ∈ S. Положим -1 μ = |ξ - e | θ. 1 - |e-1|2 Меру μ нам удобно представить в виде dμ = dϕ ⊗dμ (w), ξ = eiϕ, dμ (w) - единичная дискретная 2π ξ ξ мера, сосредоточенная на Sξ. Заметим, что мера μ является аналитической, т. е. функции r ak (ξ)= wkdμξ (w), k = 1, 2,..., голоморфно продолжаются в единичный круг U, причем продолжения непрерывны вплоть до гра- ницы ∂U. Тогда потенциал r Uμ(ξ, w)= ln |η - w|dμξ (η), ξ ∈ ∂U, w ∈ C, обладает следующими свойствами: а) функция Uμ(ξ, w) плюригармонически продолжается в U × {|w| > 1} , причем продолжение непрерывно вплоть до U × {|w| > 1} ; б) функция ∂Uμ(ξ, w) ∂w голоморфно продолжается в (U × C)\S; r dμξ (η) = η - w в) функция Uμ(ξ, w) гармоническая и однозначная в C\Sξ, ∀ξ ∈ ∂U, продолжается в (U × C)\S как многозначная ph функция, которая не является однозначной. Действительно, при |w| > 1 имеем r Uμ(ξ, w)= r ln |η - w|dμξ (η)= ln |w| + ln 1 - η dμξ (η)= r ∞ ηk w ∞ 1 r = ln |w|- Re , wk k=1 wk dμξ (η)= ln |w|- Re , k=1 ηkdμξ (η)= | |- a (ξ) ∞ = ln w Re , k . (4.1) wk k=1 Отметим, что меру dμ = dϕ ⊗ dμ (w) мы выбрали так, чтобы функция a (ξ) = Г ηkdμ (η) была 2π ξ k ξ граничным значением голоморфной в единичном круге функции ak (z),k = 1, 2,.... Так как dμ - единичная мера, сосредоточенная на ∂S и S ⊂ {|z| � 1}×{|w| � 1} , то |ak (ξ)| � 1. Отсюда следует, что последний ряд в (4.1) равномерно сходится на компактных подмножествах U × {|w| > 1} и ) Uμ(z, w) ∈ ph (U × {|w| > 1}) ∩ C (U × {|w| > 1} . Утверждение б) вытекает из теоремы 2.1, а утверждение в) следует из результата Левенберга- Слодковского [23] о том, что не существует функции V (z, w) ∈ psh(U × C) ∩ ph((U × C)\S) : V |S ≡ -∞. Согласно этому результату, функция Uμ(z, w) не может быть однозначной в U × C, т. е., она многозначная. Пример 4.3. Функция u(ξ, w) = Uμ ( 1 \ ξ, w + ln |w|, ξ ∈ ∂U, w ∈ C, обладает тем свойством, что она плюригармонически продолжается в U ×{|w| < 1} , причем продолжение непрерывно вплоть до U × {|w| < 1} . Кроме того, она гармоническая и однозначная в C\Sξ, ∀ξ ∈ ∂U, но ее плюри- гармоническое продолжение в (U × C)\S является многозначным, не является однозначным.

About the authors

A Sadullaev

National University of Uzbekistan named after M. Ulugbek

Email: sadullaev@mail.ru
Tashkent, Uzbekistan

References

  1. Атамуратов А. А. О мероморфном продолжении вдоль фиксированного направления// Мат. заметки. - 2009. - 86, № 3. - С. 323-327.
  2. Атамуратов А. А. Мероморфное продолжение функций по граничным сечениям// Uzbek Mat. Zh. - 2009. - № 1. - С. 4-9.
  3. Атамуратов А. А. Продолжение сепаратно-мероморфных функций, заданных на части границы// Uzbek Mat. Zh. - 2009. - № 3. - С. 18-26.
  4. Гончар А. А. Локальное условие однозначности аналитических функций// Мат. сб. - 1972. - 89.- С. 148-164.
  5. Гончар А. А. Локальное условие однозначности аналитических функций нескольких переменных// Мат. сб. - 1974. - 93. - С. 296-313.
  6. Имомкулов С. А. О голоморфном продолжении функций, заданных на граничном пучке комплексных прямых// Изв. РАН. Сер. Мат. - 2005. - 69, № 2. - С. 125-144.
  7. Казарян М. В. О голоморфном продолжении функций со специальными особенностями в Cn// Докл. АН АрмССР. - 1983. - 76.- С. 13-17.
  8. Казарян М. В. Мероморфное продолжение по группам переменных// Мат. сб. - 1984. - 125, № 3. - С. 384-397.
  9. Садуллаев А. Рациональные аппроксимации и плюриполярные множества// Мат. сб. - 1982. - 119, № 1. - С. 96-118.
  10. Садуллаев А. Критерий быстрой рациональной аппроксимации в Cn// Мат. сб. - 1984. - 125, № 2. - С. 269-279.
  11. Садуллаев А. Плюрисубгармонические функции// Соврем. пробл. мат. Фундам. направл. - 1985. - 8. - С. 65-113.
  12. Садуллаев А. О плюригармоническом продолжении вдоль фиксированного направления// Мат. сб. - 2005. - 196. - С. 145-156.
  13. Садуллаев А. Об аналитических мультифункциях// Мат. заметки. - 2008. - 83, № 5. - С. 84-95.
  14. Садуллаев А. Теория плюрипотенциала. Применения. - Рига: Palmarium Akademic Publishing, 2012.
  15. Садуллаев А., Имомкулов С. А. Продолжение плюригармонических функций с дискретными особенностями на параллельных сечениях// Вестн. Красноярск. гос. ун-та. - 2004. - № 5/2. - С. 3-6.
  16. Садуллаев А., Имомкулов С. А. Продолжение сепаратно-аналитических функций, заданных на части границы области// Мат. заметки. - 2006. - 79, № 2. - С. 234-243.
  17. Садуллаев А., Имомкулов С. А. Продолжение голоморфных и плюригармонических функций с тонкими особенностями на параллельных сечениях// Тр. МИАН. - 2006. - 253. - С. 158-174.
  18. Садуллаев А., Чирка Е. М. О продолжении функций с полярными особенностями// Мат. сб. - 1987. - 132, № 3. - С. 383-390.
  19. Чирка Е. М. Разложение в ряды и скорость рациональных приближений для голоморфных функций с аналитическими особенностями// Мат. сб. - 1974. - 93, № 2. - С. 314-324.
  20. Atamuratov A. A., Vaisova M. D. On the meromorphic extension along the complex lines// TWMS J. Pure Appl. Math. - 2011. - 2, № 1. - С. 10-16.
  21. Chirka E. M. On the removable singularities for meromorphic mappings// Publ. Mat. - 1996. - 40.- С. 229-232.
  22. Imomkulov S. A., Khujamov J. U. On holomorphic continuation of functions along boundary sections// Math. Bohem. - 2005. - 130, № 3. - С. 309-322.
  23. Levenberg N., Sklodkowski Z. Pseudoconcave pluripolar sets in C2// Math. Ann. - 1998. - 312. - С. 429- 443.
  24. Nishino T. Sur les ensembles pseudo-concaves// J. Math. Kyoto Univ. - 1962. - 1. - С. 225-245.
  25. Oka K. Note sur les familles de fonctions analytiques multiform etc.// J. Sci. Hiroshima Univ. - 1934. - 4. - С. 93-98.
  26. Rothstein W. Ein neuer Beweis des Hartogsschen Hauptsatzes und seine Ausdehnung auf meromorphe Functionen// Math. Z. - 1950. - 53.- С. 84-95.
  27. Sadullaev A. Plurisubharmonic functions// В сб.: «Several Complex Variables II». - Berlin-Heidelberg: Springer, 1994. - С. 56-106.
  28. Sadullaev A. On analytic multifunctions// Math. Notes. - 2008. - 83. - С. 652-656.
  29. Slodkowski Z. Analytic set-valued functions and spectra// Math. Ann. - 1981. - 256, № 3. - С. 363-386.

Statistics

Views

Abstract - 90

PDF (Russian) - 62

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies