General Euler-Poisson-Darboux Equation and Hyperbolic B-Potentials

Cover Page

Abstract


In this work, we develop the theory of hyperbolic equations with Bessel operators. We construct and invert hyperbolic potentials generated by multidimensional generalized translation. Chapter 1 contains necessary notation, definitions, auxiliary facts and results. In Chapter 2, we study some generalized weight functions related to a quadratic form. These functions are used below to construct fractional powers of hyperbolic operators and solutions of hyperbolic equations with Bessel operators. Chapter 3 is devoted to hyperbolic potentials generated by multidimensional generalized translation. These potentials express negative real powers of the singular wave operator, i. e. the wave operator where the Bessel operator acts instead of second derivatives. The boundedness of such an operator and its properties are investigated and the inverse operator is constructed. The hyperbolic Riesz B-potential is studied as well in this chapter. In Chapter 4, we consider various methods of solution of the Euler-Poisson-Darboux equation. We obtain solutions of the Cauchy problems for homogeneous and nonhomogeneous equations of this type. In Conclusion, we discuss general methods of solution for problems with arbitrary singular operators.

Full Text

ВВЕДЕНИЕ Для решения уравнений в частных производных разработано много общих аналитических мето- дов, например, метод разделения переменных, метод интегральных преобразований, метод разло- жения по собственным функциям, метод функций Грина и др. Однако далеко не все уравнения в частных производных могут быть решены аналитически. Наиболее хорошо изучены характерные задачи для линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами эллиптическо- го, гиперболического и параболического типов. Аналитические методы построения решений для линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами существуют и изучены для сравнительно немногих типов уравнений. Особый интерес представляет случай, когда дифференциальное уравнение в частных производ- ных является сингулярным, то есть по крайней мере один из коэффициентов при неизвестной функции или при какой-либо ее производной стремится к бесконечности на границе или внутри рассматриваемой области. Ряд физических проблем в таких разнообразных областях, как электро- статическая теория поля, распространение тепла, гидродинамика, теория упругости, сводятся к изучению сингулярных дифференциальных уравнений с оператором1 Бесселя, который имеет вид d2 ν d (Bν )t = dt2 + t dt. (0.1) Операторы (0.1) появляются, например, в уравнении с оператором Лапласа в предположении осе- вой симметрии по всем или части переменных, и в этом случае индекс ν будет натуральным числом. Случай, когда ν - произвольное вещественное число, крайне интересен с теоретической точки зрения, но также возникает в приложения (например, в задачах о случайном блуждании частицы, в газовой динамике и механике сплошных сред). В качестве объекта исследования этой работы выбраны сингулярные уравнения с оператором Бесселя гиперболического и ультрагипер- болического типов, а также дробные степени гиперболических операторов с операторами Бесселя. Проведем краткий экскурс в историю исследования задач с оператором Бесселя (0.1), следуя [10, 51, 274]. Одной из первых задач, приводящих к дифференциальным уравнениям с оператором Бессе- ля, является задача Леонарда Эйлера о колебании упругой мембраны. В 1764 г. (работа [205] опубликована в 1766 г.) Эйлером было получено и решено уравнение 1 ∂2z ∂2z 1 ∂2z 1 ∂2z e2 ∂t2 = ∂r2 + r ∂r2 + r2 ∂ϕ2 , где z = z(r, ϕ, t) - поперечное смещение точки с полярными координатами (r, ϕ) к моменту t; e - постоянная, зависящая от плотности и упругости мембраны. При построении решения методом разделения переменных Эйлером было получено уравнение ∂2u 1 ∂u α2 β2 ∂r2 + r ∂r + e2 - r2 u = 0, (0.2) где α, β - постоянные, а u - функция от r. Подстановкой u = rβv уравнение (0.2) сводится к ∂2v 2β +1∂v 2 2 ∂r2 + ∂r r = -λ v или B2β+1v = -λ v. (0.3) Решение уравнения (0.2), а следовательно и (0.3), ограниченное в начале координат, дано в мему- арах Эйлера [205, с. 256], где он полагал, что 2β +1 - целое число. В современных обозначениях решение (0.3), равное 1 в нуле, есть нормированная функция Бесселя вида 2β Γ(β + 1) jβ (r) = rβ Jβ (r), (0.4) где Jβ - функция Бесселя первого рода, которая определяется в виде следующего ряда: ∞ Jβ (x) = \ m=0 (-1)m m! Γ(m + β + 1) x 2m+β. 2 1Здесь и далее операторами, следуя традиции, называется то, что, возможно, более точно следует называть диффе- ренциальными выражениями. Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя, который первым провел их систематическое исследование. Затем в 1770 г. Жозеф Луи Лагранж (работа [242] опубликована в 1771 г.), изучая эллиптиче- ское движение планет вокруг Солнца, показал, что эксцентрическая аномалия представима в виде ряда по функциям Бесселя (в современной терминологии), являющимся решениями дифференци- ального уравнения d2Jn 1 dJn 2 1 dε2 + ε dε - n ε2 - 1 Jn = 0. Лагранж получает выражения Jn для n = 1, 2, 3. В 1822 г. в классическом трактате Жана-Батиста Жозефа Фурье [209] было показано, что движение температуры в твердом круглом цилиндре удовлетворяет уравнению ∂v K = ∂t CD ∂2v ∂x2 1 ∂v + , ∂x где K, C, D обозначают, соответственно, коэффициент теплопроводности, теплоемкость и плот- ность цилиндра, и было получено решение в виде ряда. В 1823 г. Симеон Дени Пуассон в [254] исследовал несимметричное движение тепла в сплошном шаре, а также в сплошном цилиндре. Эти исследования привели его к уравнению d2R n(n +1) 2 dr2 - r2 R = -ρ R, (0.5) где r - расстояние от центра, ρ - постоянная, n - неотрицательное целое число, R - множитель, зависящий от температуры и являющийся обычно функцией радиуса-вектора. При замене R = rn+1u уравнение (0.5) перейдет в d2u 2(n +1) du 2 2 dr2 + dr r = -ρ u или B2(n+1)u = -ρ u. (0.6) Пуассон показал, что решение уравнения (0.5) имеет вид π r R = rn+1 0 cos(rρ cos ω) sin2n+1 ωdω, учитывая (0.4), решение (0.6), равное 1 в нуле, запишется в виде π Γ n + 3 r jn+ 1 (ρr) = √ 2 cos(rρ cos ω) sin2n+1 ωdω, 2 π Γ (n + 1) 0 что является представлением нормированной функции Бесселя индекса n + 1 2 в виде оператора преобразования Пуассона. Фридрих Вильгельм Бессель, исследуя задачу движения Солнца, пришел к уравнению (0.2) 2 при α e2 = 1 и провел систематическое исследования функций, являющихся решениями указанного уравнения и носящих теперь его имя (результаты опубликованы в 1824 г. в [187]). Несмотря на то, что уравнение Бесселя принято записывать в виде x2yll + xyl + (x2 - ν2)y = 0, более удобным для исследования и приложений является уравнение (0.3). После появления работы [187] исследования задач с оператором Бесселя стали так многочис- ленны, что не представляется возможным привести даже список ученых, занимавшихся этими вопросами. Поэтому далее перечислим лишь тех из них, кто оказал влияние на результаты, при- веденные в этой статье. Пространства, приспособленные для работы с дифференциальными уравнениями в частных про- изводных эллиптического типа второго порядка, вырождающихся на всей границе области или на ее части, изучались в работах П. И. Лизоркина и С. М. Никольского [93-95, 115], а также Л. Д. Кудрявцева [82]. Основоположником школы по сингулярным и вырождающимся дифференциальным уравнени- ям с операторами Бесселя в Воронеже является Иван Александрович Киприянов. Начиная с 60-х годов XX века, Киприянов рассматривает задачи с оператором Бесселя (см. [52-68, 70-77]). И. А. Киприянов предложил использовать интегральное преобразование Фурье-Бесселя (Ханке- ля) при построении весовых функциональных пространств и при решении задач с оператором Бес- селя и другими сингулярными дифференциальными и интегродифференциальными операторами, соответствующими этому преобразованию. Введенные Киприяновым функциональные простран- ства были использованы им для изучения краевых задач для так называемых B-эллиптических уравнений (эллиптических уравнений с оператором Бесселя вместо всех или некоторых вторых производных) с граничными условиями на нехарактеристической части границы. И. А. Киприя- новым совместно с Л. Н. Ляховым при помощи преобразования Фурье-Бесселя (Ханкеля), было получено распространение понятия сингулярного псевдодифференциального оператора, а совмест- но с В. В. Катраховым были введены комплексные степени B-эллиптических операторов. В 80-х годах XX века И. А. Киприяновым совместно с Л. А. Ивановым изучались фундаментальные реше- ния B-эллиптических и B-гиперболических уравнений (гиперболических уравнений с оператором Бесселя вместо всех или некоторых вторых производных). Затем И. А. Киприяновым совместно с В. В. Катраховым изучались краевые задачи для эллиптических уравнений с особенностями типа существенных особенностей аналитических функций в изолированных граничных точках1. Львом Николаевичем Ляховым были изучены вопросы о мультипликаторах смешанного пре- образования Фурье-Бесселя (Ханкеля), дробные степени B-эллиптических операторов и другие вопросы (см. [96-98, 98-101, 106-108, 108, 262]). Теорема о мультипликаторах смешанного преоб- разования Ханкеля была использована при изучении ядра, аппроксимирующего ядро оператора, обратного к гиперболическому B-потенциалу. Работы Сергея Михайловича Ситника [47, 49-51, 137-142, 142-155, 155, 155-160, 274-276] су- щественно повлияли на содержание главы этой работы о решениях гиперболических уравнений с оператором Бесселя. А именно, разработанный им композиционный метод построения операторов преобразования позволяет получать формулы связи между решениями возмущенного и невозму- щенного уравнений, в том числе, обобщать известные формулы, связанные со вторыми произ- водными, на случай, когда вместо второй производной применяется оператор Бесселя. Одним из таких операторов преобразования является оператор Пуассона. Композиционный метод С. М. Сит- ника основан на представлении оператора преобразования в виде композиции интегральных пре- образований. Композиционный метод позволяет указать алгоритмы не только для построения но- вых операторов преобразования, при его помощи строятся дробные степени любых подходящих операторов. Последняя особенность этого метода использована при построении гиперболических B-потенциалов. Большую роль в теории дифференциальных уравнений с оператором Бесселя сыграли понятия и методы, разработанные Владиславом Викторовичем Кравченко. А именно, при исследовании задач с оператором Штурма-Лиувилля, им был введен метод построения операторов преобразования в виде степенных рядов по спектральному параметру (см. [190, 193, 232-241]). Этот метод оказался универсальным и, в частности применим к задачам Штурма-Лиувилля с оператором Бесселя (см. [80, 193, 241]). Одним из преимуществ указанного метода является то, что в результате его применения получаются и точное и приближенное решения задачи, причем С. Торбой показана очень высокая скорость сходимости рядов, представляющих решение (см. [233, 234, 236-240]). Академик Болгарской академии наук Иван Димовски и Виржиния Кирякова исследовали, в частности, гипер-бесселев оператор, который является одним из обобщений оператора Бесселя, и его дробные степени (см. [201-203, 227-230]). Так, например, обобщение интегрального пре- образования типа Пуассона, предложенное Димовски, применяется к дифференциальным уравне- ниям Бесселя произвольного порядка. В качестве основы операционного исчисления для гипер- бесселевых дифференциальных операторов произвольного порядка было использовано одно из наиболее общих интегральных преобразований типа Лапласа, так называемое интегральное пре- образование Обрешкова, впервые введенное и изученное Обрешковым в [250]. 1Информация взята из статьи в журнале «Дифференциальные уравнения» к 70-летию Ивана Александровича Ки- приянова, август 1993 г., т. 29, № 8, с. 1295-1300. Исследования Вагифа Сабировича Гулиева [211-217] в рамках теории гармонического анализа, ассоциированного с оператором Лапласа-Бесселя (эллиптический оператор типа оператора Лапла- са, в котором по всем или по части переменных действует оператор Бесселя) были использованы при доказательстве ограниченности оператора, обратного к гиперболическому B-потенциалу. Александром Васильевичем Глушаком изучаются абстрактные дифференциальные уравнения с оператором Бесселя типа уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу (см. [18, 20, 22-24]). В частности, им исследован вопрос об устойчивости свойства равномерной корректности задачи Коши для ука- занных уравнений и изучены условия разрешимости таких задач с фредгольмовым оператором при производных. В статьях Шахобиддина Туйчибоевича Каримова [41,42,42-46,223,224,280] исследована задача Коши для уравнения с сингулярным оператором Бесселя. Для решения этой задачи применены операторы Эрдейи-Кобера и Лаундеса. В работах С. П. Пулькина (см. [129, 130]) и К. Б. Сабитова и Р. Р. Ильясова (см. [132]) иссле- довалось уравнение uxx + sgny · uyy + 2q x ux = 0, q ∈ R, решение которого в гиперболическом случае связано с оператором Пуассона. Задачи Коши для уравнения (Bk )tu(x, t) = Δu(x, t) с начальными условиями вида u(x, 0) = 0, tγut|t=0 = ϕ(x) и u(x, 0) = f (x), tγ (u - uk (f ))t|t=0 = ϕ(x) изучалась С. А. Терсеновым (см. [171]). Здесь мы будем рассматривать уравнение вида n (Bk )tu(x, t) - \(Bγ )x u(x, t) = 0, x = (x1,..., xn), t > 0, i i i=1 которое будем называть общим уравнением Эйлера-Пуассона-Дарбу, и n (Bk )tu(x, t) - \(Bγ )x u(x, t) = c2u(x, t), c ∈ R, i i i=1 которое будем называть обобщенным уравнением Эйлера-Пуассона-Дарбу, а также неоднород- ные их аналоги. В работе использованы подходы и методы О. В. Бесова, И. М. Гельфанда, А. В. Глушака, М. Л. Гольдмана, В. С. Гулиева, Я. И. Житомирского, В. А. Ильина, И. А. Киприянова, П. И. Лизор- кина, Л. Н. Ляхова, А. Б. Муравника, С. М. Никольского, В. А. Ногина, С. С. Платонова, С. Г. Сам- ко, С. М. Ситника, С. А. Терсенова, Г. Е. Шилова. Работа состоит из четырех глав. В первой главе приведены необходимые сведения о специаль- ных функциях, пространствах и операторах преобразования. Во второй главе изучены некоторые классы весовых обобщенных функций, связанных с квадратичной формой. Третья глава посвя- щена построению операторов, реализующих отрицательные дробные степени гиперболического оператора n i γ = Bγ1 - \ Bγ , (0.7) ∂2 γi ∂ i=2 где Bγi = оператора где k ∂x2 + ∂xk - дифференциальный оператор Бесселя, γi > 0, i = 1,..., n, а также ∂2 ∂t2 - Δγ, n i i (Δγ )x = Δγ = \(Bγ )x i=1 n = \ i=1 ∂2 i ∂x2 + γi ∂ xi ∂x , (Bk )t = ∂2 ∂t2 k ∂ + t ∂t , k ∈ R. (0.8) В четвертой главе найдено фундаментальное решение итерированного оператора γ, доказана теорема о весовых сферических средних типа теоремы Асгейрссона и решены задачи Коши для уравнений (Bk )tu = (Δγ )xu, u = u(x, t; k), (Bk )tu - (Δγ )xu = c2u, u = u(x, t; k), ((Bk )t-(Δγ )x)u = f, u = u(x, t; k), f = f (x, t). Некоторые результаты этой работы и их приложения опубликованы в [3, 34, 35, 80, 161, 163, 177- 182, 243-245, 262-273]. ГЛАВА 1 КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Первая глава носит вспомогательный характер. Здесь в первом разделе приводятся определения некоторых специальных функций, используемых в дальнейшем; во втором разделе рассматрива- ются необходимые классы функций, а также оператор преобразования Пуассона и интегральное преобразование Ханкеля; в третьем разделе рассматриваются такие операторы преобразования, как обобщенный сдвиг и весовое сферическое среднее. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В этом разделе приведем определения специальных функций и некоторые формулы, которые будем использовать в дальнейшем. Гамма-функция, бета-функция, символ Похгаммера и функция ошибок. Гамма-функ- ция является обобщением понятия факториала на случай чисел, не являющихся натуральными. Бета-функция в общем случае определяется через гамма-функции (см. [1]). Гамма-функция Γ(z) определялась Леонардом Эйлером как предел N !Nz Γ(z) = lim N →∞ z(z + 1)(z + 2) ... (z + N ) , z ∈ C, но чаще используется определение в виде интеграла Эйлера второго рода r∞ Γ(z) = 0 yz-1e-ydy, (1.1) который сходится при всех z ∈ C, для которых Re z > 0. Интегрирование по частям выражения (1.1) приводит к рекуррентной формуле Γ(z + 1) = zΓ(z). (1.2) Поскольку Γ(1) = 1, то рекуррентная формула (1.2) для положительных целых n приводит к равенству или Γ(n + 1) = nΓ(n) = n(n - 1)Γ(n - 1) = ... = n(n - 1) · ... · 2 · 1 · Γ(1), Γ(n + 1) = n!, которое и позволяет рассматривать гамма-функцию как обобщение понятия факториала. Перепи- сав формулу (1.2) в виде Γ(z) Γ(z - 1) = z - 1 , (1.3) мы получим выражение, позволяющее определить гамма-функцию от отрицательных аргументов, для которых определение (1.1) неприемлемо. Формула (1.3) показывает, что Γ(z) имеет в точках z = 0, -1, -2, -3,... разрывы второго рода. После многократного применения равенства (1.3) получим формулы понижения и повышения, которые, соответственно, имеют вид Γ(z + n) = z(z + 1) ... (z + n - 1)Γ(z), n = 1, 2,... (1.4) и Γ(z) Γ(z - n) = (z - n)(z - n + 1) ... (z - 1) , n = 1, 2,.... (1.5) Отметим, что √ 1 Γ = π, 2 1 Γ + n 2 (2n)!√π 1 = 4nn! , Γ 2 - n - ( 4)nn!√π = . (2n)! Имеют место следующие соотношения: π - формула дополнения, Γ(z)Γ(1 - z) = sin zπ (1.6) 22z-1 1 Γ(2z) = - формула удвоения (формула Лежандра). √π Γ(z)Γ z + 2 (1.7) Бета-функция B(z, w) тесно связана с гамма-функцией. Для двух параметров z и w, удовле- творяющих условиям Re z > 0 и Re w > 0, бета-функция Эйлера определяется интегралом Эйлера первого рода 1 r B(z, w) = 0 tz-1(1 - t)w-1dt. (1.8) Если Re z � 0 и Re w � 0 неположительны, то бета-функция определяется формулой Γ(z)Γ(w) B(z, w) = Γ(z + w) . (1.9) Символ Похгаммера (z)n при целых n определяется равенством (z)n = z(z + 1) ... (z + n - 1), n = 1, 2,..., (z)0 ≡ 1. Справедливы равенства (z)n = (-1)n(1 - n - z)n, (1)n = n! и Γ(z + n) (z)n = . (1.10) Γ(z) Равенство (1.10) можно использовать для введения символа (z)n при действительных (комплекс- ных) n. Функция ошибок (функция Лапласа или интеграл вероятности) определяется как x 2 r erf x = √π 0 e-t2 dt. (1.11) Функции Бесселя. Функции Бесселя, названные в честь немецкого астронома Фридриха Бесселя, определяются как решения дифференциального уравнения Бесселя: 2 x2 d y dy 2 2 dx2 + xdx + (x где порядок α - произвольное комплексное число. - α )y = 0, Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми Jα(x), являются решения, конечные в точке x = 0 при целых или неотрицательных α. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля или в более общий степенной ряд при нецелых α: ∞ Jα(x) = \ m=0 (-1)m m! Γ(m + α + 1) x 2m+α. 2 Если α не является целым числом, функции Jα(x) и J-α(x) линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если α целое, то верно следующее соотношение: α J-α(x) = (-1) Jα(x). Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда вторым решением уравнения станет функция Неймана, то есть решение Yα(x) уравнения Бесселя, бесконечное в точке x = 0. Эта функция связана с Jα(x) следующим соотношением: Jα(x)cos(απ) - J-α(x) Yα(x) = , sin(απ) где в случае целого α берется предел по α, вычисляемый, например, с помощью правила Лопиталя. Функции Неймана также называются функциями Бесселя второго рода. Линейная комбинация функций Бесселя первого и второго родов являет собой полное решение уравнения Бесселя: y(x) = C1Jα(x)+ C2Nα(x). Функции Ханкеля первого и второго рода H(1)(x) и H(2)(x) определены равенствами: α α H(1) α (x) = Jα(x)+ iYα(x), (1.12) H(2) α (x) = Jα(x) - iYα(x). (1.13) Модифицированные функция Бесселя первого и второго рода Iα(x) и Kα(x) определены фор- мулами: ∞ Iα(x) = i-αJα(ix) = \ m=0 1 m! Γ(m + α + 1) x 2m+α 2 , (1.14) π I-α(x) - Iα(x) Kα(x) = 2 , (1.15) sin(απ) в которых α - нецелое. В случае целого α используется предельный переход. Очевидно, что Kα(x) = K-α(x). Известны формулы 2 J 1 (z) = 2 πz sin(z), J 2 1 (z) = 2 πz cos(z), 2 I 1 (z) = sinh(z), I 2 1 (z) = cosh(z), 2 πz - 2 π K 1 (z) = 2 2z πz e-z. Нормированная функция Бесселя jν (j-малая функция Бесселя) определяется формулой (см. [57, с. 10], [90]) jν (x) = где Jν - функция Бесселя первого рода. 2ν Γ(ν + 1) xν Jν (x), (1.16) Нормированная модифицированная функция Бесселя iν (i-малая функция Бесселя) определя- ется формулой iν (x) = 2ν Γ(ν + 1) xν Iν (x), (1.17) где Iν - модифицированная функция Бесселя первого рода. Используя [1, формулы 9.1.27], получим, что jν (t) есть собственная функция оператора Bν : (Bν )tjν-1 (τt) = -τ 2jν-1 (τt), (1.18) 2 2 (Bν )ti ν-1 (τt) = τ 2iν-1 (τt). (1.19) 2 2 Нормированные функции Бесселя обладают свойствами jν (0) = 1, jl (0) = 0, iν (0) = 1, il (0) = 0. ν ν Будем использовать обозначения n jγ (x, ξ) = тт jγi-1 (xiξi), (1.20) 2 i=1 n iγ (x, ξ) = тт jγi-1 (xiξi), (1.21) 2 где γ1 > 0,..., γn > 0. i=1 Сведения о функциях Бесселя взяты из [10]. Функции гипергеометрического типа. Гипергеометрическая функция Гаусса определя- ется внутри круга |z| < 1 как сумма гипергеометрического ряда (см. [1, с. 373, формула 15.3.1]) ∞ 2F1(a, b; c; z) = F (a, b, c; z) = \ (a)k (b)k zk , (1.22) k=0 (c)k k! а при |z| ;;; 1 получается аналитическим продолжением этого ряда. В формуле (1.22) параметры a, b, c и переменная z могут быть комплексными, причем c ±= 0, -1, -2,..., а (a)k есть символ Похгаммера. Поскольку гипергеометрический ряд (1.22) сходится только в единичном круге комплексной плоскости, поэтому возникает необходимость построения аналитического продолжения гипергео- метрической функции за границу этого круга, на всю комплексную плоскость. Один из способов аналитического продолжения - использование интегрального представления Эйлера Γ(c) 2F1(a, b; c; z) = Γ(b)Γ(b - c) 1 r tb-1 0 (1 - t) c-b-1 (1 - tz)-a dt, 0 < Re b < Re c, |arg(1 - z)| < π, в котором правая часть определена при указанных условиях, обеспечивающих сходимость инте- грала. Важным свойством гипергеометрической функции является то, что многие специальные и эле- ментарные функции могут быть получены из нее при определенных значениях параметров и пре- образовании независимого аргумента. Примеры для элементарных функций: (1 + x)n = 2F1(-n, β, β; -x), 1 x ln(1 + x) = 2F1(1, 1, 2; -x), x ex = lim n→∞ 2F1 1, n, 1; , n cos x = lim α, β→∞ 2F1 α, β, 1 2 ; - x2 4αβ , cosh x = lim α, β→∞ 2F1 1 α, β, ; 2 x2 . 4αβ Функция Бесселя первого рода и гипергеометрическая функция Гаусса связаны формулой Jν (z) = lim ⎡ z ν ⎢ 2 2F1 ⎤ z2 α, β, ν + 1; - ⎥ . α, β→∞ ⎣Γ(ν + 1) 4αβ ⎦ Вырожденная гипергеометрическая функция Куммера 1F1(a; b; z) имеет вид ∞ a(n)zn 1F1(a; b; z) = \ . b(n)n! n=0 Она связана с гипергеометрической функцией Гаусса предельным соотношением 1F1(a; c; z) = lim 2F1(a, b; c; z/b). b→∞ Вырожденная гипергеометрическая функция Трикоми Ψ(a; b; z) определяется равенством Ψ(a; b; z) = Γ(1 - b) Γ(a +1 - b) 1F1(a; b; z)+ Γ(b - 1) Γ(a) z1-b 1F1(a +1 - b;2 - b; z). Функции Уиттекера Mκ,μ (z) и Wκ,μ (z) выражаются через 1F1(a; b; z) и Ψ(a; b; z) следующим образом: 1 Mκ,μ (z) = exp (-z/2) zμ+ 2 1F1 μ - κ + 1 ;1 + 2μ; z , 2 1 Wκ,μ (z) = exp (-z/2) zμ+ 2 Ψ μ - κ + 1 ;1 + 2μ; z . 2 Обобщенная гипергеометрическая функция имеет вид ∞ pFq (a1,..., ap; b1,..., bq ; z) = \ n=0 . (a1)n ···(ap)n zn (b1)n ··· (bq )n n! Функции вида 0F1(; a; z) называются конфлюэнтными гипергеометрическими предельными функциями, и они тесно связаны с функциями Бесселя соотношениями: Jα(x) = 2 ( x )α 2 F ; α + 1; - x , Γ(α + 1) 0 1 4 ( x )α 2 2 Iα(x) = которые можно переписать в виде Γ(α + 1) 0F1 4 ; α + 1; x , 2 0F1 ; α + 1; - x 2 = jα(x), 0F1 ; α + 1; x = iα(x). 4 4 Определение и свойства гипергеометрических функций заимствованы из [1]. Функция Аппеля F4(a, b, c1, c2; x, y) (см. [127, с. 658]) при |x|1/2 + |y|1/2 < 1 имеет вид: ∞ F4(a, b, c1, c2; x, y) = \ (a)m+n(b)m+n (c1)m(c2)n m! n! xmyn. (1.23) m,n=0 При |x|1/2 + |y|1/2 ;;; 1 функция F4(a, b; c1, c2; x, y) понимается как аналитическое продолжение, которое определяется формулами из [207]. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ, ОПЕРАТОР ПУАССОНА И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ В этом разделе приведем некоторые классы функций, операторы, понятия и утверждения, кото- рые нам потребуются в дальнейшем. Пространства Cm, Lγ и S . Весовые обобщенные функции. Через R будем обозначать ev p ev множество вещественных чисел, а через C - множество комплексных чисел. Пусть R+ = (0, ∞). Рассматриваемые далее множества и функции мы, не оговаривая это отдельно, считаем измери- мыми, а функции почти всюду конечными. Пусть Rn - n-мерное евклидово пространство. Рассмотрим часть пространства Rn вида Rn n + = {x = (x1,..., xn) ∈ R , x1 > 0,..., xn > 0} и Ω открытое множество в Rn, симметричное относительно каждой гиперплоскости xi = 0, i = + 1,..., n. Пусть Ω+ = Ω ∩ R n R n + и Ω+ = Ω ∩ R n где n + = {x = (x1,..., xn) ∈ R , x1 ;;; 0,..., xn ;;; 0}. + Имеем Ω+ ⊆ R n + и Ω+ ⊆ R n . Мы рассмотрим множество Cm(Ω+), состоящее из m раз диффе- ренцируемых на on Ω+ функций. Через Cm(Ω+ ) обозначим подмножество функций из Cm(Ω+) ev таких, что все производные этих функций по xi для любого i = 1,...,n непрерывно продолжаются на xi = 0. Класс Cm(Ω+) состоит из функций f ∈ Cm(Ω+), таких, что ∂ f 1 2k+1 1 ∂x2k+1 1 = 0 i 1x=0 для всех неотрицательных целых k � m при i = 1,...,n (см. [36] и [57, с. 21 и далее]). Тогда ∞ C∞ n ev ev (Ω+) = m=0 Cm(Ω+). C∞ ev Пусть ◦ ev (Ω+) - множество функций f ∈ C∞ (Ω+) с компактным носителем. Положим C∞ ∞ ◦ ∞ ◦ ∞ ◦ ∞ ∞ γ ev (R+) = Cev , (см. [134]). Cev (R+) = Cev и D+ = Cev. Известно, что пространство Cev плотно в Lp + Скалярное произведение (x, ξ), x, ξ ∈ Rn и |x| определяются равенствами г n n (x, ξ) = \ xiξi, |x| = \ x2. i=1 i i=1 Будем использовать также часть пространства Шварца вида 1 1 ( Sev = Sev (Rn ) = f ∈ C∞ : sup xαDβf (x) < ∞ ∀α, β ∈ Zn , + ev 1 1 + + x∈Rn 1 1 где α = (α1,..., αn), β = (β1,..., βn), α1,..., αn, β1,..., βn - целые неотрицательные числа, xα = xα1 α2 αn β1 βn ∂ 1 1 x2 ... xn , Dβ = Dx ... Dxn , Dxj = . ∂xj Пусть мультииндекс γ = (γ1,..., γn), состоит из положительных фиксированных чисел γi>0, i = 1,..., n, |γ| = γ1 + ... + γn. Пространство Lγ (Ω ), 1 � p < ∞ состоит из измеримых на Ω функций, четных по каждой из p своих переменных + , i = 1,...,n таких, что если f ∈ Lγ (Ω + ), то xi p + r n i |f (x)|pxγdx < ∞, xγ = тт xγi . Ω+ Для вещественного числа p ;;; 1 Lγ (Ω i=1 )-норма функции f ∈ Lγ (Ω ) определяется формулой p + p ⎛ r + ⎞1/p p (Ω+) ||f ||Lγ ⎝ = ||f ||p,γ,Ω+ = ⎜ Ω+ ⎠ |f (x)|pxγdx⎟ . Будем использовать обозначения Lγ = Lγ (Rn ) и p p + ⎛ r ⎞1/p ⎝ ||f ||p,γ = ⎜ R n + ⎠ |f (x)|pxγdx⎟ . (2.1) p Известно, что пространство Sev плотно в Lγ (см. [101, 103, 122]). + Пусть Ω ⊂ Rn и mesγ (Ω) - весовая мера множества Ω: r mesγ (Ω) = Ω xγdx. + Для любой измеримой функции f (x), определенной на Rn , введем обозначение + μγ (f, t) = mesγ {x ∈ Rn : |f (x)| > t} = r xγdx, + + где {x : |f (x)| > t}+ = {x ∈ Rn {x: |f (x)|>t} : |f (x)| > t}. Функцию μγ = μγ (f, t) будем называть весовой функцией распределения |f (x)| (см. [103, с. 51]). Поскольку r p,γ ||f ||p = Rn |f (x)|pxγdx ;;; r |f (x)|pxγdx ;;; tpμγ (f, t), + + то справедливо неравенство {x:|f (x)|>t} f ||p μγ (f, t) � || p,γ . (2.2) tp Пространство Lγ (Rn ) = Lγ определяется как множество измеримых на Rn , четных по каждой ∞ + ∞ + из своих переменных функций f (x), для которых конечна норма ||f ||Lγ n = ||f ||∞,γ = ess sup |f (x)| = inf {μγ (f, a) = 0}. ∞(R+) γ + x∈Rn a∈R Утверждение 2.1. Нормы пространств Lγ и Lγ связаны равенством p ∞ γ p→∞ ||f ||∞,γ = lim ||f ||p,γ, f ∈ L∞. (2.3) Доказательство. Если ||f ||∞,γ = 0, то равенство (2.3) очевидно. Пусть 0 < ||f ||∞,γ < ∞. Введем обозначение Sγ = ess supγ |f (x)| = ||f || . Будем иметь f + x∈Rn ⎛ r ∞,γ ⎞1/2 ⎛ r ⎞1/p ||f ||p,γ = ⎜ |f (x)|pxγdx⎟ � (Sγ )1/2 ⎜ |f (x)|p/2xγdx⎟ . Тогда ⎝ ⎠ f ⎝ ⎠ R R n n + + ⎛ ⎞1/p ⎡ ⎛ r r ⎞1/p⎤1/2 lim ||f ||p,γ � (Sγ )1/2 lim ⎜ |f (x)|p/2xγdx⎟ = (Sγ )1/2 ⎢ lim ⎜ ⎥ |f (x)|pxγdx⎟ ⎥ = p→∞ f p→∞ ⎝ R n + ⎣ ⎦ ⎠ f ⎢p→∞ ⎝ ⎠ R n + = (Sγ )1/2 lim ||f ||1/2, откуда получим f p→∞ p,γ lim ||f ||p,γ � Sγ. (2.4) Из того, что p→∞ f Sγ f = ess supγ |f (x)| = inf {μγ (f, a) = 0} + x∈Rn a∈R следует, что для любого ε ∈ (0, Sγ ] найдется множество E ⊂ Rn , такое что mesγ E < ∞ и Получим f + f |f (x)| > Sγ - ε, ∀x ∈ E. откуда ⎡ ⎤1/p ⎡ r r f ⎣ (Sγ - ε)pxγdx⎦ < ⎣ E E ⎤1/p |f (x)|pxγdx⎦ � ||f ||p,γ, f (Sγ - ε)(mesγ E)1/p � ||f ||p,γ и f lim ||f ||p,γ ;;; Sγ - ε или, в силу произвольности ε, p→∞ f lim ||f ||p,γ ;;; Sγ. (2.5) p→∞ Из (2.4) и (2.5) следует lim ||f ||p,γ = Sγ. p→∞ f Отметим, что для f ∈ L∞ утверждение 2.1 хорошо известно, см., например, [114]. p,loc Через Lγ + будем обозначать множество функций u, определенных почти всюду на R n , та- ких что uϕ ∈ Lγ для всех ϕ ∈ D . Пусть Dl - сопряженное пространство к D пространство. p + + + 1,loc Каждой функция u ∈ Lγ действующая по правилу сопоставляется r + регулярная весовая обобщенная функция u ∈ Dl , (u, ϕ)γ = R n + u(x) ϕ(x) xγ dx, ϕ ∈ D+. + Все остальные линейные непрерывные функционалы (обобщенные функции) u ∈ Dl будем назы- вать сингулярными весовыми обобщенными функциями. Например, сингулярной весовой обобщенной функцией является функция δγ (см. [57]): (δγ, ϕ)γ = ϕ(0), ϕ ∈ D+. Для удобства будем также писать r (δγ, ϕ)γ = R n + δγ (x)ϕ(x)xγdx = ϕ(0), понимая такую запись как предел соответствующей последовательности. Обозначим через SLγ (Rn ) = SLγ совокупность всех четных по каждой из своих переменных p + p функций с конечной нормой ||f ||SLγ n = ||f || γ = sup t(μγ (f, t))1/p, 1 � p < ∞. p (R+) SLp 0<t<∞ γ Линейный оператор A имеет сильный тип (p, q)γ, 1 � p � ∞, 1 � q � ∞, если он определен на Lγ p, имеет значения из Lq и выполняется неравенство p ||Af ||q,γ � K||f ||p,γ, ∀ f ∈ Lγ (2.6) с постоянной K, не зависящей от f. Оператор A будем называть оператором слабого типа (p, q)γ (по аналогии с определением оператора слабого типа (p, q) из [169, с. 31]), если K||f ||p,γ q p μγ (Af, λ) � λ , ∀ f ∈ Lγ, где K не зависит от f и λ, λ > 0. Если q = ∞, то оператор A есть отображение слабого типа (p, q)γ, если оно сильного типа (p, q)γ. Оператор преобразования Пуассона. Следуя [274], приведем определение оператора пре- образования. Определение 2.1. Пусть дана пара операторов (A, B). Ненулевой оператор T называется опе- ратором преобразования, если выполняется соотношение T A = B T. (2.7) Соотношение (2.7) называется иначе сплетающим свойством, тогда говорят, что оператор преобразования T сплетает операторы A и B, или является сплетающим оператором. Для пре- вращения (2.7) в строгое определение необходимо задать пространства или множества функций, на которых действуют операторы A, B, и, следовательно, T. Метод решения задач, основанный на применении оператора T со свойством (2.7), называется методом операторов преобразования. В этой работе применяются такие операторы преобразова- ния, как оператор Пуассона, обобщенный сдвиг, весовое сферическое среднее и другие. В этом пункте рассмотрим одномерный и многомерный операторы Пуассона, которые являются одними из важнейших операторов преобразования при работе с оператором Бесселя, и докажем две формулы, по которым вычисляются интегралы по частям сфер от функций e-i(x,ξ) и e±(x,ξ), на которые действует многомерный оператор Пуассона. Определение 2.2. Оператор Пуассона (одномерный) определяется равенством 1-γ x γ γ 2 Px f (x) = 2 x1-γ r γ+1 x2 - t 2 2 -1 f (t) dt, γ > 0, (2.8) или Γ 2 0 Γ γ+1 π γ 2 r γ-1 2 Px f (x) = √π Γ γ 0 f (x cos ϕ) sin ϕ dϕ, γ > 0. (2.9) x Константа подобрана так, чтобы Pγ [1] = 1. Оператор (2.8) действует как оператор преобразования по формуле γ 2 γ 2 d2 d2 γ d Px D = Bγ Px , D = , Bγ = + . (2.10) dx2 dx2 x dx - Для функции Бесселя первого рода Jν справедливо интегральное представление с помощью интеграла Пуассона при ν > 1 (см. [10, формула (1), с. 58]) вида 2 π xν r 2 Jν (x) = √π2ν Γ ν + 1 0 eix cos ϕ sin2ν ϕdϕ, которую, можно переписать при ν = γ - 1 2 в виде Γ γ+1 2 2 jγ-1 (x) = √π Γ γ π r eix cos ϕ sinγ-1 ϕdϕ = Pγeix . (2.11) 2 0 - Для функции Бесселя Iν справедливо интегральное представление с помощью интеграла Пуассона при ν > 1 (см. [10, формула (9), с. 94]) вида 2 xν 2 Iν (x) = √π2ν Γ ν + 1 π r e±x cos ϕ 0 sin2ν ϕdϕ, которое можно переписать при ν = γ - 1 2 в виде Γ γ+1 2 2 i γ-1 (x) = √π Γ γ π r e±x cos ϕ sinγ-1 ϕdϕ = Pγe±x . (2.12) 2 0 x Определение 2.3. Многомерный оператор Пуассона Pγ, действует на интегрируемые функ- ции по формуле π r Pγ xf (x) = C(γ) 0 π r ... 0 f (x1 cos α1,..., xn cos αn) n тт i=1 sinγi-1 αi dαi. (2.13) Здесь γ = (γ1,..., γn) - мультииндекс, состоящий из фиксированных положительных чисел. Нор- мирующая константа Γ n γi+1 n 2 x подобрана так, чтобы Pγ [1] = 1. C(γ) = π- 2 тт i=1 Γ γi 2 Из формул (2.11) и (2.12) следуют представления для функций (1.20) и (1.21) вида ξ jγ (x, ξ) = Pγ [e-i(x,ξ)], (2.14) ξ iγ (x, ξ) = Pγ [e±(x,ξ)], (2.15) n где (x, ξ) = ), xiξi. i=1 + Часть сферы радиуса r с центром в начале координат, принадлежащую Rn , будем обозначать S+ r (n): S+ n r (n) = {x ∈ R+ : |x| = r}. 1 Получим формулы, выражающие весовые интегралы по части сферы S+(n) от функций (2.14) и (2.15). Утверждение 2.2. Интеграл Г S+ 1 (n) jγ (rθ, ξ)θγ dS вычисляется по формуле n r jγ (rθ, ξ)θγ dS = Γ i=1 γi+1 2 jn+ γ (r|ξ|). (2.16) S+ 1 (n) 2 1 | | 2n-1Γ n+|γ| 2 - Доказательство. Используя формулу (2.14), запишем r S+ 1 (n) jγ (rθ, ξ)θγ dS = P r γ ξ 1 S+(n) e-ir(θ,ξ) θγ dS. К последнему интегралу применим формулу n Γ γi+1 1 r S+ 1 (n) γ γ Pξ f ((σ, ξ))σ dSσ = √ i=1 π2n-1Γ 2 r |γ|+n-1 2 -1 f (|ξ|p)(1 - p2) n+|γ|-3 2 dp, (2.17) доказанную в [62]. Получим r n Γ γi+1 1 2 r n+ γ 3 S+ 1 (n) jγ (rθ, ξ)θγ dS = i=1 2 √π2n-1Γ |γ|+n-1 -1 e-irp|ξ|(1 - p2) | |- 2 dp. Заменяя p на -p, будем иметь 1 r e-irp|ξ|(1 - p2) -1 1 n+|γ|-3 r 2 dp = -1 eirp|ξ|(1 - p2) n+|γ|-3 2 dp. Полученный интеграл находится с помощью соотношения [126, формула 2.3.5.3] вида a Таким образом, r eitp(a2 - p2)β-1 dp = -a n 2 √π (2a)β- 1 Γ(β) 1 tβ- 2 Jβ- 1 (at). 2 r Γ jγ (rθ, ξ)θγ dS = i=1 γi+1 2 √ -1Γ | |- n+|γ| n+ γ 1 2 π2 2 Jn+ γ (r|ξ|) = S+ 1 (n) 2 √π2n-1Γ n+|γ|-1 (r|ξ|) 1 1 2 - n+|γ| | | 2 - Γ n γi+1 2 = i=1 2 2n-1Γ n+|γ| jn+| γ| 2 -1 (r|ξ|). Что и дает (2.16). Доказательство закончено. Утверждение 2.3. Интеграл Г S+ 1 (n) iγ (rθ, ξ)θγ dS вычисляется по формуле n r iγ (rθ, ξ)θγ dS = Γ i=1 γi+1 2 in+ γ (r|ξ|). (2.18) S+ 1 (n) 2 1 | | 2n-1Γ n+|γ| 2 - Доказательство. Известно, что функция iγ (x, ξ) связана с e(x,ξ) при помощи оператора преобра- зования Пуассона равенством (2.15): Поэтому ξ iγ (rθ, ξ) = Pγ e-r(θ,ξ) . r S+ 1 (n) iγ (rθ, ξ)θγ dS = P r γ ξ 1 S+(n) -er(θ,ξ) θγ dS. К последнему интегралу применим формулу (2.17), получим n r Γ iγ (rθ, ξ)θγ dS = i=1 γi+1 2 1 r e-rp|ξ|(1 - p2) n+| γ |-3 2 dp. S+ 1 (n) 2 √π2n-1Γ |γ|+n-1 -1 Полученный интеграл находится с помощью соотношения [126, формула 2.3.5.1] вида a Таким образом, r e-tp(a2 - p2)β-1 dp = -a 2 √π (2a)β- 1 Γ(β) 1 tβ- 2 Iβ- 1 (at). 2 r iγ (rθ, ξ)θγ dS = n Γ i=1 γi+1 2 in+ γ (r|ξ|), что и дает (2.18). S+ 1 (n) 2 1 | | 2n-1Γ n+|γ| 2 - Преобразование Ханкеля и обобщение пространства Лизоркина-Самко. При работе с дифференциальными и интегральными операторами, связанными с оператором Бесселя d2 γ d Bγ = dx2 + x dx вместо преобразования Фурье используется преобразование Ханкеля (см. [57]). Функция jγ-1 , 2 определенная равенством (1.16), представляет собой ядро одномерного преобразования Ханке- ля. В многомерном случае в качестве ядра преобразования Ханкеля используется функция jγ (см. (1.20)). 1 Определение 2.4. Для функций f ∈ Lγ (R+) прямое преобразование Ханкеля (Фурье- Бесселя) порядка ν = γ - 1 > - 1 имеет вид 2 2 r∞ Fγ [f ](ξ) = f (ξ) = 0 jγ-1 (xξ) f (x)xγ dx. 2 Для f ∈ Sev (R+) обратное преобразование Ханкеля определено формулой 1-γ r∞ F -1 2 γ γ [f ](x) = f (x) = Γ2 γ+1 2 0 jγ-1 (xξ) f (ξ)ξ 2 dξ. Ядро многомерного преобразования Ханкеля (Фурье-Бесселя) имеет вид (1.20): n jγ (x; ξ) = тт jγi-1 (xiξi), γ1 > 0,..., γn > 0. 2 i=1 Определение 2.5. Многомерное преобразование Ханкеля (Фурье-Бесселя) функции f ∈ Lγ + 1 (Rn ) определяется равенством r Fγ [f ](ξ) = (Fγ )x[f (x)](ξ) = f (ξ) = f (x) jγ (x; ξ)xγdx. R n + + Для f ∈ Sev (Rn ) обратное многомерное преобразование Ханкеля имеет вид F-1 γ [f (ξ)](x) = f (x) = n j=1 2n-|γ| r Γ 2 γj +1 R 2 n + jγ (x, ξ)f (ξ)ξγ dξ. Докажем утверждение, содержащее формулу многомерного преобразования Ханкеля от опера- тора Δγ. Утверждение 2.4. Пусть u ∈ Sev тогда Fγ [Δγf ](ξ) = -|ξ|2Fγ [f ](ξ), (2.19) где Доказательство. Имеем n i i Δγ = \(Bγ )x i=1 n = \ i=1 ∂2 i ∂x2 + γi ∂ . xi ∂x r n r г 1 ∂ ∂ l Fγ [Δγf ](ξ) = [Δγf (x)] jγ (x; ξ)xγdx = \ xγi f (x) jγ (x; ξ)xγdx. R R n i=1 n + + i xγi ∂xi i ∂xi Интегрируя по частям по переменным xi и используя формулу (1.18), получим n r Fγ [Δγf ](ξ) = \ г 1 f (x) ∂ ∂ l xγi jγ (x; ξ) xγdx = R i=1 n + n r i xγi ∂xi r i ∂xi i = \(-ξ2) f (x) jγ (x; ξ)xγdx = -|ξ|2 f (x) jγ (x; ξ)xγdx = -|ξ|2Fγ [f ](ξ). R R i=1 n n + + Доказательство закончено. В работе [133] были рассмотрены пространства ΨV , состоящие из функций, обращающихся в нуль на заданном замкнутом множестве V, и соответствующие пространства ΦV такие, что ΨV являются двойственными к ΦV в смысле преобразований Фурье. Вопрос о плотности таких пространств в Lp был исследован в [134] (см. также [135]. Пространство ΦV называется про- странством Лизоркина-Самко (см., например, [118]). Нам потребуется обобщение пространства Лизоркина-Самко. V Пусть Ψγ обозначает класс функций Sev, обращающихся в нуль вместе со всеми своими про- изводными на заданном замкнутом множестве V : + Ψγ V = {ψ ∈ Sev (Rn ) : (Dkψ)(x) = 0,x ∈ V, |k| = 0, 1, 2,.. .}. V Пространство Ψγ V является двойственным в смысле преобразования Ханкеля к Φγ : Φγ γ V = {ϕ : Fγϕ ∈ ΨV }. (2.20) V Причина рассмотрения классов Ψγ V и Φγ состоит в том, что при рассмотрении операторов типа потенциалов Рисса, порожденных обобщенным сдвигом, символ таких операторов, выраженный посредством преобразования Ханкеля, оказывается обычно бесконечно дифференцируем всюду, кроме множества M, имеющего, как правило, нулевую меру mesγ. Чтобы определить такой потен- циал в обобщенном смысле, нужно выбрать пространство основных функций, инвариантное отно- V сительно этого потенциала. Таким пространством оказывается Φγ , если множество V содержит в V себе множество M особенностей символа. В тех случаях, когда Φγ p плотно в Lγ, определенный в V обобщенном смысле в Φγ p потенциал соответствует потенциалу, определенному в смысле Lγ. Дробные интегралы и производные Римана-Лиувилля и Лиувилля. В этом пункте, следуя [136], приведем определения операторов дифференцирования и интегрирования произволь- ного вещественного порядка. Определение 2.6. Пусть f (x) ∈ L1(a, b), α > 0, тогда интеграл x (I α 1 r a+f )(x) = Γ(α) a f (t) (x - t)1-α dt, x > a (2.21) называется левосторонним дробным интегралом Римана-Лиувилля порядка α, а интеграл b (Iα f )(x) = 1 r f (t) dt, x < b, (2.22) b- Γ(α) x (t - x)1-α называется правосторонним (2.22) дробным интегралом Римана-Лиувилля порядка α. Каждое из выражений (D α 1 a+f )(x) = Γ(n - α) x n d r dx a f (t)dt , (x - t)α-n+1 (2.23) n b (Dα f )(x) = 1 d r f (t)dt , (2.24) b- Γ(n - α) dx (t - x)α-n+1 x где n = [α]+ 1, α > 0, называется дробной производной Римана-Лиувилля порядка α, соответ- ственно левосторонней и правосторонней. Определение 2.7. Дробные интегралы Лиувилля определяются при α > 0 по формулам: x 1 r Iα (x t)α-1 f (t)d t, (2.25) 0+,xf = Γ(α) - 0 1 r∞ Iα (t - x)α-1 f (t)d t. (2.26) -,xf = Γ(α) x Для функции f (x), x ∈ [a, b] каждое из выражений n x (D α 0+,x 1 f )(x) = Γ(n - α) d r dx 0 f (t)dt , (x - t)α-n+1 (2.27) n ∞ (D α -,x 1 f )(x) = Γ(n - α) d r dx x f (t)dt , (t - x)α-n+1 (2.28) где n = [α] + 1, α > 0, называется дробной производной Лиувилля порядка α, соответственно левосторонней и правосторонней. Для дальнейших рассуждений нам будет удобно ввести следующие классы функций. Определение 2.8. Функция f (x) называется абсолютно непрерывной на отрезке Ω, если для любого ε > 0 можно найти такое δ > 0, что для любой конечной системы попарно непересекаю- щихся отрезков [ak, bk ] ⊂ Ω, k = 1, 2,..., n, такой, что n \(bk - ak ) < δ, k=1 справедливо неравенство n \ k=1 |f (bk ) - f (ak )| < ε. Класс всех таких функций обозначается AC(Ω). Известно (см. [78]), что класс AC(Ω) совпадает с классом первообразных от суммируемых по Лебегу функций, т. е. x r f (x) ∈ AC(Ω) ⇔ f (x) = c + a ϕ(t)dt, b r |ϕ(t)|dt < ∞, ϕ(t) = f l(t). (2.29) a Поэтому абсолютно непрерывные функции имеют почти всюду суммируемую производную f l(x). Однако из существования почти всюду суммируемой производной еще не вытекает абсолютная непрерывность. Определение 2.9. Через ACn(Ω), где n = 1, 2,... и Ω - отрезок, обозначим класс функций f (x), непрерывно дифференцируемых на Ω до порядка n - 1, причем f (n-1)(x) ∈ AC(Ω). Очевидно, что AC1(Ω) = AC(Ω), и класс ACn(Ω) состоит из функций, представимых n-кратным интегралом Лебега с переменным верхним пределом от суммируемой функции с заменой постоян- ной в (2.29) на многочлен порядка n - 1: r n-1 x f (x) ∈ ACn(Ω) ⇔ f (x) = \ ck (x - a)k + k=0 a x x r r dt ... dt a a ϕ(t)dt, (2.30) n b r |ϕ(t)|dt < ∞, ck = a f (k)(a) , ϕ(t) = f k! (n) (t). a+ Определение 2.10. Через Iα (Lp), α > 0 обозначим класс функций f (x), представимых лево- сторонним дробным интегралом порядка α от суммируемой функции: a+ f ∈ Iα a+ (Lp), α > 0 ⇔ f = Iα ϕ, ϕ ∈ Lp(a, b), 1 � p < ∞. a+ Описание класса Iα (L1) дает следующая теорема. a+ Теорема 2.1. Для того, чтобы f (x) ∈ Iα (L1), α > 0, необходимо и достаточно, чтобы где n = [α]+ 1, и чтобы - a+ fn α(x) = In-αf ∈ AC f (k) n([a, b]), (2.31) n-α(a) = 0, k = 0, 1, 2,...,n - 1. (2.32) Определение 2.11. Пусть α > 0. Будем говорить, что функция f (x) ∈ L1(a, b) имеет суммиру- a+ емую дробную производную Dα a+ f, если In-αf ∈ ACn([a, b]), n = [α]+ 1. Если d n Dα n-α a+f = dx Ia+ f a+ существует в обычном смысле, т. е. In-αf дифференцируема до порядка n в каждой точке, то a+ f (x) имеет производную Dα f в смысле определения 2.11. Следующая теорема дает условия, при которых дробное интегрирование и дифференцирование являются взаимно обратными операциями. Теорема 2.2. Пусть α > 0. Тогда равенство Dα α a+Ia+ϕ = ϕ(x) (2.33) выполняется для любой суммируемой функции ϕ(x), а равенство Iα α - для функции a+Da+f = f (x) (2.34) a+ f (x) ∈ Iα (L1). (2.35) Если вместо (2.35) предположить, что функция f (x) ∈ L1(a, b) имеет суммируемую произ- a+ водную Dα f (в смысле определения (2.11)), то (2.33), вообще говоря, неверно и заменяется формулой n-1 α-k-1 Iα α \ (x - a) (n-k-1) (2.36) a+Da+f = f (x) - n-α k=0 n-α f (a), Γ(α - k) где n = [α]+1 и fn-α(x) = Ia+ f. В частности, при 0 < α < 1 Iα α f1-α(a) α-1 a+Da+f = f (x) - - (x a) Γ(α) . (2.37) ОБОБЩЕННЫЙ СДВИГ И ВЕСОВОЕ СФЕРИЧЕСКОЕ СРЕДНЕЕ В этом разделе приведем необходимые нам в дальнейшем операторы преобразования, такие как обобщенный сдвиг, связанный с оператором Бесселя, и весовое сферическое среднее, а также их свойства. Обобщенный сдвиг и обобщенная свертка. В этом пункте приведем необходимый нам в дальнейшем оператор преобразования, называемый обобщенным сдвигом, его распространение на многомерный случай, а также определения сверток, порожденных этими операторами. Наличие обобщенного сдвига позволяет обобщать прежние теории, основанные на обычном сдвиге. Мы будем использовать оператор обобщенного сдвига, связанный с оператором Бесселя d2 γ d Bγ = dy2 + y dy . Определение 3.1. Оператор обобщенного сдвига, связанный с оператором Бесселя Bγ, γ > 0, имеет вид Γ γ+1 π ( γ Ty γ y 2 r ,1 2 2 γ-1 x f )(x) = 2 Tx f (x) = √π Γ γ f ( 0 x + y - 2xy cos ϕ) sin ϕdϕ. (3.1) x Производя замену переменной ϕ → π - ϕ, легко видеть, что обобщенный сдвиг γ Ty можно также записать в виде Γ γ+1 π ( γ Ty γ y 2 r ,1 2 2 γ-1 x f )(x) = 2 Tx f (x) = √π Γ γ f ( 0 x + y + 2xy cos ϕ) sin ϕdϕ. (3.2) x Обобщенный сдвиг γ Ty был введен в [197], а затем подробно изучен в работе [90], в которой показано, что x u(x, y) = γ Tyf (x) есть единственное решение задачи Коши вида (Bγ )xu(x, y) = (Bγ )yu(x, y), u(x, 0) = f (x), uy (x, 0) = 0. Приведем элементарные свойства обобщенного сдвига функции f, связанного с оператором Бесселя, доказанные в [90]. Линейность и однородность: γ Ty x [af (x)+ bg(x)] = a x γ Tyf (x)+ b γ Ty g(x), a, b ∈ R. x Положительность: γ Tyf (x) ;;; 0, если f (x) ;;; 0. x 3. γ Ty [1] = 1. x 4. γ T 0f (x) = f (x). γ Tyf (x) = γ Txf (y). x y x Если f (x) ≡ 0 для x ;;; a, то γ Tyf (x) ≡ 0 для |x - y| ;;; a. Если последовательность непрерывных функций fn(x) сходится равномерно в каждом ко- x нечном интервале к f (x), то последовательность функций от двух переменных γ Tyfn (x) x сходится равномерно в каждой конечной области к функции γ Tyf (x). x Оператор γ Ty ограничен: x | γ Tyf (x)| � x γ Ty |f (x)| � sup |f (x)|. x;;;0 x Переместительность операторов γ Ty : γ Ty γ Tz γ z γ y x x Ассоциативность операторов γ Ty : x f (x) = Tx Tx f (x). (3.3) γ Tz γ Ty γ z γ y y x f (x) = Tx Tx f (x). ev Для f ∈ C2 обобщенный сдвиг является оператором преобразования, сохраняющим (Bγ )x: Пусть γ Ty x (Bγ )xf (x) = (Bγ )x x γ Tyf (x). (3.4) Γ γ+1 2 2 C(γ) = √π Γ γ . Приведем далее свойства обобщенного сдвига, в том числе и известные, сопровождающиеся дока- зательствами. x Свойство 3.1. Для оператора обобщенного сдвига γ Ty, связанного с оператором Бесселя Bγ, справедливо представление ! 1 r 4xy \ γ γ γ Ty γ-1 2 -1 2 -1 x f (x) = 2 C(γ) f 0 (x + y) 1 - (x + y)2 z z (1 - z) dz. (3.5) Доказательство. Преобразуем оператор обобщенного сдвига следующим образом. Сначала в (3.2) произведем замену ϕ = 2α, получим y γ Tx f (x) = 2C(γ) π/2 π/2 r f (,1x2 + y2 + 2xy cos 2α) sin 0 γ-1 (2α)dα = = 2γ C(γ) r f 0 π/2 ; x2 + y2 + 2xy(cos2 α - sin2 α) sinγ-1 α cosγ-1 αdα = r = 2γ C(γ) 0 ; f x2 + y2 + 2xy(1 - 2 sin2 α) sinγ-1 α(1 - sin2 α) γ-1 2 dα. Теперь положим sin α = t, тогда при α = 0, t = 0 при α = π/2, t = 1 dα = dt и (1 - t2)1/2 x f (x) = 2 C(γ) 1 r f (,1x2 + y2 + 2xy(1 - 2t2))t γ (1 - t ) 2 dt = {t = z} = γ Ty γ 0 1 r γ-1 γ 2 -1 2 γ = 2γ-1C(γ) 0 f (,1x2 + y2 + 2xy(1 - 2z))z 2 -1(1 - z) 2 -1dz = 1 r γ γ = 2γ-1C(γ) 0 1 f (,1(x + y)2 - 4xyz)z 2 -1(1 - z) 2 -1dz = r ! \ γ γ = 2γ-1C(γ) f 0 Доказательство закончено. (x + y) 4xy 1 - (x + y)2 z z 2 -1(1 - z) 2 -1dz. x Свойство 3.2. Для оператора обобщенного сдвига γ Ty, связанного с оператором Бесселя Bγ, справедливо представление γ x+y γ Ty 2 C(γ) r 2 2 2 γ 2 -1 x f (x) = (4xy)γ-1 zf (z)[(z - (x - y) )((x + y) - z )] 2 dz. (3.6) |x-y| Доказательство. Произведем в (3.1) замену ϕ = 2α, получим y γ Tx f (x) = 2C(γ) π/2 r f (,1x2 + y2 - 2xy cos 2α) sin 0 γ-1 (2α)dα = = 2γ C(γ) π/2 r f 0 π/2 ; x2 + y2 - 2xy(cos2 α - sin2 α) sinγ-1 α cosγ-1 αdα = r = 2γ C(γ) 0 ; f x2 + y2 - 2xy(1 - 2 sin2 α) sinγ-1 α(1 - sin2 α) γ-1 2 dα. Теперь положим sin α = t, тогда при α = 0, t = 0 при α = π/2, t = 1 dα = dt и (1 - t2)1/2 x f (x) = 2 C(γ) 1 r f (,1x2 + y2 - 2xy(1 - 2t2))t γ (1 - t ) 2 dt. γ Ty γ 0 γ-1 2 -1 Вводя переменную z посредством равенства ,1x2 + y2 - 2xy(1 - 2t2) = z, будем иметь - - z2 (x y)2 1/2 t = 4xy , dt = zdz , (4xy)1/2(z2 - (x - y)2)1/2 при t = 0 z = |x - y|, при t = 1 z = x + y и x+y γ Ty 2γ C(γ) r 2 2 2 γ 2 -1 x f (x) = (4xy)γ-1 zf (z)[(z - (x - y) )((x + y) - z )] 2 dz. Доказательство закончено. |x-y| Свойство 3.2 в более общем виде получено в [90]. Свойство 3.3. Если f (x) - непрерывная функция, для которой r∞ |f (x)|xγdx < ∞, 0 и g(x) - непрерывная, ограниченная для всех x ;;; 0 функция, то r∞ γ Ty x f (x)g(y)yγ 0 Г∞ γ dy = γ r∞ f (y) 0 x γ Tyg(x)yγ dy. (3.7) x Доказательство. Применяя к 0 Tyf (x)g(y)y dy представление (3.6), получим r∞ γ Ty x f (x)g(y)yγ 0 dy = = (4x)1-γ 2γ C(γ) r∞ yg(y)dy x+y r γ zf (z)[(z2 - (x - y)2)((x + y)2 - z2)] 2 -1dz = 0 |x-y| x x+y гr = (4x)1-γ 2γ C(γ) r yg(y)dy γ zf (z)[(z2 - (x - y)2)((x + y)2 - z2)] 2 -1dz+ 0 ∞ x+y r r x-y γ l + yg(y)dy x y-x zf (z)[(z2 - (x - y)2)((x + y)2 - z2)] 2 -1dz . Преобразуем выражение (z2 - (x - y)2)((x + y)2 - z2) и поменяем порядок интегрирования, будем иметь r∞ γ Ty x f (x)g(y)yγ 0 dy = x x+z гr r γ = (4x)1-γ 2γ C(γ) r∞ zf (z)dz 0 x-z x+z yg(y)[((z + x)2 - y2)(y2 - (z - x)2)] 2 -1dy+ r + zf (z)dz l γ yg(y)[((z + x)2 - y2)(y2 - (z - x)2)] 2 -1dy = x Свойство доказано. z-x r∞ x = f (z) γ Tzg(y)zγdz. 0 Свойство 3.3 доказано в [90] другим способом. x Свойство 3.4. Обобщенный сдвиг γ Ty можно записать в виде γ Ty 21-γ x+y r r∞ 2-γ γ x f (x) = Γ2 γ+1 2 z f (z)dz jγ-1 (λx)jγ-1 (λy)jγ-1 (λz)λ dλ. (3.8) |x-y| Доказательство. Справедлива формула γ 2 2 2 0 √ γ r∞ [(z2 - (x - y)2)((x + y)2 - z2)] 2 -1 1-γ j πΓ 2 γ-1 (λx)jγ-1 (λy)jγ-1 (λz)λγdλ. (3.9) (xy)γ-1 = z 2 2Γ3 γ+1 2 2 2 0 Эта формула следует из соотношения [127, формула 2.12.42.14, с. 204] в виде r∞ λ1-ν Jν (xλ)Jν (yλ)Jν (zλ)dλ = 0 21-3ν 2 2 2 2 ν 1 2ν-1Δ2ν-1 2 = √π(xyz)ν Γ ν + 1 [(z - (x - y) )((x + y) 1 - - z )] 2 2 = √π(xyz)ν Γ ν + 1 , где |x - y| < z < x + y, x, y, z > 0, Re ν > - 2 , Δ - площадь треугольника, стороны которого равны x, y, z. Используя представление (3.6) и формулу (3.9), получим (3.8). Свойство 3.4 приведено в [225]. x Свойство 3.5. При γ = 0 обобщенный сдвиг γ Ty для четной финитной функции f (x) при- нимает вид 0Ty y f (x + y) - f (x - y) и справедливо равенство r∞ x = Tx f (x) = r∞ f (x + y) 2 f (x y) r∞ lim γ Tyf (x)yγdy = lim - - yγdy = f (t)dt. γ→0 x 0 γ→0 2 0 0 x Доказательство. Рассмотрим интеграл по y от нуля до бесконечности от γ Tyf (x), γ > 0 с весом yγ, применим формулу (3.7) и элементарное свойство 3, а затем, предполагая, что f финитна, +∞ следовательно, интеграл γ → 0: Г f (y)yγdy сходится равномерно при γ > 0, перейдем к пределу при 0 r∞ γ Ty x f (x)yγ 0 dy = r∞ f (y) 0 x γ Ty [1]yγ dy = r∞ f (y)yγ 0 dy, lim r∞ γ Tyf (x)yγdy = lim r∞ f (y)yγdy = r∞ f (y)dy. γ→0 x 0 γ→0 0 0 С другой стороны, если f - четная финитная функция, то r∞ f (x + y) f (x y) 1 ⎛r∞ r∞ ⎞ lim γ→0 0 ⎝ - - yγdy = 2 2 0 f (x + y)dy - 0 f (x - y)dy⎠ = 1 ⎛r∞ = 2 ⎝ y r∞ f (t)dt - -y ⎞ f (t)dt⎠ = ⎛ ∞ y 1 r r ⎝ f (t)dt + 2 y -∞ ⎞ f (t)dt⎠ = 1 r∞ 2 -∞ f (t)dt = r∞ f (t)dt, 0 следовательно, для четной финитной функции f справедливо равенство lim r∞ γ Tyf (x)yγdy = lim r∞ f (x + y) f (x y) yγdy = r∞ f (t)dt. γ→0 x 0 γ→0 2 0 0 Свойство 3.6. Преобразование Ханкеля от обобщенного сдвига функции f ∈ Sev (R+) имеет вид x Fγ [ γ Tyf (x)](ξ) = jγ-1 (yξ) Fγ [f ](ξ). (3.10) 2 Доказательство. Используя свойство самосопряженности обобщенного сдвига и (3.19), получим r∞ x Fγ [ γ Tyf (x)](ξ) = 0 r∞ x jγ-1 (xξ) γ Tyf (x)xγ dx = 2 r∞ x = γ Tyjγ-1 (xξ) f (x)xγ dx = jγ-1 (y) jγ-1 (xξ) f (x)xγ dx = jγ-1 (yξ) Fγ [f ](ξ). 2 2 2 2 0 0 Свойство 3.6 получено в [36]. γ Ty Приведем определение обобщенной свертки двух функций, порожденной обобщенным сдвигом x , и формулу действия преобразования Ханкеля на такую свертку. x Определение 3.2. Обобщенная свертка, порожденная обобщенным сдвигом γ Ty, имеет вид (см. [36, 57]) r∞ (f ∗ g)γ (x) = 0 x f (y) γ Tyg(x)yγ dy. (3.11) Свойство 3.7. Пусть f, g ∈ Sev (R+). Преобразование Ханкеля, примененное к обобщенной свертке (3.11), имеет вид: Доказательство. Fγ [(f ∗ g)γ (x)](ξ) = Fγ [f ](ξ)Fγ [g](ξ). (3.12) r∞ Fγ [(f ∗ g)γ (x)](ξ) = 0 r∞ ∗ (f g)γ (x) jγ-1 (xξ)xγ dx = 2 r∞ = jγ-1 (xξ)xγ dx 2 0 0 r∞ r∞ x f (y) γ Tyg(x) yγ dy = = f (y)yγ dy x γ Tyg(x) jγ-1 (xξ)xγ dx = 0 r∞ = f (y)yγ dy 2 0 r∞ x g(x) γ Tyjγ-1 (xξ)xγ dx = 2 0 0 r∞ r∞ = f (y) jγ-1 (xξ)yγ dy 2 0 0 g(x) jγ-1 (xξ)xγ dx = Fγ [f ](ξ)Fγ [g](ξ). 2 Свойство 3.7 приведено в [36]. Получим формулы действия обобщенного сдвига на некоторые элементарные и специальные функции. x При x > 0 формула, представляющая обобщенный сдвиг γ Ty от степенной функции xα, имеет вид: ⎧ ⎪ ⎪⎪ |x - y|α 2F1 ⎨ α - 2 , γ 2 , γ; - 4xy (x - y)2 , x ±= y; x x γ Ty α = 2α+γ-1Γ γ+α Γ γ+1 (3.13) ⎪⎪ α 2 2 или ⎪⎩ x 2 √πΓ γ + α , x = y, ⎧ ⎪ ⎪ xα 2F1 ⎪⎪ α - 2 , 1 - α - γ , 2 γ +1 ; 2 y2 x2 , x > y; ⎪ ⎨⎪⎪ 2α+γ-1Γ γ+α Γ γ+1 x x γ Ty α = xα ⎪⎪ 2 2 √πΓ γ + α , x = y; (3.14) ⎪⎪ α 1 2 α γ γ +1 x2 ⎪⎪ - - ⎪⎩ yα 2F1 - 2 , 2 , 2 ; y2 , x < y, где 2F1 - гипергеометрическая функция Гаусса (см. (1.22)). x Доказательство. Пусть сначала x ±= y. Используя формулу (3.6), найдем обобщенный сдвиг γ Ty от функции xα. Имеем 2γ Γ γ+1 1 γ γ Ty α 2 r 2 2 α 2 -1 γ-1 2 x x = 2 √πΓ γ ((x - y) 0 + 4xyt ) 2 (1 - t ) 2 t dt = {t = z} = γ 1 γ+1 1 2 Γ - 2 r 2 γ γ α -1 -1 2 = √πΓ γ ((x - y) 0 + 4xyz) 2 (1 - z) 2 z 2 dz = α 2γ-1Γ γ+1 1 γ γ 2 α r 2 = √πΓ γ |x - y| 0 4xy 1+ z (x - y)2 2 (1 - z) 2 -1z 2 -1 dz. Последний интеграл представляет собой гипергеометрическую функцию Гаусса (1.22) при 4xy α γ поэтому z = -(x - y)2 , a = - 2 , b = 2 , c = 2b = γ, (c > b > 0), γ Ty 2γ-1Γ γ+1 Γ γ α 2 2 α α γ 4xy x x = √πΓ(γ) |x - y| 2F1 - 2 , 2 , γ; -(x - y)2 . Используя формулу удвоения для гамма-функции (1.7), получим (3.13). Для доказательства (3.14) раскроем в (3.13) модуль: x x γ Ty α ⎧ ⎨ ⎪⎪ (x - y)α 2F1 = α - 2 , α γ 2 , γ; - γ 4xy (x - y)2 4xy , x > y; (3.15) α ⎪⎪⎩ (y - x) 2F1 В [81] приведена формула вида - 2 , 2 , γ; -(x - y)2 , x < y. 4z 2a 1 1 2 2F1 a, b, 2b; (1 + z)2 = (1 + z) 2F1 a, a - b + 2 ,b + 2 ; z , используя которую, получим (3.14) при x ±= y. При x = y имеем 2γ-1Γ γ+1 1 2γ-1Γ γ+α Γ γ+1 γ Ty α α 2 r γ 1 1 γ+α - - α 2 2 x x = (2x) 2 √πΓ γ (1 - z) 2 z 2 0 dz = (2x) 2 √πΓ γ + α . Это завершает доказательство. x Обобщенный сдвиг γ Ty от e-x2 , x > 0, имеет вид γ Ty -x2 γ+1 1-γ -x2-y2 x e = Γ 2 (xy) 2 e Iγ-1 (2xy) . (3.16) 2 x Доказательство. Используя формулу (3.6), найдем γ Tye-x2 . Имеем γ Ty -x2 e = 2γ C(γ) x+y r ze-z2 [(z2 γ 2 2 2 -1 x (4xy)γ-1 - (x - y) )((x + y) - z )] 2 dz. Найдем интеграл x+y r I = |x-y| ze-z2 [(z2 |x-y| - (x - y)2)((x + y)2 γ - z2)] 2 -1 dz = {z2 = t} = (x+y)2 1 r γ = 2 (x-y)2 e-t[(t - (x - y)2)((x + y)2 - t)] 2 -1dt = {t - (x - y)2 = w} = 4xy = 1 e-(x-y)2 r 2 0 γ e-w [w(4xy - w)] 2 -1dw. Применяя соотношение [126, формула 2.3.6.2] вида a r 0 получим xα-1(a - x)α-1e-pxdx = √πΓ(α) a α-1/2 p - e-ap/2Iα 1/2(ap/2), Re α > 0, (3.17) I = 2γ-2√πΓ γ e-x2-y2 (xy) γ-1 I (2xy) . Тогда γ Γ γ+1 2 x+y 2 γ-1 2 γ Ty -x2 2 2 r ze-z2 [(z2 γ 2 2 2 -1 √ γ x e = (4xy)γ-1 π Γ 2 γ+1 |x-y| - (x - y) )((x + y) - z )] 2 dz = 2γ Γ 2 γ 2 2 γ-1 √ = (4xy)γ-1 π Γ 2 γ 2γ-2√πΓ 2 e-x -y (xy) 2 Iγ-1 (2xy) . 2 После упрощения получим (3.16). x Обобщенный сдвиг γ Ty от x2e-x2 , x > 0, определяется формулой Γ γ+1 γ+1 2xy γ Ty 2 -x2 2 2 e xy γ 1-γ x x e = ex2+y2 Γ(γ + 1) 1F1 - + 1; γ + 1; 4xy 2 + (xy) 2 Iγ-1 (2xy) 2 . (3.18) x Доказательство. Используя формулу (3.6), найдем γ Tyx2e-x2 . Имеем γ Ty -x2 e = 2γ C(γ) x+y r z3e-z2 [(z2 γ 2 2 2 -1 x (4xy)γ-1 - (x - y) )((x + y) - z )] 2 dz. Найдем интеграл x+y r |x-y| I = |x-y| z3e-z2 [(z2 - (x - y)2)((x + y)2 γ - z2)] 2 -1 dz = {z2 = t} = (x+y)2 1 r γ = 2 (x-y)2 te-t[(t - (x - y)2)((x + y)2 - t)] 2 -1dt = {t - (x - y)2 = w} = 4xy = 1 e-(x-y)2 r 2 0 γ (w + (x - y)2)e-w [w(4xy - w)] 2 -1dw = ⎛ 4xy 1 2 r γ γ 4xy ⎞ r γ ⎝ = e-(x-y) 2 0 e-ww 2 (4xy - w) 2 -1dw + (x - y)2 0 e-w [w(4xy - w)] 2 -1dw⎠ . Применяя формулу (3.17) и соотношение [126, формула 2.3.6.1] вида a r 0 получим xα-1(a - x)β-1e-pxdx = B(α, β)aα+β-1 1F1(α; α + β; -ap), Re α, Re β > 0, 2 I = 1 e-(x-y) B γ , γ 2 2 2 +1 γ (4xy)γ 1F1 2 + 1; γ + 1; -4xy + +2γ-2√πΓ γ (x - y)2 e-x -y (xy) 2 I (2xy) . 2 2 γ-1 2 γ-1 2 Тогда γ Γ γ+1 x+y γ Ty 2 -x2 2 2 r ze-z2 [(z2 γ 2 2 2 -1 x x e √ γ = (4xy)γ-1 π Γ 2 |x-y| - (x - y) )((x + y) - z )] 2 dz = 2γ Γ γ+1 2 1 2 γ γ γ √ = (4xy)γ-1 π Γ γ 2 e-(x-y) B 2 , +1 2 2 (4xy)γ 1F1 2 + 1; γ + 1; -4xy + +2γ-2√πΓ γ (x - y)2 e-x -y (xy) 2 I (2xy) = 2γ+1Γ γ+1 2 2 γ-1 2 γ-1 2 2 2 γ γ+1 1-γ 2 2 = Γ(γ + 1) e-(x-y) xy 1F1 2 + 1; γ + 1; -4xy +Γ 2 (xy) 2 e-x -y Iγ -1 (2xy) . 2 Получим (3.18). Обобщенный сдвиг γ Ty от jγ 1 (x) имеет вид x - 2 γ Ty x jγ-1 (x) = jγ-1 (x) jγ-1 (y). (3.19) 2 2 2 Доказательство. Используя представление (1.16) функции jγ-1 (x) и соотношение [127, форму- 2 ла 2.12.6.1] в виде b r 1 1 x1-ν (b2 - x2)ν- 2 (x2 - a2)ν- 2 Jν (cx)dx = a ν = 2ν-1√πΓ 1 + (b2 2 - a2)νc-ν Jν 1 cb + ca Jν 2 cb - ca , 2 получим 0 < a < b, ν > - 2 , | Re c| < π, x+y γ γ Ty 2 C(γ) r γ x jγ-1 (x) = 2 (4xy)γ-1 |x-y| x+y 2 zjγ-1 (z)[(z2 - (x - y)2)((x + y)2 - z2)] 2 -1dz = 2γ C(γ) γ-1 γ + 1 r γ-1 γ 2 = (4xy)γ-1 2 Γ 2 |x-y| z1- 2 2 Jγ-1 (z)[(z2 - (x - y)2)((x + y)2 - z2)] 2 -1dz = γ+1 2γ γ-1 γ +1 γ-1 Γ 2 √ γ γ-1 = 2 2 Γ 2 2 -1 √ γ πΓ (4xy) 2 Jγ-1 (x)Jγ-1 (y) = (4xy)γ-1 2 π Γ 2 2 2 2 = jγ-1 (x)jγ-1 (y). 2 2 Что и требовалось доказать. Обобщенный сдвиг от i γ-1 (x) имеет вид 2 γ Ty x i γ-1 (x) = i γ-1 (x)iγ-1 (y). (3.20) 2 2 2 Доказательство. Используя представление (1.17) функции i γ-1 (x) и соотношение [126, форму- 2 ла 2.15.3.13] в виде b r 1 1 x1-ν (b2 - x2)ν- 2 (x2 - a2)ν- 2 Iν (cx)dx = a ν = 2ν-1√πΓ 1 + (b2 2 a2)νc-ν Iν cb + ca Iν 2 - cb - ca , a, b > 0, ν > 1 , 2 2 получим γ Ty 2γ C(γ) x+y r γ x i γ-1 (x) = 2 (4xy)γ-1 |x-y| x+y 2 ziγ-1 (z)[(z2 - (x - y)2)((x + y)2 - z2)] 2 -1dz = 2γ C(γ) γ-1 γ + 1 r γ-1 γ 2 = (4xy)γ-1 2 Γ 2 |x-y| z1- 2 2 Iγ-1 (z)[(z2 - (x - y)2)((x + y)2 - z2)] 2 -1dz = γ+1 2γ γ-1 γ +1 γ-1 Γ 2 √ γ γ-1 = 2 2 Γ 2 2 -1 √ γ πΓ (4xy) 2 Iγ-1 (x)Iγ-1 (y) = (4xy)γ-1 2 π Γ 2 2 2 2 = i γ-1 (x)iγ-1 (y). 2 2 Что и требовалось доказать. Если в определениях и утверждениях классического гармонического анализа заменить обычный сдвиг обобщенным, то получится весовой гармонический анализ (см., например, [36, 57, 101-103, 120-122]) из-за наличия степенного веса xγ под знаком интегралов. Переходя к многомерному случаю, нам необходимо также перейти от числа γ к вектору (γ1,..., γn). А именно, будем рассматривать мультииндекс γ = (γ1,..., γn), состоящий из по- ложительных фиксированных чисел γi > 0, i = 1,..., n, полагая |γ| = γ1 + ... + γn. Определение 3.3. Многомерный обобщенный сдвиг определяется равенством (γ Ty γ y γ1 y1 γn yn xf )(x) = Txf (x) = ( Tx1 ... Txn f )(x), (3.21) xi где каждый из обобщенных сдвигов γi Tyi определен при i = 1,...,n выражением (3.1): Γ γi+1 π ( γi Tyi 2 r ; 2 2 γi-1 2 xi f )(x) = √πΓ γi 0 f (x1,..., xi-1, xi + τi - 2xiyi cos ϕi, xi+1,..., xn) sin ϕi dϕi. Очевидно, что свойства одномерного обобщенного сдвига переносятся и на многомерный. Так, например, справедливы равенства где γ Ty x jγ (x; ξ) = jγ (x; ξ)jγ (y; ξ), (3.22) γ Ty x iγ (x; ξ) = iγ (x; ξ)iγ (y; ξ), (3.23) n n jγ (x; ξ) = тт jγi-1 (xiξi), iγ (x; ξ) = тт i γi-1 (xiξi), γ1 > 0,..., γn > 0, 2 i=1 2 i=1 а функция jν определена равенством (1.16) и iν определена равенством (1.17). γ Ty Определение 3.4. Обобщенной сверткой, порожденной многомерным обобщенным сдвигом x, называется выражение r (f ∗ g)γ (x) = (f ∗ g)γ = R n + x f (y)(γ Tyg)(x)yγ dy. (3.24) Для обобщенной свертки (3.24) известно неравенство Юнга, которое приведем для удобства с доказательством. Утверждение 3.1. Пусть p, q, r ∈ [1, ∞] и 1 1 + = 1 + p q 1 . (3.25) r Если f ∈ Lγ, g ∈ Lγ, то обобщенная свертка (f ∗ g) ограничена почти всюду и справедливо p q γ неравенство (неравенство Юнга) ||(f ∗ g)γ ||r,γ � ||f ||p,γ ||g||q,γ. (3.26) Если 1 1 + = 1, то p q ||(f ∗ g)γ ||∞,γ � ||f ||p,γ |||g||q,γ. (3.27) Доказательство. Пусть 1 1 1 + + r p1 p2 = 1. (3.28) Применим к выражению |(f ∗ g)γ (x)| неравенство Гельдера для трех функций: r |(f ∗ g)γ (x)| = R n + r x f (y)( γ Tyg)(x)yγdy � � |f (y)|1-a|( γ Tyg)(x)|1-b|f (y)|a|( γ Tyg)(x)|byγdy � x R n + ⎛ ⎞1/r⎛ r r x ⎞1/p1⎛ r ⎞1/p2 ⎝ � ⎜ |f (y)| R n + (1-a)r |( x γ Tyg)(x)| (1-b)ryγ dy⎟ ⎠ ⎝ ⎜ |f (y)| R n + ap1 yγdy⎟ ⎠ | ⎜ ( γ ⎝ R n + x Tyg)(x)| bp2 yγdy⎟ . ⎠ Рассмотрим интеграл Г |( γ Tyg)(x)|bp2 yγdy. Произведя в ( γ Tyg)(x) замену (см. [103]) x x R n + и, полагая z2i-1 = yi cos αi, z2i = yi sin αi, 0 � αi � π, i = 1,..., n, R2n 2n получим r + = {z = (z1,..., z2n) ∈ R r : z2i > 0,i = 1,..., n}, n |( γ Tyg)(x)|bp2 yγdy = ; |g( (z ; - y )2 + z2,..., z - y )2 + z2 )|bp2 тт zγi-1dz = x R + n + R�2n 1 1 2 ( 2n-1 n n 2n 2i i=1 r = {(z2i-1 - yn)→z2i-1} = ; |g( ; z2 + z2,..., z2 + z2 )|bp2 тт zγi-1 r dz = |g(x)| bp2 xγdx. Имеем + R�2n 1 2 2n-1 2n ⎛ r 2i i=1 R n + ⎞1/r |(f ∗ g)γ (x)| � ||f ||a ||g||b ⎜ |f (y)|(1-a)r |( γ Tyg)(x)|(1-b)ryγdy⎟ . ap1 bp2 ⎝ x ⎠ R n + + Возведем последнее неравенство в степень r, умножим обе его части на xγ и проинтегрируем по Rn , получим ||(f ∗ g)γ ||r � ||f ||ra ||g||rb r r |f (y)|(1-a)r |( γ Tyg)(x)|(1-b)ryγdy xγdx = r,γ ap1 bp2 x Rn Rn + + r r = ||f ||ra ||g||rb |f (y)|(1-a)ryγdy |( γ Tyg)(x)|(1-b)rxγdx = ap1 bp2 x R R n n + + = ||f ||ra ||g||rb ||f ||(1-a)r ||g||(1-b)r. ap1 bp2 (1-a)r (1-b)r r r 1 Выберем a и b так, чтобы (1 - a)r = ap1 и (1 - b)r = bp2, т. е. a = r + p и b = r + p2 , будем иметь ||(f ∗ g)γ ||r � ||f ||ra+ap1 ||g||rb+bp2 = ||f ||r ||g||r , или, положив ap1 = p и bp2 = q, r,γ ap1 bp2 ap1 bp2 ||(f ∗ g)γ ||r,γ � ||f ||p||g||q. Осталось показать, что при таком выборе p1 и p2 выполняется (3.28): 1 1 1 + + r p1 p2 1 a b = + + r p q - = 1 + 1 1 r p - p + 1 1 q = r q r 1 1 = r + p - 1 1 1 r + q - r = 1 1 1 p + q - r = 1. Неравенство (3.27) получается предельным переходом при r →∞ с учетом утверждения 2.1. + Интегралы по части сферы. Приведем некоторые обозначения и формулы, связанные с интегралами по части сферы и по части шара в Rn , и докажем вспомогательное утверждение о связи интеграла по части шара от оператора Δγ и интеграла по части сферы. Часть шара |x| � R, |x| = ,1x2 + ... + x2 , принадлежащую Rn , будем обозначать B+(n). Гра- 1 n + R ница B+(n) состоит из части сферы S+(n) = {x ∈ Rn : |x| = R} и из частей координатных R R + гиперплоскостей xi = 0, i = 1,..., n, таких что |x| � R. Справедливы формулы r r u(x)xγdx = rn+|γ| B+ + u(rx)xγdx, (3.29) r (n) r B1 (n) r u(θ)θγdSr = rn+|γ|-1 S+ + u(rθ)θγdS, (3.30) r (n) S1 (n) где dS - элемент поверхности S+(n) и dSr - элемент поверхности S+(n). 1 r r Для интегрируемой по B+(n) с весом xγ функции f (x) и для непрерывной при t ∈ [0, ∞) функции g(t) имеют место формула (см., например, [104]) r r r g(|x|)f (x) xγ dx = B+ 0 r g(λ)λn+|γ|-1dλ + f (λθ)θγdS (3.31) r (n) r и при g(x) = 1 и непрерывной на B+(n) функции f (z) S1 (n) r1-n-|γ| d dr r B+ r (n) r f (z)zγdz = 1 S+(n) f (rθ)θγdS. (3.32) Соотношения (3.31) и (3.32) легко получаются переходом к сферическим координатам x = λθ, |θ| = 1 в левой части. Интеграл Г S+ 1 (n) 1 xγdS обозначается |S+(n)|γ и находится по формуле (см. [103, формула 1.2.5, с. 20], где надо положить N = n) r |S+(n)|γ = xγdS = n Γ i=1 γi+1 2 . (3.33) 1 S+ 1 (n) 2 2n-1Γ n+|γ| ev Утверждение 3.2. Для w ∈ C2 (Ω +) справедлива следующая формула: r B+ R (n) (Δγw(x)) xγdx = r R S+(n) ∂w(x) ∂λν xγ dSR, (3.34) R где λν - внешняя нормаль к части сферы S+(n), n n ∂2 γi ∂ i i Δγ = \(Bγ )x i=1 = \ i=1 i ∂x2 + . xi ∂x Доказательство. Имеем r n r (Δγw(x)) xγdx = \ i (Bγ w(x)) xγdx. B+ R (n) i=1 1 B+(n) Учитывая, что оператор Бесселя в факторизованном виде записывается следующим образом: 1 ∂ γi ∂ Bγi = xγi ∂x xi ∂x , получим r i i i n r ∂ ∂ xγ Δγw xγdx = \ xγi w(x) dx = B+ R (n) r n i=1 R B+(n) ∂xi x i i ∂xi γi = \ xγ1 ... xγi-1 xγi+1 γn i=1x2 2 2 1 i-1 2 2 i+1 ... xn dx1 ... dxi-1dxi+1 ... dxn× 1+...+xi-1+xi+1+...+xn�R √R2-x2-...-x2 -x2 -...-x2 1 i-1 r ∂ ∂ i+1 n xγi w(x)dxi = × ∂xi 0 n i ∂xi r ∂ = \ xγi 1 w(x) 1 √ i ∂xi 1 × 2 2 2 2 2 i=1x2 2 2 2 2 1xi= R -x1-...-xi-1-xi+1-...-xn 1+...+xi-1+xi+1+...+xn�R n r ∂ ×xγ1 ... xγi-1 xγi+1 ... xγn dx1 ... dxi 1dx ... dx = \ w(x) cos ηi xγdS, где 1 i-1 i+1 n - i+1 n i=1 S+ R (n) ∂xi 1 xi cos ηi = ; 2 1+ (hlx1 ) ) - 2 + ... + (hlxi 1 + (hlx ) 2 i+1 + ... + (hlxn = , )2 R R2 h = xi = ; n ∂ 2 x1 - ... - x 2 i-1 2 xi+1 n - ... - x2 . Выражение ), i=1 ∂xi w(x) cos ηi представляет собой производную по направлению внешней нормали 1 к части сферы S+(n) вида λν = (cos η1,..., cos ηn). Таким образом, n \ r S+ i=1 ∂ ∂xi w(x) cos ηi r xγdS = ∂w(x) xγ dS, ∂λν R (n) что завершает доказательство. R S+(n) + Весовое сферическое среднее. В этом пункте рассмотрим весовое сферическое сред- нее, являющееся оператором преобразования, сплетающим многомерный оператор (Δγ )x, x ∈ Rn (см. (0.8)) и одномерный оператор Бесселя (Bn+|γ|-1)t, t > 0. Приведем определение и свойства весового сферического среднего, основным из которых является его действие на оператор Δγ. Начнем с определения классического сферического среднего. Рассмотрим евклидово пространn ство Rn. Пусть x = (x1,..., xn) ∈ Rn и |x| = j ), x2. Классическое сферическое среднее имеет вид M (x, r, u) = j=1 1 r u(x + βr)dS, (3.35) |Sn(1)| Sn(1) где Sn(1) = { x ∈ Rn : |x| = 1 } - сфера единичного радиуса с центром в начале координат, r ;;; 0, f (x + βr) = f (x1 + β1r,..., xn + βnr), r |Sn(1)| = dS = 2 n π 2 n Γ 2 Sn - площадь сферы Sn(1), Γ(α) - гамма функция Эйлера (1.1), dS - элемент поверхности Sn(1). Операторы (3.35) естественным образом возникают в математике при решении различных задач для уравнений гиперболического типа. А именно, (3.35) представляет собой оператор преобразо- вания (см. определение 2.1), использующий сферическую симметрию оператора Лапласа и преоб- разующий многомерный оператор Лапласа в одномерный оператор Бесселя (см. [6, с. 22]). Метод сведения волнового уравнения n \ ∂2u ∂x2 = ∂2u ∂t2 , u = u(x1,..., xn, t) (3.36) i=1 i в случае n ;;; 2 пространственных переменных к волновому уравнению с одной пространственной переменной посредством оператора (3.35) при n = 3 изложен С. Д. Пуассоном (Simе´on Denis Poisson) в [254] (см. также [2, с. 50], [6, с. 22]). В случае произвольного n ;;; 2 решение (3.36) выражено через (3.35) в [39, с. 36]. Теорема о среднем (3.35) для регулярной гармонической функции приведена в [86, с. 278]. Л. Асгейрссон (Leifur A´ sgeirsson) в [184] доказал теорему о сферических средних для ультрагиперболического уравнения вида n \ ∂2u ∂x2 = \ n ∂2 ∂y2u, u = u(x1,..., xn, y1,..., yn). (3.37) j=1 j j=1 j Р. Курант (Richard Courant) в книге [86, с. 473] (см. также [84, с. 738]) применяет теорему Асгейрссона к решению задачи Коши для волнового уравнения. Ф. Йон (Fritz John) [39, с. 87] доказывает единственность решения задачи О. Л. Коши (Augustin Louis Cauchy) вида n \ ∂2u ∂2u k ∂u n i=1 i ∂x2 = ∂t2 + t ∂t , u = u(x, t), x ∈ R 1 ∂u 1 , t > 0, 0 < k < ∞, u(x, 0) = f (x), 1 = 0 ∂t 1t=0 и получает решение этой задачи. Л. Хермандер (Lars Ho¨rmander) в [175, с. 222] доказал уточ- нение теоремы Асгейрссона, при помощи которого затем получена формула Г. Кирхгофа (Gustav Kirchhoff). Исследования вопросов корректности постановки и разрешимости задач для ультраги- перболического уравнения (3.37) при помощи теоремы Асгейрссона приведены в [5,8,9,79,252,255]. Большой интерес у различных исследователей вызывает обобщение сферического средне- го (3.35). Так, в работе [285] рассмотрено сферическое среднее в пространстве с отрицательной кривизной, в [204, 218] рассмотрено обобщение сферического среднего, порожденное оператором преобразования Ч. Дункла (Charles Dunkl). В этой работе будет рассмотрено обобщение сфериче- ского среднего, сплетающее оператор Δγ и оператор Бесселя Bn+|γ|-1. Такое весовое сферическое среднее тесно связано с B-ультрагиперболическим уравнением вида n n \(Bν )x u = \(Bν )y u, u = u(x1,..., xn, y1,..., yn). (3.38) j=1 j j j=1 При построении весового сферического среднего вместо обычного сдвига применяется многомер- ный обобщенный сдвиг (3.21). Определение 3.5. Весовое сферическое среднее функции f при n ;;; 2 имеет вид (cм. [104]) Mγ γ 1 r γ tθ γ t [f ] = (Mt )x[f (x)] = 1 |S+(n)|γ S+ 1 (n) Tx f (x)θ dS, (3.39) n где θγ = θγi , S+(n) = {θ:|θ| = 1,θ ∈ Rn } - часть сферы в Rn , а i 1 i=1 + 1 |S+(n)|γ = Γ n γi+1 2 i=1 2 2n-1Γ n+|γ| + . (3.40) При n = 1 положим Mγ [f (x)] = γ T tf (x). t x Отметим простейшие свойства весового сферического среднего (см. [104]). Линейность и однородность: Mγ γ γ t [af (x)+ bg(x)] = aMt [f (x)] + bMt [g(x)], a, b ∈ R. t Положительность: если f (x) ;;; 0, то Mγ [f (x)] ;;; 0. t 3. Mγ [1] = 1. При t = 0 справедливы равенства Mγ ∂ γ 1 ev Если f (x) ∈ C2 , то t [f (x)]|t=0 = f (x), ∂t 1 Mt [f (x)]1 1t=0 = 0. (3.41) ) Mγ [f (x)] = Mγ [≡γf (x)]. Справедливы равенства (≡γ x t t (Mγ )x[jγ (x, ξ)] = jγ (x, ξ) jn+ γ (r|ξ|), (3.42) 1 r | | 2 - (Mγ )x[iγ (x, ξ)] = iγ (x, ξ) in+ γ (r|ξ|), (3.43) 1 r | | 2 - которые следуют из (2.16) и (2.18). Утверждение 3.3. Весовое сферическое среднее Mγ [f ] для f ∈ C2 есть оператор преобразо- t ev вания, сплетающий (Δγ )x и (Bn+|γ|-1)t: γ γ (Bn+|γ|-1)tMt [f (x)] = Mt [(Δγ )xf (x)]. (3.44) ev Доказательство. Сначала заметим, что функция f ∈ C2 удовлетворяет соотношению (3.31): t r r f (x) xγ dx = B+ 0 r λn+|γ|-1 dλ + f (λθ) θγdSθ. (3.45) t (n) Используя (3.45), запишем t t r r S1 (n) r r 1 λn+|γ|-1M γ |S+(n)|γ 0 λ [f (x)]dλ = 0 λn+|γ|-1 dλ S+ 1 (n) (Tλy f )(x) yγ dSy = r B+(n) (T z f )(x)zγ dz. (3.46) Применяя оператор (Δγ )x к обеим частям (3.46), получим t r |S+(n)|γ r λn+|γ|-1(Δγ )x Mγ [f (x)]dλ = n r (Δγ )x(T zf )(x)zγdz = \ (Bγ )z Tzf (x)zγdz. 1 λ x B+ 0 t (n) i=1 t B+(n) i i x В силу (3.4) имеем zi zi и, следовательно, (Bγi )zi Txi f (x) = (Bγi )xi Txi f (x) (Δγ )x(T zf )(x) = (Δγ )z (T zf )(x). Тогда t r 1 |S+(n)|γ 0 x λ λn+|γ|-1(Δγ )x Mγ [f (x)]dλ = x r B+ t (n) x [(Δγ )z (T zf )(x)] zγdz. Применяя к последнему интегралу формулу (3.34), получим t r 1 |S+(n)|γ 0 λ λn+|γ|-1(Δγ )x Mγ [f (x)]dλ = r S+ t (n) x ∂(Tzf )(x) ∂λν zγ dS, (3.47) R где λν - внешняя нормаль к части сферы S+(n). Преобразуем производную по направлению: x ∂(Tzf )(x) x \ n ∂(Tzf )(x) zi = . Имеем ∂(Tzf )(x) ∂λν i=1 ∂zi t ∂Tzi f (x) x = Tz1 ...Tzi-1 Tzi+1 ...Tzn xi , ∂Tzi f (x) ∂zi π r ∂ x1 xi-1 ; xi+1 xn ∂zi xi = C(γi) f (x1,..., xi 1, x2 - 2xizi cos ϕi + z2, xi+1,..., xn) sinγi-1 ϕidϕi = ∂zi π ∂zi - i i 0 r = C(γi) zi - xi cos ϕi ; f l(x1,..., xi-1, ; x2 - 2xizi cos ϕi + z2, xi+1,..., xn) sin γi-1 ϕidϕi, i i i 0 x2 2 i - 2xizi cos ϕi + zi xi ∂Tzi f (x) ∂xi π r = C(γi) xi - zi cos ϕi ; × 0 x2 2 i - 2xizi cos ϕi + zi ; γi-1 ×f l(x1,..., xi-1, x2 - 2xizi cos ϕi + z2, xi+1,..., xn) sin ϕidϕi, i i i i где f l означает производную функции f по i-му аргументу. Тогда xi ∂Tzi f (x) = zi - xi cos ϕi xi ∂Tzi f (x) , (3.48) ∂zi xi - zi cos ϕi ∂xi x r ∂(Tzf )(x) n zγ dS = 1 \ r xi zi - xi cos ϕi ∂Tzi f (x) zi · zγ dS. S+ t (n) ∂λν t i=1 t S+(n) xi - zi cos ϕi ∂xi + Произведем замену z = ty, y ∈ Rn ; тогда, с учетом (3.48), получим x r ∂(Tzf )(x) n zγ dS = tn+|γ|-1 \ r xi tyi - xi cos ϕi ∂Ttyi f (x) yi yγ dS = S+ t (n) ∂λν i=1 t S+(n) xi - tyi cos ϕi ∂xi · · n = tn+|γ|-1 \ r S+ i=1 ! ∂Ttyi \ xi f (x) ∂(tyi) · yi · yγ dS = r dT tyi t (n) r = tn+|γ|-1 xi f (x) yγ dS = tn+|γ|-1 d T tyi γ dt S+ t (n) Возвращаясь к (3.47), будем иметь t r dt t S+(n) d r xi f (x)y dS. |S+(n)|γ λn+|γ|-1(Δγ )x Mγ [f (x)]dλ = tn+|γ|-1 T tyi f (x)yγ dS, 1 λ 0 или t r dt xi S+ t (n) d λn+|γ|-1(Δγ )x Mγ n+|γ|-1 γ t λ [f (x)]dλ = t 0 M [f (x)]. dt Дифференцируя последнее выражение по t, получим ∂2 ∂ tn+|γ|-1(Δγ )x Mγ n+|γ|-1 γ n+|γ|-2 γ t [f (x)] = t t ∂t2 Mt [f (x)] + (n + |γ|- 1)t M [f (x)]. ∂t Разделив последнее равенство на tn+|γ|-1, имеем ∂2 n + |γ|-1 ∂ или t (Δγ )x Mγ [f (x)] = ∂t2 t t Mγ [f (x)] + t ∂t Mγ [f (x)], t (Δγ )x Mγ [f (x)] = (B n+|γ|-1 t )tMγ [f (x)]. Применение свойства 5 весового сферического среднего завершает доказательство теоремы. ГЛАВА 2 ВЕСОВЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНЫМИ ФОРМАМИ Хорошо известна связь между обобщенными функциями, порожденными квадратичными формами, и фундаментальными решениями дифференциальных уравнений второго порядка (см. [15,175,221] и др.). В этой главе рассмотрим обобщенные функции, связанные с квадратичными формами, скон- струированные посредством весового функционала. Такие функции приспособлены для решения задач, в которых присутствует оператор Бесселя. ВЕСОВАЯ ОБОБЩЕННАЯ ФУНКЦИИ, СОСРЕДОТОЧЕННАЯ НА ЧАСТИ КОНУСА + В этом разделе рассматривается весовая δ-функция, сосредоточенная на части конуса в Rn , то есть обобщенная функция, действие которой на основную функцию равно интегралу этой функции + по части конуса в Rn с весом xγ. Получены формулы для производных такой функции. B-ультрагиперболический оператор и квадратичные формы. И. М. Гельфандом и Г. Е. Шиловым в книге [15] предложена идея нахождения фундаментальных решений диффе- ренциальных операторов второго порядка посредством изучения коэффициентов рядов Лорана обобщенных функций, отвечающих квадратичной форме, соответствующей рассматриваемому опе- ратору. Этот метод удобен тем, что имея информацию о вычетах указанной обобщенной функции, можно получить решение уравнения, содержащее итерированный оператор, и, в зависимости от соотношения, связывающего порядок итерации и размерность пространства, это будет либо фунда- ментальное решение, либо решение однородного уравнения. Так, для получения фундаментального решения ультрагиперболического оператора рассматриваются обобщенные функции, порожденные квадратичной формой P = x2 + ... + x2 - x2 - ... - x2 . Мы будем рассматривать обобщенные 1 p p+1 p+q функции, приспособленные для работы с ультрагиперболическими операторами и их степенями, где вместо каждой второй производной действует дифференциальный оператор Бесселя, т. е. опе- раторами вида ∂2 γ1 ∂ ∂2 γp ∂ ∂2 γp+1 ∂ ∂2 γp+q ∂ 1 1 γ = γ1,γ11 = ∂x2 + x ∂x1 + ... + + p ∂x2 xp ∂xp ∂x - - 2 p+1 xp+1 ∂xp+1 ∂x - ... - 2 p+q + xp+q , ∂xp+q (4.1) где γi > 0, i = 1,...,p + q, p, q ∈ N. Оператор γ = γ1,γ11 мы называем B-ультрагиперболическим оператором. Пусть + p, q ∈ N, n = p + q, x = (x1,..., xn) = (xl, xll) ∈ Rn , xl = (x1,..., xp), xll = (xp+1,..., xp+q ). Весовые обобщенные функции, посредством которых решаются задачи для общих уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу и вводятся дробные степени оператора γ, связаны с неопределенными квадратичными формами P и P вида P = |xl|2 - |xll|2, |xl|2 = x2 + ... + x2, |xll|2 = x2 + ... + x2 (4.2) 1 p p+1 p+q n k P(x) = \ gkx2 , gk ∈ C, k = 1,..., n. (4.3) k=1 Далее определим и изучим следующие весовые обобщенные функции, связанные с квадратичными формами (4.2) и (4.3) при λ ∈ C (см. [181]): λ δγ (P ); P , P λ γ,+ γ,-; γ Pλ, P = P1 + iP2, где P1 - неопределенная квадратичная форма с вещественными коэффи- циентами, P2 - положительно определенная квадратичная форма; • (P + i0)λ, (P - i0)λ; γ γ • (c2 + P + i0)λ, (c2 γ γ + P - i0)λ; γ Pλf (P, λ), где f (z, λ) - целая функция. В разделе 7 будут найдены преобразования Ханкеля функций Pλ, (P ± i0)λ, Pλ , (w2 - |x|2)λ и γ γ γ,± +,γ γ (c2 +P ±i0)λ. Результаты, полученные в этой главе, применяются для построения гиперболических B-потенциалов (см. главу 3), к получению фундаментального решения B-ультрагиперболического уравнения и к решению задач Коши для обобщений уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу (см. главу 4). + Весовая обобщенная функции, сосредоточенная на части конуса. Определим функцию δγ (P ), представляющую собой весовую обобщенную функцию, сосредоточенную на части конуса в Rn . Пусть x = (x1,..., xn) = (xl, xll), xl = (x1,..., xp), xll = (xp+1,..., xp+q ), P = |xl|2 - |xll|2 = x2 + ... + x2 - x2 - ... - x2 , n = p + q. 1 p p+1 p+q + Определение 4.1. Для функции ϕ ∈ Sev, равной нулю в окрестности начала координат, весо- вая обобщенная функция δγ (P ), сосредоточенная на части конуса P = 0, принадлежащей Rn , определяется посредством весового функционала вида r (δγ (P ), ϕ)γ = R n + δγ (|xl|2 - |xll|2)ϕ(x)xγdx. (4.4) Если же ϕ ∈ Sev, то (δγ (P ), ϕ)γ понимается как регуляризованное значение интеграла в (4.4). Лемма 4.1. Для (δγ (P ), ϕ(x))γ при p > 1, q > 1 справедливо представление 1 r∞ r (δγ (P ), ϕ(x))γ = 2 r ϕ(sω)s n+|γ|-3ωγ dSldS llds, ϕ ∈ Sev, (4.5) + 0 {|ω1|=1} {|ω11 + |=1} + где {|ωl| = 1}+ = {ωl ∈ Rp + : |ωl| = 1}, {|ωll| = 1} = {ωll q ∈ R+ : |ωll | = 1}. При p = q = 1, P = x2 - y2 (δγ (x2 - y2), ϕ(x, y))γ = r∞ 2 0 ϕ(y, y)y|γ|-1dy. 1 При p = 1, q = n - 1 > 1, P = x2 - |xll|2, γll = (γ2,..., γn) 1 r∞ r (δγ (P ), ϕ(x))γ = 2 ϕ(y, yσ)y n+|γ|-3 dy σ γ11 dS. S+ 0 1 (n-1) n При q = 1, p = n - 1 > 1, P = |xl|2 - x2 , γl = (γ1,..., γn -1) 1 r∞ r (δγ (P ), ϕ(x))γ = 2 ϕ(xσ, x)x n+|γ|-3 dx σγ1 dS. S+ 0 1 (n-1) Доказательство. Пусть сначала p > 1, q > 1. Перейдем к биполярным координатам x1 = rω1,..., xp = rωp, xp+1 = sωp+1,..., xp+q = sωp+q, (4.6) где r = ;x2 + ... + x2, s = ; + ... + x2 . Пусть ωl = (ω1,..., ωp) ∈ Rp , ωll = p 1 p x2+1 p+q + ω (ωp+1,..., ωn) ∈ Rq , |ωl| = ; + ... + ω = 1, |ωll| = ;ω + ... + ω = 1. Получим 2 2 + 1 p r∞r∞ r r 2 p+1 2 p+q (δγ (P ), ϕ(x))γ = 0 + 0 {|ω1|=1} {|ω11 + |=1} δ(r2 - s2)ϕ(rωl, sωll)rp+|γ1|-1sq+|γ11|-1ωγ dSldSlldrds, + где {|ωl| = 1}+ = {ωl ∈ Rp + : |ωl| = 1}, {|ωll| = 1}+ = {ωll ∈ Rq : |ωll| = 1}, dSl - элемент объема l + {|ω | = 1} , dSll - элемент объема {|ωll + | = 1} . Произведя замену r2 = u, s2 1 = v, dr = u 2 1 - 2 du, ds = 1 1 v- 2 dv, будем иметь 2 1 r∞r∞ r r √ √ p+|γ1| 1 q+|γ11| 1 γ l ll (δγ (P ), ϕ(x))γ = 4 0 + 0 {|ω1|=1} {|ω11 + |=1} δ(u - v)ϕ( uωl, vωll)u 2 - v 2 - ω dS dS dudv = 1 r∞ r r √ √ p+|γ1| q+|γ11| = 4 + 0 {|ω1|=1} {|ω11 ϕ( + |=1} vωl, vωll)v 2 -1v 2 -1ωγdSldSlldv = 1 r∞ r r √ n+|γ| = 4 + 0 {|ω1|=1} {|ω11 ϕ( + |=1} vω)v 2 -2ωγdSldSlldv. Возвращаясь обратно к переменной s с помощью замены v = s2, получим (4.5). При p = q = 1 квадратичная форма P = x2 - y2 и r∞r∞ (δγ (x2 - y2), ϕ(x, y))γ = 0 δ(x2 - y2)ϕ(x, y)xγ1 yγ2 dxdy = {x2 = u, y2 = v} = 0 1 r∞r∞ = 4 δ(u - v)ϕ(√u, √v)u γ1-1 2 v γ2-1 2 dudv = 0 0 r∞ r∞ 1 √ √ |γ| 1 = ϕ( v, 4 0 2 v)v 2 -1dv = {v = y2} = 0 ϕ(y, y)y|γ|-1dy. Рассмотрим случай p = 1, q = n - 1 > 1. Имеем r 1 (δγ (P ), ϕ(x))γ = (δ(x2 - |xll|2), ϕ(x))γ = R n + 1 δ(x2 - |xll|2)ϕ(x)xγdx. + Перейдя к сферическим координатам xll = ρσ, σ ∈ Rn-1, получим 1 (δγ (P ), ϕ(x))γ = (δ(x2 - |xll|2), ϕ(x))γ = r∞r∞ = r δ(x2 - ρ2)ρn+|γ11|-2xγ1 γ1 1 1 dx1dρ S+ 0 0 1 (n-1) ϕ(x1, ρσ)σ dS = r∞r∞ r √ √ γ 1 n+ γ11 1 = {x2 = u, ρ2 = v} = 1 1- δ(u - v)ϕ( u, vσ)u 2 v | 2 |- -1dudvσγ1 dS = 1 4 S+ 0 0 1 (n-1) r∞ r 2 γ1 2 1 = 4 S+ 0 1 (n-1) ϕ(√v, √vσ)v n+|γ| 2 - dvσ dS = {v = y } = 1 r∞ r = 2 ϕ(y, yσ)yn+|γ|-3dyσγ1 dS. S+ 0 1 (n-1) Случай q = 1, p = n - 1 > 1 рассматривается аналогично. Представления производных весовой обобщенной функции δγ (P ). Лемма 4.2. Производная порядка k функции δγ (P ) при p > 1, q > 1 имеет два представле- ния, обозначенные δ(k)(P ) и δ(k)(P ), вида γ,1 (δ(k) γ,2 r∞ 1 ∂ k 1 q+|γ11|-2 1 p+|γ1|-1 (δ(k) γ,1 (P ), ϕ(x))γ = 0 2s ∂s r∞ 1 ψ(r, s)s ∂ k 1 r 1s2=r2 1 1 1 dr, (4.7) 11 где γ,2 (P ), ϕ(x))γ = (-1)k 0 2r ∂r ψ(r, s)rp+|γ |-2 1 1r2=s2 sq+|γ |-1ds, (4.8) 1 ψ(r, s) = 2 r r + 11 ϕ(rωl, sωll)ωγdSldSll, ϕ ∈ Sev. (4.9) + {|ω1|=1} {|ω |=1} Интегралы (4.7) и (4.8) сходятся и совпадают при k < n + |γ|- 2 . Если k ;;; n + |γ|- 2 , то 2 2 эти интегралы нужно понимать в смысле регуляризованных значений. Доказательство. Найдем производную порядка k от δγ (P ). После перехода к биполярным коор- динатам (4.6) получим P = r2 - s2 и r∞r∞ r r ∂k (δ(k) γ (P ), ϕ(x))γ = = + 0 0 {|ω1|=1} {|ω11 + |=1} ∂Pk δ(r2 - s2) ϕ(rωl, sωll)rp+|γ1|-1sq+|γ11|-1ωγ dSldSlldrds. (4.10) Произведем замену r2 = u, s2 = v, dr = 1 u- 1 du, ds = 1 v- 1 dv; будем иметь P = u ∂ ∂ v, = 2 2 2 2 (δ(k) - ∂P ∂u r∞r∞ r r γ (P ), ϕ(x))γ = 1 = 4 + 0 0 {|ω1|=1} {|ω11 + |=1} 1 1 γ ∂k ∂uk δ(u - v) ϕ(√ uωl, √vωll)u p+|γ1| 2 - v q+|γ11| 2 - ω dSldSlldudv = = (-1)k 1 r∞r∞ r r δ(u - v) ∂ k ϕ(√uωl, √vωll)u 1 p+ γ1 2 - 4 + 0 0 {|ω1|=1} {|ω11 + |=1} | | ∂uk × 1 γ q+|γ11| ×v 2 - ω dSldSlldudv = r∞ r r k p+ γ1 1 = (-1)k 1 ∂ ϕ(√uωl, √vωll)u 2 -1 1 v 2 -1ωγdSldSlldv. 4 + 0 {|ω1|=1} {|ω11 + |=1} ∂uk | | 1 1u=v q+|γ11| Вспоминая что u = r2, v = s2, вернемся к переменным r и s: (δ(k) r r r 1 1 ∞  k ∂ k l ll 1 p+|γ1|-2 1 γ (P ), ϕ(x))γ = (-1) 2 + 0 {|ω1|=1} {|ω11 + |=1} 2r ∂r 1 ϕ(rω , sω )r 1r2=s2 × ×sq+|γ11|-1ωγdSldSllds. γ Введя обозначение (4.9), получим следующую формулу для δ(k)(P ): r∞ 1 ∂ k 1 (δ(k) γ (P ), ϕ(x))γ = (-1) k 2r ∂r 0 ψ(r, s)r p+|γ1|-2 1 1 1r2=s2 sq+|γ11|-1 ds. (4.11) Вернувшись к формуле (4.10) и произведя в ней замену r2 = -u, s2 = -v, u < 0, v < 0, 1 1 1 1 ∂ ∂ dr = - 2 (-u)- 2 du, ds = - 2 (-v)- 2 dv (u < 0,v < 0), будем иметь P = v - u, = и ∂P ∂v (δ(k) 1 r-∞ r-∞ r r ∂k γ (P ), ϕ(x))γ = 4 0 + 0 {|ω1|=1} {|ω11 + |=1} ∂vk δ(v - u) × √ √ ×ϕ( -uωl, -vωll)(-u) 1 p+|γ1| 2 - (-v) 1 γ q+|γ11| 2 - ω dSldSlldudv = r-∞ r-∞ r r k г q+ γ11 l = (-1)k 1 ∂ δ(v - u) ϕ(√-uωl, √-vωll)(-v) 2 -1 ( u) 2 -1 4 + 0 0 {|ω1|=1} {|ω11 + |=1} ∂vk ×ωγdSpdSqdudv = | | p+|γ1| - × r-∞ r 1 1 r г k q+ γ11 l1 = (-1)k 1 ∂ ϕ(√-uωl, √-vωll)(-v) 2 -1 1 (-u) 2 -1ωγdSldSlldu. 4 + 0 {|ω1|=1} {|ω11 + |=1} ∂vk | | 1 1v=u p+|γ1| Вспоминая, что -u = r2, -v = s2, вернемся к переменным r и s: (δ(k) 1 r∞ r r  1 ∂ k l ll 1 q+|γ11|-2 1 p+|γ1|-1 γ l ll γ (P ), ϕ(x))γ = 2 0 + {|ω1|=1} {|ω11 + |=1} 2s ∂s ϕ(rω , sω )s 1 r 1s2=r2 ω dS dS dr. Используя обозначение (4.9), получим r∞ 1 (δ(k) ∂ k 1 q+|γ11|-2 1 p+|γ1|-1 γ (P ), ϕ(x))γ = 0 2s ∂s ψ(r, s)s 1 r 1s2=r2 dr. (4.12) Далее будем использовать для функций (4.11) и (4.12) обозначения δ(k)(P ) и δ(k)(P ), а именно: (δ(k) r∞ 1 ∂ k 1 q+|γ11|-2 1 γ,1 p+|γ1|-1 γ,2 (δ(k) γ,1 (P ), ϕ(x))γ = 0 2s ∂s r∞ 1 ψ(r, s)s ∂ k 1 r 1s2=r2 1 1 1 dr, 11 γ,2 (P ), ϕ(x))γ = (-1)k 0 2r ∂r ψ(r, s)rp+|γ |-2 1 1r2=s2 sq+|γ |-1ds. Полученные интегралы δ(k)(P ) и δ(k)(P ) сходятся и совпадают при k < n + |γ|- 2 для любой γ,1 γ,2 2 n + |γ|-2 функции ϕ ∈ Sev. Если k ;;; , то эти интегралы нужно понимать в смысле регуляризо- 2 ванных значений. А именно, произведем в δ(k)(P ) и δ(k)(P ) замену переменных r2 = u, s2 = v и получим γ,1 γ,2 r∞г k l1 (δ(k) 1 ∂ √ √ q+|γ11| 1 1 p+|γ1| 1 γ,1 (P ), ϕ(x))γ = 4 0 ∂vk ψ( u, v)v 2 - 1 u 1v=u 2 - du, k r∞г k 1 11 (δ(k) (-1) ∂ √ √ p+|γ | 1 1l1 q+|γ | 1 γ,2 (P ), ϕ(x))γ = 4 ∂uk ψ( u, 0 v)u 2 - 1 v 1u=v 2 - dv. Функция ψ(√u, √v) ∈ Sev по каждой из переменных u и v. Тогда г ∂k √ √ q+|γ11| 1l1 q+|γ11| 1 k ∂vk ψ( u, v)v 1 2 - 1 = u 1v=u 2 - - Ψ1(u), г ∂k √ √ p+|γ1| 1 1l1 p+|γ1| 1 k ∂uk ψ( u, где Ψ1(u), Ψ2(v) ∈ Sev, поэтому v)u 2 - 1 = v 1u=v 2 - - Ψ2(v), (δ(k) 1 r∞ 1 λ n+| γ |-k 1 2 - γ,1 (P ), ϕ(x))γ = 4 u 0 Ψ1(u)du = 4 (u+, Ψ1), (δ(k) (-1) k r∞ 1 n+| γ |-k 2 - (-1)k λ γ,2 (P ), ϕ(x))γ = 4 v 0 Ψ2(v)dv = (v+, Ψ2), 4 uλ  uλ, u > 0; + = 0, u � 0. + uλ Регуляризацией этой функции является обобщенная функция uλ , которая при λ±= - 1, -2,... получается аналитическим продолжением + из области Re λ > 0. При λ = -1, -2,..., (n + |γ| = -1, -2,.. .) эта аналитическая обобщенная функция имеет простые полюсы и обобщенная функция u-m λ + , m ∈ N определяется как свободный член разложения Лорана функции u+ в окрестности точки λ = -m (см. [15]). Лемма 4.3. При p = q = 1 и ϕ ∈ Sev производная порядка k функции δγ (P ) имеет два представления, обозначенные δ(k)(P ) и δ(k)(P ), вида (δ(k) γ,1 γ,2 1 r∞ 1 1 ∂ k 1 (δ(k) γ,1 (x2 - y2), ϕ(x, y))γ = 2y ∂y 0 1 r∞ 1 ∂ ϕ(x, y)yγ2-1 k 1 1y=x 1 1 xγ1 dx, (4.13) 2 γ,2 (x2 - y2), ϕ(x, y))γ = (-1)k 0 2x ∂x ϕ(x, y)xγ1-1 1 1x=y yγ2 dy. (4.14) Доказательство. При p = q = 1 квадратичная форма P имеет вид P = x2 - y2. Найдем производ- ную порядка k от δγ (x2 - y2): (δ(k) γ (P ), ϕ(x, y))γ = 2 r∞r∞ ∂k ∂Pk δ(x 2 - y ) ϕ(x, y)xγ1 yγ2 dxdy. (4.15) 0 0 Произведем замену x2 = u, y2 = v, dx = 1 u- 1 du, dy = 1 v- 1 dv; будем иметь P = u ∂ ∂ v, = , 2 2 2 2 - ∂P ∂u r∞r∞ k γ 1 γ 1 (δ(k) 1 ∂ √ √ 1- 2- γ (P ), ϕ(x, y))γ = 4 0 0 ∂uk δ(u - v) ϕ( u, v)u 2 v 2 dudv = r∞r∞ ∂k γ 1 - = ( 1)k 1 4 0 δ(u - v) 0 ∂uk 2 ϕ(√u, √v)u 1- γ2-1 v 2 dudv = r∞ k γ 1 1 - = ( 1)k 1 4 0 ∂ ∂uk 2 1 ϕ(√u, √v)u 1- 1 v 1u=v γ2-1 2 dv. Вспоминая, что u = x2, v = y2, вернемся к переменным x и y и обозначим δ(k)(P ) через δ(k)(P ). γ γ,2 γ Получим представление (4.14) δ(k)(P ). Аналогично, производя замену r2 = -u, s2 = -v, u < 0, v < 0, получим формулу (4.13). Лемма 4.4. При p = 1, q = n - 1 производная порядка k функции δγ (P ) имеет два представ- ления вида 1 - |x (δ(k) γ,1 (x2 ll 1 r∞ r |), ϕ(x))γ = 2 ! 1 ∂ k 2ρ ∂ρ ϕ(x1, ρσ)ρ n+|γ11 |-3 \1 1 1 1ρ=x1 x 1 γ1 dx1σγ1 dS, (4.16) S+ 0 1 (n-1) (δ(k) γ,2 (x2 ll r r 1 ∞ ! k 1 ∂ k \1 γ1-1 1 n+|γ11 |-2 γ1 1 - |x |), ϕ(x))γ = (-1) 2 S+ 0 1 (n-1) 2x1 ∂x1 ϕ(x1, ρσ)x1 1 ρ 1x1=ρ dρσ dS, (4.17) где xll = (x2,..., xn), γll = (γ2,..., γn), |γll| = γ2 + ... + γn. n При p = n - 1, q = 1 производная порядка k функции δγ (|xl|2 - x2 ) имеет два представления вида (δ(k) 1 r∞ r ! 1 ∂ k \1 1 1 1 n 2 γ,1 (|xl|2 - x2 ), ϕ(x))γ = 0 S+ 1 (n-1) 2xn ∂xn n ϕ(ρσ, xn)xγn-1 1 1xn=ρ ρn+|γ |-2dρσγ dS, (4.18) 1 r∞ r n (δ(k) 2 γ,2 (|xl|2 - x2 ), ϕ(x))γ = (-1)k ! 1 ∂ k 2ρ ∂ρ ϕ(ρσ, xn)ρn+|γ1|-3 \1 1 1 1ρ=xn n xγn dxnσγ1 dS, S+ 0 1 (n-1) (4.19) где xl = (x1,..., xn-1), γl = (γ1,..., γn-1), |γl| = γ1 + ... + γn-1. Интегралы (4.16) и (4.17), а также (4.18) и (4.19) сходятся, и (4.16) совпадает с (4.17), а (4.18) совпадает с (4.19) при k < n + |γ|- 2 2 для любой финитной функции ϕ. Если k ;;; n + |γ|- 2 , то эти интегралы нужно понимать в смысле регуляризованных значений. 2 1 xll n-1 2 2 Доказательство. Найдем производную порядка k от δγ (P ) = δγ (x2 - |xll|2) при p = 1, q = n - 1. После перехода к сферическим координатам = ρσ, σ ∈ R+ получим P = r - s и (δ(k) γ (P ), ϕ(x))γ = (δ (k) 1 (x2 - |x ll|2), ϕ(x))γ = r∞ r = ∂k ∂Pk 1 δ(x2 - ρ2) 1 dx1dρ ρn+|γ11|-2xγ1 r ϕ(x1, ρσ)σγ1 dS = S+ 0 1 (n) r∞r∞ r k 1 S+(n-1) γ 1 n+ γ11 = {x2 = u, ρ2 = v} = 1 ∂ δ(u - v) 1 2 ϕ(√u, √vσ)u 1- v | 2 |- -1dudvσγ1 dS = 1 = (-1)k 1 4 0 0 r∞r∞ r S+ 1 (n-1) δ(u - v) ∂uk ∂ k ϕ(√u, √vσ)uγ 1 v 2 -1dudvσγ1 dS = 4 S+ 0 0 1 (n-1) ∂uk 2 1- n+|γ11|-1 r∞ r k γ 1 1 - = ( 1)k 1 4 0 S+ 1 (n-1) ∂ ∂uk 1 γ1 2 1 ϕ(√u, √vσ)u 1- 1 v 1u=v n+|γ11|-1 2 - dvσ dS. 1 Вспоминая, что u = x2, v = ρ2, вернемся к переменным x1 и ρ: 1 r∞ r (δ(k) 2 γ (P ), ϕ(x))γ = (-1)k ! 1 2x1 ∂ k ∂x1 1 ϕ(x1, ρσ)xγ1-1 \1 1 1 1x1=ρ ρn+|γ11|-2 dρσγ1 dS, S+ 0 1 (n-1) что и дает (4.17). Аналогично, получаем представления (4.16), (4.18) и (4.19). Полученные интегралы δ(k)(P ) и δ(k)(P ) сходятся и совпадают при k < n + |γ|- 2 для лю- γ,1 γ,2 2 n + |γ|-2 бой финитной функции ϕ. Если k ;;; , то эти интегралы нужно понимать в смысле 2 регуляризованных значений. Вопрос о регуляризации решается, как в лемме 4.2. ВЕСОВЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ, РЕАЛИЗУЮЩИЕ СТЕПЕНИ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ В этом разделе рассмотрим несколько типов весовых обобщенных функций, представляющих собой комплексные степени неопределенных квадратичных форм. Помимо очевидного применения к B-гиперболическим и B-ультрагиперболическим уравнениям, такие функции тесно связаны с преобразованием Радона по многообразиям. γ, Весовые обобщенные функции Pλ ± γ, . В этом пункте дадим определение Pλ ± и найдем особые точки этой функции. Сначала определим весовую обобщенную функцию, связанную с положительной квадратичной n формой. Пусть r = i ), x2, а именно, рассмотрим весовой функционал rλ, действующий по фор- муле i=1 r (rλ, ϕ)γ = R + n rλϕ(x)xγ dx. (5.1) Функция (5.1) рассмотрена в [62,98,177]. При Re λ > -(N +|γ|) весовая обобщенная функция (5.1) представляет собой аналитическую функцию по параметру λ в области Re λ > -(N + |γ|), и ее можно дифференцировать по параметру λ: ∂ r (rλ, ϕ)γ = ∂λ R + n rλ ln r ϕ(x)xγ dx. Для значений Re λ � -(N + |γ|) можно построить аналитическое продолжение rλ. Из [177] известно, что вычет (rλ, ϕ)γ, как функции от λ, при λ = -(n + |γ| + 2p) равен S+(n)|γ (≡pδ (x), ϕ(x)) res [(rλ, ϕ(x))γ ] = | 1 γ γ . (5.2) λ=-(n+|γ|+2p) 2pp!(n + |γ|)(n + |γ| + 2) ... (n + |γ| + 2p - 2) Пусть p ;;; 1, q ;;; 1, γ = (γl, γll), γl = (γ1,..., γp), γll = (γp+1,..., γn) и P (x) = x2 + ... + x2 - x2 - ... - x2 , n = p + q. 1 p p+1 p+q γ,+ Определение 5.1. Весовые обобщенные функции Pλ и P λ γ,- определяются формулами (P λ γ,+ , ϕ)γ = r Pλ(x)ϕ(x)xγdx, ϕ ∈ Sev, (5.3) + (P λ γ,- , ϕ)γ = {P (x)>0} r } {P (x)<0 + (-P (x))λϕ(x)xγdx, ϕ ∈ Sev, (5.4) где {P (x) > 0}+ = {x ∈ Rn :P (x) > 0}, {P (x) < 0}+ = {x ∈ Rn : P (x) < 0}, λ ∈ C. + + γ,+ Найдем особые точки этой функции. Пусть сначала p > 1, q > 1. Перейдем в Pλ к биполярным координатам (4.6), получим r r∞ r где (P λ γ,+ , ϕ)γ = 0 (r2 - s2)λψ(r, s)rp+|γ1|-1sq+|γ11|-1drds, (5.5) 0 1 ψ(r, s) = 2 r r + 11 ϕ(rωl, sωll)ωγdSldSll + {|ω1|=1} {|ω |=1} (см. (4.9)). Теперь перейдем в (5.5) к переменным u = r2, v = s2: (P λ γ,+ , ϕ)γ = 1 r∞ 4 0 u r (u - v)λψ1(u, v)u 0 1 p+|γ1| 2 - s 1 q+|γ11| 2 - dudv, здесь ψ1(u, v) = ψ(r, s) при u = r2, v = s2. Положив v = ut, будем иметь где (P λ γ,+ , ϕ)γ = 1 1 r r∞ uλ+ 0 1 p+q+| γ| 2 - Φ(λ, u)du, (5.6) q+|γ11| Φ(λ, u) = 4 0 (1 - t)λt 2 -1ψ1(u, tu)dt. (5.7) γ,+ Формула (5.6) показывает, что Pλ имеет полюсы двух типов. Первый тип полюсов состоит из полюсов функции Φ(λ, u). А именно, при t = 1 функция Φ(λ, u) имеет простые полюсы при λ = -1, -2,..., -k,... (5.8) с вычетами res λ=-k Φ(λ, u) = 1 (-1)k-1 ∂k-1 4 (k - 1)! ∂tk-1 г q+|γ11|-2 t 2 ψ1(u, tu) l t=1 . (5.9) Кроме того, интеграл (5.6) имеет полюсы в точках с вычетами λ = - , n + |γ| 2 - n + |γ| 2 - 1,..., - n + |γ| 2 - k,..., (5.10) res (Pλ 1 , ϕ)γ = ∂k Φ - n + |γ| 1 - k, u 1 . (5.11) λ=- k n+|γ| 2 - γ,+ k! ∂uk 2 1 1u=0 Множества полюсов были получены при p > 1, q > 1, однако те же множества получаются и при p ;;; 1, q ;;; 1. Все последующие результаты, касающиеся весовых обобщенных функций, связанных с неопределенными квадратичными формами, справедливы при p ;;; 1, q ;;; 1. Таким образом, имеем три случая. Первый случай, когда λ принадлежит первому множеству полюсов (5.8), но не принадлежит второму (5.10). Второй случай, когда λ принадлежит второму множеству полюсов (5.10), но λ±= - k, k ∈ N. И третий случай, когда λ принадлежит и перво- му (5.8), и второму (5.10) множествам полюсов одновременно. Эти три случая изучим отдельно, γ, представив результаты в виде следующих трех теорем. Вычеты Pλ ± в особых точках выражаются через весовую обобщенную функцию (4.4). γ,+ В следующих трех теоремах найдены вычеты функции Pλ для трех различных классов их особых точек. Теорема 5.1. Если p ;;; 1, q ;;; 1, λ = -k, k ∈ N и n +|γ|∈ R\N или n +|γ|∈ N и n +|γ| = 2k - 1, n + |γ| k ∈ N и, кроме того, если n + |γ| - четное число и k< Pλ γ,+ имеет простые полюсы с вычетами , то весовая обобщенная функция 2 γ,+ res Pλ - ( 1) = k-1 γ,1 δ(k-1)(P ). (5.12) λ=-k (k - 1)! Доказательство. Запишем Φ(λ, u) в окрестности λ = -k в виде Φ0(u) Φ(λ, u) = λ + k + Φ1(λ, u), Φ0(u) = res λ=-k Φ(λ, u), где Φ1(λ, u) - регулярная функция в точке λ = -k. Получим (P λ γ,+ , ϕ)γ = 1 λ + k r∞ uλ+ 0 1 n+| γ| 2 - Φ0(u)du + r∞ uλ+ 0 1 n+| γ| 2 - Φ1(λ, u)du. (5.13) γ,+ Интегралы в (5.13) - регулярные функции переменной λ при λ = -k. Таким образом, (Pλ , ϕ)γ имеет простой полюс в рассматриваемой точке. Используя (5.9), запишем res (Pλ - ( 1) , ϕ) = k-1 r ∞ n+|γ| u ∂k-1 | г q+ γ11| t l ψ (u, tu) du. (5.14) λ=-k γ,+ 4(k - 1)! 0 2 -k-1 ∂tk-1 2 -1 1 t=1 Если в (5.14) положить tu = v, то можно записать res (Pλ - ( 1) , ϕ) = k-1 r∞ ∂ k-1 | г q+ γ11| v l ψ (u, v) | p+ γ1| u du, (5.15) λ=-k γ,+ 4(k - 1)! 0 ∂vk-1 2 -1 1 v=u n 2 -1 2 где интеграл понимается в смысле его регуляризации при k ;;; . Перейдя к переменным u = r 2 и v = s2 в выражении для (k - 1)-й производной функции δγ (P ), определенной формулой (4.7), будем иметь (δ(k-1) 1 r∞г ∂ k-1 q+|γ11| | l p+ γ1| где γ,1 (P ), ϕ)γ = 2 0 ∂vk-1 v 2 -1 ψ1(u, v) u v=u 2 -1 du, (5.16) 1 r ψ1(u, v) = 2 √ r ϕ( uωl, √ vωll)ωγ dSpdSq. S+ S+ p q n Формулы (5.15) и (5.16) дают (5.11). Для k ;;; интеграл в (5.16) понимается в смысле своей 2 регуляризации. В случае n + |γ| ∈ R\N или n + |γ| ∈ N и n + |γ| = 2k - 1, k ∈ N регуляризация интеграла в (5.16) определяется как его аналитическое продолжение. Рассмотрим теперь случай, когда полюс λ принадлежит второму множеству (5.10), но не при- n + |γ| надлежит первому (5.8). Если λ = - 2 - k, k = 0, 1, 2,... и n + |γ| ∈ R\N или n + |γ| ∈ N n + |γ| и n + |γ| = 2k - 1, k ∈ N, то функция Φ(λ, u) регулярна в окрестности точки λ = - 2 - k. γ,+ Таким образом, функция (Pλ , ϕ)γ будет иметь простой полюс, определяемый формулой (5.11). До получения выражения для вычета res n+|γ| (P λ γ,+ , ϕ) через производные функции ϕ(x) в λ=- 2 -k начале координат получим одну полезную формулу. Рассмотрим B-ультрагиперболический опера- тор (4.1): ∂2 γi ∂ γ = γ1,γ11 = Bγ1 + ... + Bγp1 - Bγ11 - Bγ11 , Bγi = ∂x2 + x ∂x . 1 p+1 p+q i i i Применяя γ к λ +1 степени квадратичной формы P (x) = x2 + ... + x2 - x2 - ... - x2 , n = p + q, p > 1, q > 1, получим 1 p p+1 p+q n + |γ| γ Pλ+1(x) = 4(λ + 1) λ + 2 Pλ(x). (5.17) Теорема 5.2. Пусть p ;;; 1, q ;;; 1, n + |γ| не является натуральным числом или n + |γ| ∈ N и n + |γ| = 2k - 1, k ∈ N. Тогда p + |γl| либо не является натуральным, либо p + |γl| ∈ N, γ,+ p + |γl| = 2m - 1, m ∈ N и q + |γll| - четное. В этом случае Pλ имеет простые полюсы в точках λ = - γ| 2 - k, k ∈ N ∪ {0}, с вычетами q+|γ11| n Γ γi+1 res - λ ( 1) 2 P = i=1 2 kδ (x). λ=- k n+|γ| 2 - γ,+ 2n+2kk! + k Γ n+|γ| γ γ 2 γ,+ Если p + |γl| - четное, то Pλ является регулярной в точках λ = - n + |γ| n + |γ| 2 - k, k ∈ N ∪ {0}. Доказательство. Рассмотрим сначала λ = - . Используя формулу (5.11), запишем 2 1 res n+|γ| (P λ γ,+ , ϕ)γ = Φ - 0 n + |γ| , = 2 ψ1(0, 0) r 4 (1 - t)- n+|γ| 2 t q+|γ11| 2 dt = λ=- 2 q+|γ11| Γ 0 n+|γ| 1 Γ = ψ1(0, 0) 2 - 2 +1 . (5.18) +1 Γ 4 p+|γ1| - 2 | | Из последней формулы следует, что если p + γl - четное, то res n+|γ| (P λ γ,+ , ϕ) = 0. λ=- 2 Теперь пусть p + |γl| не является натуральным или p + |γl| ∈ N и p + |γl| = 2k - 1, k ∈ N и q + |γll| - четное. Имеем r ψ1(0, 0) = ψ(0, 0) = ϕ(0) r ωγdSpdSq = ϕ(0)|S+(p)|γ1 |S+(q)|γ11 , (5.19) 1 1 S+ S+ p q где Γ γ1 p q 11 i+1 2 Γ γi +1 2 i=1 + i=1 1 |S+(p)|γ1 = 1 , |S1 (q)|γ11 = 11 (5.20) 2p-1Γ p+|γ | 2 2q-1Γ q+|γ | 2 (см. [65, с. 20, формула (1.2.5)]). После простых вычислений получим (-1) q+|γ11| 2 n Γ i=1 γ i+1 2 res (Pλ , ϕ)γ = ϕ(0). Кроме того, λ=- n+|γ| 2 γ,+ 2n Γ n+|γ| 2 q+|γ11| n Γ γi+1 res n+|γ| P λ γ,+ - ( 1) 2 = 2n i=1 2 n+|γ| δγ (x). (5.21) λ=- 2 Γ 2 Используя теорему Грина и формулу (5.17), будем иметь γ r ϕ(x)[ + Pλ+1(x)] - Pλ+1(x)[ γ ϕ(x)] xγdx = 0, таким образом, {P (x)>0} (P λ γ,+ , ϕ)γ = 1 2(λ + 1)(2λ + n + |γ|) γ,+ (Pλ+1, γϕ)γ. (5.22) Применение формулы (5.22) k раз приведет к (Pλ+k, kϕ)γ (P λ γ,+ , ϕ)γ = γ,+ γ . (5.23) Следовательно, 2 22k (λ + 1) ... (λ + k) λ + n+|γ| ... 2 λ + n+|γ| + k - 1 res (Pλ , ϕ)γ = res (Pλ+k, kϕ)γ × λ=- k n+|γ| 2 - γ,+ 1 λ=- k n+|γ| 2 - γ,+ γ 1 × 1 1 , 22k (λ + 1) ... (λ + k) 2 λ + n+|γ| ... 2 λ + n+|γ| + k - 1 1λ=- 2 n+|γ| -k res (Pλ+k, kϕ)γ = res (Pλ , kϕ)γ. λ=- k n+|γ| 2 - γ,+ γ λ=- n+|γ| 2 γ,+ γ Таким образом, если p + |γl| - четное, то вычеты исчезают. Если p + |γl| не является натуральным или p + |γl|∈ N и p + |γl| = 2k - 1, k ∈ N, то (5.21) дает res (Pλ , ϕ)γ = (-1) q+|γ11| 2 n Γ i=1 γ i+1 2 ( kδγ (x), ϕ)γ. λ=- k n+|γ| 2 - γ,+ 2n+2kk! Γ + k n+|γ| γ 2 Доказательство закончено. Теорема 5.3. Пусть p ;;; 1, q ;;; 1. Если n + |γ| - четное, а также p + |γl| и q + |γll| четные, n + |γ| γ,+ k ∈ N ∪ {0}, то функция Pλ имеет простые полюсы в точках λ = - 2 - k с вычетами n+|γ| q+|γ11| n +k 1 λ 1 res P = г n+|γ| ( 1) 2 - δ - 2 +k-1 ( 1) 2 (P )+ тт Γ γi + 1 kδ l . λ=- k n+|γ| 2 - γ,+ + k Γ n+|γ| - 2 γ,1 22kk! i=1 2 γ γ Если p + |γl| и q + |γll| не являются натуральными или p + |γl|,q + |γll| ∈ N и p + |γl| = γ,+ 2m - 1, q + |γll| = 2k - 1, m, k ∈ N, то функция Pλ имеет полюс второго порядка в точках n + |γ| (k) (k) λ λ = - λ = - 2 - k. Коэффициенты c-2 и c-1 разложения функции Pγ,+ в ряд Лорана в точках n + |γ| 2 - k выражаются формулами n+|γ| n+|γ| 1 c(0) 1 г n+|γ| +k-1 2 +k-1 (-1) 2 - Γ n+|γ| -1 = 2 + k (-1) 2 δγ,1 (P )+ 22kk! × n тт × i=1 γi +1 Γ 2 sin ψ p + |γl| π 2 p + |γl| 2 n n + |γ| - ψ 2 l γ kδγ (x) , sin π(p+|γ1|) Γ γi+1 n+|γ| 2 2 c(k) 2 +1 i=1 k где ψ(x) = Γl(x) . Γ(x) -2 = (-1) 2n+2kk!πΓ n+|γ|+k γδγ (x), 2 n + |γ| λ Доказательство. Пусть n + |γ| - четное и λ = - виде 2 - k, k ∈ N ∪ {0}. Запишем (Pγ,+, ϕ)γ в где (P λ γ,+ , ϕ)γ = 1 λ + k r∞ uλ+ 0 1 n+| γ| 2 - Φ0(u)du + r∞ uλ+ 0 1 n+| γ| 2 - Φ1(λ, u)du, (5.24) Φ0(u) = res n+|γ| Φ(λ, u) n + |γ| λ=- 2 -k и Φ1(λ, u) - регулярная при λ = - n + |γ| 2 - k функция. Каждый интеграл в (5.24) может иметь в λ λ = - 2 - k простой полюс, поэтому функция (Pγ,+, ϕ)γ может иметь полюс второго порядка n + |γ| λ в точке λ = - 2 - k. В окрестности этой точки разложим Pγ,+ в ряд Лорана: c (k) Pλ -2 c (k) -1 λ + n+|γ| γ,+ = 2 + k 2 + 2 + k λ + n+|γ| + ... Найдем коэффициенты c(k), c(k). Имеем -1 -2 (c(k) ∞ r λ+ n+| γ| 1 1 (k) - 2 , ϕ)γ = res n+|γ| u 2 - Φ0(u)du = k! Φ0 (0). λ=- 2 -k 0 -2 Если k = 0, то c(0) = Φ0(0). В соответствии с (5.7) будем иметь 1 1 r λ q+|γ11|-2 2 Γ q+|γ11| Γ(λ + 1) 4 Φ0(0) = ψ1(0, 0) res n+|γ| (1 - t) t 2 dt = ψ1(0, 0) res n+|γ| q+|γ11| . λ=- 2 0 Принимая во внимание, что λ=- 2 4Γ λ + 2 +1 ψ1(0, 0) = ϕ(0)|S+(p)|γ1 |S+(q)|γ11 , 1 1 где |S+(p)|γ1 и |S+(q)|γ11 определяются в (5.20), получим 1 1 (-1) 2 +1B p+|γ | , q+|γ | n+|γ| 1 11 (c(0) 2 2 π(p + |γl|) + + -2, ϕ)γ = sin 4π 2 |S1 (p)|γ1 |S1 (q)|γ11 ϕ(0). (k) Тогда p+|γl| - четное (в этом случае q +|γll| - также четное), и мы имеем c-2 = 0. Таким образом, n + |γ| γ,+ функция (Pλ , ϕ)γ имеет простой полюс в λ = - 2 . Если p + |γl| - не целое или p + |γl|∈ N и p + |γl| = 2k - 1, k ∈ N, то n sin π(p+|γ1|) Γ γi+1 n+|γ| 2 2 c(0) δγ (x). -2 = (-1) 2 +1 i=1 n+|γ| 2nπΓ 2 Так же как при доказательстве теоремы 5.2, получим, что если p + |γl| и q + |γll| - четные, то n + |γ| γ,+ функция Pλ имеет простой полюс в λ = - 2 - k. Если p + |γl| и q + |γll| не натуральные или p + |γl|,q + |γll|∈ N и p + |γl| = 2m - 1, q + |γll| = 2k - 1, m, k ∈ N, то n sin π(p+|γ1|) Γ γi+1 n+|γ| 2 2 c(k) 2 +1 i=1 k -2 = (-1) 1 Найдем теперь c(k). Имеем - 2n+2kk!πΓ n+|γ|+k γδγ (x). 2 (c(k) ∞ r k-1 ∞ r λ+ n+|γ| -1 n + |γ| -1 , ϕ) = u- Φ0(u)du + res n+|γ| u 2 Φ1 - 2 - k, u du. 0 λ=- 2 -k 0 Поскольку Φ0(u) = res Φ(λ, u), то, используя формулы (5.9) и (5.16), получим λ=-k r∞ u-k-1Φ0(u)du = +k 1 n+|γ| (-1) 2 - ( n+|γ| +k-1) + k 1 δγ,1 2 (P ),ϕ . Таким образом, r∞ res n+|γ| 0 uλ+ 1 n+|γ| 2 - Φ1 Γ n + |γ| - 2 n+|γ| 2 - 1 ∂k Φ1 - k, u du = k! γ k, u n+|γ| 1 - 2 - 1 1 ∂uk 1 = (α (k) γ , ϕ)γ, λ=- 2 -k 0 c(k) - 2 ( 1) n+|γ| +k-1 ( n+| γ| +k-1) (k) u=0 -1 = Γ n+|γ| 2 δγ,1 (P )+ αγ . 2 + k - 1 Для k = 0 получим (α(0) n + |γ| n + |γ| γ , ϕ)γ = Φ1 - , 0 . 2 Для нахождения Φ1 - , 0 рассмотрим Φ(λ, 0). Используя (5.18), (5.19) и (5.20), запишем 2 Γ(λ + 1) Γ n γi+1 2 Φ(λ, 0) = ϕ(0) i=1 . 2nΓ p+|γ1| Γ λ + q+|γ11| Принимая во внимание формулу 2 2 +1 π найдем, что Γ(1 - x)Γ(x) = sin πx, n sin π + q+|γ11| Γ q+|γ 11| γi+1 λ 2 -λ - 2 Γ 2 Φ(λ, 0) = i=1 p+|γ1| ϕ(0). sin πλ Если p + |γl| и q + |γll| - четные, то Γ 2 Γ(-λ) lim n+|γ| 2 sin π λ + q+|γ11| sin πλ = (-1) q+|γ11| 2 , λ→- 2 n + |γ| поскольку функция Φ(λ, 0) регулярна при λ = - 2 и n + |γ| n + |γ| Φ1 - то - , 0 = Φ , 2 2 n (α(0) γ , ϕ)γ = (-1) q+|γ11| 2 Γ γi+1 i=1 2 n+|γ| ϕ(0). Γ 2 Если p+|γl| и q+|γll| не являются натуральными числами или p+|γl|,q+|γll|∈ N и p+|γl| = 2m-1, n + |γ| q + |γll| = 2k - 1, m, k ∈ N, то Φ(λ, 0) имеет полюс в точке λ = - n . В этом случае 2 (α(0) тт n + |γ| 1 n+|γ| 2 - γi +1 γ , ϕ)γ = Φ1 - 2 , 0 = (-1) × Γ 2 i=1 2 π ψ sin p+|γ1| p+|γ1| 2 ψ n+|γ| - 2 × где ψ(x) = Γl(x) . Получим Γ(x) Γ n+|γ| ϕ(0), 2  n+|γ|  c(0) 1 n+|γ| 1 2 -1 со значением Γ n+|γ| -1 = 2 (-1) 2 - δγ,1 (P )+ θδγ (x) n θ = (-1) q+|γ11| тт 2 i=1 γi + 1 Γ , 2 если p + |γl| и q + |γll| - четные. Если p + |γl| и q + |γll| не являются натуральными числами или p + |γl|,q + |γll|∈ N и p + |γl| = 2m - 1, q + |γll| = 2k - 1, m, k ∈ N, то n θ = (-1) 1 тт n+|γ| 2 - Γ i=1 γi +1 2 sin p + |γl| π 2 p + |γl| × ψ 2 n + |γ| - ψ 2 . 1 Наконец, для получения c(k) для любого k ;;; 1, мы снова используем формулу (5.23). Это завер- - шает доказательство. γ, Можно аналогично получить и результаты для функции Pλ - вида (P λ γ,- , ϕ)γ = r (-P (x))λϕ(x)xγdx, ϕ ∈ Sev, + {P (x)<0} γ,+ (см. (5.4)). Все полученные для Pλ γ, результаты будут справедливы и для Pλ - , следует только γ,1 поменять число p на q и наоборот. При этом в полученных формулах функция δ(k) заменится на γ,2 (-1)k δ(k), k = 0, 1, 2,... γ Весовые обобщенные функции Pλ γ и (P ± i0)λ. Рассмотрим пространство всех квадра- тичных форм диагонального вида n k P(x) = \ gkx2 k=1 с коэффициентами gk ∈ C, k = 1,..., n. Квадратичную форму P можно записать в виде P = P1 + iP2, где P1, P2 квадратичные формы с вещественными коэффициентами. Определение 5.2. Пусть квадратичная форма P = P1 + iP2 имеет положительно определенную мнимую часть P2. Определим однозначную аналитическую функцию от λ Pλ = eλ(ln |P|+iarg P), 0 < arg P < π. (5.25) Сопоставим функции Pλ обобщенную весовую функцию Pλ = (P1 + iP2)λ, определенную форму- лой r γ (Pλ, ϕ)γ = R n + γ γ Pλ(x)ϕ(x)xγdx. γ γ Изучим функцию из определения 5.2. Поскольку мы положили 0 < arg P < π, то обобщенная весовая функция Pλ находится в верхней комплексной полуплоскости. Далее, так как обобщенная весовая функция Pλ аналитически зависит не только от λ, но и от коэффициентов квадратичной γ формы gr, r = 1,..., n, то Pλ является аналитической функцией всех квадратичных форм вида P = P1 + iP2, где форма P2 положительно определена. В силу единственности аналитического γ продолжения обобщенная весовая функция Pλ однозначно определяется своими значениями на множестве квадратичных форм вида P = iP2. Поэтому вместо P = P1 + iP2 будем рассматривать форму n k P = iP2 = \ gkx2 . k=1 Это означает, что gk = ibk, bk ∈ R, k = 1,...,n и форма n k P2(x) = \ bkx2 положительно определена. Тогда k=1 r γ (Pλ, ϕ)γ = R n + ! n \λ k \ ibkx2 k=1 ϕ(x)xγdx = ei πλ r 2 R n + ! n \λ x k \ bk 2 k=1 ϕ(x)xγdx. (5.26) Учитывая что bk = -igk, k = 1,..., n, перейдем в равенстве (5.26) от √bkxk к xk, получим πλ r γ (Pλ, ϕ)γ = ηγ (g)ei 2 R n + r2λ ϕg (x)xγdx, (5.27) где g = (g1,..., gn), gk - коэффициенты формы iP2, k = 1,..., n, n 1+γk ! n \λ x1 xn ηγ (g) = тт(-igk )- x k 2 , r2λ = \ 2 , ϕg (x) = ϕ √ ,..., √ . k=1 k=1 -ig1 -ign Весовой функционал (r2λ, ϕ)γ определен формулой (5.1). Формула (5.2) показывает, что в точках λ = - n + |γ| +2p, p = 0, 1, 2,... весовая обобщенная функция r2λ 2 n + |γ| имеет простые полюсы. Вычет - функции r2λ в точке λ = 2 равен res n+|γ| 1 [(r2λ, ϕ)γ ] = |S+(n)|γ δγ (x). λ=- 2 n + |γ| +2p γ Поэтому Pλ также имеет простые полюсы в точках λ = - π(n+|γ|) , p = 0, 1, 2,..., и 2 res n+|γ| γ Pλ = ηγ (g)e-i 1 4 |S+(n)|γ δγ (x). (5.28) λ=- 2 Введем дифференциальный оператор n 1 ∂2 γ ∂ Bγ,g = \ + k , k gk k=1 ∂x2 xk ∂xk где gk - коэффициенты квадратичной формы iP2. Имеем Bγ,g Pλ+1 γ = 4(λ + 1) λ + Применяя формулу (5.29) k раз, получим n + |γ| 2 γ Pλ. (5.29) k λ+k k n + |γ| n + |γ| λ Bγ,g (∂)Pγ = 4 (λ + 1) ... (λ + k) Следовательно, λ + res n+|γ| - ... λ + 2 γ Pλ = + k 1 2 Pγ . (5.30) λ=- 1 2 -k 1 1 1 = 1 γ,g res Bk γ Pλ+k, 4k (λ + 1) ... (λ + k) 2 λ + n+|γ| ... 2 λ + n+|γ| + k - 1 1 2 -k λ= 1λ=- n+|γ| n + |γ| n+|γ| - 2 γ - откуда применяя формулу (5.28), найдем вычет Pλ в точке λ = 2 - k: ηγ (g)e-i + n+|γ| π(n+|γ|) 4 |S (n)|γ Γ res Pλ = 1 2 k B δγ. (5.31) λ=- k n+|γ| γ 2 - + k 4kk!Γ n+|γ| 2 n γ,g Формула (5.31) получена для квадратичной формы P = iP2 = k ), gkx2 , принадлежащей мнимой k=1 оси. Продолжим формулу (5.31) аналитически на всю верхнюю полуплоскость всех квадратичных форм n n P = P1 + iP2, P1 = \ akx2 , P2 = \ bkx2 , k k=1 k k=1 где P2 - положительно определена. Коэффициенты оператора Bγ,g аналитически выражаются че- рез коэффициенты квадратичной формы P, а именно, они равны 1 , поэтому аналитическое про- gk должение оператора Bγ,g известно. Аналитическое продолжение функции ηγ (g) на всю верхнюю полуплоскость имеет вид: Следовательно, если n ηγ (g) = тт(bk (1 - iμk ))- k=1 1+γk 2 , μk = ak . (5.32) bk n n P(x) = P1 + iP2 = \ gkx2 = \(ak + ibk )x2 , ak, bk ∈ R, k = 1,...,n k=1 k k k=1 - квадратичная форма с положительно определенной мнимой частью, то весовая обобщенная γ функция Pλ n + |γ| является регулярной аналитической функцией от λ всюду, за исключением точек λ λ = - 2 - k, k = 0, 1, 2,..., в которых Pγ имеет простые полюсы. Аналогично можно рас- смотреть и нижнюю полуплоскость n n P(x) = P1 - iP2 = \ gkx2 = \(ak - ibk )x2 . k=1 k k k=1 В этом случае аналитическое продолжение функции ηγ (g) на всю нижнюю полуплоскость имеет вид: n ηγ (g) = тт(bk (1 + iμk ))- k=1 1+γk 2 , μk = ak . (5.33) bk γ Таким образом, из (5.31) получаем две формулы. Первая для с вычетов весовой обобщенной функции (P1 + iP2)λ: res n+|γ| γ (P1 + iP2)λ = e-i n 4 |S+(n)|γ Γ π(n+|γ|) 1 1+γk n+|γ| 2 k Bγ,g δγ. (5.34) λ=- 2 -k 4kk! (bk - iak )) k=1 2 2 Γ n+|γ| + k γ Вторая для с вычетов весовой обобщенной функции (P1 - iP2)λ: + n+|γ| i π(n+|γ|) e 4 |S (n)|γ Γ λ=- res k n+|γ| 2 - γ (P1 - iP2)λ = 4kk! 1 n (bk + iak )) 2 Γ n+ γ + k 1+γk 2 | | 2 k Bγ,g δγ. (5.35) k=1 n k В (5.34) и (5.35) квадратичная форма P2 = ), bkx2 положительно определена. k=1 γ При помощи рассмотренных функций (P1 ± iP2)λ построим весовые обобщенные функции λ λ λ (P + i0)γ и (P - i0)γ . Через функции (P ± i0)γ выражается фундаментальное решение для итери- γ рованного оператора k, где p k γ = \ Bγ k=1 n \ - j=p+1 Bγj , k = 1, 2,..., и, кроме того, они используются для построения вещественных степеней B-ультрагиперболиче- ского оператора γ, в частности, B-гиперболического оператора, когда p = 1 и n = 2, 3,.... Определение 5.3. Рассмотрим невырожденную квадратичную форму с вещественными коэф- фициентами n k A(x) = \ akx2 , ak ∈ R. (5.36) k=1 При этом форма A имеет в каноническом представлении p положительных слагаемых и q отрица- тельных, p + q = n. Пусть P = A + iP l, где P l - положительно определенная квадратичная форма с вещественными коэффициентами. Без ограничения общности будем полагать, что P l = ε(x2 + ... + x2 ), ε > 0. Пусть 1 n Pλ l λ γ = (A + iP )γ. Тогда весовые обобщенные функции (A + i0)λ и (A - i0)λ при Reλ > 0 определим формулами γ γ (A + i0)λ = lim(A + iP l)λ, (A - i0)λ = lim(A - iP l)λ, γ ε→0 γ γ ε→0 γ в которых предельный переход осуществляется под знаком интеграла Г R n + Pλϕxγdx. При Re λ < 0, n + |γ| λ λ λ ±= -k, λ ±= - 2 - k + 1, k ∈ N для определения (A + i0)γ и (A - i0)γ сначала применяется формула (8.14), а затем осуществляется предельный переход при ε → 0. Теорема 5.4. Вычетами функций (A+i0)λ и (A-i0)λ в точках λ = - n + |γ| -k, k = 0, 1, 2,... γ γ 2 являются весовые обобщенные функции, сосредоточенные в вершине A(x) = 0: res (A + i0)λ = e-i 2 |S+(n)|γ Γ π(q+|γ11|) 1 n+|γ| 2 k B δγ (x), (5.37) λ=- k n+|γ| 2 - γ n 4kk! |ak | k=1 1+γk 2 | | 2 Γ n+ γ + k γ,a + n+ γ π(q+|γ11|) i e 2 |S (n)|γ Γ | | res n+|γ| γ (A - i0)λ = 1 2 n 1+γk k Bγ,a δγ (x), (5.38) где λ=- 2 -k 2 4kk! k=1 |ak | 2 Γ n+|γ| + k n 1 ∂2 γ ∂ Bγ,a = \ + k , k ak k=1 ∂x2 xk ∂xk где ak ∈ R - коэффициенты квадратичной формы A. Доказательство. Весовые обобщенные функции (A + i0)λ и (A - i0)λ могут быть выражены через γ γ λ λ весовые обобщенные функции Aγ,+ и Aγ,-, определенные формулами r (A λ γ,+ и , ϕ)γ = } {A(x)>0 + r Aλ(x)ϕ(x)xγdx, ϕ ∈ Sev (A λ γ,- , ϕ)γ = } {A(x)<0 + (-A(x))λϕ(x)xγdx, ϕ ∈ Sev, где {A(x) > 0}+ = {x ∈ Rn : A(x) > 0}, {A(x) < 0}+ = {x ∈ Rn : A(x) < 0}, λ ∈ C. А именно, + (A + i0)λ = Aλ + eπλiAλ + , (5.39) γ γ,+ γ,- (A - i0)λ = Aλ + e-πλiAλ . (5.40) γ γ,+ γ,- γ γ В силу единственности аналитического продолжения формулы (5.39) и (5.40) можно использовать и при Re λ � 0, а при λ = -k, k ∈ N весовая обобщенная функция Pλ не имеет полюсов, тогда (A±i0)λ в этом случае вводится по формулам (5.39) и (5.40). Таким образом, весовые обобщенные γ функции (A ± i0)λ являются аналитическими функциями от λ для любого комплексного λ, за n + |γ| исключением точек λ = - 2 - k, k = 0, 1, 2,... в которых имеют простые полюсы с вычетами res (A ± i0)λ = lim res (A ± iε|x|)λ. λ=- k n+|γ| 2 - γ ε→0 λ=- k n+|γ| γ 2 - Поскольку форма A имеет в каноническом представлении p положительных слагаемых и q отри- цательных, то из (5.32) и (5.33), получим n n 1+γk 1+γk p+|γ1| q+|γ11| πi n 1+γk lim тт(ε - iak )- ε→0 k=1 2 = тт |ak |- k=1 2 (-i)- 2 i- 2 = e 4 (p+|γ1|-q-|γ11|) тт |ak |- 2 , k=1 n n 1+γk 1+γk p+|γ1| q+|γ11| πi n 1+γk lim тт(ε + iak )- ε→0 k=1 2 = тт |ak |- k=1 2 i- 2 (-i)- 2 = e 4 (-p-|γ1|+q+|γ11|) тт |ak |- 2 , k=1 где |γl| = γ1 + ... + γp, |γll| = γp+1 + ... + γp+q. Тогда, применяя формулы (5.34) и (5.35), полу- чим (5.37) и (5.38). Если в (5.36) все ak = 1, то получается квадратичная форма P = x2 + ... + x2 - x2 - ... - x2 , n = p + q, 1 p p+1 n и для нее справедливы все полученные формулы. А именно, (P + i0)λ = Pλ + eπλiPλ , (5.41) γ γ,+ γ,- (P - i0)λ = Pλ + e-πλiPλ . (5.42) γ γ,+ γ,- γ Из формул (5.37) и (5.38) следует, что вычетами функций (P + i0)λ γ и (P - i0)λ в точках λ = γ| - 2 - k, k = 0, 1, 2,... являются весовые обобщенные функции, сосредоточенные в вершине P (x) = 0: λ=- res k n+|γ| 2 - γ (P + i0)λ = e-i 2 |S+(n)|γ Γ π(q+|γ11|) 1 n 4kk! Γ n+|γ| n+|γ| 2 γ kδγ (x), (5.43) k=1 2 + k + n+ γ π(q+|γ11|) i e 2 |S (n)|γ Γ | | 1 2 k λ=- γ res k n+|γ| 2 - (P - i0)λ = 4kk! Γ n+|γ| n 2 + k γδγ (x). (5.44) k=1 Кроме того, из (5.41) и (5.42) получаются формулы 1 Pλ e-πλi(P + i0)λ - eπλi(P - i0)λ , (5.45) +,γ = - 2i sin λπ γ γ 1 Pλ (P + i0)λ - (P - i0)λ . (5.46) -,γ = 2i sin λπ γ γ ДРУГИЕ ВЕСОВЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ ,γ Введенные функции Pλ ± γ и (P ± i0)λ используются далее для получения фундаментального ре- шения B-ультрагиперболического уравнения и построения гиперболических B-потенциалов Рисса. Однако рассмотренных ранее весовых обобщенных функций, связанных с квадратичной формой, оказывается недостаточно для получения решений задач Коши для общего уравнения Эйлера- Пуассона-Дарбу. В этом разделе рассмотрим функции, которые потребуются для решения ука- занных задач. +,γ Функции (w2 - |x|2)λ γ и (c2 + P ± i0)λ. Здесь рассмотрим весовую обобщенную функцию, +,γ связанную с положительно определенной квадратичной формой (w2 -|x|2)λ 2 , и весовую обобщен- λ ную функцию, связанную с неопределенной квадратичной формой (c + зависят от x ∈ Rn . + P ± i0)γ . Причем c и w не + Определение 6.1. Пусть x ∈ Rn и w не зависит от x. Определим весовую обобщенную функ- цию +,γ (w2 - |x|2)λ формулой r +,γ ((w2 - |x|2)λ , ϕ)γ = } {|x|<w + (w2 - |x|2)λϕ(x)xγdx, ϕ ∈ Sev, λ ∈ C, (6.1) + где {|x| < w}+ = {x ∈ Rn :|x| < w}. Определение 6.2. Пусть ϕ ∈ Sev, n k P = P ± iP l, P = \ akx2 , ak ∈ R, k=1 квадратичная форма P имеет p положительных и q отрицательных слагаемых, p+q = n, P l - поло- жительно определенная квадратичная форма с вещественными коэффициентами. Без ограничения общности положим P l = ε(x2 + ... + x2 ), ε > 0, 1 n γ c не зависит от x. Определим весовые обобщенные функции (c2 + P ± iP l)λ формулами r γ ((c2 + P + iP l)λ, ϕ(x))γ = R n + r γ ((c2 + P - iP l)λ, ϕ(x))γ = R n + (c2 + P + iP l)ϕ(x)xγdx, (c2 + P - iP l)ϕ(x)xγdx. Функции (c2 + P + i0)λ и (c2 + P - i0)λ при Re λ > 0 определяются формулами γ γ (c2 + P + i0)λ = lim(c2 + P + iP l)λ, γ ε→0 γ (c2 + P - i0)λ = lim(c2 + P - iP l)λ, γ ε→0 γ в которых переход к пределу при ε → 0 осуществляется под знаком интеграла Г R n + Pλϕxγdx. Общие весовые обобщенные функции, связанные с квадратичной формой. В этом пункте введем новое семейство весовых обобщенных функций, связанных с функцией P (x) = x2 + ... + x2 - x2 - ... - x2 , n = p + q. 1 p p+1 p+q Функции этого семейства можно рассматривать как обобщение уже рассмотренных выше функ- ций. Пусть P - вещественная квадратичная форма, а P1 - положительно определенная квадратичная форма, P = P ± iP1. γ Определение 6.3. Пусть ϕ ∈ Sev, f (z, λ) - целая функция от z и λ. Весовые обобщенные функции Pλf (P, λ) определяются равенством r γ (Pλf (P, λ), ϕ(x))γ = R n + γ Pλf (P, λ)ϕ(x)dx, γ γ где λ ∈ C, Re λ > -1, P - комплексная квадратичная форма с положительно определенной мни- мой частью. При Re λ > -1 функция Pλf (P, λ) является аналитической от λ. На другие значения весовая обобщенная функция Pλf (P, λ) распространяется при помощи аналитического продол- жения. Из разложения функции f (z, λ) в степенной ряд по z следует, что для вещественной квадра- тичной формы P существуют пределы (P ± i0)λf (P ± i0, λ) = lim Pλf (P, λ), P = P ± iP1. γ γ P1→0 Исходя из формул (5.41) и (5.42), получим аналогичные формулы для общих весовых обобщен- ных функций, связанных с квадратичной формой и целой функцией: (P + i0)λf (P, λ) = Pλ f (P+, λ)+ eπλiPλ f (P , λ), (6.2) γ γ,+ γ,- - (P - i0)λf (P, λ) = Pλ f (P+, λ)+ e-πλiPλ f (P , λ). (6.3) γ γ,+ γ,- - Так определенный класс функций достаточно широк. К нему, в частности, принадлежат ве- совые обобщенные функции, порожденные функциями Бесселя Jn+|γ| 2 +λ (P1/2), Kn+|γ| 2 +λ (P1/2), n+|γ| H(1) 2 +λ n+|γ| (P1/2), H(2) 2 +λ (P1/2) и I n+|γ| 2 +λ (P1/2). ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ ВЕСОВЫХ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ, СВЯЗАННЫХ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ В этом разделе мы докажем формулы для многомерного преобразования Ханкеля весовых обоб- щенных функций, связанных с неопределенной квадратичной формой, рассмотренных ранее. Преобразование Ханкеля функций Pλ, (P ± i0)λ и Pλ . Для нахождения многомерного γ γ γ,± преобразования Ханкеля весовых обобщенных функций, связанных с квадратичной формой, будем использовать формулу n 2|γ|+λ Γ γi+1 Γ n+|γ|+λ 2 Fγ [rλ](ξ) = i=1 2 |ξ|-n-|γ|-λ Γ λ , (7.1) - 2 доказанную в [177], где λ ±= -(n + |γ| + 2k), λ ±= 2k, k = 0, 1, 2,.... Используя эту формулу, докажем следующие теоремы. γ Теорема 7.1. Преобразование Ханкеля Pλ для λ ±= k, λ ±= - n + |γ| + k 2 , k = 0, 1, 2,... вычисляется по формуле n+|γ| n 22λ+|γ|e- 4 iπ Γ γi+1 Γ n+|γ| n+|γ| 2 2 + λ ξ2 ξ2 - 2 -λ Fγ [Pλ](ξ) = i=1 1 + ... + n . (7.2) γ Γ (-λ) ,1(-iα )1+γ1 ... ,1(-iα )1+γn α1 αn 1 n γ Доказательство. Весовая обобщенная функция Pλ является аналитический функцией α1,..., αn γ на множестве Im αk > 0, k = 1, 2,..., n, что означает, что ее преобразование Ханкеля Pλ тоже γ аналитично на том же множестве. Таким образом, чтобы найти Fγ [Pλ], мы можем рассмотреть только случай, когда все αk мнимые, а потом аналитически продолжить найденное преобразование Ханкеля на всю комплексную плоскость. Итак, пусть αk = ibk, bk > 0, k = 1, 2,..., n. Имеем π r Fγ [Pλ](ξ) = e 2 λi (b1x2 + ... + bnx2 )λj(x, ξ)xγdx. γ 1 n R n + yi b Переходя к новым переменным по формуле xi = √ , i = 1,..., n, получим i π 1+γ1 1+γn r y Fγ [Pλ](ξ) = e 2 λib- 2 ... .b- 2 r2λj √ ,ξ yγdy. γ 1 n b R n + Используя формулу (7.1) для преобразования Ханкеля r2λ, запишем n 22λ+|γ| Γ γi+1 Γ n+|γ| γ Fγ [Pλ](ξ) = ξ 2 i=1 ; π 2 + λ e 2 λi ξ2 1 + ... + 2 -n-|γ|-2λ n = Γ (-λ) b1+γ1 ... ,1b1+γn b1 bn 1 n n Γ γi+1 Γ n+|γ| + λ -n-|γ| π 2 2 ξ2 2 2 -λ = 22λ+|γ|e 2 λi i=1 1 + ... + ξn . Γ (-λ) ,1(-iα1)1+γ1 ... ,1(-iαn)1+γn -iα1 -n-|γ| -iαn Вынесем множитель -i за скобку в ξ 2 1 -iα1 ξ2 + ... + n -iαn 2 -λ и будем иметь (7.2). По- лученная формула справедлива для любой квадратичной формы, мнимая часть которой поло- жительно определена в силу единственности аналитического продолжения. Квадратные корни 1 ,1(-iα1)1+γ1 ... ,1(-iαn)1+γn вычисляются по формуле √z = |z| 2 1 e 2 i arg z. n + |γ| γ Теорема 7.2. Преобразования Ханкеля (P ±i0)λ для λ ±= k, λ ±= - + k , k = 0, 1, 2,... 2 вычисляется по формулам γ Fγ [(P + i0)λ](ξ) = e- iπ q+|γ11| 2 βn,γ (λ)(Q - i0)- λ n+|γ| 2 - , (7.3) где γ Fγ [(P - i0)λ](ξ) = e iπ q+|γ11| 2 βn,γ (λ)(Q + i0)- n λ n+|γ| 2 - , (7.4) Γ γi+1 Γ n+|γ| Q = ξ2 + ... + ξ2 - ξ2 - ... - ξ2 2 , βn,γ (λ) = 22λ+|γ| i=1 2 + λ . 1 p p+1 p+q Γ (-λ) Доказательство. Пусть в формуле (7.2) αk = ak + ibk, k = 1,..., n, тогда n Γ γi+1 Γ n+|γ| + λ n+|γ| 2 2 Fγ [Pλ](ξ) = 22λ+|γ|e- 4 iπ i=1 γ Γ (-λ) ,1(b - ia )1+γ1 ... ,1(b - ia )1+γn × ξ2 1 1 2 - n k λ n+|γ| 2 - 1 × a1 + ib1 n ξ + ... + an + ibn . (7.5) Полагая a1 = 1,..., ap = 1, ap+1 = -1,..., ap+q = -1 in (7.5) и переходя к пределам b1 → 0, ..., bn → 0, получим n Γ γi+1 Γ n+|γ| + λ γ Fγ [(P + i0)λ](ξ) = 22λ+|γ|e- iπ n+|γ| 4 i=1 ,1 2 2 × ,1 i1+γp+1 √ 1+γn Γ (-λ) (-i)1+γ1 ... (-i)1+γp ,1 i n+|γ| ξ ξ ! 2 2 1 p ξ 2 p+1 n - ξ2 \ 2 -λ × + ... + + + ... + = 1+ i0 1+ i0 -1+ i0 -1+ i0 n Γ γi+1 Γ n+|γ| + λ q+|γ11| 2 2 = 22λ+|γ|e 2 iπ i=1 Γ (-λ) × n+|γ| × ξ2(1 - i0) + ... + ξ2(1 - i0) + ξ2 (-1 - i0) + ... + ξ2 (-1 - i0) - 2 -λ = 1 p p+1 n n Γ γi+1 Γ n+|γ| + λ q+|γ11| 2 2 n+|γ| = 22λ+|γ|e- 2 iπ i=1 (Q - i0)- Γ (-λ) 2 -λ. Это и дает (7.3). Формула (7.4) получается аналогично. В дальнейшем для формул (7.3) и (7.4) будем использовать короткую запись: γ Fγ [(P ± i0)λ] = e- iπ q+|γ11| 2 βn,γ (λ)(P ∓ i0)- λ n+|γ| 2 - . (7.6) γ, Теорема 7.3. Преобразования Ханкеля Pλ ± при λ ±= k, λ ±= - n + |γ| + k 2 , k = 0, 1, 2,..., вычисляются по формулам + Fγ [Pλ] = 22λ+|γ|-1 iπ n тт Γ i=1 γi +1 Γ 2 n + |γ| + λ 2 Γ (1 + λ) × × e-iπ 2 λ+ q+|γ11| (Q - i0)- λ iπ n+|γ| 2 - - e 2 λ+ q+|γ11| (Q + i0)- λ n+|γ| 2 - , (7.7) - Fγ [Pλ] = - 22λ+|γ|-1 iπ n тт Γ i=1 γi +1 2 Γ n + |γ| + λ 2 Γ (λ + 1) × где × e- iπ q+|γ11| 2 (Q - i0)- λ n+|γ| 2 - - e iπ q+|γ11| 2 (Q + i0)- λ n+|γ| 2 - , (7.8) Q = ξ2 + ... + ξ2 - ξ2 - ... - ξ2 . 1 p p+1 p+q Доказательство. Используя формулы (5.45), (5.46), (7.3), (7.4) и π Γ(z)Γ(1 - z) = sin πz , после простых вычислений получим (7.7) и (7.8). +,γ Преобразование Ханкеля функций (w2 - |x|2)λ преобразования Ханкеля некоторых функций их раздела 6. Теорема 7.4. Имеет место следующая формула: γ и (c2 + P ± i0)λ. Получим формулы (Fγ )x +,γ (w2 - |x|2)λ  (ξ) = n wn+|γ|+2λ Γ i=1 γi+1 2 j n+|γ| (w|x|), (7.9) Γ(λ + 1) 2nΓ n+|γ| 2 +λ 2 + λ +1 k-n-|γ|-1 где (w2 - |x|2)+,γ 2 определена формулой (6.1), w > 0. Доказательство. Пусть сначала Re λ > -1. Переходя к сферическим координатам в Fγ (w2 - +,γ |x|2)λ и применяя формулу (2.16), получим r +,γ (Fγ )x(w2 - |x|2)λ = B+ w (n) jγ (x, ξ)(w2 - |x|2)λxγ dx = {x = rθ, r = |x|} = w r r = (w2 - r2)λrn+|γ|-1dr jγ (rθ, x)θγ dS = S+ 0 1 (n) n Γ γi+1 2 = i=1 2 2n-1Γ n+|γ| n w r | | -1 (w2 - r2)λjn+ γ 2 0 w (r|x|)rn+|γ|-1dr = = |x|1- n+|γ| 2 2 |γ|-n 2 тт Γ i=1 γi + 1 r 2 0 | | -1 (w2 - r2)λJn+ γ 2 (r|x|)r n+|γ| 2 dr. Используя соотношение [127, формула 2.12.4.6] в виде w r rν+1(w2 - r2)β-1Jν (μr)dr = 0 2β-1wβ+ν Γ(β) μβ Jβ+ν (μw), w > 0, Re β > 0, Re ν > -1, (7.10) будем иметь w r | | -1 (w2 - r2)λJn+ γ 2 0 (r|x|)r n+|γ| 2 dr = 2λw +λ n+|γ| 2 Γ(λ + 1) |x|λ+1 Jn+| γ| 2 +λ (|x|ω) для Re λ > -1 и +,γ (Fγ )x(w2 - |x|2)λ = w Γ(λ + 1) Γ n n+|γ|+2λ γi+1 2 i=1 jn+| γ| (w|x|), 2nΓ n+|γ| 2 +λ 2 + λ +1 что совпадает с (7.9). Таким образом, мы получили (7.9) для Re λ > -1. На другие значения λ, такие, что λ ±= -1, -2, -3,..., она продолжается аналитически. (w2 - |x|2)λ Вычеты +,γ Γ(λ + 1) в точках λ = -m, m ∈ N имеют вид (см. раздел 5.1) (w2 - |x|2)λ Тогда для λ = -m, получим γ lim λ→-m +,γ Γ(λ + 1) = δ(m-1)(w2 - |x|2). n (Fγ )x +,γ (w2 - |x|2)λ  r (ξ) = jγ (x, ξ)δ(m-1)(w2 -|x|2)xγ dx = wn+|γ|-2m Γ i=1 γi+1 2 j n+|γ| (w|x|). Γ(λ + 1) γ 2nΓ n+|γ| 2 -m R n 2 - m +1 + Доказательство закончено. Теорема 7.5. Имеют место следующие формулы: γ Fγ (w2 + P + i0)λ = |γ|-n 1 n+|γ| n ⎡ 1 1 2 2 +λ+1e- 2 qπiw 2 +λ Γ γi+1 2 H(1) λ (wQ 2 ⎤ = i=1 2 Kn+|γ| ⎢ 2 +λ (wQγ,+) iπ + n+|γ| - 2 - γ,-) ⎥ , (7.11) Γ(-λ),1 Δ| 2 ⎣ 1 n+|γ| 1 n+|γ| ⎦ Q | 2 γ,+ Q 2 +λ 2 γ,- 2 +λ γ Fγ (w2 + P - i0)λ = |γ|-n 1 n+|γ| n ⎡ 1 1 2 2 +λ+1e 2 qπiw 2 +λ Γ γi+1 2 H(2) λ (wQ 2 ⎤ = i=1 2 Kn+|γ| ⎢ 2 +λ (wQγ,+) iπ - n+|γ| 2 - γ,-) ⎥ , (7.12) Γ(-λ),1 Δ| ⎣ 1 n+|γ| - 2 1 n+|γ| ⎦ Q | 2 γ,+ n 1 2 +λ Q 2 γ,- n 2 +λ где Q = ), ξ2 - квадратичная форма, двойственная к P = ), aix2, Δ - определитель мат- i=1 ai i i i=1 α рицы коэффициентов P, H(1) α и H(2) - функции Ханкеля первого и второго рода, соответ- ственно, Kα - модифицированная функция Бесселя. Доказательство. Рассмотрим сначала преобразование Ханкеля весовой обобщенной функции n + |γ| γ 2 (w2 + P )λ, где P = |x|2 - положительно определенная квадратичная форма и Re λ < - . Применяя (2.16), получим r γ Fγ [(w2 + P )λ](ξ) = jγ (x, ξ)(c2 + |x|2)λxγ dx = {x = rθ, r = |x|} = R n + r∞ r = (w2 + r2)λrn+|γ|-1dr jγ (rθ, x)θγ dS = S+ 0 1 (n) n Γ γi+1 2 = i=1 2n-1Γ n+|γ| r∞ | |- (w2 + r2)λjn+ γ 2 (r|ξ|)rn+|γ|-1dr = 2 2 0 n ∞ = |ξ|1- n+|γ| 2 2 |γ|-n 2 тт Γ i=1 γi + 1 r 2 0 | | (w2 + r2)λJn+ γ 2 -1 (r|ξ|)r n+|γ| 2 dr. Используя [127, формула 2.12.4.28] r∞ xν+1(x2 + z2)-ρ Jν (cx)dx = 0 cρ-1zν-ρ+1 2ρ-1Γ(ρ) Kν- ρ+1(cz), получим |γ|-n n+|γ| n Γ 2 2 +λ+1w 2 +λ γi+1 2 Fγ [(w2 + P )λ](ξ) = i=1 Kn+ γ (w|ξ|), (7.13) γ |ξ| +λ n+|γ| 2 Γ(-λ) 2 | | +λ где λ < 1 - n - |γ| . Для других значений λ преобразование Ханкеля F 4 γ путем аналитического продолжения по λ. γ (w2 + P )λ получается Пусть теперь P - любая вещественная квадратичная форма. Рассмотрим обобщенные функции γ (w2 + P + i0)λ γ и (w2 + P - i0)λ. В соответствии с единственностью аналитического продолже- ния, (7.13) дает, что |γ|-n 1 n+|γ| n 2 Fγ [(w2 + P ± i0)λ](ξ) = Γ 2 +λ+1e∓ 2 qπw 2 +λ γi+1 2 i=1 Kn+ γ 1 (w(Q ∓ i0) 2 ), (7.14) γ 1 n+|γ| +λ ,1 | | 2 +λ γ (Q ∓ i0) 2 2 n 1 Γ(-λ) |Δ| n где Q = ), ξ2 - квадратичная форма, двойственная к P = ), aix2, Δ - определитель матри- i=1 ai i i i=1 цы коэффициентов P. Принимая во внимание определения модифицированной функции Бесселя первого и второго рода (1.14) и (1.15), будем иметь Kn+|γ| 2 +λ 1 γ (w(Q ∓ i0) 2 ) π I- λ n+|γ| 2 - 1 +λ γ | | (w(Q ∓ i0) 2 ) - In+ γ 2 1 γ (w(Q ∓ i0) 2 ) 1 n+|γ| +λ = 2 1 n+|γ| = (Q ∓ i0) 2 2 sin 2 n+|γ| + λ π (Q ∓ i0) 2 2 +λ ⎛ ∞ π \ 1 w2m- λ n+|γ| 2 - m λ n+|γ| - - 2 = 2 sin + λ π n+|γ| 2 m=0 m! ⎝ 22m- λ n+|γ| 2 - Γ m - n+|γ| 2 (Q ∓ i0)γ - - λ +1 w2m+ +λ n+|γ| ⎞ 2 m - 22m+ n+|γ| 2 +λΓ m + n+|γ| (Q ∓ i0)γ ⎠ . 2 + λ +1 Весовые обобщенные функции (Q + i0)λ и (Q - i0)λ выражаются через Qλ и Qλ по формулам: γ (Q ∓ i0)μ = Qμ γ + e∓πμiQμ . γ,+ γ,- Тогда получим γ γ,+ γ,- Kn+|γ| 1 2 (w(Q ∓ i0)γ ) ∞ ⎛ 2m- n+|γ| -λ 2 +λ π \ 1 w 2 1 n+|γ| +λ = n+|γ| m! ⎝ 2m n+|γ| λ n+|γ| × (Q ∓ i0) 2 2 2 sin 2 + λ π m=0 2 - 2 - Γ m - 2 - λ +1 m λ n+|γ| - - πi m λ n+|γ| - - m λ n+|γ| - - × Qγ,+ 2 + e∓ Q 2 2 γ,- - w2m+ +λ n+|γ| 2 ⎞ m πim m - 22m+ n+|γ| 2 +λΓ m + n+|γ| Qγ,+ + e∓ Qγ,- ⎠ = 2 + λ +1 1 1 2 2 π I-λ- n+|γ| (wQγ,+) - Iλ+ n+|γ| (wQγ,+) = 2 2 sin n+|γ| 2 + 2 1 λ+ n+|γ| 2 + λ π (Qγ,+) 2 1 iπ Jλ+ (wQ -) e 2 ± n+|γ| γ, - + 2 2 λ+ n+|γ| π 1 -λ- | | γ,- J n+ γ (wQ 2 ) 1 2 . 2 i sin - λ + n+|γ| π (Q 2 )λ+ n+|γ| 2 Замечая, что 2 γ,- π I-α(x) - Iα(x) Kα(x) = 2 απi , sin(απ) απi H(1) J-α(x) - e- Jα(x) (2) J-α(x) - e Jα(x) будем иметь α (x) = , Hα (x) = i sin(απ) , -i sin(απ) Kn+|γ| 2 +λ 1 γ (w(Q + i0) 2 ) 1 2 λ+ K n+|γ| (wQγ,+) 2 iπ H (1) -λ- 1 (wQ ) 2 n+| γ| γ,- 2 1 n+|γ| +λ = 1 γ,+)λ+ 2 + n+|γ| 2 1 (Qγ, )λ+ , n+|γ| 2 (Q ∓ i0) 2 2 1 2 (Q 2 1 2 2 - 2 (2) 1 Kn+|γ| 2 +λ (w(Q - i0)γ ) λ+ K n+|γ| (wQγ,+) 2 iπ H -λ- n+| γ| (wQγ,-) 2 1 n+|γ| +λ = 1 γ,+)λ+ 2 n+|γ| - 2 1 (Qγ, )λ+ , n+|γ| 2 (Q ∓ i0) 2 2 (Q 2 2 - принимая во внимание (7.14), получаем (7.11) и (7.12). Следствие 7.1. Если P - положительно определенная квадратичная форма, то |γ|-n 1 n+|γ| n 2 Fγ (w2 + P + i0)λ = Γ 2 +λ+1e- 2 qπiw 2 +λ γi+1 2 i=1 Kn+ γ 1 (wQ 2 ), (7.15) γ 1 n+|γ| +λ 2 | | +λ γ,+ Γ(-λ),1 Δ|Q 2 2 |γ|-n | γ,+ 1 n+|γ| n 2 γ Fγ (w2 + P - i0)λ = Γ 2 +λ+1e 2 qπiw 2 +λ γi+1 2 i=1 1 n+|γ| +λ 2 Kn+| γ| +λ 1 (wQ 2 γ,+ ). (7.16) Γ(-λ),1 Δ|Q 2 2 | γ,+ Если P - отрицательно определенная квадратичная форма, то |γ|-n 1 n+|γ| n Fγ (w2 + P + i0)λ = iπ2 Γ 2 +λe- 2 qπiw 2 +λ γi+1 2 i=1 H(1) 1 (wQ 2 ), (7.17) γ 1 n+|γ| +λ λ n+|γ| - 2 - γ,- γ,- Γ(-λ),1|Δ|Q 2 2 |γ|-n 1 n+|γ| n γ Fγ (w2 + P - i0)λ = - iπ2 Γ 2 +λe 2 qπiw 2 +λ γi+1 2 i=1 1 n+|γ| +λ n+|γ| H(2) - 2 -λ 1 γ, (wQ 2 - ), (7.18) Γ(-λ),1 Δ|Q 2 2 | n 1 n γ,- где Q = ), ξ2 - двойственная к P = ), aix2 α квадратичная форма, H(1) α и H(2) - функции i=1 ai i i i=1 Ханкеля первого и второго родов и Kα - модифицированная функция Бесселя. ГЛАВА 3 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ B-ПОТЕНЦИАЛЫ В этой главе будем рассматривать интегральные операторы, которые могут быть представлены в виде, аналогичном виду обычных псевдодифференциальных операторов, с обратимым интеграль- ным преобразованием F и с некоторой весовой функцией w: A = F -1wF. Формально можно сразу получить подобное представление и для обратного оператора A-1 = F -1 1 F. w Однако при этом возникают трудности связанные, с тем, что при таком выборе функции w, при котором выражение F -1wF определено, выражение F -1 1 F может оказаться неопределенным. w Поэтому для построения обратного к A оператора нужно применять методы, регуляризующие выражение 1 F. В этой работе такое обращение осуществляется применением метода аппроксима- w тивных обратных операторов (см. раздел 10.1). Отметим, что в частности, при выборе в качестве функции w отрицательной вещественной степени квадратичной формы получаются известные потенциалы. А именно, в случае, когда F - преобразование Фурье, получаем, что F -1wF - потенциал Рисса, когда F - преобразование Хан- келя - B-потенциал Рисса. Мы будем рассматривать конструкцию F -1wF для случая, когда w является отрицательной вещественной степенью неопределенной квадратичной формы и когда F - преобразование Ханкеля. При таком выборе w получившиеся потенциалы будем называть гиперболическими B-потенциалами. Конструкция F -1wF может рассматриваться как частный случай оператора, полученного ком- позиционным методом, разработанным С. М. Ситником, для единообразного построения различных известных и новых классов операторов преобразования (см. [49, 50, 274]). При этом схема компо- зиционного метода оказывается применима не только для построения операторов преобразования, но и в других задачах, см. [51, 208] и ниже. ОГРАНИЧЕННОСТЬ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО B-ПОТЕНЦИАЛА p Целью этого раздела является исследование условий ограниченности многомерного гиперболи- ческого B-потенциала в весовых пространствах Lγ. Этот вопрос актуален в приложениях теории таких потенциалов к решению уравнений в частных производных, при построении оператора, об- ратного к гиперболическому B-потенциалу и при изучении пространств таких потенциалов. Краткая история теории потенциалов как дробных степеней операторов. Теория по- тенциалов восходит к классической механике Исаака Ньютона. Так, например, если f - интегри- руемая функция с компактным носителем, то ньютонов потенциал функции f представляет собой свертку (см. [12]) r VN f (x) = Rn v(x - y)f (y)dy, где ньютоново ядро v(x) имеет вид ⎧ 1 ⎪⎨ 2π log |x|, n = 2; v(x) = 1 ⎪⎩ n(2 - n)ωn | x|2-n, n ±= 2, ωn - объем единичного шара в Rn. Потенциал Ньютона VN функции f является решением уравнения Пуассона ΔVN = f, поэтому его можно рассматривать как реализацию отрицательной степени оператора Лапласа VN f = Δ-1f. Наряду с ньютоновым потенциалом широкое применение нашел волновой потенциал функции f (см. [12]) r VW f (x) = Rn ε(x - y)f (y)dy, где ε - фундаментальное решение волнового оператора. Потенциал VW удовлетворяет волновому уравнению VW = f, поэтому его можно интерпретировать как реализацию отрицательной степени оператора Даламбе- ра VW f = -1f. Первым, кто ввел дробные отрицательные степени операторов Лапласа и Даламбера, был вен- герский математик Марсель Рисс (см. [256] и [257]). Такие потенциалы называются теперь по- тенциалами Рисса. Рассмотренные Риссом потенциалы имели вид Iα Δf (P ) = γ и Iα 1 r n(α) Rn 1 r f (Q)r α-ndQ α-n H f (P ) = n (α) D f (Q)rPQ dQ, где P = (x1,..., xn), Q = (ξ1,..., ξn), γn(α), Hn(α) - соответствующие нормирующие множители, r = ,1(x1 - ξ1)2 + (x2 - ξ2)2 + ... + (xn - ξn)2 евклидово расстояние, rPQ = ,1(x1 - ξ1)2 - (x2 - ξ2)2 - ... - (xn - ξn)2 лоренцево расстояние, D - положительный полуконус x2 ;;; x2 + ... + x2 . В работе [257] показано, что ΔIα+2 1 2 n α Δ f (P ) = -IΔf (P ), Iα+2 α f (P ) = I f (P ), рассмотрены условия существования потенциалов Рисса, их свойства, а также они были приме- нены для построения явного решения задач Коши для эллиптических, гиперболических и па- раболических уравнений. Кроме того, потенциал Рисса может быть рассмотрен как обобщение дробного интеграла Римана-Лиувилля на многомерный случай. Приложения гиперболических потенциалов Рисса к решению неоднородных уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу приведены в работах [257, с. 70 и далее], [185, с. 54 и далее] и [194]. В связи с задачами интегральной гео- метрии на пространствах Лоренца аналоги гиперболических потенциалов Рисса рассматривались С. Хелгасоном в [219]. При этом потенциал в [219] определялся с учетом кривизны пространства Лоренца, равной -1, и это определение отличается от данного в работе [257]. Теория гиперболи- ческих потенциалов, введенных в книге [219], получила свое развитие в работах И. А. Киприянова и Л. А. Иванова [65, 66]. Дальнейшее изучение, свойства и применения классических потенциалов Рисса можно найти в книгах [136, 169, 219, 261]. Больше внимания уделялось потенциалам Рисса с евклидовым рас- стоянием (см. [186, 226, 251, 258, 279]). В [92] пространство риссовых потенциалов с евклидовым расстоянием функций из Lp было взято в качестве функционального пополнения бесконечно диф- ференцируемых финитных в Rn функций. В статьях [25, 38] изучаются ядра дробного порядка, которые представляют собой совокупность всех положительных степеней оператора, порождаемо- го функцией Грина для уравнения Лапласа. В [27-29, 31] получены оптимальные вложения для потенциалов типа Бесселя и типа Рисса. Что касается классических потенциалов Рисса с лоренцевым расстоянием, то они исследовались в [136], а обратные к ним были построены в [116,117]. Кроме того, в [136] рассмотрена реализация дробной отрицательной степени оператора Даламбера как свертки со степенью неопределенной квадратичной формы. В этом случае интегрирование ведется по двум множествам: x2 2 2 2 2 2 1 ;;; x2 + ... + xn и x1 � x2 + ... + xn. Такой оператор дробного интегрирования называется гиперболическим потенциалом или потен- циалом с лоренцевым расстоянием. Подробно изучено дробное интегродифференцирование, являющееся дробной степенью E - Δ, где E - единичный оператор. При отрицательных вещественных степенях такой оператор называ- ется потенциалом Бесселя. Обобщения потенциалов Бесселя и Рисса с евклидовым расстоянием, их свойства и пространства таких потенциалов изучены в [26-28, 30, 32, 91]. Наряду с операторами, представляющими дробные степени операторов Δ, и E-Δ, развивается и теория дробных степеней дифференциальных операторов с оператором Бесселя Bν = D2 + ν d D, D = . x dx Хорошо развита теория дробных степеней эллиптических операторов с операторами Бесселя вме- сто всех или некоторых вторых производных. Такие операторы в случае отрицательных степеней являются аналогами потенциалов Рисса с евклидовым расстоянием и называются эллиптическими B-потенциалами Рисса (см. [96-98, 98-101, 106-108, 108, 211-217, 262]). Дробные степени гиперболических операторов с операторами Бесселя вместо всех или неко- торых вторых производных гораздо менее изучены, несмотря на то, что их изучение открывает широкие возможности для теоретических исследований и практических приложений не только сингулярных дифференциальных уравнений, но и дифференциальной геометрии. α В этой главе будем рассматривать отрицательные вещественные степени ( γ )- 2 , их свойства и обращение. Приложения к решению дифференциальных уравнений, в том числе и дробного поряд- α ка приведены в главе 4. Для построения ( γ )- 2 применяется частный случай композиционного метода (см. [49, 50, 144]). А именно, формально, они строятся в виде γ P F-1 λ(x)Fγ, где P (x) - квадратичная форма. Случай знакоположительной квадратичной формы P (x) приводит нас к хорошо изученному B-потенциалу Рисса с евклидовым расстоянием, реализующим веще- ственную отрицательную степень оператора -Δγ. Для построения вещественной отрицательной степени оператора γ нужно брать неопределенную квадратичную форму P (x) = x2 - x2 - ... - x2 . 1 2 n Различные реализации степеней такой формы посредством весовых обобщенных функций осу- ществлены в главе 2. Поэтому, вообще говоря, можно построить несколько видов дробных степе- ней γ, таких как F-1 λ -1 λ γ Pγ,±Fγ, Fγ (P ± i0)γ Fγ. При этом потенциалы вида F-1Pλ Fγ будем называть гиперболическими B-потенциалами γ γ,+ Рисса, так как в этом случае интегрирование производится по множеству x2 ;;; x2 + ... + x2 , + x ∈ Rn . F-1 λ 1 2 n Потенциалы γ (P ± i0)γ Fγ будем называть гиперболическими B-потенциалами, или B- потенциалами с лоренцевым расстоянием. Свойства гиперболических B-потенциалов Рисса можно найти в [263, 267]. γ, Исходя из вида преобразования Ханкеля (см. теоремы 7.2 и 7.3) функций Pλ ± γ и (P ±i0)λ можно заключить, что наиболее естественно рассматривать в качестве гиперболических B-потенциалов Рисса конструкции вида F-1 λ Однако F-1Pλ γ (P ± i0)γ Fγ. Fγ является более простым и удобным при построении решения задачи Коши для γ γ,+ неоднородного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. В следующем разделе дадим определение гиперболических B-потенциалов, учитывая форму- лу (7.6), и то, что в нашем случае p = 1, q = n - 1. Определения гиперболических B-потенциалов и их абсолютная сходимость. В этом разделе дадим определение гиперболических B-потенциалов в удобной интегральной форме и докажем теорему, содержащую условия, при которых такие потенциалы сходятся абсолютно. Будем рассматривать операторы, реализующие дробные степени B-гиперболического оператора вида ∂2 γi ∂ i i γ = Bγ1 - Bγ2 - ... - Bγn , Bγi = ∂x2 + x , i = 1,...,n ∂xi p в пространствах Sev и Lγ. Отрицательные вещественные степени оператора γ гиперболическими B-потенциалами. будем называть B I Определение 8.1. Гиперболические -потенциалы α P ±i0,γ определяются формулами n-1+|γ1| iπ r α n γ n (Iα e± 2 f )(x) = (P i0) - -| | 2 (γ Ty f )(x)yγ dy, yγ = тт yγi , (8.1) P ±i0,γ Hn,γ (α) ± γ x R n + i i=1 где γl = (γ2,..., γn), |γl| = γ2 + ... + γn, n Γ γi+1 Γ α 2 2 Hn,γ (α) = i=1 . 2 2n-αΓ n+|γ|-α Принимая во внимание (5.41) и (5.42) формулу, определяющую гиперболические B-потенциалы, Iα P ±i0,γ можно переписать в виде n-1+|γ1| iπ ⎡ r (Iα e± 2 f )(x) = rα-n-|γ|(y)(γ Tyf )(x)yγdy + P ±i0,γ Hn,γ (α) ⎣ x K+ ⎤ + e± πi α-n-|γ| r 2 xf )(x)y |r(y)|α-n-|γ|(γ Ty γ dy⎦ , (8.2) где K- K+ = {x : x ∈ Rn : P (x) ;;; 0}, K- = {x : x ∈ Rn : P (x) � 0}, + + ; r(y) = ,1P (y) = y2 - y2 - ... - y2 . 1 2 n Функция r(y) называется лоренцевым расстоянием, а K+ - часть светового (или характери- стического) конуса. Введя обозначения (I α P+,γ r f )(x) = x rα-n-|γ|(y)(γ Tyf )(x)yγdy, (8.3) (I α P-,γ K+ r f )(x) = x |r(y)|α-n-|γ|(γ Tyf )(x)yγdy, (8.4) запишем (Iα e± f )(x) = K- 2 n-1+|γ1| iπ (Iα πi α α-n-|γ| f )(x)+ e± 2 (I f )(x) . (8.5) P ±i0,γ Hn,γ (α) P+,γ P-,γ Замечание 8.1. Пусть yl = (y2,..., yn), |yl| = ,1y2 + ... + y2 , (yl)γ1 = yγ2 ... yγn . При n ;;; 3 имеем r∞ r 2 n 2 n α n γ (I α P+,γ f )(x) = 0 r∞ 1 yγ1 dy1 + {|y1|<y1} r 1 - 2 (γ Tyf )(x)(y )γ1 dy , (8.6) (y2 - |yl|2) -| | l l x α n γ (I α P-,γ f )(x) = 0 1 yγ1 dy1 + {|y1|>y1} 1 (|yl|2 - y2) - 2 (γ Tyf )(x)(y )γ1 dy , (8.7) -| | l l x + n l l + n l где {|yl| < y1} При n = 2: = {y ∈ R+ : |y | < y1}, {|y | > y1} = {y ∈ R+ : |y | > y1}. ∞ y1 r γ y γ2 (Iα f )(x) = r yγ1 dy1 (y2 - y2) α-2-|γ| 2 ( T f )(x)y dy2, P+,γ 1 1 0 0 r∞ r∞ 2 x 2 α 2 γ (Iα f )(x) = yγ1 dy1 -| (y2 - y2) - 2 | (γ Tyf )(x)yγ2 dy . P-,γ 1 2 1 0 y1 x 2 2 Переходя в сферическим координатам yl = ρσ в (8.6) и (8.7), получим ∞ y1 r (Iα f )(x) = |S+(n - 1)|γ α-n-|γ| r yγ1 dy1 (y2 - ρ2) 2 ρn+|γ1|-2( γ1 Ty1 )(Mγ1 )x [f (x1, xl)]dρ, (8.8) P+,γ 1 1 1 0 0 r∞ r∞ α n γ x1 ρ 1 (Iα f )(x) = |S+(n - 1)|γ yγ1 dy1 -| | (ρ2 - y2) - 2 ρn+|γ1|-2( γ1 Ty1 )(Mγ1 ) [f (x , xl)]dρ, (8.9) где P-,γ 1 1 1 0 y1 1 r x1 ρ x1 1 (Mγ1 )x [f (x1, xl)] = γ1 Tρσf (x1, xl)σγ1 dS 1 1 ρ |S+(n - 1)|γ x1 S+ 1 (n-1) 1 - весовое сферическое среднее (3.39) по S+(n - 1). При f (x) = ϕ(x1)G(xl), тогда (8.8) и (8.9) примут вид (Iα f )(x) = |S+(n-1)|γ r∞ ( γ1 Ty1 )[ϕ(x1)]yγ1 dy1 y1 r (Mγ1 )x [G(xl)](y2 -ρ2) n+ γ1 2 α-n-|γ| 2 ρ | |- dρ, (8.10) P+,γ 1 x1 0 r∞ 1 ρ 1 0 r∞ 1 α n γ (Iα f )(x) = |S+(n-1)|γ ( γ1 Ty1 )[ϕ(x1)]yγ1 dy1 -| | (Mγ1 )x [G(xl)](ρ2 -y2) - 2 ρn+|γ1|-2dρ. (8.11) P-,γ 1 x1 0 1 ρ 1 1 y1 P ±i0,γ Теорема 8.1. Пусть f ∈ Sev и n + |γ|- 2<α. Тогда интегралы (Iα f )(x) сходятся абсо- + лютно на Rn . Доказательство. Рассмотрим (8.2) и докажем абсолютную сходимость каждого слагаемого. Нач- нем с (8.3). Перейдем в r xf )(x)y rα-n-|γ|(y)(γ Ty γdy K+ к сферическим координатам y = ρσ, ρ = |y|, σl = (σ2,..., σn): r rα-n-|γ|(y)(γ Ty r ∞ r γ α-1 2 l 2 α- n-|γ| γ ρσ γ K+ где xf )(x)y dy = ρ 0 dρ 1 {S+(n),|σ1|<σ1} (σ1 - |σ | ) 2 ( T f )(x)σ dS, {S+(n), |σl| < σ1} = {σl ∈ Rn-1 : σ2 + |σl|2 = 1, |σl| < σ1}. 1 Используя формулу + 1 γ Ty γ x xf (x) = Tyf (y) (см. элементарное свойство 5 обобщенного сдвига) и то, что обобщенный сдвиг ограничен, т. е. x R n |γ Tyf (x)| � sup |f (x)| + (см. элементарное свойство 7 обобщенного сдвига и [90, с. 124]) и учитывая, что f ∈ Sev, получим 1 1 1 r 1 r∞ ρα-1 r α-n-|γ| 1 1 rα-n-|γ|(y)(γ Ty γ 1 1 2 l 2 2 γ 1 1K+ xf )(x)y dy � C 1 1 0 (1 + ρ2) α+1 dρ 2 S+ 1 (n),|σ1|<σ1 (σ1 - |σ | ) o dS < ∞, при α > n + |γ|- 2. Аналогично получаем, что (8.4) сходится абсолютно при α > n + |γ|- 2. Таким P ±i0,γ образом, при α > n + |γ|- 2 абсолютно сходятся и интегралы (Iα f )(x). Iα Ограниченность, полугрупповые свойства гиперболического B-потенциала. В этом разделе докажем теорему, содержащую необходимые и достаточные условия ограниченности P ±i0,γ . Для доказательства теоремы об ограниченности потенциала будет использована интер- поляционная теорема Марцинкевича. Интерполяционная теорема Марцинкевича доказана в общем виде в [7] (см. также [4]). Здесь приведем частный случай этой теоремы, приспособленный для оценки интегралов со степенными весами. Теорема 8.2. Пусть 1 � pi � qi < ∞ (i = 1, 2), q1 ±= q2, 0 < τ < 1, 1 = 1 - τ + τ , p p1 p2 1 = 1 - τ + τ . q q1 q2 Если линейный оператор A имеет одновременно слабый тип (p1, q1)γ и слабый тип (p2, q2)γ с нормами K1 и K2, соответственно, то оператор A имеет сильный тип (p, q)γ и ||Af ||q,γ � MK1-τ Kτ ||f ||p,γ, (8.12) 1 2 где M = M (γ, τ, p1, p2, q1, q2) и не зависит от f и A никаким другим образом. n + |γ| Теорема 8.3. Пусть n + |γ|- 2 < α < n + |γ|, 1 � p < неравенство . Для того, чтобы выполнялось α ||I α P ±i0,γ f ||q,γ � Cn,γ,p||f ||p,γ, f (x) ∈ Sev, (8.13) необходимо и достаточно, чтобы Константа Cn,γ,p не зависит от f. q = (n + |γ|)p . n + |γ|- αp n + |γ| Доказательство. Необходимость. Пусть n+|γ|-2 < α < n+|γ|, 1 < p < r справедливо неравенство и при некотором α ||I α P ±i0,γ f ||q,γ � Cn,γ,p||f ||p,γ, f (x) ∈ Sev. (8.14) Покажем, что выполнение неравенства (8.14) возможно, только если q = (n + |γ|)p n + |γ|- αp . Получим требуемое неравенство для каждого слагаемого в представлении (8.5). Рассмотрим оператор растяжения τδ : (τδf )(x) = f (δx), δ > 0. Имеем 1 1 ⎛ r ⎝ ||τδf ||p,γ = ⎜ ⎞ p fp(δx)xγdx⎟ ⎠ ⎛ r = ⎜δ-n-|γ| ⎝ ⎞ p fp(y)yγdy⎟ . ⎠ Следовательно, R R n n + + n+|γ| P ,γ Для (Iα + f )(x) получим: ||τδf ||p,γ = δ- r p ||f ||p,γ. (8.15) α-n-|γ| (Iα f )(x) = [y2 - y2 - ... - y2 ] 2 (γ Tyτδf )(y)yγdy = P+,γ 1 2 n x K+ r [y2 - y2 - ... - y2 ] γ α-n-|γ| 2 y dy = 22n-|γ|C(γ) 1 K+ 2 n (xy)γ-1 × x1+y1 r xn+yn n r γ i × ... f (δz) тт zi[(z2 - (xi - yi)2)((xi + yi)2 - z2)] 2 -1dz = |x1-y1| |xn-yn| i=1 i = {δz = s} = α-n-|γ| δ(x1+y1) i δ(xn+yn) r [y2 - y2 - ... - y2 ] 2 yγdy r r = 22n-|γ|C(γ) 1 K+ n 2 n (xy)γ-1 δ|x1-y1| ... δ|xn-yn| γi f (s)δ-n× i тт si г s2 2 s 2 l 2 -1 2 i × δ i=1 δ2 - (xi - yi) (xi + yi) - δ2 α-n-|γ| ds = r [y2 - y2 - ... - y2 ] 2 yγdy = δ2n-2|γ|22n-|γ|C(γ) 1 K+ 2 n (xy)γ-1 × δ(x1+y1) r δ(xn+yn) r n γ i × ... f (s) тт si[(s2 - δ2(xi - yi)2)(δ2(xi + yi)2 - s2)] 2 -1ds = δ|x1-y1| δ|xn-yn| i=1 i = {δy = t} = i α-n-|γ| r δn+|γ|-α[t2 2 2 2 -n-|γ| γ = δ2n-2|γ|22n-|γ|C(γ) 1 - t2 - ... - tn] δ t dt δx1+t1 r K+ δxn+tn n r δn-|γ|(xt)γ-1 × γ × ... i f (s) тт si[(s2 - (δxi - ti)2)((δxi + ti)2 - s2)] 2 -1ds = |δx1-t1| |δxn-tn| i i=1 α-n-|γ| δx1+t1 i δxn+tn r [t2 - t2 - ... - t2 ] 2 tγdt r r = δ-α22n-|γ|C(γ) 1 K+ 2 n δ|γ|-n(xt)γ-1 |δx1-t1| ... |δxn-tn| f (s)× n γi × тт si[(s2 - (δxi - ti)2)((δxi + ti)2 - s2)] 2 -1ds = r = δ-α i i=1 (γ Tδx 2 2 i 2 γ α α α-n-|γ| 2 - Тогда t f (t))[t1 - t2 - ... - tn] K+ t dt = δ τδ (IP+,γ f )(x). (Iα f )(x) = δατ -1(Iα τδf )(x). (8.16) Далее имеем P+,γ ⎛ r δ P+,γ 1 ⎞ q ||τ -1Iα f ||γ = ⎜ (τ -1(Iα f )(x))qxγdx⎟ = δ P+,γ q ⎝ δ R n + ⎛ ⎛ P+,γ ⎠ 1 ⎞q ⎞ q r r α-n-|γ| x n+|γ| = ⎜ [y2 - y2 - ... - y2 ] 2 (γ T δ f )(y)yγdy xγdx⎟ = x = t = δ q ||Iα f ||γ, ⎝ ⎝ 1 2 n R K n + + y ⎠ ⎠ δ P+,γ q следовательно, ||τ -1Iα f ||γ = δ α n+|γ| q ||I f ||γ. (8.17) δ P+,γ q P+,γ q Используя (8.15), (8.16) и (8.17), получим n+|γ| n+|γ| ||Iα f ||q,γ = δα||τ -1Iα τδf ||q,γ = δ q +α||Iα τδf ||q,γ � Cn,γ,pδ q +α||τδf ||p,γ = или P+,γ δ P+,γ = Cn,γ,pδ n+|γ| q - P+,γ +α n+|γ| p ||f ||p,γ, ||I α P+,γ f (x)||q,γ � Cn,γ,p δ n+|γ| q - +α n+|γ| p ||f (x)||p,γ. (8.18) Если n + |γ| q - n + |γ| + α > 0 или p n + |γ| q - n + |γ| + α < 0, то переходя в (8.18) к пределу при p p δ → 0 или δ → ∞, соответственно, получаем, что для всех функций f ∈ Lγ справедливо ||I α P+,γ f ||q,γ = 0, что неверно. Следовательно, неравенство (8.18) возможно, только если n + |γ| q - n + |γ| + α = 0, p т. е. при q = (n + |γ|)p n + |γ|- αp . Необходимость доказана. Достаточность. Пусть xl = (x2,..., xn), |xl| = ,1x2 + ... + x2 , (xl)γ1 = xγ2 ... xγn . Не ограни- чивая общности, будем полагать, что f (x) ;;; 2 n 2 n 0 и ||f ||p,γ = 1. Возьмем 0 < δ < 1. Рассмотрим операторы r (I α P+,γ,δ f )(x) = 2 δy2;;;|y1| x rα-n-|γ|(y)(γ Tyf )(y)yγdy, (I α P-,γ,δ 1 r f )(x) = y2 x rα-n-|γ|(y)(γ Tyf )(y)yγdy. 1 2 1 �δ|y | Пусть μ - некоторое фиксированное вещественное число. Введем обозначения G0 n 2 l 2 ∞ n 2 l 2 δ,μ = {y ∈ R+ : δy1 ;;; |y | , 0 � y1 � μ}, Gδ,μ = {y ∈ R+ : δy1 ;;; |y | , μ < y1}, δ,μ; K+  rα-n-|γ|(y), y ∈ G0 δ,μ; +  rα-n-|γ|(y), y ∈ G∞ 0,δ (y) = 0, y ∈ Rn \ G0 , K (y) = 0, y ∈ Rn \ G∞ , H0 n 2 + l 2 l δ,μ ∞,δ ∞ n 2 l 2 + δ,μ l δ,μ = {y ∈ R+ : y1 � δ|y | , |y | � μ}, Hδ,μ = {y ∈ R+ : y1 � δ|y | , μ < |y |}, δ,μ; M +  rα-n-|γ|(y), y ∈ H0 δ,μ; +  rα-n-|γ|(y), y ∈ H∞ 0,δ (y) = 0, y ∈ Rn \ H0 , M∞,δ (y) = 0, y ∈ Rn \ H∞ . В этих обозначениях имеем + δ,μ + δ,μ (I α P+,γ,δ 0,δ f )(x) = (K+ ∞,δ ∗ f )γ + (K+ ∗ f )γ, (8.19) (I α P-,γ,δ 0,δ f )(x) = (M + γ f ) + (M + ∞,δ ∗ f )γ. (8.20) I Чтобы применить теорему Марцинкевича, докажем, что операторы α P±,γ,δ имеют слабый тип (p1, q1)γ и (p2, q2)γ, где p1, q1, p2, q2 такие, что 1 = 1 - τ + τ , p p1 p2 1 = 1 - τ q q1 τ + , 0 < τ < 1. q2 Получим с этой целью оценку для sup λ(μγ (Iα f, λ))1/p = sup λ mesγ {x ∈ Rn : |(Iα f )(x)| > λ} . 0<λ<∞ P±,γ,δ 0<λ<∞ + P±,γ,δ + Учитывая (8.19) и (8.20), достаточно оценить mesγ {x ∈ Rn 0,δ : |(K+ + f )γ | > λ}, mesγ {x ∈ Rn : |(K n + ∞,δ ∗ f )γ | > λ}, mesγ {x ∈ R+ : |(M + 0,δ n ∗ f )γ | > λ}, mesγ {x ∈ R+ : |(M + ∞,δ f )γ | > λ} и применить неравенство mesγ {x ∈ Rn : |A + B| > λ} � mesγ {x ∈ Rn : |A| > λ} + mesγ {x ∈ Rn : |B| > λ}. + + + Для оценки обобщенной свертки будем использовать неравенство Юнга (3.26). Имеем r ||K+ ||1,γ = r K+ (y)yγdy = (y2 - y2 - ... - y2 ) γ α-n-|γ| 2 y dy = 0,δ μ r 0,δ R n + r 1 2 n G 0 δ,μ α-n-|γ| 1 = yγ1 dy1 0 |y1| �δy1 1 (y2 - |yl|2) + 2 (yl)γ1 dyl = {yl = y1zl, zl ∈ Rn-1} = 2 2 μ r r yα-1 = 1 dy1 (1 - |zl|2) α-n-|γ| 2 (zl)γ1 dzl μ r r 1 � yα-1dy1 (1 - |zl|2) α-n-|γ| 2 (zl)γ1 dzl = 2 0 |z1| �δ μα r 0 α-n-|γ| 2 |z1| �1 = α |z1|�1 n (1 - |zl|2) α,n,γ 2 (zl)γ1 dzl = C1 μα, Γ α-n-|γ|+2 Γ γi+1 где C 1 α,n,γ = 21-n 2 i=2 2 не зависит от δ. Следовательно, 2 αΓ α-γ1+1 ||K+ ||1,γ � C1 μα, (8.21) 0,δ а это означает, что K+ 1 ∈ Lγ. 0,δ α,n,γ 0,δ Рассмотрим теперь M + : r ||M + ||1,γ = r M + (y)yγdy = (y2 - y2 - ... - y2 ) γ α-n-|γ| 2 y dy = 0,δ 0,δ R n + 1 2 n H 0 δ,μ r r = (yl)γ1 dyl (|yl|2 - y2) γ1 1 α-n-|γ| 2 y dy1 = {y1 = |yl|z1, z1 ∈ R } = |y1|�μ 1 1 + 2 y2�δ|y1| 1 r r = |yl|α-n-|γ|+γ1+1(yl)γ1 dyl 1 (1 - z2) α-n-|γ| 2 1 zγ1 dz1 � |y1|�μ � D 1 α,n,γ r |y1|�μ 1 z2�δ |yl|α-n-|γ|+γ1+1(yl)γ1 dyl, где D 1 α,n,γ = Г z2 1 �1 1 (1 - z2) γ1 α-n-|γ| 1 2 z dz1 не зависит от δ. В оставшемся интеграле перейдем к сфери- ческим координатам yl = ρσ, получим ||M + ||1,γ � D2 μ r ρα-1dρ = D3 μα, где D 3 α,n,γ 1 = Г α S+ σγ1 dS. 0,δ α,n,γ 0 α,n,γ 1 (n-1) Оценим норму K+ . Возьмем pl таким, что 1 + 1 = 1. Оценим ||K+ || . Пусть сначала p ±= 1 ∞,δ (т. е. pl ±= ∞), тогда ⎛ r p pl ⎞1/p1 ⎛ 1 r ∞,δ α-n-|γ| p1,γ 1 ⎞1/p1 ||K+ ||p1,γ = ⎜ |K+ (y)|p yγdy⎟ = ⎜ (y2 - |yl|2) 2 p yγdy⎟ = ∞,δ ⎝ 0,δ R n + ⎠ ⎝ 1 ⎠ G ∞ δ,μ ⎛ ∞ ⎜ = r γ1 r 2 l 2 p1 α-n-|γ| 2 l γ1 ⎞1/p1 l⎟ l l l n-1 ⎝ y1 dy1 μ |y1| �δy1 (y1 - |y | ) (y ) dy ⎠ = {y = y1z ,z ∈ R+ } = 2 2 ⎛ r∞ r α-n-|γ| ⎞1/p1 1 1 = ⎜ y(α-n-|γ|)p1+n+|γ|-1dy ⎝ 2 μ |z1| �δ n (1 - |zl|2) 2 p1 (zl)γ1 dzl⎟ � ⎠ Γ γi+1 2 ⎛ ∞ α-n-|γ| r 1 ⎞1/p1 α-n-|γ| n+|γ| 2 Γ n+ γ1 +1 � i=2 (1 - δ) 2 n | | 2 1 ⎝ y(α-n-|γ|)p +n+|γ|-1dy1⎠ μ 2 Γ n -n γi+1 2 = C 2 α,n,γ (1 - δ) 2 μ- q , Здесь мы учли, что C2 α,n,γ,p = i=2 . 2 ((n + |γ|- α)pl - n - |γ|)1/p1 Γ n+|γ1|+1 p n + |γ| (n + |γ|)p Тогда α - n - |γ|<0, pl = p , p < - 1 , q = α . n + |γ|- αp || K+ ∞,δ α,n,γ,p ||p1,γ � C2 (1 - δ) α-n-|γ| 2 μ- n+|γ| q , 1 1 + p pl = 1, (8.22) следовательно, K+ ∞,δ p1 ∈ Lγ , pl < ∞. Переходя к пределу в (8.22) при pl → ∞, получим n+|γ1| en+|γ|-α n Γ γi+1 ||K+ || � C2 (1 - δ) α-n-|γ| 2 μ- 2 n+|γ| q , C = i=2 2 . (8.23) ∞,δ ∞,γ α,n,γ,1 α,n,γ,1 1 1 2 2nΓ n+|γ1|+1 ||M Оценим + ∞,δ ||p1,γ . Возьмем pl таким, что + p pl = 1. Пусть сначала p ±= 1 (т. е. pl ±= ∞), тогда ⎛ ⎞1/p1 ⎛ r 1 r α-n-|γ| 1 ⎞1/p1 || | | M + ∞,δ ⎛ ⎝ ||p1,γ = ⎜ R n + M + ∞,δ p yγdy⎟ ⎠ = ⎜ ⎝ H ∞ δ,μ 1 (|yl|2 - y2) ⎞1/p1 2 p yγdy⎟ = ⎠ = ⎜ r γ1 r p1 2 2 α-n-|γ| γ1 ⎟ l 1 ⎝ μ�|y1| (yl) dyl 2 y2�δ|y1| 2 (|yl| - y1 ) y1 dy1⎠ = {y1 = |y |z1, z1 ∈ R+} = 1 ⎛ = ⎜ r (α-n-|γ|)p1+γ1+1 l γ1 l r p1 2 1 α-n-|γ| γ 2 ⎞1/p1 ⎟ ⎝ μ�|y1| |yl| α-n-|γ| (y ) ⎛ r dy 1 z2�δ (1 - z1 ) z1 dz1⎠ � ⎞1/p1 � D 4 α,n,γ (1 - δ2) 2 ⎜ ⎝ μ�|y1| ⎠ |yl|(α-n-|γ|)p1+γ1+1(yl)γ1 dyl⎟ . В оставшемся интеграле перейдем к сферическим координатам yl = ρσ, получим || M + ∞,δ α,n,γ ||1,γ � D5 (1 - δ2) α-n-|γ| 2 ⎛ ∞ ⎞1/p1 r ⎝ ρ(α-n-|γ|)p1+n+|γ|-1dρ⎠ μ α,n,γ = D5 (1 - δ2) α-n-|γ| 2 n+|γ| μ- q . Здесь мы учли, что p n + |γ| (n + |γ|)p Тогда α - n - |γ|<0, pl = p , p < - 1 , q = α . n + |γ|- αp ||M + ∞,δ α,n,γ,p ||p1,γ � D5 (1 - δ) α-n-|γ| 2 μ- n+|γ| q , 1 1 + p pl = 1, (8.24) M следовательно, + ∞,δ p1 ∈ Lγ , pl < ∞. Переходя к пределу в (8.24) при pl → ∞, получим α-n-|γ| n+|γ| Таким образом, имеем || M + ∞,δ ||∞,γ � D 6 α,n,γ,1 (1 - δ) 2 μ- q . (8.25) (1 - δ) (1 - δ) ||K+ n+|γ|-α 2 ∞,δ ||M + n+|γ|-α 2 ∞,δ ||p1,γ � Cμ- ||p1,γ � Cμ- n+|γ| q , 1 � pl � ∞, n+|γ| q , 1 � pl � ∞. Тогда, применяя (3.27), получим n+|γ|-α n+|γ|-α n+|γ| (1 - δ) ∞,δ 2 ||(K+ ∗ f )γ || ∞,γ � (1 - δ) ||K 2 + ∞,δ ||p1,γ � Cμ- q (1 - δ) ||(M + n+|γ|-α 2 ∞,δ ∗ f )γ || n+|γ| ∞,γ � (1 - δ) ||M + n+|γ|-α 2 ∞,δ ||p1,γ � Cμ- n+|γ| q . Если мы выберем μ так, что Cμ- q = λ, то будем иметь n+|γ|-α + mesγ {x ∈ Rn : (1 - δ) | 2 (K+ ∞,δ ∗ f )γ | > λ} = 0 + mesγ {x ∈ Rn : (1 - δ) |(M + n+|γ|-α 2 ∞,δ ∗ f )γ | > λ} = 0. Тогда, учитывая (8.19) и (8.20) и применяя неравенство Юнга (3.26), получим n+|γ|-α + 2 |(I mesγ {x ∈ Rn : (1 - δ) α P+,δ n+|γ|-α f )(x)| > 2λ} � + |(K � mesγ {x ∈ Rn : (1 - δ) 2 + 0,δ ∗ f )γ | > λ}+ + +mesγ {x ∈ Rn : (1 - δ) | + n+|γ|-α 2 (K ∞,δ ∗ f )γ | > λ} = + p + = mesγ {x ∈ Rn : (1 - δ) n+|γ|-α |(K+ n+|γ|-α 2 0,δ ∗ f )γ | > λ} � (1 - δ) n+|γ|-α � n+|γ|-α ||(K0,δ ∗ f )γ ||p,γ 2 λp (1 - δ) 2 p||K+ ||p ||f ||p (C1 )p(1 - δ) 2 p μpα n+ γ α 1 � 0,δ 1,γ p,γ α,n,γ 7 | |- Аналогично, λp � λp = C (1 - δ) 2 λq . n+|γ|-α n+|γ|-α 1 + mesγ {x ∈ Rn : (1 - δ) 2 |(I α P-,δ f )(x)| > 2λ} � C7(1 - δ) 2 . λq I Мы доказали, что операторы α P±,γ,δ имеют слабый тип (p, q)γ, где p и q связаны равенством (n + |γ|)p Пусть 0 < τ < 1. Возьмем q = . n + |γ|- αp p1 = p(1 - τ ) 1 - τp ∈ г1, n + |γ| . α I Операторы α P±,γ,δ имеют слабый тип | | n + γ 1, n + |γ|- α и слабый тип γ (n + |γ|)p1 1 γ p1, n + |γ|- αp . Тогда I по теореме Марцинкевича операторы α P±,γ,δ имеет сильный тип | | (n + γ )p p, n + |γ|- αp и справедливо γ неравенство: ||(1 - δ) 2 (Iα n+|γ|-α P±,γ,δ f )(x)||q,γ � M (1 - δ) n+|γ|-α 2 ||f ||p,γ, откуда ||(I α P±,γ,δ f )(x)||q,γ � M ||f ||p,γ, 1 � p< n + |γ| α , n + |γ|- 2<α<n + |γ|. (8.26) Поскольку f (x) ;;; 0, то при 0 < δ1 � δ2 � ... � δm � ... < 1 В силу того, что (I α P±,γ,δ1 P ,γ,δ2 f )(x) � (Iα ± P ,γ,δm f )(x) � ... � (Iα ± f )(x) � ... lim(I α P±,γ,δ P ,γ f )(x) = (Iα ± f )(x) δ→1 переходя к пределу при δ → 1 в (8.26) получим n + |γ| ||(I α P±,γ Теорема доказана. f )(x)||q,γ � M ||f ||p,γ, 1 � p< α , n + |γ|- 2<α<n + |γ|. I В дальнейшем операторы α P±,γ p на функциях из Lγ будем понимать как продолжения по огра- ниченности операторов (8.1) n-1+|γ1| iπ r α n γ n (Iα e± 2 f )(x) = (P i0) - -| | 2 (γ Ty f )(x)yγ dy, yγ = тт yγi . (8.27) P ±i0,γ γn,γ (α) ± γ x R n + i i=1 p Если этот интеграл абсолютно сходится для f ∈ Lγ, то указанные продолжения представимы в виде (8.27). СВОЙСТВА ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ B-ПОТЕНЦИАЛОВ И ПРИМЕРЫ В этом разделе докажем полугрупповые свойства гиперболических B-потенциалов и приведем примеры действия гиперболических B-потенциалов на конкретные функции. Полугрупповые свойства гиперболических B-потенциалов. Будем рассматривать про- V странство Лизоркина-Самко Φγ (см. (2.20)) в случае, когда V = {x ∈ Rn : P (x) = 0}, P (x) = x2 - x2 - ... - x2 . + 1 2 n Используя тот факт, что преобразование Ханкеля гиперболических B-потенциалов Рисса имеет вид Fγ I α P ±i0,γ α γ f = (P ∓ i0)- 2 Fγ f, (9.1) где f ∈ Φγ , V = {x ∈ Rn : P (x) = 0}, получим полугрупповое свойство для Iα и формулу V вида k Iα+2k + , где P ±i0,γ γ P ±i0,γ ∂2 γi ∂ i ∈ i γ = Bγ1 - Bγ2 - ... - Bγn , Bγi = ∂x2 + x , k N. ∂xi Теорема 9.1. Гиперболические B-потенциалы Рисса при f ∈ Φγ , V = {x ∈ Rn : P (x) = 0}, удовлетворяют равенству Iβ α V + α+β P ±i0,γ IP ±i0,γ f = IP ±i0,γ f. (9.2) Доказательство. Используя (9.1), получим Fγ [I β P ±i0,γ I α P ±i0,γ P ±i0,γ f ](ξ) = Fγ [Iα β f ](ξ)(Q ∓ i0)- 2 = Fγ [f ](ξ)(Q ∓ i0)- = Fγ [Iα+β α+β 2 P ±i0,γ f ](ξ). Применение обратного преобразования Ханкеля приводит к (9.2). Теорема 9.2. Для f ∈ Sev, n + |γ|- 2 < α и k ∈ N, справедлива формула ( γ )k Iα+2k α где P ±i0,γ f = IP ±i0,γ f, (9.3) n i γ = Bγ1 - \ Bγ . i=2 x Доказательство. Используя представление (8.1), переместительность γ Ty (см. (3.3)) и [57, фор- мула 1.8.3] в виде γi Tyi γi yi получим xi (Bγi )xi = (Bγi )xi Txi , n-1+|γ1| r α+2k n γ ( γ )k (Iα+2k e± f )(x) = 2 iπ ( γ )k (P ± i0)γ - -| | 2 (γ Tyf )(x)yγdy = P ±i0,γ Hn,γ (α + 2k) x R n + n-1+|γ1| r α+2k n γ e± 2 iπ = x γ Ty ( γ )k (P ± i0)γ - -| | 2 f (y)yγdy. Hn,γ (α + 2k) R n + Применяя (8.14), запишем α-n-|γ| α α+2k-n-|γ| 2 Γ 2 + k +1 Γ + k α-n-|γ| ( γ )k (P ± i0)γ 2 = 22k Γ α-n-|γ| 2 Γ α (P ± i0)γ . (9.4) Поскольку +1 Γ α-n-|γ| + k α 2 +1 2 22k 2 Γ 2 + k 1 1 = , Γ α-n-|γ| Γ α · Hn,γ (α + 2k) Hn,γ (α) то будем иметь 2 +1 2 n-1+|γ1| r α n γ ( γ )k (Iα+k e± f )(x) = 2 iπ γ Ty (P ± i0)γ - -| | 2 f (y)yγdy = (Iα f )(x). P ±i0,γ Доказательство закончено. Hn,γ (α) x R n + P ±i0,γ Теорема 9.3. Для f ∈ Sev, n + |γ|- 2 < α и k ∈ N, справедлива формула Iα+2 α где P ±i0,γ γf = IP ±i0,γ f, (9.5) n i γ = Bγ1 - \ Bγ , а функция f такова, что x γi ∂ i ∂xi 1 1 f 1 1xi=0 i=2 = 0, i = 1,..., n. Доказательство. Применяя соотношение [57, формула 1.8.3] в виде γi Tyi γi yi получим xi (Bγi )xi = (Bγi )xi Txi , n-1+|γ1| iπ r α+2 n γ (Iα+2 e± 2 - -| | 2 γ y γ P ±i0,γ γf )(x) = γ n,γ (α + 2) R n + (P ± i0)γ ( Tx( γ )xf )(x)y dy = n-1+|γ1| r α+2 n γ e± 2 iπ = (P ± i0)γ - -| | 2 (( γ )y γ Tyf )(x)yγdy = γn,γ (α + 2) x R n + n-1+|γ1| r α+2 n γ ! n \ e± 2 iπ = (P ± i0)γ - -| | 2 (Bγ )y - \(Bγ )y γ Ty f (x)yγ dy = γn,γ (α + 2) R n + 1 1 i i x i=2 n-1+|γ1| r α+2 n γ e± 2 iπ = (P ± i0)γ - -| | 2 (Bγ )y γ Ty f (x)yγ dy- γn,γ (α + 2) R n + n-1+|γ1| n r 1 1 x α+2 n γ e± 2 iπ \ (P ± i0)γ - -| | 2 (Bγ )y γ Ty f (x)yγ dy. (9.6) - γn,γ (α + 2) R i=2 n + i i x При j = 1,..., n, интегрируя по частям, будем иметь r∞ α+2-n-|γ| r∞ α+2-n-|γ| г ∂ ∂ l (P ± i0)γ 2 (Bγ )y γ Tyf (x)yγj dyj = (P ± i0)γ 2 yγj γ Tyf (x) dyj = j j x 0  j 0 α+2-n-|γ| ∂ γ ∂ ∂yj j ∂yj x  = u = (P ± i0)γ 2 , dv = y j γ Tyf (x)dyj = α+2-n-|γ| γ ∂ 1∞ r∞ ∂yj ∂ j ∂yj x α+2-n-|γ| г ∂ l = (P ± i0)γ 2 y j γ Tyf (x)1 - yγj (P ± i0)γ 2 γ Tyf (x) dyj = j ∂yj x 1 1yj =0 j ∂yj 0 ∂yj x ∞ r γj ∂ ∂ α+2-n-|γ| г l 2 γ y = - yj 0 ± γ (P i0) ∂yj ∂yj Txf (x) dyj =  ∂ α+2-n-|γ| ∂  = u = yγj (P ± i0)γ 2 , dv = γ Tyf (x)dyj = j α+2-n-|γ| ∂yj ∂yj x ∞ ∞ α+2-n-|γ| γj г ∂ ± γ 1 2 l γ y 1 r г ∂ γj ∂ ± γ 2 l γ y = -yj (P i0) ∂yj Txf (x)1 + 1yj =0 0 y ∂yj j (P i0) ∂yj Txf (x)dyj = r∞г = 0 α+2-n-|γ| l j j (Bγ )y (P ± i0)γ 2 x γ Tyf (x)dyj. Возвращаясь к (9.6) и применяя (9.4) при k = 1, получим n-1+|γ1| iπ r α+2 n γ (Iα+2 e± 2 - -| | k 2 γ y γ α P ±i0,γ γf )(x) = γ n,γ (α + 2) R n + ( γ ) (P ± i0)γ ( Txf )(x)y dy = (IP ±i0,γ f )(x). Последовательно применяя предыдущую теорему, запишем следующее утверждение. Теорема 9.4. Для f ∈ Sev, n + |γ|- 2 < α и k ∈ N справедлива формула где Iα+2k k P ±i0,γ ( γ ) P i0,γ f = Iα f, (9.7) ± n i γ = Bγ1 - \ Bγ , а функция f такова, что i=2 x γi ∂ i ∂xi ( γ 1 1 )mf 1 1xi=0 = 0, m = 0,...,k - 1, i = 1,..., n. p В силу плотности Sev в Lγ p равенства (9.3), (9.5) и (9.7) распространяются на функции из Lγ при 1 < p < n + |γ| α I в случае, если интеграл α P ±i0,γ p f сходится абсолютно для f ∈ Lγ. Примеры гиперболических B-потенциалов. В этом разделе приведем примеры гипербо- лических B-потенциалов. Для дальнейших вычислений нам потребуются следующие леммы. Лемма 9.1. При n + |γ|- 2 < α имеют место формулы r α-n-|γ| 1 2 (y2 - |yl|2) γ1 Ty jγ (xl; b) (yl)γ1 dyl = α-γ1+1 1 } {|y1|<y1 + n γi +1 α - n -|γ| x1 1 α-γ1-1 = 2 2 -n тт Γ Γ 2 i=2 2 +1 jγ1 (xl; b)(|b|y1) 2 Jα-1-γ1 (y1|b|), (9.8) 2 r α-n-|γ| 1 } {|y1|<y1 + n 1 2 T i (y2 - |yl|2) γ1 y x1 γ (xl; b) (yl)γ1 dyl = α-γ1+1 γi +1 α - n -|γ| α-γ1-1 = 2 2 -n тт Γ Γ 2 i=2 + n l 2 +1 iγ (xl; b)(|b|y1) 2 Iα-1-γ1 (y1|b|), (9.9) 2 где {|yl| < y1} = {y ∈ R+ : |y | < y1}, b = (b1,..., bn-1), bi ∈ R, i = 1,...,n - 1. Доказательство. Вычислим сначала r 1 (y2 - |yl|2) γ1 α-n-|γ| 2 jγ (yl; b)(yl) dyl. Получим } {|y1|<y1 + r 1 (y2 - |yl|2) 2 γ1 α-n-|γ| γ1 Ty1 j (xl; b) (yl)γ1 dyl = } {|y1|<y1 + r α-n-|γ| 1 = jγ1 (xl; b) 1 (y2 - |yl|2) + 2 jγ (yl; b)(yl)γ dyl = {yl = y1 η} = {|y1|<y1} α-γ1-1 r α-n-|γ| 1 = jγ1 (xl; b)y1 } {|η|<1 + (1 - |η|2) 2 jγ (y1 η; b)ηγ dη = = {η = ρθ} = 1 α-γ1-1 r α-n-|γ| 1 r 1 = jγ1 (xl; b)y1 (1 - ρ2) 0 2 ρn+|γ |-2dρ S+ 1 (n-1) jγ (y1ρθ; b)θγ dS. Интеграл Г S+ 1 (n-1) jγ (y1ρθ; b)θγ1 dS вычисляется по формуле (2.16): n r jγ (y1ρθ; b)θγ1 dS = Γ i=2 γi+1 2 j n-1+|γ1| (y1ρ|b|) = S+ 1 (n-1) |γ1|-n+1 n 2 2n-2Γ n-1+|γ1| 2 -1 Γ 2 2 γi+1 2 = i=2 n-1+|γ1| J n-1+|γ1| 1(y1ρ|b|). Получим (y1ρ|b|) r 2 -1 2 - α-n-|γ| } {|y1|<y1 + 1 2 1 (y2 - |yl|2) γ1 Ty1 jγ (xl; b) (yl)γ1 dyl = |γ1|-n+1 2 2 Γ n γi+1 1 2 r α-n-|γ| n+|γ1|-1 α-γ1-1 i=2 2 = jγ1 (xl; b)y1 n-1+|γ1| (1 - ρ ) 2 ρ 2 Jn-1+|γ1| 1 (y1ρ|b|)dρ. (y1|b|) 2 -1 2 - 0 Для нахождения интеграла по ρ используем соотношение [127, формула 2.12.4.6] в виде a r xν+1(a2 - x2)β-1Jν (cx)dx = 0 2β-1aβ+ν cβ Γ(β)Jβ+ν (ac), (9.10) При n + |γ|- 2 < α имеем a > 0, Re β > 0, Re ν > -1. 1 α-n-|γ| α-n-|γ| r α-n-|γ| n+|γ1|-1 2 2 Γ 2 +1 (1 - ρ2) 2 ρ 2 Jn 1+ γ1 (y ρ|b|)dρ = Jα-1-γ1 (y1|b|) - | | 1 α-n-|γ| 2 -1 0 и r α-n-|γ| (y1|b|) 2 +1 2 |y1|<y1 n 1 2 1 (y2 - |yl|2) γ1 Ty1 jγ (xl; b) (yl)γ1 dyl = α-γ1+1 γi +1 α - n -|γ| α-γ1-1 = 2 2 -n тт Γ Γ 2 i=2 2 +1 jγ1 (xl; b)(|b|y1) 2 Jα-1-γ1 (y1|b|), 2 что и дает (9.8). Аналогично r 1 (y2 - |yl|2) + 2 γ α-n-|γ| γ1 Ty1 i (xl; b) (yl)γ1 dyl = {|y1|<y1} 1 = iγ (xl; b)yα-γ1-1 1 r (1 - ρ2) 0 n+ γ1 2 α-n-|γ| r 2 ρ | |- dρ S+ iγ (y1ρθ; b)θγ1 dS. Интеграл Г S+ 1 (n-1) 1 (n-1) iγ (y1ρθ; b)θγ1 dS вычисляется по формуле (2.18): n r iγ (y1ρθ; b)θγ1 dS = Γ i=2 γi+1 2 j n-1+|γ1| (y1ρ|b|) = S+ 1 (n-1) |γ1|-n+1 n 2 2n-2Γ n-1+|γ1| 2 -1 Γ 2 2 γi+1 2 = i=2 n-1+|γ1| I n-1+|γ1| 1(y1ρ|b|). Получим (y1ρ|b|) r 2 -1 2 - α-n-|γ| } {|y1|<y1 + 1 2 (y2 - |yl|2) γ1 Ty1 iγ (xl; b) (yl)γ1 dyl = 1 = iγ (xl; b)yα-γ1-1 |γ1|-n+1 2 2 Γ n γi+1 2 i=2 n-1+|γ1| 1 r (1 - ρ2) α-n-|γ| 2 ρ n+|γ1|-1 2 I n-1+|γ1| 1(y1ρ|b|)dρ. (y1|b|) 2 -1 2 - 0 Для нахождения интеграла по ρ используем соотношение [127, формула 2.15.4.6] в виде a r xν+1(a2 - x2)β-1Iν (cx)dx = 0 2β-1aβ+ν cβ Γ(β)Iβ+ν (ac), (9.11) При n + |γ|- 2 < α имеем a > 0, Re β > 0, Re ν > -1. 1 α-n-|γ| α-n-|γ| r α-n-|γ| n+|γ1|-1 2 2 Γ 2 +1 (1 - ρ2) 2 ρ 2 In 1+ γ1 (y ρ|b|)dρ = Iα-1-γ1 (y1|b|) - | | 1 α-n-|γ| 2 -1 0 (y1|b|) 2 +1 2 и r |y1|<y1 n 1 (y2 - |yl|2) 2 γ α-n-|γ| γ1 Ty1 i (xl; b) (yl)γ1 dyl = α-γ1+1 γi +1 α - n -|γ| α-γ1-1 = 2 2 -n тт Γ Γ 2 i=2 2 +1 iγ (xl; b)(|b|y1) 2 Iα-1-γ1 (y1|b|), 2 что и дает (9.9). Лемма 9.2. При n + |γ|- 2 < α имеют место формулы r α-n-|γ| 1 2 (|yl|2 - y2) γ1 Ty jγ (xl; b) (yl)γ1 dyl = 1 } {|y1|>y1 + x1 1 α-γ1+1 n γ + 1 α n γ 2 2 -n тт i - -| | α-γ1-1 2 π i=2 = - cos α-γ1 Γ Γ 2 n + |γl| 2 +1 jγ1 (xl; b)(|b|y1) 2 × n + |γ|-α × Jα-γ1-1 (y1|b|) cos 2 и 2 2 π + Jγ1+1-α (y1|b|) sin π 2 (9.12) r α-n-|γ| 1 } {|y1|>y1 + 1 2 T i (|yl|2 - y2) γ1 y x1 γ (xl; b) (yl)γ1 dyl = α-γ1+1 n γ + 1 α n γ 2 2 -n тт i - -| | α-γ1-1 2 π i=2 = - cos α-γ1 Γ 2 Γ 2 +1 iγ (xl; b)(|b|y1) 2 × × Iα-γ1-1 (y1|b|) cos 2 n + |γl| 2 π + Iγ1+1-α (y1|b|) sin 2 n + |γ|-α 2 π sin α - γ1 π 2 , (9.13) + n l где {|yl| > y1} = {y ∈ R+ : |y | > y1}, b = (b1,..., bn-1), bi ∈ R, i = 1,...,n - 1. Доказательство. Так же как в предыдущей лемме, придем к выражениям r 1 (|yl|2 - y2) + 2 γ1 α-n-|γ| γ1 Ty1 j (xl; b) (yl)γ1 dyl = {|y1|>y1} |γ1|-n+1 n Γ 2 2 γi+1 ∞ 2 r α-n-|γ| n+|γ1|-1 α-γ1-1 i=2 2 = jγ1 (xl; b)y1 n-1+|γ1| (ρ - 1) 2 ρ 2 Jn-1+|γ1| 1 (y1ρ|b|)dρ (y1|b|) и 2 -1 2 - 1 r 1 (|yl|2 - y2) + 2 γ α-n-|γ| γ1 Ty1 i (xl; b) (yl)γ1 dyl = {|y1|>y1} |γ1|-n+1 n Γ 2 2 1 = iγ (xl; b)yα-γ1-1 γi+1 2 i=2 n-1+|γ1| r∞ (ρ2 - 1) α-n-|γ| 2 ρ n+|γ1|-1 2 I n-1+|γ1| 1(y1ρ|b|)dρ. (y1|b|) 2 -1 2 - 1 Применяя соотношение [127, формула 2.12.4.17] в виде r∞ xν+1(x2 - a2)β-1Jν (cx)dx = a 2β-1aβ+ν cβ Γ(β) [cos βπJβ+ν (ac) - sin βπYβ+ν (ac)] , 3 a > 0, Re β > 0, Re(2β + ν) < , 2 при n + |γ|- 2 < α получим r∞ α- n-|γ| n+|γ1 |-1 (ρ2 - 1) 2 ρ 2 Jn 1+ γ1 (y ρ|b|)dρ = - | | 1 2 -1 1 α-n-|γ| α n γ 2 2 n+|γ|-α 2 - 1 - -| | 2 π = -cos α-γ1 (|b|y1) × Γ +1 2 × Jα-γ1-1 (y1|b|) cos 2 и n + |γl| 2 π + Jγ1+1-α (y1|b|) sin 2 n + |γ|-απ 2 ∞ r α- n-|γ| n+|γ1 |-1 (ρ2 - 1) 2 ρ 2 In 1+ γ1 (y ρ|b|)dρ = - | | 1 2 -1 1 α-n-|γ| α n γ 2 2 n+|γ|-α 2 - 1 - -| | 2 π = -cos α-γ1 (|b|y1) × Γ +1 2 × Iα-γ1-1 (y1|b|) cos 2 n + |γl| 2 π + Iγ1+1-α (y1|b|) sin 2 n + |γ|-α 2 π sin α - γ1 π , 2 что и дает (9.12) и (9.13). Лемма 9.3. Имеют место формулы α-1-γ1 α-γ1-1 \ ∞ (-1)m(x1 - y1)2m+α-γ1-1 |b| 2m+ 2 γ1 Ty1 2 x1 Jα-1-γ1 (x1|b|)x1 = × 2 m=0 m!Γ 2 m + α+1-γ1 2 γ1 γ1 +1- α 4x1y1 (9.14) × 2F1 и - , m + 2 1 - ; γ ; 2 (x1 - y1)2 γ1 Ty1 α-γ1-1 2 ∞ m 2m x1 Jγ1+1-α (x1|b|)x1 = 2 2m+ γ1+1-α = \ (-1) (x1 - y1) |b| 2 2F1 γ1 , -m; γ1; - 4x1y1 2 . (9.15) m=0 m!Γ 2 m + γ1+1-α 2 2 (x1 - y1) Доказательство. Имеем γ1 Ty1 α-γ1-1 2 2γ1 C(γ1) x1+y1 r x1 Jα-1-γ1 (x1|b|)x1 = 2 α-γ1-1 γ1 = (4x1y1)γ1-1 |x1-y1| zJα-1-γ1 (z|b|)z 2 2 [(z2 - (x1 - y1)2)((x1 + y1)2 - z2)] 2 -1dz. Используем разложение Jα-1-γ1 2 в степенной ряд: α-1-γ1 ∞ Jα-1-γ1 (|b|z) = \ (-1)m , |b|z 2m+ 2 получим 2 m=0 m!Γ 2 m + α+1-γ1 2 α-1-γ1 α-γ1-1 \ 2γ1 C(γ1) ∞ (-1)m |b| 2m+ 2 γ1 Ty1 2 x1 Jα-1-γ1 (x1|b|)x1 = × 2 x1+y1 r (4x1y1)γ1-1 m=0 m!Γ 2 m + α+1-γ1 2 γ1 × |x1-y1| z2m+α-γ1 [(z2 - (x1 - y1)2)((x1 + y1)2 - z2)] 2 -1dz. Найдем интеграл x1+y1 r |x1-y1| γ1 z2m+α-γ1 [(z2 - (x1 - y1)2)((x1 + y1)2 - z2)] 2 -1dz = {z2 = t} = (x1+y1)2 1 r α-γ1-1 γ1 = 2 (x1-y1)2 tm+ 2 [(t - (x1 - y1)2)((x1 + y1)2 - t)] 2 -1dt. Пусть (x1 - y1)2 = a, (x1 + y1)2 = b. Используя соотношение [126, формула 2.2.6.1] в виде b r (cx + d)μ(x - a)α-1(b - x)β-1dx = (b - a)α+β-1(ac + d)μB(α, β) 2F1 a α, -μ; α + β; c(a - b) , ac + d 1 1 Re α, Re β > 0, 1arg d + cb 1 < π, запишем x1+y1 r 1 1 1 d + ca 1 γ1 |x1-y1| z2m+α-γ1 [(z2 - (x1 - y1)2)((x1 + y1)2 - z2)] 2 -1dz = b 1 r α-γ1-1 γ1 = tm+ 2 a 2 [(t - a)(b - t)] 2 -1dt = = 1 (b - a)γ1-1 am+ γ1 γ1 α-γ1-1 2 B , γ1 F γ1 , -m + +1 - α ; γ ; a - b = 2 2 2 2 1 1 γ1 γ1 2 γ1 2 1 γ1 +1- α a 4x1y1 2 2 = (4x1y1)γ1-1 (x1 - y1)2m+α-γ1-1B , 2 2F1 2 , -m + 2 ; γ1; - . (x1 - y1)2 Тогда, используя формулу удвоения Лежандра вида 1 получим Γ(z) Γ z + 2 = 21-2z √π Γ(2z), γ1 Ty1 α-γ1-1 2 x1 Jα-1-γ1 (x1|b|)x1 = 2 ∞ m 2m+α-γ1-1 2m+ α-1-γ1 2 = \ (-1) (x1 - y1) |b| γ1 γ1 +1- α 4x1y1 2F1 , -m + ; γ1; - 2 . m=0 m!Γ 2 m + α+1-γ1 2 2 2 (x1 - y1) Аналогично находится (9.15). Лемма 9.4. При γ1 = 2 формулы (9.14) и (9.15) существенно упрощаются и имеют вид 1 α-1 x1 Jα-3 (x1|b|)x 2Ty1 2 α-3 = 2 1 α-1 = 2|b|x1y1 (x1 + y1) 2 2 Jα-1 (|b|(x1 + y1)) - |x1 - y1| 2 2 Jα-1 (|b||x1 - y1|) , 1 α-1 x1 J 3-α (x1|b|)x 2Ty1 2 α-3 = 2 1 α-1 = Кроме того, 2|b|x1y1 |x1 - y1| 2 2 J 1-α (|b||x1 - y1|) - (x1 + y1) 2 2 J 1-α (|b|(x1 + y1)) . x1 Iα-3 (x1|b|)x 2Ty1 2 α-3 = 2 1 = 1 2|b|x1y1 и (x1 + y1) α-1 2 2 Iα-1 (|b|(x1 + y1)) - |x1 - y1| α-1 2 2 Iα-1 (|b||x1 - y1|) (9.16) 1 α-1 x1 I 3-α (x1|b|)x 2Ty1 2 α-3 = 2 1 α-1 = 2|b|x1y1 (x1 + y1) 2 2 I 1-α (|b|(x1 + y1)) - |x1 - y1| 2 2 I 1-α (|b||x1 - y1|) . (9.17) Если, к тому же, α = 2, то 1 √ 2Ty1 x1 J- 1 (x1|b|)x - 2 = 2 (sin(|b|(x1 + y1)) - sin(|b||x1 - y1|)) , (9.18) 2 1 2√ 1 3 π|b| 2 x1y1 √ 2Ty1 - 2 2 2 √ x1 J 1 (x1|b|)x1 = 3 2 π|b| 2 x1y1 1 √ (cos(|b|(x1 + y1)) - cos(|b||x1 - y1|)) , x1 I- 1 (x1|b|)x T 2 y1 - 2 = 2 2 1 √ 3 (sh(|b|(x1 + y1)) - sh(|b||x1 - y1|)) , 2 π|b| 2 x1y1 1 √2 2Ty1 - 2 При α = 4 2 √ x1 I 1 (x1|b|)x1 = 3 2 π|b| 2 x1y1 (ch(|b|(x1 + y1)) - ch(|b||x1 - y1|)) . 2Ty1 2 1 √ 2 2 √ x1 J 1 (x1|b|)x1 = 5 2 π|b| 2 x1y1 (sin(|b|(x1 + y1)) - |b|(x1 + y1) cos(|b|(x1 + y1))- - sin(|b||x1 - y1|)+ |b||x1 - y1| cos(|b||x1 - y1|)) , 1 √ x1 J- 1 (x1|b|)x T 2 y1 2 2 1 2 = √ 5 b| 2 x1y1 (cos(|b|(x1 + y1)) + |b|(x1 + y1) sin(|b|(x1 + y1))- - cos(|b||x1 - y1|) - |b||x1 - y1| sin(|b||x1 - y1|)) , 2Ty1 2 1 √ 2 2 √ x1 I 1 (x1|b|)x1 = 5 2 π|b| 2 x1y1 (|b|(x1 + y1)ch(|b|(x1 + y1)) - sh(|b|(x1 + y1))- -|b||x1 - y1|ch(|b||x1 - y1|)+ sh(|b||x1 - y1|)) , 2Ty1 2 1 √ 2 2 √ x1 I- 1 (x1|b|)x1 = 5 2 π|b| 2 x1y1 (|b|(x1 + y1)sh(|b|(x1 + y1)) - ch(|b|(x1 + y1))- -|b||x1 - y1|sh(|b||x1 - y1|)+ ch(|b||x1 - y1|)) . γ P ±i0,γ Пример 9.1. Пусть f (x) = ϕ(x1)jγ1 (xl, b) ∈ Lp. Найдем Iα ϕ(x1)jγ1 (xl, b). Для этого, учи- P ,γ тывая (8.5), найдем сначала Iα + P ,γ ϕ(x1)jγ1 (xl, b) и Iα - ϕ(x1)jγ1 (xl, b). Принимая во внимание (8.6) и (8.7), запишем Iα l ∞ r γ1 y1 γ1 r 2 l 2 α- n-|γ| γ1 y1 l l γ1 l P+,γ ϕ(x1)jγ1 (x , b) = ( 0 Tx1 ϕ)(x1)y1 dy1 + {|y1|<y1} (y1 - |y | ) 2 T jγ1 (x ; b) (y ) dy , Iα l ∞ r γ1 y1 γ1 r l 2 2 α- n-|γ| γ1 y1 l l γ1 l P-,γ ϕ(x1)jγ1 (x , b) = ( 0 Tx1 ϕ)(x1)y1 dy1 + {|y1|>y1} (|y | - y1 ) 2 T jγ1 (x ; b) (y ) dy , + n l l + n l где {|yl| < y1} = {y ∈ R+ : |y | < y1}, {|y | > y1} = {y ∈ R+ : |y | > y1}. Учитывая (9.8), (9.12) и перестановочность обобщенного сдвига, получим n n тт Iα l α-γ1+1 2 - γi +1 α - n -|γ| α-γ1-1 l 2 P+,γ ϕ(x1)jγ1 (x , b) = 2 Γ Γ 2 i=2 2 +1 jγ1 (x ; b)|b| × r∞ α+γ1-1 n - 1 α γ +1 x1 × ( γ1 Ty1 ϕ)(x1)Jα-1-γ1 (y1|b|)y1 2 2 0 dy1 = 2 2 -n тт Γ i=2 γi +1 Γ 2 × α - n -|γ| +1 2 ×jγ1 (xl; b)|b| и - 1- α γ 1 r∞ 2 0 ϕ(y1) x1 γ1 Ty1 Jα-1-γ1 (x1|b|)x 2 α-γ1 -1 2 1 y 1 γ1 dy1 (9.19) Iα l P-,γ ϕ(x1)jγ1 (x , b) = α-γ1+1 n γ + 1 α n γ r∞ 2 2 -n тт i - -| | α-γ1-1 l 2 γ1 y1 2 π i=2 = - cos α-γ1 Γ 2 Γ 2 +1 jγ1 (x ; b)|b| ( Tx1 ϕ)(x1)× 0 n + |γl| n + |γ|-α 2 α+γ1-1 × Jα-γ1-1 (y1|b|) cos 2 2 π + Jγ1+1-α (y1|b|) sin 2 2 π y1 dy1 = α-γ1+1 n γ + 1 α n γ r∞ 2 2 -n тт i - -| | α-γ1-1 2 π i=2 = - cos α-γ1 Γ 2 Γ 2 +1 jγ1 (xl; b)|b| 2 ϕ(y1)× 0 γ1 × x1 Ty1 Jα-γ1-1 (x1|b|)x 2 α-γ1-1 2 1 cos n + |γl| π+ 2 + γ1 x1 Ty1 Jγ1+1-α (x1|b|)x 2 α-γ1-1 2 1 sin n + |γ|-απ 2 y 1 γ1 dy1. (9.20) Выражения γ1 Ty1 Jα γ 1 (x1|b|)x α-γ1-1 2 и γ1 Ty1 Jγ +1 α (x |b|)x α-γ1-1 2 находятся по фор- x1 - 1- 1 2 x1 1 - 1 1 2 мулам (9.14) и (9.15), соответственно. Принимая во внимание (8.5), будем иметь n-1+|γ1| iπ πi α Iα l  e± 2  α α-n-|γ| l ± l P ±i0,γ ϕ(x1)jγ1 (x , b) = Hn,γ (α) P IP+,γ ϕ(x1)jγ1 (x , b)+ e 2 - I ,γ ϕ(x1)jγ1 (x , b) n + |γl| α l α l при n + |γ|- 2 < α < формулам (9.19) и (9.20). 2 - + γ1 + 1, где IP+,γ ϕ(x1)jγ1 (x , b) и IP ,γ ϕ(x1)jγ1 (x , b) находятся по γ P ±i0,γ Пример 9.2. Пусть f (x) = ϕ(x1)iγ1 (xl, b) ∈ Lp, γ1 = 2. Найдем Iα ϕ(x1)iγ1 (xl, b). Принимая во внимание (9.9) и (9.13), получим α-γ1+1 n γi +1 α - n -|γ| Iα l 2 -n тт P+,γ ϕ(x1)iγ1 (x , b) = 2 r∞ Γ 2 i=2 × Γ +1 2 α-γ -1 ×iγ1 (xl; b)|b| и α-γ1-1 2 0 ϕ(y1) 1 x1 y 2Ty1 Iα-1-γ1 (x1|b|)x1 2 2 1 γ1 dy1 (9.21) Iα l P-,γ ϕ(x1)iγ1 (x , b) = α-γ1+1 n γ + 1 α n γ r∞ 2 2 -n тт i - -| | α-γ1-1 2 π i=2 = - cos α-γ1 Γ 2 Γ 2 +1 iγ (xl; b)|b| 2 ϕ(y1)× 0 2 × x1 Ty1 Iα-γ1-1 (x1|b|)x 2 α-γ1-1 2 1 cos n + |γl| π+ 2 2 y1 α-γ1-1 2 n + |γ|-α γ1 + Tx1 Iγ1+1-α (x1|b|)x1 2 α-γ1-1 sin 2 π y1 dy1. (9.22) α-γ1-1 Выражения 2Ty1 Iα γ 1 (x1|b|)x 2 и 2Ty1 Iγ +1 α (x |b|)x 2 находятся по форму- x1 - 1- 1 2 x1 1 - 1 1 2 лам (9.16) и (9.17), соответственно. Принимая во внимание (8.5), при γ1 = 2 будем иметь n-1+|γ1| iπ πi α Iα l  e± 2  α α-n-|γ| l ± l P ±i0,γ ϕ(x1)iγ1 (x , b) = Hn,γ (α) P IP+,γ ϕ(x1)iγ1 (x , b)+ e 2 - I ,γ ϕ(x1)iγ1 (x , b) n + |γl| α l α l при n + |γ|- 2 < α < формулам (9.21) и (9.22). 2 - + γ1 + 1, где IP+,γ ϕ(x1)iγ1 (x , b) и IP ,γ ϕ(x1)iγ1 (x , b) находятся по 1 Пример 9.3. Пусть n = 3, γ1 = 2, α = 4, |γl| = γ2 + γ3 < 1, f (x) = x2e-x1 jγ1 (xl, b), |b| = 1, + x ∈ R3 . Учитывая лемму 9.4 и предыдущие примеры, получим, что 3 3 γi +1 ∞ 1 - |γl| r 1 I4 2 -x1 l - 2 тт 2 l -y1 2 y1 4 P+,γ x1e jγ1 (x , b) = 2 Γ Γ 2 i=2 2 jγ1 (x ; b) e 0 2 Tx1 J 1 (x1)x1 y1 dy1 = 3 3 γi +1 1 - |γl| 2 C(2) √ = 2- 2 тт Γ Γ 2 2 i=2 √πx1 jγ1 (xl; b)× ⎛ ∞ r 1 × ⎝ e-y1 (sin(x1 + y1) - (x1 + y1) cos(x1 + y1)) y3dy1- 0 r∞ ⎞ 1 - e-y1 (sin(|x1 - y1|) - |x1 - y1| cos(|x1 - y1|)) y3dy1⎠ = 0 3 x1 = тт Γ γi +1 Γ 1 - |γl| 1 6(cos x1 - e ) 2 2 i=2 и 2 4√π jγ1 (xl; b) x - 12 - 6x1 - x1 1 3 n γi +1 ∞ 1 - |γl| r I4 2 -x1 l - 2 тт l -y1 P-,γ x1e jγ1 (x , b) = 2 Γ Γ 2 i=2 2 jγ1 (x ; b) e × 0 2 × 1 x1 1 Ty1 J 1 (x1)x 2 2 cos 3+ |γl| π + 2 T J 2 y1 x1 - 1 1 1 (x1)x 2 2 sin 1+ |γl| π 2 1 y4dy1 = 3 3 γi +1 1 - |γl| 2 C(2) √ ∞ 3+ |γl| r = 2- 2 тт Γ Γ 2 2 i=2 √πx1 1 × jγ1 (xl; b) cos π e-y1 y3 2 0 × (sin(x1 + y1) - (x1 + y1) cos(x1 + y1) - sin(|x1 - y1|)+ |x1 - y1| cos(|x1 - y1|)) dy1+ ∞ + sin 1+ |γl| π r 2 0 1 e-y1 y3 (cos(x1 + y1)+ (x1 + y1) sin(x1 + y1)- - cos(|x1 - y1|) - |x1 - y1| sin(|x1 - y1|)dy1 = 3 = тт Γ γi +1 Γ 1 - |γl| 1 2 i=2 2 4√π jγ1 (xl; b)× 3+ |γl| 6(cos x1 - e-x1 ) 2 1+ |γl| sin x1 × cos 2 π x - 12 - 6x1 - x1 1 1 - 6 sin 2 π x . Тогда, учитывая, что получим H3,γ (4) = 2+|γ1| iπ г π Γ γi+1 √ 3 2 , i=2 Γ |γ1|+1 2 l I4 2 -x1 l e± 2 4 2 -x1 l ∓ |γ1|+1 πi 4 2 -x1 l P ±i0,γ x1e jγ1 (x , b) = H3,γ (4) IP+,γ x1e P jγ1 (x , b)+ e 2 - I ,γ x1e jγ1 (x , b) = iπ 2+|γ1| e± 2 6(cos x1 - ex1 ) 2 = 4 sin x 1+|γ1| 2 l jγ1 (x ; b) π - 12 - 6x1 - x1+ 1 +e∓ πi |γ1|+1 2 cos 3+ |γl| π 2 6(cos x1 - e-x1 ) x1 1 - 12 - 6x1 - x2 - 6 sin 1+ |γl| π 2 sin x1 = x1 = jγ1 (xl; b) . e-x1 (6 - 6e(1+i)x1 + x1(12 + x1(6 + x1))) 4x1 Проверим выполнение равенства (9.3), т. е. что 2 4 2 -x1 l 2 -x1 l Имеем (B2)x1 - (Δγ1 )x2,x3 IP ±i0,γ x1e jγ1 (x , b) = x1e jγ1 (x , b). (B2)x1 jγ1 (xl; b) e-x1 (6 - 6e(1+i)x1 + x1(12 + x1(6 + x1))) 4x1 = jγ1 (xl; b) 1 , e-x1 (-6+ 6e(1+i)x1 - 6x1 + x3) 4x1 (Δγ1 )x2,x3 jγ1 (xl; b) = e-x1 (6 - 6e(1+i)x1 + x1(12 + x1(6 + x1))) 4x1 = -jγ1 (xl; b) , e-x1 (6 - 6e(1+i)x1 + x1(12 + x1(6 + x1))) 4x1 (B2)x1 - (Δγ1 )x2,x3 jγ1 (xl; b) = e-x1 (6 - 6e(1+i)x1 + x1(12 + x1(6 + x1))) 4x1 ex1 2 = jγ1 (xl; b) (x1 + 3x1 + 3), 2 e-x1 2 e-x1 2 (B2)x1 jγ1 (xl; b) (x1 + 3x1 + 3) = jγ1 (xl; b) 2 2 (x1 - 3x1 - 3), e-x1 2 e-x1 2 (Δγ1 )x2,x3 jγ1 (xl; b) 2 (x1 + 3x1 + 3) = -jγ1 (xl; b) (x1 + 3x1 + 3), 2 e-x1 2 2 x (B2)x1 - (Δγ1 )x2,x3 jγ1 (xl; b) (x1 + 3x1 + 3) = x1e- 2 1 jγ1 (xl; b). I Найдем предел 4 P ±i0,γ 1 x2e-x1 jγ1 (xl, b) при x1 → 0: lim I4 x2e-x1 jγ1 (xl, b) = jγ1 (xl; b) lim = e-x1 (6 - 6e(1+i)x1 + x1(12 + x1(6 + x1))) x1→0 P ±i0,γ 1 x1→0 4x1 Кроме того, имеем 3 = 2 (1 - i)jγ1 (xl; b). ∂ ∂x1 I 4 P ±i0,γ 1 x2e-x1 jγ1 (xl, b) = jγ1 (xl; b) e-x1 (-6+ (6 - 6ix1)e(1+i)x1 - x1(6 + x1(6 + x1(4 + x1)))) 1 4x2 , lim ∂ I4 x2e-x1 jγ1 (xl, b) = 0. x1→0 ∂x1 P ±i0,γ 1 ОБРАЩЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ B-ПОТЕНЦИАЛОВ Метод аппроксимативных обратных операторов. В этом разделе, следуя [116,117], опи- шем эффективный метод обращения сверточных операторов с особенностями - метод аппроксима- тивных обратных операторов. I Для поиска обратных операторов к α P ±i0,γ будем использовать метод аппроксимативных об- ратных операторов (АОО), разработанный В. А. Ногиным (см. [116]) с использованием преобра- зования Фурье. В рамках этого подхода предполагается находить обратный оператор как предел «хороших» операторов. Достоинство этого метода для потенциалов состоит в том, что при постро- ении обратного оператора можно избежать использования конечных разностей. Основная идея аппроксимативного подхода состоит в следующем. Задача о построении обрат- ного к сверточному оператору Af = a ∗ f сводится к умножению интегрального преобразования функции f на множитель 1 : aˆ Действительно, Af = a ∗ f, A f = aˆ · fˆ, · A -1f = 1 fˆ. aˆ g = Af, · · A -1g = 1 aˆ fˆ = fˆ. aˆ Однако в случае потенциалов множитель 1 , как правило, неограничен на бесконечности и, aˆ может быть, на некоторых множествах. В этом случае вводится «улучшающий» множитель mε, зависящий от ε, такой что mε aˆ обращается в нуль на тех множествах, на которых это необходимо, и lim mε = 1. Тогда строится оператор ε→0 A -ε 1f = · mε fˆ. aˆ Применяя обратное интегральное преобразование и переходя к пределу при ε → 0, получим A-1. Здесь, естественно, необходимо доказывать, что полученный оператор будет действительно обрат- ным к оператору A в рамках рассматриваемых пространств. Поэтому множитель mε выбирается еще и так, чтобы его интегральное преобразование являлось достаточно хорошим для проведения указанных действий. В нашем случае мы берем преобразование Ханкеля. Учитывая, что преобразование Ханкеля гиперболических B-потенциалов имеет вид Fγ I α P ±i0,γ α γ f = (P ∓ i0)- 2 Fγf, α где f ∈ Φγ , V = {x ∈ Rn : P (x) = 0}, будем улучшать поведение (P ∓ i0) 2 на бесконечности и на V + γ границе части конуса P (x) = 0. Для этого будем использовать множитель (P ∓ i0)me-δ|ξ| Mε,δ = (P (ξ)+ iε|ξ|2)m . I Таким образом, обратный оператор к α P ±i0,γ будем искать в виде L L α !! γ γ p 2 (P ∓ i0)m+ 2 e-δ|ξ| \ \ (I F α P ±i0,γ )-1f ) =lim lim δ→0 ε→0 -1 γ (P (ξ)+ iε|ξ|2)m ∗ f (x) , γ где предел при δ → 0 понимается по норме Lγ, а предел при ε → 0 понимается по норме Lγ. Введем обозначение !! m+ α p 2 δ|ξ| \ \ (Iα )-1f = F-1 (P ∓ i0) 2 e- (x) f (x) r = ∓gα (y)(γ Tyf (x))yγdy, P ±i0,γ ε,δ γ (P (ξ)+ iε|ξ|2)m ε,δ x R γ n + где ! m+ α -δ|ξ| \ n-|γ| r m+ α -δ|ξ| ∓gα -1 (P ∓ i0) 2 e 2 (P ∓ i0) 2 e γ ε,δ (x) = Fγ α (P (ξ)+ iε|ξ|2)m (x) = n j=1 Γ2 γj +1 R 2 n + jγ (x, ξ)ξ (P (ξ)+ iε|ξ|2)m dξ, m ;;; n + |γ|- 2 , n + |γ|- 2 < α < n + |γ|. Общее ядро Пуассона. В этом пункте рассмотрим некоторую функцию, используемую при решении задачи об обращении гиперболического B-потенциала. Исходя из вида и свойств этой функции, будем называть ее общим ядром Пуассона. Докажем сначала вспомогательную лемму. Лемма 10.1. Преобразование Ханкеля e-δ|x| имеет вид n 2|γ|δ Γ γi+1 Γ n+|γ|+1 Fγ [e-δ|x|](ξ) = i=1 2 2 n+|γ|+1 . (10.1) Доказательство. r √π(δ2 + |ξ|2) 2 r∞ r Fγ [e-δ|x|](ξ) = R n + e-δ|x| jγ (x; ξ)xγdx = {x = ρσ} = 0 e-δρρn+|γ|-1dρ 1 S+(n) jγ (ρσ; ξ)σγdS. Применяя формулу (2.16), получим Γ n γi+1 2 Fγ [e-δ|x|](ξ) = i=1 2 2n-1Γ n+|γ| r∞ | | e-δρjn+ γ 2 -1 0 (ρ|ξ|)ρ n+|γ|-1 dρ = Γ n γi+1 2 = i=1 r∞ e-δρJn+ γ (ρ|ξ|)ρ n+|γ| 2 dρ. n-|γ| 2 2 |ξ| 1 1 2 - n+|γ| | | 2 - 0 Применяя соотношение [127, формула 2.12.8.4, с. 164] в виде r∞ 2p(2c)ν Γ ν + 3 xν+2e-pxJν (cx)dx = √ 3 2 , Re ν > -1, 0 будем иметь π(p2 + c2)ν+ 2 n+|γ| 1 n+|γ|+1 ∞ r n+|γ| 2δ(2|ξ|) 2 - Γ 2 и, следовательно, | | e-δρJn+ γ 2 -1 0 n (ρ|ξ|)ρ 2 dρ = √ π(δ2 + |ξ|2) n+|γ|+1 2 n Γ γi+1 Γ n+|γ| |γ| γi+1 Γ n+|γ|+1 2 2δ(2|ξ|) 2 -1 n+|γ|+1 2 2 δ Γ 2 2 Fγ [e-δ|x|](ξ) = i=1 = i=1 . 1 n-|γ| 2 2 |ξ| n+|γ| 2 - √π(δ2 + |ξ|2) n+|γ|+1 2 √π(δ2 + |ξ|2) n+|γ|+1 2 Приведем формулу «интеграла по сфере от весовой плоской волны» из [103, формула 1.7.13, с. 44] (где надо положить N = n): n Γ γi+1 1 r S+ 1 (n) γ γ Pξ f ((ξ, x))x dωx = √ i=1 π2n-1Γ 2 r |γ|+n-1 2 -1 f (|ξ|p)(1 - p2) n+|γ|-3 2 dp, (10.2) где f (t)(1 - t2) n+|γ|-3 2 ∈ L1(-1, 1). Определение 10.1. Функцию 2 2nΓ n+|γ|+1 n+|γ|+1 Pγ (x, δ) = n δ (δ2 + |x|2)- 2 , δ > 0. (10.3) Γ √π j=1 γj +1 2 будем называть общим ядром Пуассона. Для Pγ (x, δ) справедливы следующие свойства. Лемма 10.2. Функция Pγ (x, δ) обладает свойствами 1. Fγ [Pγ (x, δ)](ξ) = e-δ|ξ|, r r 2. Pγ (x, δ)xγdx = R R n n + + Pγ (x, 1)xγ dx = 1, p 3. Pγ (x, δ) ∈ Lγ, 1 � p � ∞. Доказательство. 1. Из леммы 10.1 имеем n-|γ| F-1 γ [e -δ|x| ](ξ) = n j=1 2 Γ 2 γj +1 2 Fγ [e -δ|x| ](ξ) = n γ|δ Γ γi+1 Γ n+|γ|+1 2n-|γ| 2| 2 2 i=1 = n √ n+|γ|+1 = Γ j=1 2 γj +1 2 π(δ2 + |ξ|2) 2 2 2nδΓ n+|γ|+1 1 = n n+|γ|+1 = Pγ (x, δ), √π j=1 2 Γ γj +1 (δ2 + |ξ|2) 2 откуда и следует Fγ [Pγ (x, δ)](ξ) = e-δ|ξ|. Рассмотрим Г R n + r Pγ (x, δ)xγdx. Имеем 2 2nδΓ n+|γ|+1 r xγ dx Pγ (x, δ)xγdx = R n √π + n j=1 Γ γj +1 R 2 n + (δ2 + |x|2) | | n+ γ +1 = {x = δy} = 2 2 Γ n n+|γ|+1 2 r yγ dy r γ = n n+|γ|+1 = Pγ (x, 1)x dx. √π j=1 Γ γj +1 R 2 n + R (1 + |y|2) 2 n + Покажем теперь, что Г R n + r Pγ (x, 1)xγ dx = 1. Имеем yγ dy r∞ ρn+|γ|-1 dρ r γ R n (1 + |y|2) + n+|γ|+1 2 = {y = ρσ} = 0 (1 + ρ2) n+|γ|+1 2 σ 1 S+(n) dS. 1 Интеграл по S+(n) находится с помощью [103, формула 1.2.5, с. 20], где надо положить N = n: r σγdS = n Γ i=1 γi+1 2 ; (10.4) S+ 1 (n) 2 2n-1Γ n+|γ| тогда n Γ γi+1 ∞ r yγ dy n+|γ|+1 = {y = ρσ} = i=1 2 r n+|γ| ρn+|γ|-1 dρ n+|γ|+1 = {ρ2 = r} = R n (1 + |y|2) 2 + 2n-1Γ 2 n 0 (1 + ρ2) 2 Γ γi+1 ∞ 2 r = i=1 1 n+| γ| r 2 - dr. 2 2nΓ n+|γ| 0 n+|γ|+1 (1 + r) 2 Используя соотношение [126, формула 2.2.5.24, с. 239] вида получим r∞ xα-1 (x + z)β dx = z 0 α-β B(α, β - α), 0 < Re α < Re β, 2 0 (1 + ρ2) n+ γ +1 = 2 0 2 (1 + r) n+ γ +1 dr = 2 2 Γ n+|γ|+1 2 (10.5) n Γ γi+1 √ n+|γ| √ n +1 π Γ γi r yγ dy 2 i=1 πΓ 2 2 i=1 Наконец, R n (1 + |y|2) + n+|γ|+1 2 = 2nΓ n+|γ| 2 Γ n+|γ|+1 = 2 2nΓ n+|γ|+1 . 2 n γ +1 2 Γ n n+|γ|+1 r 2 r yγ dy 2 Γ n n+|γ|+1 2 2 √π Γ i i=1 Pγ (x, 1)xγ dx = n n+ γ +1 = n = 1. R n √π + j=1 Γ γj +1 R 2 n + | | (1 + |y|2) 2 √π j=1 Γ γj +1 2 2nΓ n+|γ|+1 2 p Докажем, наконец, что Pγ (x, δ) ∈ Lγ, 1 � p � ∞. Имеем r xγdx 2 2 p n+|γ|+1 r = δ(n+ γ )(1 p) p xγdx 2 n+ γ +1 = R n (δ + + |x| ) 2 | | - - R n (|x|2 + + 1)p | | r∞ ρn+|γ|-1dρ r { | | } = x = ρσ, x = ρ = δ(n+|γ|)(1-p)-p p n+|γ|+1 σγdS. 0 Используя (10.4) и (10.5), при 1 � p < ∞, получим (ρ2 + 1) S+ 2 1 (n) 1 ⎛ √ n ⎞ p 2 πΓ n+|γ| Γ γi+1 2 ⎟ ||Pγ (x, δ)||p,γ = ⎜δ(n+|γ|)(1-p)-p i=1 ⎟ = ⎝ ⎜ 2Γ n+|γ|+1 2n-1Γ n+|γ| ⎠ 2 2 n 1 2 ⎛ √π Γ γi+1 ⎞ p = ⎜δ(n+|γ|)(1-p)-p i=1 ⎟ < ∞. 2 ⎝ ⎠ ⎜ 2nΓ n+|γ|+1 ⎟ При p = ∞ неравенство ||Pγ (x, δ)||∞,γ < ∞ получаем, используя (2.3). p Следуя [170, теорема 1.18, с. 17], сформулируем и докажем лемму о стремлении обобщенной свертки функции с ядром Пуассона к функции в Lγ. Введем обозначение (Pγ,δf )(x) = (f (x) ∗ Pγ (x, δ))γ. (10.6) p Лемма 10.3. Если f ∈ Lγ, 1 � p � ∞ или f ∈ C0 ∞ ⊂ Lγ , то ||(Pγ,δf )(x) - f (x)||p,γ → 0 при δ → 0. Доказательство. Учитывая свойство 2 из леммы 10.2, запишем r (f (x) ∗ Pγ (x, δ))γ - f (x) = R n + x [ γ Tyf (x) - f (y)]Pγ (y, δ)yγdy. Отсюда, применяя обобщенное неравенство Минковского, имеем r ||(f (x) ∗ Pγ (x, δ))γ - f (x)||p,γ � 1 ⎛ ⎞ p r ⎜ [ γ Tyf (x) - f (x)]pxγdx⎟ |P (y, δ)|yγdy = {y = δt} = ⎝ x ⎠ γ R R n n + + ⎛ = r ⎜r γ δt 1 ⎞ p p γ ⎟ γ ⎝ [ Tx f (x) - f (x)] x R R n n + + dx⎠ |Pγ (t, 1)|t dt. (10.7) p Из [124, лемма 3.6, с. 166] следует, что для f ∈ Lγ x || γ Tδtf (x) - f (x)||p,γ � c||f (x)||p,γ, а из [122, предложение 4.1, с. 182] и [123, с. 50], следует, что ⎛ r lim ⎜ 1 ⎞ p [ γ Tδtf (x) - f (x)]pxγdx⎟ = 0. δ→0 ⎝ x ⎠ R n + Тогда по теореме Лебега о мажорируемой сходимости интеграл (10.7) стремится к нулю при δ → 0, так как подынтегральная функция мажорируется интегрируемой функцией c||f ||p,γ |Pγ (t, 1)|tγ . Представление ядра ∓gα . Получим интегральное представления ядра ∓gα . Теорема 10.1. Функция ∓gα ε,δ представима в виде ε,δ ε,δ 2-|γ| ∓gα 2 Γ(n + |γ| + α) ε,δ (x) = δ Γ n n+|γ|+α γi+1 Γ 2 Γ γ 1+1 2 n+|γ1|-1 × 2 i=1 r∞ 2 m+ α r n+|γ1|-2 (1 - r ∓ i0) 2 × n+|γ|+α × 0 (1 + r2) 2 (1 - r2 + iε(1 + r2))m n + |γ| + α x 1 n + |γ| + α +1 γ1 +1 n + |γl|- 1 2 (r|xl|)2 - ×F4 2 , ; , ; 2 2 2 δ2 (1 + r2 - ) , δ2 (1 + r2) dr. ε,δ где F4(a, b, c1, c2; x, y) - функция Аппеля (1.23). Доказательство. Представим функцию ∓gα (t) в виде суммы m+ α -δ|x| n-|γ| r m+ α -δ|ξ| ∓gα -1 (P ∓ i0) 2 e 2 (P ∓ i0) 2 e γ ε,δ (x) = Fγ = (P (x)+ iε|x|2)m ⎡ n j=1 Γ2 γj +1 R 2 n + α jγ (x, ξ)ξ (P (ξ)+ iε|ξ|2)m dξ = 2n-|γ| r Pm+ 2 (ξ)e-δ|ξ| = n ⎢ jγ (x, ξ)ξγ dξ+ Γ2 γj +1 ⎣ (P (ξ)+ iε|ξ|2)m + j=1 2 {P (ξ)>0} 2 +e∓(m+ α )πi r |P (ξ)| m+ 2 e α -δ|ξ| j ⎤ (x, ξ)ξγ dξ⎥ . Положим } {P (ξ)<0 + (P (ξ)+ iε|ξ|2)m γ ⎦ α J1 = r Pm+ 2 (ξ)e-δ|ξ| jγ (x, ξ)ξγ (P (ξ)+ iε|ξ|2)m + dξ, J2 = {P (ξ)>0} r α |P (ξ)|m+ 2 e-δ|ξ| jγ (x, ξ)ξγ dξ. } {P (ξ)<0 + (P (ξ)+ iε|ξ|2)m + Перейдем в J1 к сферическим координатам ξl = ρσ, σ ∈ Rn-1, ρ = |ξl| r∞ r (ξ2 l 2 m+ α 2 -δ√ξ2+|ξ1| J1 = 1- 1 jγ 1 (x1ξ1)ξγ1 dξ1 1 - |ξ | ) 2 e 1 jγ (xl, ξl)(ξl)γ1 dξl = 2 (ξ2 - |ξl|2 + iε(ξ2 + |ξl|2))m 1 1 0 |ξ1| <ξ1 ∞ ξ1 r 2 2 2 2 m+ α δ√ξ2+ρ2 r 1- 1 = jγ 1 (x1ξ1)ξγ1 dξ1 ρn+|γ1|-2 (ξ1 - ρ ) 2 e- 1 r dρ jγ (xl, ρσ)(σ)γ1 dS. 2 (ξ2 - ρ2 + iε(ξ2 + ρ2))m S+ 0 0 Справедлива формула r 1 1 n Γ γi+1 2 1 (n-1) следовательно S+ 1 (n-1) jγ (xl, ρσ)(σ)γ1 dS = n i=2 2 2n-2Γ n-1+|γ1| j n-1+|γ1| 2 -1 (ρ|xl|), J1 = Γ γi+1 2 i=2 r∞ jγ 1 (x1ξ1)ξγ1 dξ1× 2 1- 2n-2Γ n-1+|γ1| 2 1 0 r ξ1 2 2 m+ α -δ√ξ2+ρ2 × ρn+|γ1|-2j (ξ1 - ρ ) 2 e (ρ|xl|) 1 dρ = ρ = ξ r = n-1+|γ1| 2 - 1 (ξ2 - ρ2 + iε(ξ2 + ρ2))m { 1 } 0 Γ n γi+1 2 = i=2 2 2n-2Γ n-1+|γ1| 1 1 r∞ jγ1- 2 0 1 1 1 (x1ξ1)ξn+|γ|-1+α dξ1× r j r n+|γ1|-2 × n-1+|γ1| (1 - r (rξ1|xl|) 2 m+ α e-δξ1√1+r2 dr = n Γ γi+1 0 Γ 2 γ1-1 2 -1 n-1+|γ1| (1 - r2 + iε(1 + r2))m Γ 1 1 2 = i=2 2 γ1+1 2 n+|γ |-1 - 2 2 2 -1 n-1+|γ | 2 r 1 (1 r 2)m+ α r 2 2n-2Γ n-1+|γ1| γ1-1 x 2 1 |xl| 1 n-1+|γ1| 2 - 2 (1 - r2 0 + iε(1 + r2 ))m dr× √ 2 r∞ n+|γ| +α+1 × ξ1 2 e-δξ1 1+r Jγ1-1 (x1ξ1)Jn 1+ γ1 (rξ |xl|) dξ = - | | 1 1 0 |γ|-n 2 2 2 n Γ γi+1 1 2 -1 α 2 = i=1 r n+|γ1|-1 r 2 (1 - r 2)m+ 2 dr× γ1-1 x1 2 |xl| 1 n-1+|γ1| 2 - 0 (1 - r2 + iε(1 + r2))m √ 2 r∞ n+|γ| +α+1 × ξ1 2 e-δξ1 1+r Jγ1-1 (x1ξ1)Jn 1+ γ1 (rξ |xl|) dξ . - | | 1 1 2 2 -1 0 Для вычисления внутреннего интеграла применим соотношение [127, формула 2.12.38.2, с. 194] в виде r∞ xa-1 e-px Jμ(bx) Jν (cx)dx = bμcν Γ(a + μ + ν) × 2μ+νpa+μ+ν Γ(μ + 1)Γ(ν + 1) 0 a + μ + ν a + μ + ν +1 b2 c2 ×F4 2 , - - ; μ + 1,ν + 1; , , 2 p2 p2 Имеем Re(a + μ + ν) > 0; Re p > 0. a = n + |γ| 2 и + α + 2, p = δ,11+ r2, μ = γ1 - 1 2 , ν = n - 1+ |γl| 2 - 1, b = x1, c = r|xl| √ 2 r∞ n+|γ| +α+1 ξ1 2 e-δξ1 1+r Jγ1-1 (x1ξ1)Jn 1+ γ1 (rξ |xl|) dξ = - | | 1 1 0 γ1-1 x1 2 (r|xl|) 2 n+|γ1|-3 2 2 -1 Γ(n + |γ| + α) = n+ γ √ n+|γ |-1 × | | 2 2 -2(δ 2 2 1+ r2)n+|γ|+α Γ γ1+1 Γ 1 n + |γ| + α x 1 n + |γ| + α +1 γ1 +1 n + |γl|- 1 2 (r|xl|)2 Тогда ×F4 - - , ; , 2 2 2 |γ|-n n ; , . 2 δ2(1 + r2) δ2(1 + r2) Γ 2 2 γi+1 1 2 r n+|γ1|-1 α (1 - r2)m+ 2 J1 = i=1 r 2 dr× 1 γ1-1 x1 2 |xl| n-1+|γ1| 2 - 0 (1 - r2 + iε(1 + r2))m γ1-1 x1 2 (r|xl|) n+|γ1|-3 2 Γ(n + |γ| + α) × n+|γ| √ Γ n+|γ1|-1 × 2 2 -2(δ 2 2 1+ r2)n+|γ|+α Γ γ1+1 n + |γ| + α x 1 n + |γ| + α +1 γ1 +1 n + |γl|- 1 2 (r|xl|)2 - ×F4 2 , n ; , ; 2 2 2 δ2 (1 + r2 - ) , δ2 (1 + r2) . Γ γi+1 1 2 2 m+ α = i=1 Γ(n + |γ| + α) r 2n-2δn+|γ|+α Γ γ1+1 Γ n+|γ1|-1 n+|γ|+α × rn+|γ1|-2 (1 - r ) 2 (1 + r2) 2 (1 - r2 + iε(1 + r2))m 2 2 0 n + |γ| + α x 1 n + |γ| + α +1 γ1 +1 n + |γl|- 1 2 (r|xl|)2 - ×F4 2 , ; , ; 2 2 2 δ2 (1 + r2 - ) , δ2 (1 + r2) dr. Аналогично находим Γ n γi+1 2 ∞ Γ(n + |γ| + α) r 1 α (1 - r2)m+ 2 J2 = i=1 2n-2δn+|γ|+α Γ γ1+1 Γ n+|γ1|-1 rn+|γ |-2 | | n+ γ +α × (1 + r2) 2 (1 - r2 + iε(1 + r2))m 2 2 1 n + |γ| + α x 1 n + |γ| + α +1 γ1 +1 n + |γl|- 1 2 (r|xl|)2 - - ×F4 2 , ; , ; , 2 2 2 δ2(1 + r2) δ2(1 + r2) dr. Домножая на соответствующие константы, складывая J1(x) и J2(x) и учитывая, что α m+ α α m+ α (1 - r2 ∓ i0)m+ 2 = (1 - r2)+ получим утверждение теоремы. - 2 + e∓(m+ 2 )πi(1 r2) 2 , - Рассмотрим сверточный оператор Af = (T ∗ f )γ, f ∈ Sev. (10.8) В образах Ханкеля запишем Определение 10.2. Пусть M ∈ Sl Fγ [Af ] = Fγ [T ] · Fγ [f ]. . Весовая обобщенная функция называется B-мультипли- катором в Lγ, если для всех f ∈ S ev обобщенная свертка (F-1M ∗ f ) принадлежит Lγ и p ev γ γ p sup ||f ||p,γ =1 γ ||(F-1M ∗ f )γ ||p,γ (10.9) + конечен. Линейное пространство всех таких M обозначается Mp,γ = Mp,γ (Rn ). Норма в Mp,γ есть супремум (10.9). Рассмотрим сингулярный дифференциальный оператор ⎧ βi βi ⎨ Bγi , 2 β = 0, 2, 4,..., (DB ) = ∂2 γi ∂ xi βi-1 ⎩ Dx γ 2 i B i , β = 1, 3, 5,..., i i где Bγi = ∂x + x . ∂xi В статье [102] доказан следующий критерий B-мультипликатора типа критерия Михлина. Теорема 10.2. Пусть M (ξ) ∈ Ck (Rn )\{0}, где k - четное число, большее, чем n + |γ| и ev + 2, n существует такая константа A, не зависящая от β = (β1,..., βm), |β|<k, что при ξ ±= 0, ξ ∈ R+ выполняется условие 1 1 β β 1 1 1ξ (DB )ξ M (ξ)1 � A. Тогда M (ξ) является B-мультипликатором при 1 < p < ∞. α Лемма 10.4. Пусть ε, δ > 0 - фиксированные числа, m ;;; n + |γ|- 2 . Функция α ⎧ M ∓ ⎨ (P ∓ i0)m+ 2 e-δ|ξ| , P (ξ) ±= 0; α,ε,δ (ξ) = (P (ξ)+ iε|ξ|2)m ⎩ 0, P (ξ) = 0 является B-мультипликатором при 1 < p < ∞. Доказательство. Докажем оценку 1 β1 βn β1 βn ∓ 1 1 1 1ξ1 ... ξn (DB )ξ1 ... (DB )ξn Mα,ε,δ (ξ)1 � C(ε, δ). (10.10) + Для ξ ∈/ V = {ξ ∈ Rn : P (ξ) = 0} имеем α α ξ |(DB )j (P ∓ i0)m+ 2 | � C1|ξj |· |P (ξ)|m+ 2 -|j|, ξ |(DB )k (P (ξ)+ iε|ξ|2)-m| � C2|ξk |· |P 2(ξ)+ ε2|ξ|4|- m+|k| 2 , ξ |(DB )re-δ|ξ|| � C3|ξr |· e-δ|ξ| . |ξ|2r-1 Используя эти оценки и формулу типа формулы Лейбница для B-дифференцирования следующего вида [176]: 2l Bl \ 2l B - 2l 2 D v + \ 1 x B где i (u v) = Ck k=0 D2l-ku i k i m m=1 i P2l -m (DBi v; DBi u) , 2l-v-1 \ 2l-m-j j P2l-m (DBi v; DBi u) = получаем необходимую оценку (10.10). j=1 a2l-m-j,j (γj ) DBi u DBi v , α,ε,δ Если ξ ∈ V, то оценка (10.10) следует из непрерывности функции M ∓ (ξ) и ее производных на V. Лемма 10.5. Функция ∓gα (x) принадлежит пространству Lγ, 1 < p < ∞. ε,δ Доказательство. Поскольку функция m+ α p -δ|x| ∓gα -1 (P ∓ i0) 2 e ε,δ (t) = Fγ (P (x)+ iε|x|2)m представима оператором, порожденным B-мультипликатором M ∓ (ξ) в Lγ, то ∓gα ∈ Lγ. Лемма 10.6. Пусть f ∈ Sev. Оператор r α,ε,δ p ε,δ p (Iα )-1f (x) = ∓gα (t)(γ Tt f (x))tγdt p ограничен в Lγ, 1 < p < ∞. P ±i0,γ ε,δ ε,δ x R n + Доказательство. По определению оператора !! m+ α δ|ξ| \ \ (Iα )-1f = F-1 (P ∓ i0) 2 e- (x) f (x) , P ±i0,γ ε,δ γ γ (P (ξ)+ iε|ξ|2)m ∗ он представляет собой обобщенную свертку (F-1M ∓ f )γ с B-мультипликатором M ∓ (ξ), p следовательно, принадлежит Lγ. γ α,ε,δ α,ε,δ Теоремы об обращении гиперболического B-потенциала Рисса. Лемма 10.7. Пусть f ∈ Φγ , V = {ξ ∈ Rn :P (ξ) = 0}, тогда V + 2n-|γ| m ((Iα )-1Iα f )(x) = (Pγ,δf )(x)+ m k \ Ck (-iε)k (Aγ,δ,εf )(x), P ±i0,γ ε,δ P ±i0,γ n j=1 Γ 2 γj +1 k=0 2 где (Pγ,δf )(x) - обобщенная свертка с ядром Пуассона (10.6), 2k -δ|ξ| (Aγ,δ,ε γ,δ,ε γ,δ,ε r |ξ| e γ k f )(x) = (Ak (x) ∗ f (x))γ, Ak (x) = R n + jγ (x, ξ)ξ (P (ξ)+ iε|ξ|2)k dξ. P i0,γ Доказательство. Пусть Iα ± f = g. Имеем !! α (P ∓ i0)m+ 2 e-δ|ξ| \ \ Fγ ((I α P ±i0,γ m+ α ε,δ )-1g)(x) = Fγ F -1 γ m+ α (P (ξ)+ iε|ξ|2)m (x) ∗ g(x) = γ = (P ∓ i0)γ 2 e-δ|x| Fγg = (P ∓ i0)γ 2 e-δ|x| - α (P ∓ i0)γ 2 Fγf = γ (P ∓ i0)me -δ|x| Fγf. Тогда (P (x)+ iε|x|2)m (P (x)+ iε|x|2)m (P (x)+ iε|x|2)m ((Iα )-1Iα f )(x) = F-1 γ ! (P ∓ i0)me-δ|x| \ Fγf = ! F-1 γ (P ∓ i0)me-δ|x| \ f . (10.11) P ±i0,γ ε,δ P ±i0,γ γ (P (x)+ iε|x|2)m γ γ (P (x)+ iε|x|2)m γ Применим к F-1 γ (P ∓ i0)me-δ|x| (P (x)+ iε|x|2)m формулу бинома Ньютона. Имеем ⎡ m -δ|x| n-|γ| 2 l 2 m -δ|ξ| ∓ γ = (P i0) e F-1 2 r ⎢ (ξ1 - |ξ | ) e γ γ (P (x)+ iε|x|2)m n j=1 Γ2 γj +1 2 ⎣ {ξ1>|ξ1|}+ jγ (x, ξ)ξ (P (ξ)+ iε|ξ|2)m dξ+ r +e∓mπi 1 (|ξl|2 - ξ2)me-δ|ξ| (P (ξ)+ iε|ξ|2)m ⎤ jγ (x, ξ)ξγ dξ⎥ = ⎦ 2n-|γ| = n {ξ1<|ξ1|}+ ⎡ r ⎢ (1 - iε|ξ|2 m e-δ|ξ|jγ (x, ξ)ξγ dξ+ Γ2 γj +1 ⎣ P (ξ)+ iε|ξ|2 j=1 2 {ξ1>|ξ1|}+ ⎤ r +e∓mπi(-1)m iε|ξ|2 (1 - m e-δ|ξ|j (x, ξ)ξγ dξ⎥ = 2n-|γ| {ξ1<|ξ1|}+ m P (ξ)+ iε|ξ|2 ⎡ r γ ⎦ ξ|2ke-δ|ξ| m = n \ Ck (-iε)k ⎢ 2 k | jγ (x, ξ)ξγ dξ+ Γ j=1 2 γj +1 k=0 2 ⎣ {ξ1>|ξ1|}+ (P (ξ)+ iε|ξ| ) ⎤ 2k + r |ξ| e-δ|ξ| j (x, ξ)ξγ dξ⎥ = {ξ1<|ξ1|}+ (P (ξ)+ iε|ξ|2)k γ ⎦ 2n-|γ| = n m r m \ Ck (-iε)k |ξ|2ke-δ|ξ| 2 k jγ (x, ξ)ξγ dξ. j=1 Γ 2 γj +1 k=0 2 R n (P (ξ)+ iε|ξ| ) + При m = 0 применение формулы (10.1) дает n γ|δ Γ γi+1 Γ n+|γ|+1 γ e (F-1 -δ|ξ| )(x) = 2n-|γ| 2| n i=1 √ 2 2 n+|γ|+1 = j=1 Γ 2 γj +1 2 π(δ2 + |x|2) 2 2 2nΓ n+|γ|+1 n+|γ|+1 = n δ (δ2 + |x|2)- 2 = Pγ (x, δ). (10.12) Γ √π j=1 γj +1 2 p Здесь Pγ (x, δ) - общее ядро Пуассона (10.3). По лемме 10.2 Pγ (x, δ) ∈ Lγ. Вводя обозначение k (x) = Aγ,δ,ε r |ξ| 2ke -δ|ξ| jγ (x, ξ)ξγ (P (ξ)+ iε|ξ|2)k |x| 2ke -δ|x| dξ = Fγ (P (x)+ iε|x|2)k при m > 0, получим R n + m -δ|x| n-|γ| m F-1 (P ∓ i0)γ e = 2 \ k k γ,δ,ε (10.13) γ (P (x)+ iε|x|2)m n j=1 Γ2 γj +1 2 k=0 Cm(-iε) Ak (x). V Подставляя (10.12) и (10.13) в (10.11), получим утверждение теоремы для f ∈ Φγ . Теорема 10.3. Пусть f ∈ Φγ , V = {ξ ∈ Rn :P (ξ) = 0}, 1 < p < n + |γ| , p � 2, n + |γ|- 2 < α < n + |γ|. Тогда !! где V ((I α P ±i0,γ + ) I -1 α P ±i0,γ α f )(x) = f (x), L L α γ γ p 2 (P ∓ i0)m+ 2 e-δ|ξ| \ \ (I F α P ±i0,γ )-1f ) =lim lim δ→0 ε→0 -1 γ (P (ξ)+ iε|ξ|2)m (x) ∗ f (x) , γ предел по ε понимается по норме Lγ, а предел по δ -в норме Lγ. 2 p Доказательство. Из леммы 10.7 следует, что достаточно показать ⎡ ⎤ γ γ L L p 2 ⎢ \ 2n-|γ| m ⎥ lim lim ⎢(Pγ,δf )(x)+ Ck (-iε)k (Aγ,δ,εf )(x)⎥ = f (x). ⎣ δ→0 ε→0 ⎢ 2 Найдем предел по ε в Lγ. Имеем n j=1 Γ2 γj +1 2 m k ⎥ k=0 ⎦ (Aγ,δ,ε γ,δ,ε k f )(x) = (Ak (x) ∗ f (x))γ = r = Fγ R n +  |x|2ke-δ|x| (P (x)+ iε|x|2)k  (y)(γ x Tyf )(x)yγ dy =  r |x|2ke- 2 δ |x|  δ x| γ y γ = Fγ R n + | | (P (x)+ iε x 2)k e- 2 | (y)( Txf )(x)y dy = r = Fγ R n +  δ F γ |x|2ke- 2 |x| (P (x)+ iε|x|2)k г Pγ z, δ l 2  (x) x (y)(γ Tyf )(x)yγ dy. Используя равенство Парсеваля для преобразования Ханкеля (см. [57, с. 20]), получим ||(-iε )k (Aγ,δ,εf )( k 2,γ k 2,γ k x)||2 = ||(Aγ,δ,ε(x) ∗ f (x))γ ||2 2,γ = ||Fγ Aγ,δ,ε(x) · Fγf (x))γ ||2 = = n j=1 2n-|γ| r Γ 2 γj +1 R 2 n + 1 - | | 2 1 ( iε)k x 2ke- δ |x| 1 Fγ 1 1 (P (x)+ iε|x|2)k г Pγ x, δ l 2 12 1 Fγf (x)1 1 1 xγdx = 2n-|γ| = n (-iε)k |x|2ke- 1 r 1 δ 2 1 |x| 12 1 Fγ [(Pγ,δf )(x)]1 xγdx. Учитывая, что 2 j=1 1 Γ γj +1 R 2 n + δ 1 1 1 (P (x)+ iε|x|2)k 1 12 1 1 (-iε)k |x|2ke- 2 |x| 1 1 (P (x)+ iε|x|2)k 1 г δ l12 1 1 Fγ [(Pγ,δf )(x)]1 1 � e-δ|x| |Fγ [(Pγ,δf )(x)]|2 1 1 и e-δ|x| 1Fγ Pγ x, то чаем, ч 1 2 1 1 ∈ Lγ, на основании теоремы Лебега о мажорируемой сходимости полу- 1 (-iε)k (Aγ,δ,εf )(x) → 0 при ε → 0 в Lγ. То, что k 2 ||(Pγ,δf )(x) - f (x)||p,γ → 0 при δ → 0, доказано в лемме 10.3. Таким образом, теорема доказана. 11. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ B-ПОТЕНЦИАЛ РИССА И ЕГО АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ В этом разделе рассмотрим потенциал, обобщающий потенциал Рисса, вида (Iα 1 f )(x) = r (y2 y2 ... n α-n-|γ| y2 ) 2 (γ Tyf )(x)yγdy, yγ = тт yγi , (11.1) γ где Hn,γ (α) K+ 1 - 2 - - n i i=1 2α-n тт γ1 +1 n γi +1 α α - n -|γ| Hn,γ (α) = sin π π Γ Γ Γ 2 2 2 i=1 +1 , 2 K+ = {y ∈ Rn : y2 ;;; y2 +.. .+y2 } и (γ Tyf )(x) = (γ1 Ty1 .. .γn Tyn f )(x) - многомерный обобщенный + 1 2 n x1 xn сдвиг (см. определение 3.3). Оператор (11.1) будем называть гиперболическим B-потенциалом Рисса. С точностью до константы этот оператор совпадает с первым слагаемым в формуле (8.2), поэтому для (11.1) справедливы те же утверждения об абсолютной сходимости (теорема 8.1) и об ограниченности (теорема 8.3), что и для (8.2). Причиной рассмотрения этого оператора является его удобство при нахождении решения итери- рованного неоднородного общего уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. Известно (см. теорему 8.1), γ что для f ∈ Sev потенциал Iα сходится абсолютно при n + |γ|- 2 < α. Однако для того, чтобы было возможно выразить решение неоднородного общего уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу по- γ средством Iα , необходимо построить его аналитическое продолжение на все α ;;; 0 и доказать, что γ полученный при этом оператор I0 является тождественным. Это и будет составлять содержание этого раздела. Отметим, что (11.1) можно записать в виде (Iα 1 f )(x) = r (y2 y2 ... 2 γ y γ α-n-|γ| y ) 2 ( T f )(x)y dy = γ 1 r∞ Hn,γ (α) K+ r 1 - 2 - - n α- n-|γ| = Hn,γ (α) 0 1 yγ1 dy1 |y1|<y1 r∞ 1 (y2 - |yl|2) r 2 (γ Tyf )(x)(yl)γ1 dyl = {yl = y1zl} = - -| | α n γ 1 = Hn,γ (α) 0 1 yα-1dy1 |z1|<1 (1 - |zl|2) 2 (γ1,γ1 Ty1,y1z1 f )(x)(zl)γ1 dzl. (11.2) Замена переменных в пространстве Лоренца. Пусть x1, x2,..., xn - координаты про- странства Лоренца, такие, что x1 ;;; 0, x2 ;;; 0, ..., xn ;;; 0. Метрика в пространстве Лоренца задается следующим образом: (x, x) = x2 - x2 - ... - x2 . 1 2 n + Квадрат расстояния между точками x и y (x, y ∈ Rn ) имеет вид r2 xy = (x - y, x - y) = (x1 - y1)2 - (x2 - y2)2 2 - ... - (xn - yn) . + Скалярное произведение (a, b) двух векторов a и b (a, b ∈ Rn ) определяется как (a, b) = a1b1 - a2b2 - ... - anbn. Два вектора, скалярное произведение которых обращается в нуль, называются ортогональными друг другу. Если скалярный квадрат (a, a) вектора a положителен, то вектор называется вре- мениподобным. Если (a, a) - отрицателен, то вектор a называется пространственноподобным. Светоподобный вектор - это вектор a, такой, что (a, a) = 0. Световой конус или характеристи- ческий конус с вершиной a задается равенством (x - a, x - a) = 0. Рассмотрим фиксированный времениподобный единичный вектор a = (1, 0,..., 0) и перемен- ный пространственноподобный единичный вектор v = (0, v2,..., vn), ортогональный a, такой, что ), v2 n k = 1. Если вектор v выходит из начала координат, то его конец описывает часть единичной k=2 1 сферы S+(n), ортогональной к a. Таким образом, (a, a) = 1, (v, v) = -1, (a, v) = 0. + Пусть t ;;; 0, ρ ;;; 0. Произвольный вектор y ∈ R n можно записать как Перепишем выражение для y в виде 1 y = ta + ρv. 1 Введя обозначения y = (t + ρ)(a + v)+ 2 2 1 (t - ρ)(a - v). 1 запишем b = (a + v), c = 2 2 (a - v), y = (t + ρ)b + (t - ρ)c = (t + ρ) b + t - ρc . t + ρ Положив теперь получим τ = t - ρ t + ρ , σ = t + ρ, y = σ(b + τc), где b и c - некоторые вектора. Выражая ρ и t через σ и τ, будем иметь ρ = Из определения a и v следует, что 1 2 σ(1 - τ ), t = 1 σ(1 + τ ). 2 1 (b, b) = 0, (c, c) = 0, (b, c) = . 2 Квадрат лоренцева расстояния от точки y до начала координат может быть выражен теперь как - r2 = (y, y) = (ta + ρv, ta + ρv) = t2 ρ2 = (t + ρ)2 t - ρ = σ2τ. t + ρ Мы имеем y = (y1, y2,..., yn) = ta + ρv = (t, ρv2,..., ρvn), |v| = ; v2 + ... + v2 = 1. 2 n Таким образом, y1 = t, |yl| = ρ. Пусть δ > 0, yl = (y2,..., yn) и |yl|2 = (y1 - δ)2 - часть конуса с вершиной (δ, 0,..., 0). Рассмотрим его нижнюю часть 0 < y1 < δ. Тогда, учитывая, что |yl| = ρ, можем записать y1 + ρ = δ или t + ρ = δ. Следовательно, нижняя часть конуса, имеющая вид |yl| = δ - y1, или ρ = δ - t (ρ + t = δ), в новых координатах примет вид σ = δ. На поверхности (y, y) = 0 (t = ρ), за исключением вершины, получаем, что τ = 0 и σ>0. Внутренность |yl| = δ - y1 (|yl| = δ - y1, или t + ρ < δ) при y1 > δ/2 (ρ < t) перейдет в σ < δ и τ > 0. Внутренность |yl| = y1 (|yl| < y1, или ρ < t) при y1 < δ/2 перейдет в 0 < τ < 1 и σ > 0. Якобиан такой замены ∂(ρ, t) I = = ∂(σ, τ ) 1 1 1 1 - τ -σ 1 4 1 1+ τ σ = 1 1 1 - 1 σ(1 τ +1+ τ ) = 1 σ. 4 1 2 δ Обозначая K+ область, ограниченную нижней частью конуса |yl|2 = (y1 - δ)2 (t + ρ = δ) сверху δ K и частью конуса (y, y) = 0 (t = ρ) снизу, запишем, что K+ = K+ ∪ (K+ δ \ +). Используя новые δ переменные τ и σ, получим неравенства 0 � τ � 1 и 0 � σ � δ, характеризующие K+. Пусть 0 < ε < δ. Тогда конус (y1 - ε)2 = |yl|2 перейдет в τ · σ = ε. Тождественный оператор. Теорема 11.1. Для функции f ∈ Sev гиперболический B-потенциал Рисса продолжается γ аналитически на значения α > -1, причем (I0 f )(x) представляет собой тождественный оператор: (I γ 0 f )(x) = f (x). (11.3) Доказательство. Пусть сначала n + |γ|- 2 < α. Рассмотрим гиперболический B-потенциал Рисса в точке (x1,..., xn) = (0,..., 0) = O : (Iα 1 f )(O) = r (y2 y2 ... n α-n-|γ| y2 ) 2 f (y)yγdy, yγ = тт yγi . γ Hn,γ (α) K+ 1 - 2 - - n i i=1 Разделив область K+ на две части K+ и K+ \ K+, запишем δ (Iα δ f )(O) = Iα + Iα, где γ 1 r Iα (y2 1 y2 ... 2 2 γ α-n-|γ| y ) f (y)y dy, 1 = H n,γ (α) K + δ 1 - 2 - - n 2 1 r Iα (y2 y2 ... 2 γ α-n-|γ| y ) f (y)y dy. 2 = H n,γ (α) δ K+\K+ 1 - 2 - - n 2 Покажем, что Iα и Iα голоморфны как функции α при α > -1 и (I0)f (O) = f (O), I0 = 0 что 1 2 1 2 γ равносильно тому, что (I0 f )(O) = f (O). 1 Произведем в Iα переход к сферическим координатам по переменным yl = (y2,..., yn), получим 1 r Iα (y2 yl 2 α-n-|γ| γ l 1 = H n,γ (α) K + δ 1 -| | ) 2 f (y)y dy = {y = ρθ} = r = ρn+|γ1|-2(y2 2 α-n-|γ| 2 γ1 γ1 1 - ρ ) K + δ f (y1, ρθ)θ y1 dSdρdy1, где |yl| = ,1y2 + ... + y2 , γl = (γ2,..., γn), |γl| = γ2 + ... + γn, θγ1 = θγ2 ... θγn . 2 n 1 n-1 Производя замену переменных y1 и ρ по формулам 1 1 ρ = 2 σ(1 - τ ), y1 = σ(1 + τ ), (11.4) 2 учитывая, что ∂(y1, ρ) = 1 σ и y = (y , ρθ) = σ(b + τc) (см. раздел 11.1), получим ∂(σ, τ ) 2 21-n-|γ| r Iα γ1 1 δ r α-1 1 r α-n-|γ| 2 γ1 n+|γ1|-2 1 = H Положим n,γ (α) θ S+ 1 (n-1) dS σ 0 1 dσ τ 0 (1 + τ ) (1 - τ ) f (σ(b + τc))dτ. A(α, σ) = 21-n-|γ| r Hn,γ (α) γ n+ γ1 2 α-n-|γ| τ 2 (1 + τ ) 1 (1 - τ ) | |- f (σ(b + τc))dτ, тогда 0 δ Iα r γ1 r α-1 1 = θ S+ 1 (n-1) dS A(α, σ)σ 0 dσ. Разложим f (σ(b + τc)) по формуле Тейлора по переменной τ : - p N 1 f (y) = f (σ(b + τc)) = \ τ F (σ, θ)+ R (τ ), где p! p N p=0 ∂p 1 1 Fp(σ, θ) = ∂τp f (σ(b + τc)) 1 1τ =0 и τ 1 r ∂N τc τ )N -1dτ. RN (τ ) = (N - 1)! 0 ∂τ N f (σ(b +  )) (τ -   Получим следующее выражение для A(α, σ): 1 21-n-|γ| N -1 Fp(σ, θ) r A(α, σ) = +p \ Hn,γ (α) p=0 α-n-|γ| τ 2 p! 0 (1 + τ )γ1 (1 - τ )n+|γ1|-2 dτ + 1 21-n-|γ| r + Hn,γ (α) γ n+ γ1 2 α-n-|γ| τ 2 (1 + τ ) 1 (1 - τ ) | |- RN (τ )dτ. 0 Используя интегральное представление гипергеометрической функции Гаусса при c - a - b > 0 1 Γ(c) r 2F1(a, b; c; -1) = Γ(b)Γ(c - b) 0 tb-1 (1 - t) c-b-1 (1 + t)-a dt, (11.5) в нашем случае будем иметь c - a - b = n + |γ|- 2 > 0, n + |γ|- 2 < α и 1 α-n-|γ| α-n-|γ| r Γ τ 2 +p(1 - τ )n+|γ1|-2(1 + τ )γ1 dτ = 2 + p +1 Γ(n + |γl|- 1) × + p Γ α+n+|γ1|-γ1 0 2 α - n -|γ| α + n + |γl|- γ1 × 2F1 -γ1, - + p + 1; 2 + p; 1 . 2 Интеграл (11.5) сходится при b > 0, c - b > 0 и c - a - b > 0 и имеет аналитическое продолжение на значения b � 0, c - b � 0 в виде ряда - (a) (b) ( 1) ∞ n F (a, b; c; 1) = \ n n - . (c)nn! n=0 Используя это аналитическое продолжение, продолжим интеграл 1 на значения α � n + |γ|- 2. Вводя обозначение α-n-|γ| r τ 2 +p(1 + τ )γ1 (1 - τ )n+|γ1|-2dτ 0 α-n-|γ| 21-n-|γ| Γ 2 + p +1 Γ(n + |γl|- 1) Ap(α) = Hn,γ (α)p! Γ α+n+|γ1|-γ1 × α - n -|γ| 2 + p α + n + |γl|- γ1 Kp(α) где × 2F1 -γ1, + p + 1; 2 - + p; 1 2 α-n-|γ| Γ = α , 2 π21-|γ|-α Γ 2 + p +1 Γ(n + |γl|- 1) Kp(α) = n α+n+|γ1|-γ1 p! sin γ1+1 π Γ γi+1 Γ α-n-|γ| Γ + p × 2 i=1 2 α - n -|γ| 2 +1 2 α + n + |γl|- γ1 запишем × 2F1 -γ1, - + p + 1; 2 1 + p; 1 , 2 N -1 21-n-|γ| r α n γ A(α, σ) = \ Fp(σ, θ)Ap(α)+ p=0 и Hn,γ (α) 0 - γ -| | τ 2 (1 + τ ) 1 (1 - τ )n+|γ1|-2RN (τ )dτ (11.6) Iα \ N -1 1 = p=0 r Ap(α) S+ δ r θγ1 dS 0 Fp(σ, θ)σα-1dσ+ 21-n-|γ| r 1 (n-1) δ 1 r r α-n-|γ| + Hn,γ (α) S+ 1 (n-1) θγ1 dS 0 δ σα-1dσ τ 0 2 (1 + τ )γ1 (1 - τ )n+|γ1|-2RN (τ )dτ = δ r = A0(α) S+ r θγ1 dS 0 N -1 r F0(σ, θ)σα-1dσ + \ Ap(α) p=1 + r θγ1 dS 0 Fp(σ, θ)σα-1dσ+ 1 (n-1) S1 (n-1) 21-n-|γ| r + Hn,γ (α) S+ δ r θγ1 dS 0 1 r σα-1dσ 0 γ n+ γ1 2 α-n-|γ| τ 2 (1 + τ ) 1 (1 - τ ) | |- RN (τ )dτ. (11.7) 1 (n-1) Наиболее важное слагаемое в (11.7) - это A0(α) Г S+ 1 (n-1) δ θγ1 dS Г F0(σ, θ)σα-1dσ. Покажем, что 0 r lim A0(α) α→0 δ r θγ1 dS F0(σ, θ)σα-1dσ = f (0), (11.8) N -1 S+ 1 (n-1) 0 δ r r lim \ Ap(α) S+ α→0 p=1 θγ1 dS Fp(σ, θ)σα-1dσ = 0, (11.9) 1 (n-1) 0 δ 1 lim 21-n-|γ| r r θγ1 dS r σα-1dσ γ n+ γ1 2 α-n-|γ| τ 2 (1 + τ ) 1 (1 - τ ) | |- RN (τ )dτ = 0. (11.10) α→0 Hn,γ (α) S+ 1 (n-1) 0 0 K0(α) Для доказательства (11.8) рассмотрим F0(σ, θ)A0(α) = Γ α f (σb). Имеем: 2 π21-|γ| Γ 1 - n+|γ| 2 Γ(n + |γl|- 1) K0(0) = n n+|γ1|-γ1 × 2 π sin γ1+1 Γ i=1 Γ γi+1 2 1 n+|γ| Γ - 2 2 n + |γ| n + |γl|- γ1 × 2F1 - -γ1, 1 - 2 ; ; 1 = 2 = π21-|γ|Γ(n + |γl|- 1) n 2F1 -γ1, 1 - n + |γ| ; n + |γl|- γ1 ; -1 . 2 π sin γ1+1 Γ Γ n+|γ1|-γ1 2 i=1 γi+1 2 2 2 Используя соотношение [1, формула 15.1.21] в виде √πΓ(a - b + 1) 2F1(a, b; a - b + 1; -1) = 2aΓ 1+ a a+1 , a - b +1 ±= 0, -1, -2,..., 2 - b Γ 2 получим a = -γ1, b = 1 - - n + |γ| , a b +1 = 2 n + |γl|- γ1 2 ±= 0, -1, -2,..., γ1 √ n+|γ1|-γ1 n + |γ| n + |γl|- γ1 2 πΓ 2 2F1 -γ1, 1 - 2 ; - ; 1 = 2 Γ n+|γ1| 2 Γ 1-γ1 и, следовательно, γ1 √ 2 n+|γ1|-γ1 π21-|γ|Γ(n + |γl|- 1) 2 πΓ 2 K0(0) = n n+|γ1| 1 γ = 2 π sin γ1+1 Γ Γ n+|γ1|-γ1 2 i=1 Γ γi+1 Γ - 1 2 2 2 = . 21-|γ1|π√πΓ(n + |γl|- 1) n Γ n+|γ1| sin γ1+1 1-γ1 Γ γi+1 2 Принимая во внимание формулу (см. [1]) 2 π Γ 2 π 2 i=1 Γ(1 - z)Γ(z) = sin (πz) , z ±∈ Z, будем иметь K0(0) = n 21-|γ1|√πΓ(n + |γl|- 1) Γ n+|γ1| Γ γi+1 . (11.11) 2 2 i=2 Теперь мы построим аналитическое продолжение выражения δ r A(α, σ)σα-1dσ. 0 Самое важное слагаемое в (11.6) - это слагаемое, содержащее F0(σ, θ)A0(α). Запишем его в виде δ r A0(α) F0(σ, θ)σα-1dσ = δ K0(α) r f (σb)σα-1dσ. Γ α 0 2 0 Множитель K0(α) не имеет особенности при α = 0 и для γ1 ±= 2k - 1, k ∈ N вычисляется по δ формуле (11.11). Интегрируя Г f (σb)σα-1dσ по частям, получим 0 δ 1 r α-1 1 r ⎛ 1δ δ ⎞ α1 l α Γ α 2 0 f (σb)σ αΓ 1 dσ = α ⎝f (σb)σ 2 1σ=0 - 0 fσ (σb)σ dσ⎠ = 1 = α ⎛ δ r ⎝f (δb)δα - σ f l (σb)σα ⎞ dσ⎠ . Тогда 2Γ δ K0(α) r 2 +1 α-1 0 ⎛ δ ⎞ K0(0) r lim α→0 Γ α 2 0 f (σb)σ dσ = 2 ⎝f (δb) - 0 σ f l (σb)dσ⎠ = Таким образом, имеем = K0(0) 2 (f (δb) - f (δb)+ f (0)) = δ K0(0) 2 f (0). r lim A0(α) α→0 S+ r θγ1 dS 0 F0(σ, θ)σα-1dσ = K0(0) 2 r f (0) + θγ1 dS. 1 (n-1) Используя формулу удвоения вида 2 Γ(z)Γ z + 1 = 21-2z √π Γ(2z), S1 (n-1) получим 1 √ n Γ γ i+1 2 K0(0) r θγ1 dS = 2-|γ | πΓ(n + |γl|- 1) i=2 = 1, 2 n+|γ1| n γ +1 n-2 n-1+|γ1| S+ 1 (n-1) что и доказывает (11.8). i Γ 2 Γ 2 2 Γ 2 i=2 δ Для того, чтобы показать (11.9) и (11.10), рассмотрим выражение Ap(α) Г Fp(σ, θ)σα-1dσ при 0 p > 0: 21-n-|γ| Γ p +1 - n+|γ|-α 2 Γ(n + |γl|- 1) Ap(α) = Hn,γ (α)p! Γ α+n+|γ1|-γ1 × α - n -|γ| 2 + p α + n + |γl|- γ1 × 2F1 -γ1, - + p + 1; 2 + p; 1 = 2 21-|γ|-απ Γ p +1 - n+|γ|-α 2 Γ(n + |γl|- 1) n = p! Γ γi+1 Γ α Γ 1 - n+|γ|-α + p Γ α+n+|γ1|-γ1 × 2 2 i=1 2 2 α - n -|γ| α + n + |γl|- γ1 × 2F1 -γ1, - + p + 1; 2 + p; 1 . 2 n + |γ|-α Применяя формулу Γ(z + m + 1) = z(z + 1) ··· (z + m)Γ(z), m ∈ N к Γ получим p +1 - 2 , Γ p +1 - n + |γ|-α = 2 n + |γ|-α n + |γ|-α n + |γ|-α n + |γ|-α = 1 - 2 и - - 2 ... p 2 2 Γ 1 - 2 21-|γ|-απΓ(n + |γl|- 1) 1 - n+|γ|-α ... n+|γ|-α - p - n+|γ|-α Ap(α) = 2 2 2 2 n × p! Γ γi+1 Γ α Γ α+n+|γ1|-γ1 2 2 i=1 2 + p α - n -|γ| α + n + |γl|- γ1 Kp(α) где × 2F1 -γ1, + p + 1; 2 - + p; 1 2 Γ = α , 2 21-|γ|-απΓ(n + |γl|- 1) 1 - n+|γ|-α ... n+|γ|-α - p - n+|γ|-α Kp(α) = 2 2 2 2 n × p! Γ γi+1 Γ α+n+|γ1|-γ1 2 i=1 α - n -|γ| 2 + p α + n + |γl|- γ1 × 2F1 Получаем, что выражение -γ1, - + p + 1; 2 + p; 1 . 2 ... 21-|γ|πΓ(n + |γl|- 1) 1 - n+|γ| n+|γ| - p - n+|γ| Kp(0) = 2 2 2 2 n × p! Γ γi+1 Γ n+|γ1|-γ1 i=1 2 n + |γ| 2 + p n + |γl|- γ1 × 2F1 - -γ1,p +1 - 2 ; + p; 1 2 конечно при n + |γl|- γ1 ±= -2k, k ∈ N. Для любого целого p имеем ∂p ∂τp f (σ(b + τc)) = σ ! n p \ k=1 \p ck∂k f, (11.12) где ∂ = ∂ k ∂yk ∂p , y = σ(b + τc). Учитывая (11.12), замечаем, что f (σ(b + τc)) содержит множитель ∂τp σp, p = 1, 2,.... Таким образом, все интегралы δ r Fp(σ, θ)σα-1dσ, p = 1, 2,... 0 и δ 1 r r σα-1dσ 0 0 γ n+ γ1 2 α-n-|γ| τ 2 (1 + τ ) 1 (1 - τ ) | |- RN (τ )dτ 1 сходятся при α > -1. Принимая во внимание, что Kp(0) конечно и lim и (11.10) доказаны. α = 0, равенства (11.9) Γ 2 2 Рассмотрим теперь Iα: Iα 2 = H 1 1 n,γ r (α) r δ K+\K+ rα-n-|γ|(y)f (y)yγdy = α-n-|γ| {yl = ρθ} = = Hn,γ (α) δ K+\K+ 1 - ρn+|γ1|-2(y2 ρ2) 1 2 f (y1, ρθ)θγ1 yγ1 dSdρdy1. Переходя в последнем выражении к переменным (11.4), получим 1 ∞ 21-n-|γ| r Iα θγ1 dS r α-n-|γ| τ γ1 n+|γ1|-2 r α-1 2 = H n,γ (α) S+ 1 (n-1) 2 (1 + τ ) 0 (1 - τ ) Г∞ dτ σ δ f (σ(b + τc))dσ. Поскольку f ∈ Sev и δ > 0, то функция G(τ, θ, α) = δ 1-|γ|-α σα-1f (σ(b + τc))dσ принадлежит Sev по (τ, θ) и голоморфна по α. Полагая 2 π (1 + τ )γ1 (1 - τ )n+|γ1|-2G(τ, θ, α) = W (τ ), получим n Γ i=1 γi +1 2 1 1 r Iα r θγ1 dS α-n-|γ| τ 2 W (τ )dτ. 2 = 2 Γ α Γ 1 α-n-|γ| 2 S+ +1 1 (n-1) 0 Г Выражение 1 α-n-|γ| τ 2 W (τ )dτ интегрированием по частям может быть продолжено Γ α-n-|γ| 0 2 +1 аналитически как голоморфная функция α для всех α > α0, где α0 - произвольное число. Таким образом, функция 1 Γ α-n-|γ| 1 r r θγ1 dS α-n-|γ| τ 2 W (τ )dτ 2 +1 S+ 1 (n-1) 0 1 2 голоморфна при α > -1, и поскольку Iα содержит множитель 2 Γ α , то Iα 2 стремится к нулю γ при α → 0. Следовательно, показано, что (I0 y f )(O) = f (O). Взяв g(O) = γ TOf (y) вместо f (O), γ ,γ можем записать (I0 γ f )(x) = f (x), что и означает, что I0 - тождественный оператор. Исходя из доказанной теоремы и равенства (9.3) для гиперболического B-потенциала, для f ∈ Sev, 0 < α и k ∈ N справедлива формула ( γ )k Iα+2k α n где γ = Bγ1 - ), Bγi . i=2 γ f = I γ f, (11.13) ∂ 1 Кроме того, при 0 < α и f ∈ Sev такой, что xγi f 1 = 0, i = 1,...,n будет справедливо равенство Iα+2 i ∂xi α 1 1xi=0 γ γf = I γ f, (11.14) i а если f такова, что xγi ∂ ∂xi ( γ 1 1 )mf 1 1xi=0 = 0, m = 0,...,k - 1, i = 1,..., n, то и равенство (см. теоремы 9.2 и 9.4). Iα+2k k γ ( γ ) γ f = Iα f (11.15) p В силу плотности Sev в Lγ равенства (11.13), (11.14) и (11.15) распространяются на функции из Lγ при 1 < p < n + |γ| в случае, если интеграл Iα f сходится абсолютно для f ∈ Lγ. p α γ p γ Аналитическое продолжение гиперболического B-потенциала Рисса Iα . Если суще- γ ствует аналитическое продолжение Iα γ на случай 0 < α, то в силу того, что (I0 u)(x) = u(x), и в силу формул (11.14) и (11.15) следует, что гиперболические B-потенциалы Рисса могут быть ис- пользованы для решения неоднородных итерированных уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу вида ( γ )ku(x) = f (x) (11.16) при соответствующих условиях на функцию f. А именно, формально, применяя Iα+2k γ к обеим частям (11.16), получим (I γ α u)(x) = (Iα+2kf )(x). γ Далее при переходе к пределу при α → 0, формально, получаем решение рассматриваемой задачи вида u(x) = (I2k f )(x). Однако для применения Iα к решению дифференциальных уравнений в γ γ частных производных необходимо построить явные формулы аналитического продолжения этих γ операторов, расширив область значения порядка α. Сначала для Iα который сходится абсолютно + при f ∈ Sev и n + |γ|- 2 < α (см. теорему 8.1), докажем справедливость его представления в виде интеграла по Rn . γ Лемма 11.1. При n + |γ|- 2 < α для оператора Iα справедливо представление (Iα r f )(x) = |y|γ1-1 (γ1 T |y| γ1 Ty1 f )(x)yα-n-|γ|+1(yl)γ1 dy. (11.17) γ x1 x1 1 R n + Доказательство. Учитывая, что r = ,1y2 - |yl|2, yl = (y2,..., yn), |yl| = ,1y2 + ... + y2 , γl = 1 γ (γ2,..., γn), |γl| = γ2 + ... + γn, тогда запишем оператор Iα 2 n в виде r (I γ α f )(x) = x rα-n-|γ|(y)(γ Tyf )(x)yγdy = r∞ = (y1)γ1 dy1 K+ r rα-n-|γ|(y) (γ Tyf )(x)(yl)γ1 dyl = + 0 {|y1|<y1} r∞ r = (y1)γ1 dy1 rα-n-|γ|(y) (γ1 Ty1 γ1 Ty1 f )(x)(yl)γ1 dyl. Положим + 0 {|y1|<y1} r x1 x1 I = rα-n-|γ|(y) (γ1 Ty1 γ1 Ty1 l γ1 l } {|y1|<y1 + π π r r r ; x1 x1 f )(x)(y ) dy = = C(γl) ... γ1 Ty1 f (x1, x2 + y2 + 2x2y2 cos ϕ2,..., ,1x2 + y2 + 2xnyn cos ϕn)× x1 2 2 n n + {|y1|<y1} 0 0 n ×rα-n-|γ|(y) (yl)γ1 тт sinγi-1 ϕi dϕidyl = i=2 r = C(γl) π π r r ... T f γ1 y1 x1 x1, ; 2 (y2 cos ϕ2 + x2)2 + y2 sin2 ϕ2,... + {|y1|<y1} 0 0 ; n ..., n (yn cos ϕn + xn)2 + y2 sin2 ϕn rα-n-|γ|(y) (yl)γ1 тт sinγi-1 ϕi dϕidyl. i=2 Произведя в I замену (см. [103]) z1 = y2 cos ϕ2, z2 = y2 sin ϕ2, ..., z2n-3 = yn cos ϕn, z2n-2 = yn sin ϕn, 0 � ϕi � π, i = 2,...,n (11.18) } и обозначив {|z| < y1 + = {z2i-1 ∈ R, z2i ∈ R+,i = 1,...,n - 1 : |z| < y1}, получим I = C(γl) r x1 γ1 Ty1 f (x1, + ; 2 (z1 + x2)2 + z2,..., ; (z2n -3 + xn ) + z ) 2 2 2n-2 × {|z|<y1} 1 ×(y2 - |z|2) α-n-|γ| 2 n-1 2i - тт zγi-1dz = {(z2i i=1 1 + x i+1 )→z 2i-1} = n-1 r = C(γl) γ1 Ty1 f (x1, ; ; z2 + z2,..., z2 + z2 )(y2 - |z|2) α-n-|γ| 2 тт zγi-1dz, z ; x1 � } {|z|<y1 + 1 2 2n-3 2n-2 1  2i i=1 где || = (z1 - x2)2 + z2 + (z3 - x3)2 + z2 + ... + (z2n-3 - xn)2 + z2 . Интегрирование в I про- изводится по 2 4 (2n - 2)-м переменным. 2n-2 Рассмотрим часть сферы в пространстве размерности начале координат радиуса y1: 2n - 1 точек (z1,..., z2n-2, ξ) с центром в z|2 + ξ2 = y2, z2i 1 ∈ R, z ∈ R , i = 1,...,n - 1, ξ ;;; 0. | 1 - 2i + Проекция этой части сферы на плоскость ξ = 0 и элемент поверхности имеют, соответственно, y1 z z вид || � y1 и dS = ξ dz; следовательно, интеграл по || < y1 можно переписать в виде r I = C(γl) γ1 Ty1 f (x1, ; ; z2 + z2,..., z2 + z2 )(y2 - |z|2) α-n-|γ| 2 - n 1 тт zγi-1 ξ y1 dz = x1 � } {|z|<y1 + 1 2 2n-3 2n-2 1  2i i=1 y1 ξ r ; ; ξα-n-|γ|+1 n-1 = C(γl) γ1 Ty1 f x1, z2 + z2,..., z2 + z2 тт zγi-1dS. x1 2 2 2 + 1 2 2n-3 2n-2 1 y 2i i=1 � {|z| +ξ =y1 } γ Используя полученное представление для I, запишем (Iα f )(x) в виде (I γ α f )(x) = C(γl) r∞ (y1)γ1-1dy1× 0 n-1 r γ1 × Ty1 f ; 2 x1, z + z2 ; ,..., z2 + z2 ξα-n-|γ|+1 тт zγi-1dS = x1 2 2 2 + 1 2 2n-3 2n-2 2i i=1 � {|z| +ξ =y1 } = C(γl) r∞ r (y1)γ1-1dy1 ξα-n-|γ|+1× 0 {|z| +ξ =y1 } 2 2 2 + n-1 T f γ1 y1 × x1 x1, ; (z1 + x2)2 2 + z2,..., ; (z2n-3 - xn)2 + z 2 2n-2 тт i=1 2i zγi-1dS = r √ 2 2 = C(γl) γ1 T |z| +ξ ; f x , z + x )2 + z2,..., ; z x )2 + z2 x1 R 2n-1 + 1 ( 1 2 γ1-1 2 n-1 ( 2n-3 - n 2n-2 × ×(|z|2 + ξ2) 2i dzdξ. (11.19) 2 ξα-n-|γ|+1 тт zγi-1 i=1 Вернемся к переменным y по формулам (11.18), получим r (I γ α f )(x) = (|yl|2 + ξ2) γ γ1-1 √ 2 ( 1 Tx1 | |y1 2+ξ2 x1 γ1 Ty1 f )(x)ξα-n-|γ|+1(yl)γ1 dyldξ. R n + Переобозначив переменную интегрирования ξ через y1, будем иметь (11.17). γ Как отмечено, для f ∈ Sev интеграл Iα Iα f сходится абсолютно при n + |γ|- 2 < α. Продолжим γ f на множество n + |γ|- 4 < α. γ Теорема 11.2. Пусть f ∈ Sev. При n +|γ|- 4 < α и n > 3 справедлива формула для Iα f вида r∞ 2 α γ (Iα - (n 3)C(γl) f )(x) = r (zl)γ1-1dzl (ρ2 + γ1-1 zl ) 2 ρ -| |dρ γ π/2 r (α - n - |γ| + 3) | | × R n-1 0 + π π r r × cosα-n-|γ|+3 ϕ1 sin ϕ1ϕ1dϕ1 0 0 2π r ... 0 sinn-3 ϕ2 ··· sin ϕn -2dϕ2 ... dϕ n-2× × [sinn-5 ϕ1F + sinn-4 ϕ1G(ρ, ϕ)]dϕn 0 -1, (11.20) где √ ; ; 2 1 2 f F = γ1 T ρ +|z | x1 x1, 2 (ρσ2 + x2)2 + z2,..., 2n-2 (ρσn + xn)2 + z2 , ! ρσ2 + x2 ρσn + xn \ G(ρ, ϕ) = ρ F l ,1 cos ϕ2 + ... + F l ,1 sin ϕ2 ... sin ϕn-2 sin ϕn-1 , 2 (ρσ + x )2 + z2 n (ρσ + x )2 + z2 2 2 2 n n 4 2,..., Fn - производные от F, взятые по указанному в индексе аргументу. F l l γ Доказательство. Рассмотрим представление (Iα f )(x) вида (11.19) из леммы 11.17 и произведем в нем переход к сферическим координатам только по ξ и z2i-1, i = 1,...,n - 1 по формулам ξ1 = ρ cos ϕ1, z1 = ρ sin ϕ1 cos ϕ2 = ρσ2, z3 = ρ sin ϕ1 sin ϕ2 cos ϕ3 = ρσ3, ... z2n-5 = ρ sin ϕ1 ... sin ϕn-2 cos ϕn-1 = ρσn-1, z2n-3 = ρ sin ϕ1 ... sin ϕn-2 sin ϕn-1 = ρσn, ξ2 где ρ = ; 1 + z2 + ... + z 2 2n-3 > 0, 0 < ϕ1 < π/2, 0 < ϕ2 < π,... ,0 < ϕn -2 < π, 0 < ϕn-1 < 2π. Якобиан такой замены имеет вид J = ρn-1 sinn-2 ϕ1 sinn-3 ϕ2 ... sin ϕn -2. Обозначив zl = (z2,..., z2n-2), γl = (γ2,..., γn), (zl) получим |z|2 + ξ2 = ρ2 + |zl|2 и γ1-1 n-1 = i=1 zγi+1-1, |zl| = z2 + ... + z2 , 2i 2 2n-2 r γ1-1 √ 2 2 (Iα f )(x) = C(γl) (|z|2 + ξ2) 2 γ1 T |z| +ξ f x , ; 2 + z2,..., ; 2 + z2 × γ R 2n-1 + n-1 ×ξα-n-|γ|+1 тт zγi-1 x1 l r l γ1-1 1 z1 r∞ l 2 2 γ l 2 2 z2n-3 1 α-|γ| 2n-2 × i=1 2i dzdξ = C(γ ) R n-1 + (z ) dz (ρ 0 1- + |z | ) ρ dρ где π/2 π r r × cosα-n-|γ|+1 ϕ1 sinn-2 ϕ1ϕ1dϕ1 0 0 π r ... 0 sinn-3 ϕ2 ··· sin ϕn -2dϕ2 ... dϕ n-2 2π r Fdϕn-1, 0 √ 2 1 2 ; ; f F = γ1 T ρ +|z | x1 π/2 x1, 2 (ρσ2 + x2)2 + z2,..., 2n-2 (ρσn + xn)2 + z2 . Проинтегрируем интеграл Г 0 cosα-n-|γ|+1 ϕ1 sinn-2 ϕ1Fdϕ1 по ϕ1 по частям, положив cosα-n-|γ|+2 ϕ1 dv = cosα-n-|γ|+1 ϕ1 sin ϕ1dϕ1, v = - ∂ , α - n - |γ| +2 u = sinn-3 ϕ1F, du = при n > 3, n + |γ|- 2 < α получим ∂ϕ1 (sinn-3 ϕ1F )dϕ1; π/2 r cosα-n-|γ|+1 ϕ1 sinn-2 ϕ1Fdϕ1 = 0 π/2 ! cosα-n-|γ|+2 ϕ1 - α - n - |γ| +2 sinn-3 ϕ1F \π/2 + ϕ1=0 1 + α - n - |γ| +2 r cosα-n-|γ|+2 ϕ1 0 π/2 ∂ ∂ϕ1 (sinn-3 ϕ1F )dϕ1 = 1 r = α - n - |γ| +2 0 cosα-n-|γ|+2 ϕ1 ∂ ∂ϕ1 (sinn-3 ϕ1F )dϕ1. Полученный интеграл сходится уже при n + |γ|- 4 < α, поскольку ∂ ∂ϕ1 ϕ1 (sinn-3 ϕ1F )d = (n - 3)[sinn-4 ϕ1 cos ϕ1F + sinn-3 ϕ1F l ] = ϕ1 = (n - 3) sin ϕ1[sinn-5 ϕ1 cos ϕ1F + sinn-4 ϕ1F l ] = где = (n - 3) sin ϕ1 cos ϕ1[sinn-5 ϕ1F + sinn-4 ϕ1G(ρ, ϕ)], l Fϕ1 = G(ρ, ϕ) cos ϕ1, G(ρ, ϕ) = ρ ! ρσ2 + x2 F l ,1 2 ,1 cos ϕ + ... + F l ρσn + xn \ sin ϕ2 ... sin ϕn-2 sin ϕn-1 2 (ρσ + x )2 + z2 n (ρσ + x )2 + z2 2 2 2 и π/2 r n n 4 0 π/2 n - 3 r cosα-n-|γ|+1 ϕ1 sinn-2 ϕ1Fdϕ1 = = α - n - |γ| +3 0 cosα-n-|γ|+3 ϕ1 sin ϕ1[sinn-5 ϕ1F + sinn-4 ϕ1G(ρ, ϕ)]dϕ1. Таким образом, при n + |γ|- 4 < α и n > 3 справедлива формула аналитического продолжения r∞ 2 α γ (Iα - (n 3)C(γl) f )(x) = r (zl)γ1-1dzl (ρ2 + γ1-1 zl ) 2 ρ -| |dρ γ π/2 r (α - n - |γ| + 3)H(α, n, γ) π r | | × R n-1 0 + π r × cosα-n-|γ|+3 ϕ1 sin ϕ1ϕ1dϕ1 0 0 ... 0 sinn-3 ϕ2 ··· sin ϕn -2dϕ2 ... dϕ n-2× 2π r × [sinn-5 ϕ1F + sinn-4 ϕ1G(ρ, ϕ)]dϕn 0 -1. Аналогично (11.20) можно получить формулу аналитического продолжения для n + |γ|- 6 < α и n > 4 и т. д. Ввиду важности случая n = 3 и того, что он не попадает в рамки теоремы 11.2, построим аналитическое продолжение для случая n = 3 отдельно в теореме 11.3. γ Теорема 11.3. Пусть f ∈ Sev, n = 3. Для Iα r f справедлива формула при α > |γ|- 1 вида ⎛ r (Iα f )(x) = rα-3-|γ|(y)(γ Tyf )(x)yγdy = C(γl) ⎜2π zγ2-1zγ3-1dz dz γ x K+ r∞ √r2+z2+z2 ; α - 1 - |γ| ⎝ 2 4 R 2 + ; γ 1 2 4× γ1 2 4 2 2 2 2 2 2 2 1- α-|γ| × Tx1 f 0 x1, x2 + z2 , x3 + z4 (r 2π + z2 + z4 ) 2 r π/2 dr+ ⎞ + r zγ2-1 ∞ γ3-1 r γ1-1 r r ⎟ 2 z4 dz2dz4 (r2 + z2 + z2) 2 rα-|γ|+1dr dϕ cosα-|γ| θF (r, θ, ϕ)dθ , (11.21) R 2 + где 2 4 ⎠ 0 0 0  F (r, θ, ϕ) = f l r sin θ cos ϕ + x2 ,1  cos ϕ + f l r sin θ sin ϕ + x3 ,1 sin ϕ. 2 (r sin θ cos ϕ + x )2 + z2 3 (r sin θ sin ϕ + x )2 + z2 2 2 3 4 Доказательство. В случае n = 3 имеем K+ = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x2 + x2 < x2} и, используя лемму 11.1, запишем r + 2 2 1 r (Iα f )(x) = rα-3-|γ|(y)(γ Tyf )(x)yγdy = |y|γ1-1 (γ1 T |y| γ1 Ty1 f )(x)yα-2-|γ|(yl)γ1 dy = γ x R K + 3 + r x1 x1 1 π π r r γ1 × T |y| = C(γl) R 3 + ; 1 |y|γ1-1yα-2-|γ|(yl)γ1 dy× 2 2 2 ; x1 f (x1, 0 0 (y2 cos ϕ2 + x2) + y2 sin ϕ2, (y3 cos ϕ3 + x3) + y3 sin ϕ3)× × sinγ2-1 ϕ2 sinγ3-1 ϕ3 dϕ2dϕ3. Произведем замену y2 cos ϕ2 = z1, y2 sin ϕ2 = z2, y3 cos ϕ3 = z3, y3 sin ϕ3 = z4: r rα-3-|γ|(y)(γ Ty γ l r 2 2 γ1-1 2 α-2-|γ| K+ √ 2 2 xf )(x)y dy = C(γ ) R 5 + (y1 + |z| ) y1 × x1 1 × γ1 T y1 +|z| f (x , ; 2 (z1 + x2)2 + z2, ; 4 (z3 + x3)2 + z2)z γ2-1 2 z γ3-1 4 dy1dz. Перейдем к сферическим координатам: y1 = r cos θ, 0 < θ < π/2, z1 = r sin θ cos ϕ, 0 < ϕ < 2π, z3 = r sin θ sin ϕ; r (I γ α f )(x) = K+ x rα-3-|γ|(y)(γ Tyf )(x)yγdy = r r∞ γ1-1 2π π/2 r r = C(γl) zγ2-1zγ3-1dz2dz4 (r2 + z2 + z2) 2 rα-|γ|dr dϕ fcosα-2-|γ| θ sin θdθ, 2 4 2 4 R 2 0 0 0 + где √ 2 2 2 ; ; f f = γ1 T r +z2 +z4 x1 x1, 2 (r sin θ cos ϕ + x2)2 + z2, 4 (r sin θ sin ϕ + x3)2 + z2 . Проинтегрируем интеграл по θ по частям: π/2 r fcosα-2-|γ| θ sin θdθ = 0 α-1-|γ| = {dv = cosα-2-|γ| θ sin θdθ, v = -cos θ ,u = f, du = fl dθ} = α - 1 - |γ| θ π/2 ! cosα-1-|γ| θ \π/2 1 r α-1-|γ| l = - α - 1 - |γ| f ⎛ θ=0 + α - 1 - |γ| 0 cos θfθ dθ = π/2 ⎞ √ 2 2 r f = 1 ⎜ γ1 T r2+z2 +z4 x1 x1, ; x2 + z2, ; x2 + z2 + cos α-1-|γ| θfl dθ⎟ . Тогда α - 1 - |γ| ⎝ r 2 2 3 4 θ ⎠ 0 ⎛ r (Iα f )(x) = rα-3-|γ|(y)(γ Tyf )(x)yγdy = C(γl) ⎜2π zγ2-1zγ3-1dz dz γ x K+ r∞ √r2+z2+z2 ; α - 1 - |γ| ⎝ 2 4 R 2 + ; γ 1 2 4× γ1 2 4 2 2 2 2 2 2 2 1- α-|γ| × Tx1 f 0 x1, x2 + z2 , x3 + z4 (r + z2 + z4 ) 2 r dr+ + r zγ2-1 R γ3-1 r γ1-1 2 2π π/2 ⎞ r r ⎟ 2 z4 dz2dz4 (r2 + z2 + z2) rα-|γ|dr dϕ cosα-1-|γ| θ1fl dθ . R 2 + θ Найдем fl : 2 4 θ ⎠ 0 0 0 l fθ = ! f l r sin θ cos ϕ + x2 2 2 2 ,1( r sin θ cos ϕ + x )2 + z2 cos ϕ + f l r sin θ sin ϕ + x3 3 4 3 ,1( r sin θ sin ϕ + x )2 + z2 \ sin ϕ r cos θ = где = F (r, θ, ϕ)r cos θ, r sin θ cos ϕ + x2 r sin θ sin ϕ + x3 F (r, θ, ϕ) = fl ,1 cos ϕ + fl ,1 sin ϕ. 2 (r sin θ cos ϕ + x )2 + z2 3 (r sin θ sin ϕ + x )2 + z2 Имеем r 2 2 3 4 ⎛ r (Iα f )(x) = rα-3-|γ|(y)(γ Tyf )(x)yγdy = C(γl) ⎜2π zγ2-1zγ3-1dz dz γ x K+ r∞ √r2+z2+z2 ; α - 1 - |γ| ⎝ 2 4 R 2 + ; γ 1 2 4× γ1 2 4 2 2 2 2 2 2 2 1- α-|γ| × Tx1 f 0 r r∞ x1, x2 + z2 , γ 1 x3 + z4 (r + z2 + z4 ) 2 r 2π π/2 r r dr+ ⎞ + zγ2-1 γ3-1 1- ⎟ 2 z4 dz2dz4 (r2 + z2 + z2) 2 rα-|γ|+1dr dϕ cosα-|γ| θF (r, θ, ϕ)dθ . 2 4 ⎠ R 2 0 0 0 + Полученные интегралы сходятся при α > |γ|- 1. Доказательство закончено. Примеры гиперболических B-потенциалов Рисса. Пример 11.1. Пусть f (x) = ϕ(x1). Тогда, используя (11.2) и перестановочность обобщенного сдвига, получим (Iα 1 ϕ(y1))(x) = r∞ r ( γ1 Ty1 ϕ)(x1)yα-1dy1 (1 - |zl|2) γ1 α- n-|γ| 2 (zl) dzl = γ Hn,γ (α) x1 0 1 r∞ 1 |z1|<1 r α- n-|γ| = ϕ(y1)( γ1 Ty1 xα-γ1-1)yγ1 dy1 (1 - |zl|2) 2 (zl)γ1 dzl. Hn,γ (α) 0 x1 1 1 |z1|<1 Используя формулу (3.14), представляющую обобщенный сдвиг от степенной функции, получим ⎧ γ +1- α 1 α γ +1 y2 ( γ1 Ty1 α-γ1-1 ⎨ 1 2F1 ⎪ ⎪ xα-γ1-1 1 2 ; , 1 - 2 , 2 x 2 1 , x1 1 ;;; y1; x1 x1 ) = γ +1- α α γ +1 x2 ⎪⎪ α-γ1-1 1 1 1 ⎩ y1 2F1 и - , 1 , 1 2 2 ; 2 y2 , x1 < y1 (Iα ϕ(y1))(x) = 1 ⎛ x1 xα-γ1-1 r 2F1 γ1 +1- α , 1 - α γ1 +1 , ; y 2 1 ϕ(y1)y2γ1-α+1dy1× γ Hn,γ (α) ⎝ 1 0 r 2 α-n-|γ| x 1 2 2 2 1 × |y1|<y1 1 (y2 - |yl|2) 2 (yl)γ1 dyl+ ⎞ 1 - r∞ γ +1 α α γ +1 x2 r α n γ + 2F1 1 2 , 1 - 2 , 2 1 -| | ; 1 ϕ(y1)yγ1 dy1 y2 1 (y2 - |yl|2) 2 (yl)γ1 dyl⎟ = 1 x1 ⎛ x1 ⎠ |y1|<y1 1 = Hn,γ (α) r 1 ⎝xα-γ1-1 0 2F1 γ1 +1- α 2 , 1 - α γ1 +1 , ; 2 2 y 2 x 1 2 1 ϕ(y1)yγ1 dy1× 1 r × (1 - |yl|2) γ1 α-n-|γ| 2 (yl) dyl+ |y1|<1 ⎞ 1 - r∞ γ +1 α α γ +1 x2 r α n γ + 2F1 1 2 , 1 - 2 , 2 1 -| | ; 1 ϕ(y1)yα-1dy1 y2 (1 - |yl|2) 2 (yl)γ1 dyl⎟ . x1 Рассмотрим r α-n-|γ| 1 ⎠ |y1|<1 1 r α-n-|γ| r |y1|<1 (1 - |yl|2) 2 (yl)γ1 dyl = {yl = ρθ} = 0 r 1 (1 - ρ2) 2 ρn+|γ1|-2dρ S+ 1 (n-1) θγ1 dS = 2 = {ρ2 = r} = 1 0 (1 - r) α-n-|γ| 2 r 1 n+|γ1|-1 r 2 - dr S+ θγ1 dS = тогда 1 1 2 = |S+(n - 1)|γ1 B α - n -|γ| 2 + 1, 1 (n-1) n + |γl|- 1 = C (α, n, γ), 2 (Iα C (α, n, γ) ϕ)(x1) = ⎛ x1 xα-γ1-1 r 2F1 γ1 +1- α , 1 - α γ1 +1 , ; y 2 1 ϕ(y1)yγ1 dy1+ γ Hn,γ (α) ⎝ 1 0 x 1 2 2 2 2 1 1 - r∞ γ +1 α α γ +1 x2 ⎞ Найдем C (α, n, γ) : Hn,γ (α) + 2F1 x1 1 ; 2 , 1 - 2 , 2 n y 1 2 1 ϕ(y1)yα-1dy1⎠ . 1 Γ γi+1 1 2 C (α, n, γ) 1 = 2 i=2 Γ α-n-|γ| +1 Γ n+|γ |-1 2 Hn,γ (α) 2 2 2n-2Γ n-1+|γ1| Γ α-γ1+1 × 2 π2n-α × n = γ +1 π21-α γ +1 α α γ +1 . sin γ1+1 γi+1 α α-n-|γ| sin 1 1 Γ Γ - 1 2 π Γ 2 i=1 Γ 2 Γ 2 +1 2 π Γ 2 2 2 При α = 2, используя формулу дополнения Эйлера (1.6), получим 1-γ1 π 1 - γ1 C (2,n,γ) Γ 2 1 2 π sin γ1+1 = Γ , Γ γ1+1 2 2 Hn,γ (2) - 1 = 3 γ = 2Γ 2 . 1 - γ1 1 Для ϕ(x1) = xβ имеем ⎛ x1 2 Iα β C (α, n, γ) α-γ1-1 r γ1 +1- α α γ1 +1 y1 γ1+β γ x1 = Hn,γ (α) ⎝x1 2F1 0 - , 1 , 2 2 ; 1 2 x2 y1 dy1+ 1 - r∞ γ +1 α α γ +1 x2 ⎞ + 2F1 x1 1 ; 2 , 1 - 2 , 2 y 1 2 1 yα+β-1dy1⎠ . 1 Рассмотрим первый интеграл: x1 y y r γ1 +1- α 1 α γ1 +1 2 γ1+β  2  1 2F1 0 - , 1 , 2 2 1 ; 1 2 x2 y1 dy1 = x 2 = t = 1 = 1 xβ+γ1+1 r 2F1 γ1 +1- α - α γ1 +1 γ1+β-1 2 , 1 , 1 2 2 2 0 ; t t 2 dt = x β+γ1+1 = 1 F α 1 - α + γ1 1+β + γ1 γ1 +1 1 - , , ; , 1+ β + γ1 ;1 γ1 + β +1 3 2 2 2 при β + γ1 > -1, α > 0. 2 2 2 Рассмотрим второй интеграл: 1 - r∞ γ +1 α α γ +1 x2  x2  2F1 x1 1 ; 2 , 1 - 2 , 2 1 y 1 2 1 yα+β-1dy1 = 1 y 2 1 = t = 1 = 1 xα+β r 2F1 γ1 +1- α - α γ1 +1 1 α+β 2 , 1 , 1 2 2 2 0 ; t t- 2 - dt = 1 α+β α α + β 1+γ1 - α γ1 +1 α + β = - α + β x1 3F2 при α + β < 0, α > 0. 1 - 2 , - 2 , - ; , 1 ;1 2 2 2 Тогда при -γ1 - 1 < β < -α, α > 0 имеем Iα β C (α, n, γ) ! x α+β 1 α 1 - α + γ1 1+β + γ1 γ1 +1 β + γ1 γ x1 = Hn,γ (α) 1 γ + β +1 3F2 1 - 2 , , ; , 1+ 2 2 2 2 ;1 - x α+β 1 α α + β 1+γ1 - α γ1 +1 α + β \ - α + β 3F2 1 - 2 , - 2 , - ; , 1 ;1 . 2 2 2 C (2, n, γ) 1 При α = 2, -γ1 - 1 < β < -2, учитывая, что Hn,γ = (2) 1 - , получим γ1 I2 β C (2,n,γ) ! x β+2 1 x 2+β \ 1 = γ x1 = Hn,γ (2) γ1 + β +1 - 2+ β x 1 ! β+2 = 1 x 2+β \ 1 xβ+2 = 1 . Поскольку 1 - γ1 γ1 + β +1 - 2+ β β+2 (β + 2)(β + γ1 + 1) β то легко видеть, что (Bγ1 )x1 x1 = (β + 2)(β + γ1 + 1)x1 , 2 β β (Bγ1 )x1 I γ x1 = x1 , -γ1 - 1 < β < -2. 1 p Пример 11.2. Учитывая пример 9.1, при f (x) = ϕ(x1)jγ (xl, b) ∈ Lγ имеем Γ 1-γ1 2 ∞ α-γ1-1 (-1)m |b| 2m+ α-1-γ1 2 (Iα ϕ(y1)jγ1 (yl; b))(x) = jγ1 (xl; b)|b| 2 \ × γ α+γ1+1 2 2 Γ α 2 m=0 m!Γ 2 m + α+1-γ1 2 r∞ × ϕ(y1)|x1 - y1|2m+α-γ1-1 2F1 γ 1 , -m + γ1 +1 - α ; γ1; - 4x1y1 yγ1 dy1. (11.22) 2 2 (x1 - y1)2 1 0 1 При α = 2, γ1 = 2 и |b| = 1, используя (9.18) и то, что Γ - 2 r∞ = -2π, имеем (I γ 2 ϕ(y1)jγ1 (yl; b))(x) = -jγ1 (xl; b) 1 2x1 0 ϕ(y1) (sin(x1 + y1) - sin |x1 - y1|) y1dy1. 1 Пусть ϕ(x1) = x2e-x1 , тогда r∞ I2 2 -x1 l l 1 -y1 3 γ x1e 1 jγ1 (x ; b) = -jγ1 (x ; b) 2x 0 1 ϕ(y1)e (sin(x1 + y1) - sin |x1 - y1|) y1 dy1 = 1 = jγ1 (xl; b)e-x1 (x2 + 3x1 + 3). 2 Проверим выполнение равенства (11.13): x1 2 1 l -x1 2 (B2)x1 jγ1 (xl; b)e- (x1 + 3x1 + 3) = 2 jγ1 (x ; b)e 1 (x1 - 3x1 - 3), 1 Δγ1 jγ1 (xl; b)e-x1 (x2 + 3x1 + 3) = - 1 jγ1 (xl; b)e-x1 (x2 + 3x1 + 3), 2 x1 2 2 -x1 l ((B2)x1 - Δγ1 )jγ1 (xl; b)e- π (x1 + 3x1 + 3) = x1e π jγ1 (x ; b). 1 Пусть ϕ(x1) = x2 при 0 < x1 � 2 и ϕ(x1) = 0 при x1 > π 2 , тогда 2 (I 1 γ 2 x2jγ1 (yl; b))(x) = -jγ1 (xl; b) 1 r 2x1 0 1 (sin(x1 + y1) - sin |x1 - y1|) y3dy1 = = x2 - 6+ π sin x1 π2 3 - j (xl; b). 8 1 1 x1 γ Проверим выполнение равенства (11.13): 2 π sin x1 π2 π sin x1 π2 (B2)x1 x x1 - 6+ 1 - 1 3 8 jγ1 (xl; b) = 6+ x 8 - 3 jγ1 (xl; b), Δγ1 1 x2 - 6+ π sin x1 x 3 - 1 π2 8 2 jγ1 (xl; b) = - π sin x1 1 x2 - 6+ π2 π sin x1 x 3 - 1 2 π2 8 jγ1 (xl; b), ((B2)x1 - Δγ1 ) x x1 - 6+ 1 - 3 8 jγ1 (xl; b) = x1jγ1 (xl; b). ГЛАВА 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ОПЕРАТОРОМ БЕССЕЛЯ В этой главе мы рассмотрим методы решения гиперболических уравнений с оператором Бесселя только целого порядка. О гиперболических уравнениях с оператором Бесселя дробного порядка см. [183]. Уравнения математической физики с операторами Бесселя Bγ = D2 + γ D, D = x d dx, γ ∈ R (11.23) относятся к сингулярным уравнениям (см., например, [192]), поскольку коэффициент при D стре- мится к бесконечности при x, стремящемся к нулю. Оператор Bγ тесно связан с оператором l Bl = D2 + x2 , l ∈ R, (11.24) а именно, пусть D2v + l γ - v и l = γ 1 γ , тогда при замене v = x 2 u выражение D2v + l v x2 γ x перейдет в x 2 D2 + γ D u. Следуя классификации, введенной И. А. Киприяновым (см. [50, 52, 57, 75]), уравнения с опера- тором Бесселя вида n \ ai(Bγ )x u + F (x1, ··· , xn, u) = 0, u = u(x1,..., xn), ai ∈ R, (11.25) i i i=1 называется уравнением B-эллиптического типа, если все коэффициенты ai, i = 1,...,n отличны от нуля и одного знака. Если (11.25) имеет коэффициенты различных знаков, но при этом все они отличны от 0, то уравнение (11.25) называется уравнением B-гиперболического типа. Если хотя бы один коэффициент ai, i = 1,...,n равен 0, то уравнение (11.25) называется уравнением B-параболического типа. B-гиперболический тип может быть дополнительно классифицирован как: нормальный B-гиперболический тип, если один коэффициент одного знака, а остальные другого; B-ультрагиперболический тип, если коэффициентов как одного знака, так и другого, боль- ше, чем один. Начало систематического исследования уравнений B-эллиптического типа было положено в работах [281, 282]. Дальнейшее изучение таких уравнений было продолжено в [48, 55, 55, 62, 111, 286] и др. Среди работ, посвященных уравнениям B-гиперболического типа, отметим [166, 171, 173, 174]. К таким уравнениям относятся и уравнения типа Эйлера-Пуассона-Дарбу [188, 189, 210,283-285], включая абстрактные [18,20,22-24]. B-параболические уравнения рассматривались в [36,37,111] и др. Сингулярные функционально-дифференциальные B-параболические уравнения были рассмотрены в [113, 247, 248] с применением методов [164, 165]. Первыми книгами, посвященными уравнениям B-эллиптического, B-гиперболического и B- параболического типов, были, соответственно, [57], [192] и [110]. Особый интерес представляют обратные задачи спектрального анализа для уравнений с возму- щенным оператором Бесселя (11.24) вида [Bl - q(x)]u = -λu, (11.26) где q(x) - суммируемая c некоторым весом на конечном интервале функция, λ - спектральный параметр. Некоторые задачи спектральной теории для уравнения (11.26) решены в [13, 167, 168]. В [190, 193, 232-241] новый продуктивный подход, основанный на применении операторов пре- образования в теории рядов, применен к решению уравнения (11.26), но в силу своей универсаль- ности может быть применен и к широкому классу дифференциальных уравнений. В этой главе рассмотрены следующие методы решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных с оператором (11.23): использование весовых обобщенных функций, порожденных символом линейного дифферен- циального оператора; метод спуска (применение теоремы о среднем значении); метод операторов преобразования; метод преобразований Ханкеля; метод потенциалов Рисса. Применение аппарата обобщенных функций к нахождению фундаментальных решений линей- ных уравнений в частных производных и решению задач Коши для таких уравнений разработано в [15, 16, 261]. В связи с потребностями теоретической и математической физики и теории диффе- ренциальных уравнений вводятся различные обобщения этого аппарата. Одним из таких обобще- ний являются изученные в главе 2 весовые обобщенные функции, связанные с квадратичной фор- мой. Метод применения весовых обобщенных функций к отысканию фундаментальных решений линейного дифференциального оператора состоит в том, что вместо этого оператора рассматрива- ется соответствующая ему весовая обобщенная функция. Находятся особые точки этой функции, и в них вычисляются вычеты. Из формул для вычетов следуют формулы для фундаментального решения. В разделе 12.1 этой главы применением формул для вычетов (см. пункт 5.2) получены фундаментальные решения итерированного B-ультрагиперболического уравнения. Частично эти результаты были опубликованы в [181, 264]. Метод спуска состоит в применении теоремы о среднем значении типа теоремы Асгейрссо- на к нахождению решения задачи Коши. Этот метод приведен в [86, с. 475], [219, с. 318], и [220, I, с. 183], где он применен к нахождению решения задачи Коши волнового уравнения. Метод спуска заключается в следующем. Если для решения уравнения, обобщающего ультраги- перболическое (в нашем случае, B-ультрагиперболическое) уравнение, доказана теорема о равен- стве средних значений типа теоремы Асгейрссона, то можно получить решение задачи Коши для уравнения, обобщающего гиперболическое (в нашем случае, B-гиперболическое) уравнение. Для этого вводятся фиктивные переменные так, чтобы рассматриваемое уравнение гиперболическо- го типа превратилось в уравнение ультрагиперболического типа, затем выписывается равенство для средних с учетом начального условия, и, наконец, применением соответствующего обратного оператора (в нашем случае дробной производной Римана-Лиувилля) находится искомое реше- ние. В разделе 12.2 мы распространим теорему Асгейрссона о среднем значении на случай B- ультрагиперболического уравнения и применим ее к решению задачи Коши для общего уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу, используя дробные производные Римана-Лиувилля. Эти результаты приведены в [104, 105]. Метод операторов преобразования для решения дифференциальных уравнений состоит в следу- ющем [155, 156, 191, 192, 274]. Пусть оператор преобразования T сплетает два оператора A и B, причем A сложнее, чем B: TB = AT. Тогда уравнение Bu = f применением оператора T сведется к более сложному уравнению Av = g, где v = Tu и g = Tf. Таким образом, если известно ре- шение более простого уравнения Bu = f, то решение более сложного уравнения Av = g дается формулой v = Tu. Остается вопрос: как построить нужный оператор T ? Известно много при- меров, когда нужный оператор преобразования подбирался исходя из свойств оператора A (см., например, [6, 192]). Однако существует общий метод, позволяющий построить любой оператор преобразования по двум заданным операторам A и B. Это композиционный метод, разработан- ный в [49, 50, 156] (см. также [208]). В этой главе метод операторов преобразования применяется к решению задачи Коши для общего уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу (раздел 13.1) и его обобщения со спектральным параметром (раздел 14.2). Для решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами удобно применять преобразование Фурье, потому что его применение преобразует такие уравнения в уравнения, которые легче решить (см. [11,12,188,189]). Для уравнений с оператором Бесселя, т. е. с непосто- янными коэффициентами с особенностью в нуле, используется преобразование Ханкеля (Фурье- Бесселя). А именно, если рассматриваем задачу Коши для B-гиперболического уравнения, где по всем переменным действует оператор Бесселя с ненулевым первым условием и нулевым вторым условием, то, применяя к обеим частям уравнения преобразование Ханкеля только по простран- ственным переменным, получаем задачу Коши для более простого уравнения с одной переменной. Решаем задачу Коши для полученного уравнения с единичным первым условием и нулевым вто- рым условием. Находим обратное преобразование Ханкеля от полученного решения и сворачиваем его (при помощи обобщенной свертки) с функцией из первого ненулевого условия исходной за- дачи, получаем решение изначальной задачи Коши. Метод преобразований Ханкеля применен к решению задачи Коши для общего уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в разделе 13.2 и для его обобщения со спектральным параметром в разделе 14.1 этой главы. При этом применялись пре- образования Ханкеля весовых обобщенных функций, полученных в главе 2 в разделе 7. Частично эти результаты опубликованы в [266, 267, 269-272]. B-УЛЬТРАГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ Классическое ультрагиперболическое уравнение имеет вид Δxu = Δyu, u = u(x, y), x ∈ Rp, y ∈ Rq. (12.1) Уравнение (12.1) изучалось многими авторами (см. [5, 8, 9, 79, 195, 222, 252, 255]). При p = 1 или q = 1 уравнение (12.1) представляет собой обычное волновое уравнение, описывающая динами- ческое развитие многих процессов классической и квантовой физики. К уравнениям вида (12.1) при p = q = 2 приводят, например: исследования проблемы Гильберта определения в трехмер- ном декартовом пространстве всех метрик, геодезическими которых являются прямые (см. [253]); обратная задача дифракции при изучении неоднородности распределения зерен поликристалличе- ских материалов; гиперсферическое рентгеновское преобразование с функциями плотности кри- сталлографических полюсов, удовлетворяющими ультрагиперболическому уравнению с оператором Лапласа-Бельтрами (см. [249]). Случай, когда в (12.1) p > 2 и q > 2, является важным с ма- тематической точки зрения благодаря теореме Асгейрссона о среднем значении (см. [184], [86, с. 475], [39, с. 84], [219, с. 318], [220, I, с. 183]), которая является обобщением теоремы о сред- нем значении для гармонических функций, а также обобщением формулы для функции Грина линейного волнового уравнения с постоянным коэффициентами. Вообще говоря, начальная задача для ультрагиперболического уравнения (12.1) некорректна. В частности, в общем случае решение начальной задачи для него либо не существует, либо не единственно, и в случае, если удается найти какое-то решение, оно является неустойчивым. Однако в статье [195] показано, что начальная задача для ультрагиперболического уравнения при нелокальном ограничении на гиперпространствах коразмерности один имеет единственное глобальное решение в пространствах Соболева Hm. Таким образом, в этом случае начальная задача для (12.1) оказывается корректной. Мы будем рассматривать обобщение уравнения (12.1) на случай, когда вместо каждой второй производной по каждой переменной действует оператор Бесселя. q Пусть n = p + q, p и q - натуральные числа; γ = (γl, γll), γl = (γ1,..., γp), γll = (γp+1,..., γp+q ), γi > 0, i = 1,..., n, xl ∈ Rp , xll ∈ Rq , x = (xl, xll) ∈ Rn = Rp × R . + + + + + B-ультрагиперболическое уравнение, или сингулярное ультрагиперболическое уравнение, име- ет вид γu = 0, u = u(x), (12.2) где γ - однородный линейный дифференциальный оператор вида γ = (Δγ1 )x1 - (Δγ11 )x11 = Bγ1 + ... + Bγp - Bγp+1 - ... - Bγp+q , p (Δγ1 )x1 = ),(Bγi )xi , (Δγ11 )x11 = p+q ), (Bγj )xj , Bγi = ∂2 γi + ∂ , i = 1,..., n. i=1 j=p+1 i ∂x2 xi ∂xi Итерированным B-ультрагиперболическим уравнением будем назвать уравнение вида k γu = f, γ где k ∈ N, f = f (x) - некоторая функция. В следующем пункте найдем фундаментальное решение уравнения ku = f, а в пункте 12.2 докажем теоремы о весовых сферических средних для решения уравнения (12.2). Фундаментальное решение итерированного B-ультрагиперболического уравнения. С помощью результатов, полученных для весовых обобщенных функций, связанных с неопреде- ленной квадратичной формой, найдем фундаментальное решение итерированного B-ультрагипер- болического уравнения. + Пусть x ∈ Rn , n = p + q, p, q ∈ N. Будем искать фундаментальное решение уравнения где k ∈ N. k γu = f, (12.3) Фундаментальным решением уравнения (12.3) будем называть обобщенную весовую функцию u, такую что k γu = δγ. (12.4) Отметим, что фундаментальные решения для гиперболического и ультрагиперболического урав- нение с оператором Бесселя, примененным по одной переменной, получены в [60,62], а по несколь- ким переменным (кроме временной) - в [58]. Докажем следующее утверждение для уравнения (12.3). Теорема 12.1. За исключением случая, когда n + |γ| = 2, 4, 6,... и k ;;; n + |γ| , функции 2 e±i n+ γ π(q+|γ11|) 2 Γ | | - k +k 2 n+|γ| - u = (-1)k ( P ± i0)γ 2 (12.5) 1 4k (k - 1)!|S+(n)|γ Γ 2 n+|γ| - 1 γ являются фундаментальными решениями уравнения ku = f в смысле (12.4). Если же n+|γ| = n + |γ| +k n+|γ| - 2 +k n+|γ| - 2 2, 4, 6,... и k ;;; 2 , то функция (P + i0)γ = (P - i0)γ является решением γ однородного уравнения ku = 0. Доказательство. Из соотношения (5.30) имеем n + |γ| n + |γ| k λ+k k λ γ (P + i0)γ = 4 (λ + 1) ... (λ + k) λ + 2 n + |γ| - ... λ + + k 1 2 (P + i0)γ . Переходя к пределу при λ → - k = 0, получим в последнем равенстве и используя формулу (5.43) при 2 n+|γ| k γ γ (P + i0)- 2 +k = = 4k n + |γ| 1 - 2 ... n + |γ| k - 2 n+|γ| (k - 1)! lim λ→- 2 | | n + γ λ + 2 γ (P + i0)λ = = 4k n + |γ| 1 - 2 ... n + |γ| k - 2 n+|γ| (k - 1)! res λ=- 2 π(q+|γ11|) γ (P + i0)λ = = 4k n + |γ| 1 - 2 ... n + |γ| k - 2 (k - 1)!e-i 1 2 |S+(n)|γ δγ (x). Если число n + |γ| - четное и k ;;; n + |γ| , то среди множителей 2 - 1 n + |γ| 2 ... k - n + |γ| 2 найдется равный нулю, и, следовательно, k (P + i0)- +k n+|γ| 2 = 0, и u = (P + i0)- +k n+|γ| 2 есть γ γ γ γ решение однородного уравнения ku = 0. При всех остальных значениях n + |γ| и k функция n+ γ π(q+|γ11|) i e 2 Γ | | u = (-1)k 2 - k γ (P + i0)- 2 n+|γ| +k (12.6) 1 4k (k - 1)!|S+(n)|γ Γ 2 n+|γ| - 1 является фундаментальным в смысле (12.4) решением уравнения (12.3). В (12.6) было использо- ваны соотношения n+|γ| n + |γ| n + |γ| k n + |γ| n + |γ| k Γ 2 - 1 - - 1 ... k 2 2 = (-1) 2 - 1 ... 2 - k = (-1) k Γ n+|γ| . 2 - n + |γ| Аналогично, используя (5.44), можно показать, что если число n + |γ| четное и k ;;; n+|γ| +k , то 2 γ u = (P - i0)- 2 γ есть решение однородного уравнения ku = 0. При всех остальных значениях γ| и k функция e-i n+ γ π(q+|γ11|) 2 Γ | | - k +k 2 n+|γ| - u = (-1)k ( P - i0)γ 2 1 4k (k - 1)!|S+(n)|γ Γ 2 n+|γ| - 1 является фундаментальным в смысле (12.4) решением уравнения (12.3). Отметим, что в [259] было получено фундаментальное решение (12.3), выраженное через веще- n + |γ| ственнозначные функции. Однако там не был учтен случай, когда n+|γ| = 2, 4, 6,... и k ;;; 2 . Кроме того, полученные в данной статье представления фундаментальных решений являются наи- более удобными с точки зрения обобщений на случай произвольного вещественного параметра k. B-ультрагиперболическое уравнение и обобщение теоремы Асгейрссона. В этом пункте мы докажем теорему о весовых сферических средних типа теоремы Асгейрссона для B- ультрагиперболического уравнения и покажем, что с ее помощью также можно получить решение задачи для общего уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу вида + ( k,γ )t,xu = 0, u = u(x, t; k), x ∈ Rn , t > 0, (12.7) u(x, 0; k) = ϕ(x), ut(x, 0; k) = 0. (12.8) Пусть u(x) = u(xl, xll) ∈ C2 (Rn ). Для B-ультрагиперболического уравнения ev + (Δγ1 )x1 u = (Δγ11 )x11 u, u = u(x) = u(xl, xll), (12.9) x = (xl, xll), xl = (x1,..., xp), xll = (xp+1,..., xp+q ), p + q = n при условии p + |γl| = q + |γll| докажем теорему о равенстве весовых сферических средних по каждой из групп переменных xl и xll. Рассмотрим весовые сферические, взятые по частям поверхностей единичных сфер S+(p) ∈ R+ 1 p и S+(q) ∈ R+, по каждой из групп переменных xl и xll, соответственно: 1 q 1 r 1 (Mγ1 )x u(xl, xll) = r T rξu(xl, xll) ξγ1 dSξ, 1 |S+(p)|γ1 x1 S+ 1 (q) (Mγ11 s )x11 u(xl, xll) = 1 1 |S+(q)|γ11 r S+ 1 (q) x11 T sζu(xl, xll) ζ γ11 dSζ. Кроме того, определим двойное весовое сферическое среднее по переменным xl и xll вида 1 U (xl, r; xll, s) = r r ζγ11 dSζ T rξ,sζu(xl, xll)ξγ1 dS . |S+(q)|γ1 |S+(q)|γ11 x1,x11 ξ Очевидно, что S+ 1 1 1 (q) 1 S+(q) U (xl, r; xll, s) = (Mγ1 )x (Mγ11 )x u(xl, xll), r 1 s 11 (Mγ1 )x u(xl, xll) = U (xl, r; xll, 0), (Mγ11 )x u(xl, xll) = U (xl, 0; xll, s). (12.10) r 1 s 11 ev Теорема 12.2. Если p + |γl| = q + |γll|, а функция u(xl, xll) ∈ C2 удовлетворяет B- ультрагиперболическому уравнению (12.9), то двойное весовое сферическое среднее симмет- r x1 рично относительно радиусов r и s весовых сферических средних (Mγ1 ) s и (Mγ11 ) x11 соответ- ственно: (Mγ1 )x (Mγ11 )x u(xl, xll) = (Mγ1 )x (Mγ11 )x u(xl, xll). (12.11) r 1 s 11 s 1 r 11 Доказательство. В силу (3.44) имеем + (Δγ )x (Mγ1 )x (Mγ11 )x11 u(xl, xll) = ∂2 p + |γl|- 1 ∂ (Mγ1 )x (Mγ11 )x11 u(xl, xll), (12.12) 1 1 1 r s 1 11 ∂r2 ∂2 r ∂r q + |γll|- 1 ∂ 1 r s 1 11 (Δγ11 )x11 (Mγ )x1 (Mγ )x11 u(xl, xll) = + (Mγ )x1 (Mγ )x11 u(xl, xll). (12.13) r s ∂s2 s ∂s r s Поскольку u удовлетворяет уравнению (12.9) и весовое сферическое среднее перестановочно с оператором Лапласа-Бесселя, то справедливо равенство 1 11 (Δγ1 )x1 (Mγ )x (Mγ )x u(xl, xll) = (Δγ )x (Mγ1 )x (Mγ11 )x u(xl, xll). (12.14) r 1 s 11 11 11 r 1 s 11 Из (12.12), (12.13) и (12.14) следует, что ∂2 p + |γl|- 1 ∂ γ1 γ11 ∂r2 + r ∂r (Mr )x1 (Ms )x11 u(xl, xll) = ∂2 = + q + |γll|- 1 ∂ (Mγ1 )x (Mγ11 )x11 u(xl, xll), или ∂s2 γ1 γ11 1 s ∂s r s γ1 γ11 (Bp+|γ1|-1)r (Mr )x1 (Ms )x11 u(xl, xll) = (Bq+|γ11|-1)s(Mr )x1 (Ms )x11 u(xl, xll). (12.15) Поскольку p + |γl|- 1 = q + |γll|- 1, U (xl, r; xll, 0) = (Mγ1 )x u(xl, xll), ∂ (Mγ1 )x (Mγ11 )x 1 u(xl, xll)1 = 0, то, полагая r 1 ∂s r 1 s 11 1 1s=0 p + |γl|- 1 = q + |γll|- 1 = μ, (Mγ1 )x (Mγ11 )x u(xl, xll) = v(r, s), (Mγ1 )x u(xl, xll) = h(r), r 1 s 11 r 1 получаем, что v(r, s) удовлетворяет задаче Коши ∂2 μ1 ∂ ∂2 μ1 ∂ ∂s2 + s ∂s 1 v(r, s) = ∂r2 + r ∂r 1 v(r, s), (12.16) v(r, s)1 = h(r), vl (r, s)1 = 0. 1 1s=0 r 1 1s=0 Решение v(r, s) этой задачи является единственным и представляет собой одномерный обобщенный сдвиг (3.1): Γ μ1+1 π v(r, s) = μTsh(r) = 2 r h(,1r2 + s2 2rs cos ψ) sinμ1-1 ψ dψ. 2 r √π Γ μ1 - 0 При этом в силу элементарного свойства 5 обобщенного сдвига имеем v(r, s) = μTsf (r) = μTrf (s) = v(s, r), (12.17) r s или (Mγ1 )x (Mγ11 )x u(xl, xll) = (Mγ1 )x (Mγ11 )x u(xl, xll). r 1 s 11 Доказательство закончено. s 1 r 11 Из теоремы 12.2 получается утверждение, обобщающее теорему Асгейрссона на случай B-уль- трагиперболического уравнения. ev Теорема 12.3. Если p + |γl| = q + |γll|, а функция u(xl, xll) ∈ C2 удовлетворяет B-ультраги- перболичеcкому уравнению (12.9), то справедливо равенство (Mγ1 )x(x, y, r) = (Mγ11 )y (x, y, r). (12.18) u u Доказательство. Утверждение теоремы получается, если положить s = 0 в (12.11), учиты- вая (12.10): 11 (Mγ1 )x u(xl, xll) = (Mγ1 )x (Mγ ) u(xl, xll) = (Mγ1 ) (Mγ11 ) u(xl, xll) = (Mγ11 ) u(xl, xll). r 1 r 1 0 x11 0 x1 r x11 r x11 Справедливо утверждение, обратное по отношению к теореме 12.3, впервые доказанное в [125]. ev Теорема 12.4. Пусть u(xl, xll) ∈ C2 и для всяких неотрицательных r и s выполнено u x условие (12.18). Тогда, если выполнены равенства p + |γl| = q + |γll| и (Mγ1 ) (x, y, r) = u y (Mγ11 ) (x, y, r), то функция u(xl, xll) удовлетворяет B-ультрагиперболическому уравнению (Δγ1 )x1 u = (Δγ11 )x11 u. Доказательство. Для весовых сферических средних (Mγ1 ) (x, y, r) и (Mγ11 ) (x, y, r) справедливы равенства 1 11 u x ∂2 p + |γl|- 1 ∂ u y 1 11 (Δγ1 )x1 (Mγ )x (Mγ )x u(xl, xll) = + (Mγ )x1 (Mγ )x11 u(xl, xll), (12.19) r 1 s 11 1 11 ∂r2 ∂2 r ∂r q + |γll|- 1 ∂ r s 1 11 (Δγ11 )x11 (Mγ )x (Mγ )x u(xl, xll) = + (Mγ )x1 (Mγ )x11 u(xl, xll). (12.20) Тогда r 1 r 11 ∂r2 r ∂r r s 1 11 (Δγ1 )x1 (Mγ )x (Mγ )x u(xl, xll) = (Δγ )x (Mγ1 )x (Mγ11 )x u(xl, xll). r 1 s 11 11 11 r 1 r 11 Воспользуемся свойством перестановочности оператора Лапласа-Бесселя и весового сферического среднего, получим (Mγ1 )x (Mγ11 )x (Δγ )x u(xl, xll) = (Mγ1 )x (Mγ11 )x (Δγ )x u(xl, xll). r 1 s 11 1 1 r 1 r 11 11 11 Последнее равенство выполняются для всех r, что возможно лишь в случае, когда равенство (Δγ1 )x1 u(xl, xll) = (Δγ11 )x11 u(xl, xll). выполняется почти всюду. По условию функции (Δγ1 )x1 u(xl, xll) и (Δγ11 )x11 u(xl, xll) непрерывны, поэтому это равенство выполняется всюду. Доказательство закончено. Справедливо уточнение теоремы 12.3, доказанное для ультрагиперболического уравнения в [220, с. 222]. ev Теорема 12.5. Пусть u(xl, xll) ∈ C2 является непрерывным в некоторой окрестности мно- жества = {θ ∈ Rp ,ω ∈ Rq : |θ| + |ω| = r} решением B-ультрагиперболического уравнения K + + (Δγ1 )x1 u = (Δγ11 )x11 u, и пусть выполнено условие p + |γl| = q + |γll| ;;; 3. Тогда справедливо соотношение 1 |S1(p)|γ r S+ 1 (p) u(rθ; 0) p i тт θγi dSθ = i=1 1 |S1(q)|γ r 1 S+(q) u(0; rω) q i тт ωνi dSω. i=1 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА-ПУАССОНА-ДАРБУ В этом разделе применим операторы преобразования, введенные в разделах 2 и 3 для нахожде- ния решения обобщения классического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу на случай, когда по всем пространственным переменным действует оператор Бесселя (11.23). Классическое уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу имеет вид n \ ∂2u ∂2u k ∂u n i=1 i ∂x2 = ∂t2 + t ∂t , u = u(x, t), x ∈ R , t > 0, -∞ < k < ∞. (13.1) Уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу (13.1) при n = 1 впервые было рассмотрено Л. Эйлером (Leonhard Euler) в [206, с. 227] и позднее исследовано в [254] С. Д. Пуассоном (Sime´on Denis Poisson), в [131] Б. Риманом (Bernhard Riemann) и в [196] Г. Дарбу (Gaston Darboux) (см. также историю вопроса в [112, с. 532]). Многомерное уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу (13.1) рассмотрено, например, в [119, 286]. А. Ванштейном (Alexander Weinstein) в статьях [283, 284] решена задача Коши для уравнения (13.1), где k в правой части есть произвольное вещественное число и первое условие ненулевое, а второе нулевое. С. А. Терсеновым в [171] рассмотрена общая задача Коши для (13.1), где и первое, и второе условия ненулевые. Кроме того, уравнение Эйлера- Пуассона-Дарбу рассмотрено в [33, 83, 166, 172]. Аппарат операторов преобразования Бушмана- Эрдейи применен к задаче Дирихле в четверти плоскости для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в [51]. Поскольку в этом разделе мы будем рассматривать задачи Коши, то удобно выделить одну переменную, которая будет соответствовать времени, и обозначить t. В связи с этим будем рас- сматривать часть евклидова пространства вида Rn+1 n+1 + = {(t, x) = (t, x1,..., xn) ∈ R n , t > 0, x1>0,..., xn>0}. Пусть x = (x1,..., xn), |x| = ), x2. Аналогично определению из пункта 2.1 введем Cm(Rn+1) и C∞ n+1 i i=1 n+1 ev + ev (R+ ). A именно, пусть Ω - открытое множество в R , симметричное относительно каждой гиперплоскости t = 0, xi = 0, i = 1,..., n, Ω+ = Ω ∩ Rn+1 и Ω+ = Ω ∩ Rn+1, где R n+1 + + n+1 + = {(t, x) = (t, x1,..., xn) ∈ R , t > 0, x1 ;;; 0,..., xn ;;; 0}. Рассмотрим класс функций Cm(Ω+), состоящий из m раз непрерывно дифференцируемых на Ω+ функций и обозначим Cm(Ω+) подмножество функций из Cm(Ω+) таких, что все существующие производные этих функций по t и по xi для всех i = 1,...,n непрерывны вплоть до t = 0 ∂2k+1f 1 ev и xi = 0. Пусть класс Cm(Ω+) состоит из функций из Cm(Ω+) таких, что 1 1 ∂t2k+1 1t=0,x=0 = 0, 1 ∂2k+1f 1 ∂x2k+1 1 = 0 для всех неотрицательных целых k � m - 1 (см. [57, с. 21]). Будем обозначать 2 i 1t=0,x=0 Cm n+1 m ev (R+ ) через Cev. Положим ev (Ω+) = n Cev (Ω+), C∞ m где пересечение берется по всем конечным m. Пусть C∞(Rn+1) = C∞. Рассмотрим оператор ev + ev где ( k,γ )t,x = (Bk )t, -≡γ -∞ < k < ∞, γ = (γ1,..., γn), (13.2) n i i ≡γ = (≡γ )x = \(Bγ )x i=1 n = \ i=1 ∂2 i ∂x2 γi ∂ + xi ∂x n = \ i=1 x 1 ∂ γi i xγi ∂xi i ∂ . ∂xi Будем находить решения задач Коши для однородного общего уравнения Эйлера-Пуассона- Дарбу вида + ( k,γ )t,xu = 0, u = u(x, t), (t, x) ∈ Rn+1, (13.3) для однородного обобщенного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу вида + ( k,γ )t,xu = c2u, u = u(x, t), c ∈ R, (t, x) ∈ Rn+1, (13.4) а также для неоднородных общего и обобщенного уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу + ( k,γ )t,xu = f, u = u(x, t), f = f (t, x), (t, x) ∈ Rn+1, (13.5) + ( k,γ )t,x - c2 u = f, u = u(x, t), f = f (t, x), (t, x) ∈ Rn+1, (13.6) соответственно. В работах [105, 210] (см. также [192, с. 243] и [278]) рассмотрены различные подходы к реше- нию уравнения (13.3) в случае первого ненулевого и второго нулевого начальных условий для всех вещественных k ±= -1, -3, -5,.... В статье [3] методом, отличным от методов, использующихся в [192, 210], было получено решение этой задачи при любых вещественных k. Используя терминологию из книги [192], задачу для уравнения типа A(t) ∂2u ∂t2 ∂u + B(t) ∂t + C(t)u = Gu, u = u(t, x), x = (x1,..., xn), где G - линейный оператор, действующий только по переменным x1,..., xn, назовем сингулярной, если по крайней мере один из коэффициентов A, B или C стремится (в некотором смысле) к нулю при t → 0. В [192] даны пять общих методов решения сингулярной задачи Коши n \ ∂2u ∂2u k ∂u i=1 i ∂x2 = ∂t2 + t ∂t , u = u(x, t; k), (13.7) Перечислим эти методы: u(x, 0; k) = ϕ(x), ut(x, 0; k) = 0. (13.8) метод преобразования Фурье в пространстве обобщенных функций; спектральные методы в пространстве Гильберта; метод операторов преобразования; изучение связанных с рассматриваемым, но более простых уравнений; энергетические методы. Некоторые из этих методов были успешно применены к решению задач Коши для уравне- ний (13.3)-(13.6). А именно, используя преобразование Ханкеля вместо преобразования Фурье, в [266, 272] были получены решения задач Коши для (13.3) и (13.4), соответственно. Третий и тесно связанный с ним четвертый методы были использованы для решения уравнения (13.3) в [268, 272] при различных условиях. В [144] метод операторов преобразования был использован для получения новых интегральных начальных условий для уравнения (13.3). Абстрактные диф- ференциальные уравнения с оператором Бесселя типа (13.3) и (13.4) изучались в [192], а также в работах [18, 20, 22-24]. В [280] задача для уравнения (13.7) была решена с использованием оператора «спуска по параметру», который является частным случаем оператора преобразования Бушмана-Эрдейи (см. [275, 276]). В этом разделе мы будем использовать метод преобразования Ханкеля, метод операторов преобразования и метод потенциалов Рисса для решения задач для уравнений (13.3)-(13.6). Метод операторов преобразования решения задачи Коши для общего уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. В этом пункте применим весовое сферическое среднее и оператор спуска по параметру к решению задачи Коши для общего уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в случае первого ненулевого и второго нулевого начальных условий вида + ≡γu = (Bk )t u, -∞ < k < ∞, u = u(x, t; k), x ∈ Rn , t > 0, (13.9) u(x, 0; k) = ϕ(x), ut(x, 0; k) = 0. (13.10) Отметим, что при k ;;; 0 решение задачи Коши (13.9)-(13.10) единственно, но не является единственным при k < 0 (см. [210]). Уравнение (13.9) является примером абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу вида Au = (Bk )t u, u = u(x, t; k), (13.11) где A - линейный оператор, действующий только по переменным x = (x1,..., xn). Уравне- нию (13.11) посвящены работы А. В. Глушака и его соавторов [14,17-24]. Помимо рассмотренного классического подхода, к решению такого уравнения и его обобщениям можно применять метод операторов преобразования. Приведем известный факт с доказательством о рекуррентных форму- лах, связывающих решения уравнения (13.11) (см. [192]). Лемма 13.1. Пусть u(x, t; k) - решение уравнения (13.11). Справедливы две рекуррентные формулы: u(x, t; k) = t1-ku(x, t;2 - k), (13.12) ut(x, t; k) = tu(x, t; k + 2). (13.13) Доказательство. Докажем сначала (13.12). Положим w = tk-1v, v = u(x, t; k). Будем иметь k - 1 wt = (k - 1)tk-2v + tk-1vt = w + tk-1vt, t wtt = (k - 1)(k - 2)tk-3v + (k - 1)tk-2vt + (k - 1)tk-2vt + tk-1vtt = (k - 1)(k - 2) = t2 w + 2(k - 1)tk-2vt + tk-1vtt, 2 - k w t t (k - 1)(k - 2) = - t2 w + (2 - k)t k-2 vt, 2 - k k-2 k-1 k-2 k-1 k или wtt + t wt = 2(k - 1)t vt + t vtt + (2 - k)t vt = t vtt + t vt , 2 - k k-1 k wtt + wt = t t vtt + t vt . (13.14) Если w = tk-1v удовлетворяет уравнению Aw = wtt + 2 - k w , t t то, используя (13.14), получим tk-1 Av = tk-1 vtt + k t vt , что означает, что v удовлетворяет уравнению k Av = vtt + t vt. Обозначая w = u(x, t;2 - k), получим (13.12). Докажем теперь (13.13). Пусть tw = vt, v = u(x, t; k). Запишем 1 1 wt = - t2 vt + t vtt, 2 2 1 Найдем теперь k +2 w : wtt = t3 vt - t2 vtt + t vttt. Имеем t t k +2 t wt = - k +2 t3 vt + k +2 t2 vtt. k +2 2 2 1 k +2 k +2 wtt + t t3 t2 t wt = vt - vtt + vttt - t3 vt + t2 vtt = или 1 = t vttt - k t3 vt + k t2 vtt = 1 t vttt - k t2 vt + k t vtt 1 ∂ = t ∂t vtt + k t vt , k +2 1 ∂ k wtt + wt = t t ∂t vtt + t vt . (13.15) Если w = 1 v t t удовлетворяет уравнению Aw = wtt + k +2 wt, t то используя (13.15), получим 1 ∂ t ∂t Av = 1 ∂ t ∂t vtt + k t vt , что означает, что v удовлетворяет уравнению вида k Av = vtt + t vt. Обозначая w = u(x, t; k + 2), v = u(x, t; k), получим (13.13). Перейдем теперь к решению (13.9)-(13.10) методом операторов преобразования. Известно, что весовое сферическое среднее (3.39) тесно связано с общим уравнением Эйлера-Пуассона- Дарбу (13.9), а именно, справедливо равенство (3.44). Используя это равенство, получим реше- ние (13.9)-(13.10) при k ;;; n + |γ|- 1. К уравнению ≡γu = (Bk )t u t по переменным x = (x1,..., xn) применим весовое сферическое среднее Mγ, которое преобразует оператор (≡γ )x в Bn+|γ|-1. Учитывая свойство (3.44) весового сферического среднего, получим γ γ (Bn+|γ|-1)t(Mt )x[u(x, t; k)] = (Bk )t (Mt )x[u(x, t; k)]. (13.16) При k = n + |γ|- 1 уравнение (13.16) превращается в тождество, а с учетом условия u(x, 0; k) = ϕ(x) получаем равенство t (≡γ )xMγ [ϕ(x)] = (B n+|γ|-1 t )tMγ [ϕ(x)]. (13.17) Учитывая (3.41), получаем, что решение задачи (13.9)-(13.10) при k = n + |γ|- 1 единственно и имеет вид t u(x, t; n + |γ|- 1) = Mγ [ϕ(x)]. Для того, чтобы получить решение задачи (13.9)-(13.10) при k > n + |γ| + 1, используем оператор спуска по параметру вида 1-k k+1 rt β ϕ(t) = Γ Ik 2t k- 2 1 2 β Γ β Γ 2 β+1 2 0 (t2 - r ) k-β 2 - r ϕ(r)dr. (13.18) β Известно (см. [208]), что при k - β > 2, β > 0 оператор преобразования Ik обладает свойствами Ik k β (Bβϕ(t)) = Bk Iβ ϕ(t), Ik β [1] = 1. Применив к обеим частям (13.17) по переменной t оператор (13.18) при β = n + |γ|- 1, будем иметь Ik γ k γ n+|γ|-1(Bn+|γ|-1)tMt [ϕ(x)] = Bk In+|γ|-1Mt [ϕ(x)]. Возвращаясь к (13.17), получаем равенство (≡γ )xIk Mγ [ϕ(x)] = Bk Ik Mγ [ϕ(x)], причем n+|γ|-1 t n+|γ|-1 ∂(Ik t t )tMγ [ϕ(x)] 1 следовательно, (I k n+|γ|-1 t )tMγ [ϕ(x)]|t=0 = ϕ(x), 2t1-k Γ k+1 n+|γ|-1 ∂t t r 1 1 1t=0 k-n-|γ|-1 = 0, n+ γ 1 u(x, t; k) = (Ik | |- t )tMγ [ϕ(x)] = 2 Γ k-n-|γ|+1 Γ n+|γ| (t2 - r2) r 2 rn+|γ|-1M γ [ϕ(x)]dr 2 2 0 (13.19) есть единственное решение задачи (13.9)-(13.10) при k > n + |γ| + 1. Хотя (13.19) было получено как решение задачи (13.9)-(13.10) при k > n+|γ|+1, легко заметить, что интеграл (13.19) сходится при k > n + |γ|- 1. Непосредственная подстановка выражения (Ik n+|γ|-1 t )tMγ [ϕ(x)] в (13.9)-(13.10) дает, что (13.19) является единственным решением (13.9)- (13.10) и при n + |γ|- 1 < k � n + |γ| + 1. Таким образом, доказана теорема: ev Теорема 13.1. Пусть ϕ ∈ C2 . Тогда при n + |γ|- 1 � k единственное решение задачи + ≡γu(x, t) = (Bk )t u, u = u(x, t; k), (t, x) ∈ Rn+1, имеет вид u(x, 0; k) = ϕ(x), ut(x, 0; k) = 0 t 2t1-k Γ k+1 r k-n-|γ|-1 u(x, t; k) = 2 (t2 - r2) 2 rn+|γ|-1M γ [ϕ(x)]dr. (13.20) Γ Γ k-n-|γ|+1 2 n+|γ| r 2 0 Для получения решения задачи (13.9)-(13.10) в случае k � n + |γ|- 1 будем использовать рекуррентные формулы (13.12) и (13.13). При этом необходимо повысить гладкость функции ϕ. А именно, справедливо следующее утверждение. n+|γ|-k +2 Теорема 13.2. Пусть ϕ ∈ Cev 2 . Решение задачи Коши + ≡γu(x, t) = (Bk )t u, u = u(x, t; k), x ∈ Rn , t > 0, (13.21) u(x, 0; k) = ϕ(x), ut(x, 0; k) = 0 (13.22) при k < n + |γ|- 1, k ±= -1, -3, -5,... имеет вид ∂ m u(x, t; k) = t1-k t∂t (tk+2m-1u(x, t; k + 2m)), (13.23) n + |γ|-k - 1 где m - минимальное целое число, такое что m ;;; задачи Коши и u(x, t; k + 2m) - решение 2 u(x, 0; k + 2m) = (Bk+2m)tu = (Δγ )xu, (13.24) ϕ(x) - (k + 1)(k + 3) ... (k + 2m 1) , ut(x, 0; k + 2m) = 0. (13.25) Решение (13.23) единственно при k ;;; 0 и не единственно при k < 0. Доказательство. Для того, чтобы показать, что (13.23) есть решение рассматриваемой задачи при k<n +|γ|- 1, k±= - 1, -3, -5,... выберем наименьшее целое число m, такое что k + 2m ;;; n +|γ|- 1. Выпишем теперь решение задачи Коши вида (Bk+2m)tu = (Δγ )xu, (13.26) ev u(x, 0; k + 2m) = g(x), ut(x, 0; k + 2m) = 0, g ∈ C2 , (13.27) используя формулу (13.20): t 2t1-k-2m Γ k+2m+1 r k+2m-n-|γ|-1 u(x, t; k + 2m) = 2 (t2 - r2) 2 rn+|γ|-1M γ [g(x)]dr. Γ Γ k+2m-n-|γ|+1 2 n+|γ| r 2 0 Используя (13.12), получим tk+2m-1u(x, t; k + 2m) = u(x, t;2 - k - 2m). Применяя (13.13) к последней формуле m раз, запишем ∂ m t∂t (tk+2m-1u(x, t; k + 2m) = u(x, t;2 - k). Снова применив (13.12), получим искомое решение уравнения (13.21) вида ∂ m u(x, t; k) = t1-k t∂t (tk+2m-1u(x, t; k + 2m)). (13.28) Найдем теперь функцию g такую, чтобы выполнялись условия (13.22). Учитывая вид реше- ния (13.28), запишем u(x, t; k) = (k + 1)(k + 3) ... (k + 2m - 1)u(x, t; k + 2m)+ Ct u(x, t; k + 2m)+ O(t2), t → 0, где C - некоторая постоянная. Таким образом, если ϕ(x) g(x) = , (k + 1)(k + 3) ... (k + 2m - 1) то функция u(x, t; k), определяемая формулой (13.28) удовлетворяет (13.22). Заметим, что для того, чтобы u(x, t; k + 2m) было решением (13.26)-(13.27), достаточно, чтобы n+|γ|-k +2 ev g ∈ C2 . Однако для того, чтобы имела место формула (13.28), необходимо, чтобы ϕ ∈ Cev 2 . Теорема доказана. + Запишем, наконец, решение задачи Коши (13.9)-(13.10) при k = -1, -3, -5,.... Для этого нам потребуется определить B-полигармоническую функцию. А именно, если функция f (x) = f (x1,..., xn) вещественных переменных, определенная в некоторой области пространства Rn , име- ет непрерывные частные производные до 2m-го порядка включительно и удовлетворяет всюду в рассматриваемой области B-полигармоническому уравнению Δm γ f = 0, (13.29) то f называется B-полигармонической функцией порядка m. Пусть сначала k = -1. Предположим, что utt(x, 0; -1) существует. Устремляя t к 0 в уравнении 1 Δγu(x, t; -1) = utt(x, t; -1) - t ut(x, t; -1), получим, что Δγu(x, 0; -1) = 0, то есть ϕ должна быть B-гармонической, и решение (13.9)-(13.10) при k = -1 есть u(x, t; -1) = ϕ(x). (13.30) Переходя далее к k = -3, -5,..., получаем, что решение задачи Коши (13.9)-(13.10) при k = -3, -5,... дается формулой k+1 - 2 h 2h u(x, t; k) = f (x)+ \ Δγϕ t , k = 3, 5,... (13.31) h=1 (k + 1) ... (k + 2h - 1) 2 · 4 · ... .2h - - - Итак, в случае k = -1, -3, -5,... решение задачи Коши (13.9)-(13.10) u(x, t; k) существует, когда ϕ имеет 1 (n k + 3) непрерывных производных. 2 Поставим и решим задачу Коши для общего уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с нулевым первым условием и ненулевым вторым условием. Классическая постановка такой задачи Коши невозможна. Однако С. А. Терсеновым было замечено, что, исходя из вида общего решения клас- сического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу, производную во втором начальном условии нужно умножать на степенную функцию, степень которой равна индексу оператора Бесселя, действую- щего по временной переменной, а затем переходить к пределе при t, стремящемся к нулю. Первое начальное условие остается в обычной формулировке. С такой подобранной формой начальных условий рассматриваемое нами уравнение имеет решение. n+|γ|+k-1 Теорема 13.3. Если ψ ∈ Cev 2 , то решение u = u(x, t; k) задачи + (≡γ )xu = (Bk )tu, 0 < γi, i = 1,..., n, k < 1, x ∈ Rn , t > 0, (13.32) u(x, 0; k) = 0, lim tk ∂u = ψ(x) (13.33) t→0 ∂t в случае, когда n + |γ| + k не является целым нечетным числом, имеет вид Γ 3-k+2q Γ 1-k q u(x, t; k) = Γ q 2 3-k+2q-n-|γ| 2 2 Γ n+|γ| 2 \ s=0 Cs t1-k+2s 2 + s 2sΓ 3-k × 1 r 1-k+2q-n-|γ| Mγ 1 ∂ s × (1 - r2) 0 2 rn+|γ|-1 t ∂t tr [ψ(x)]dr. (13.34) Если n + |γ| + k является целым нечетным числом, то решение (13.32)-(13.33) имеет вид 2-q Γ 3-k 1 ∂ q γ u(x, t; k) = (1 - k)Γ 2 3-k+2q 2 t ∂t tn+|γ|-2Mt [ψ(x)] . Здесь q ;;; 0 - наименьшее положительное целое число, такое что 2 - k + 2q ;;; n + |γ|- 1. Доказательство. Пусть q ;;; 0 - наименьшее положительное целое число, такое что 2 - k + 2q ;;; г n + |γ| + k - 1 l n + |γ|- 1, т. е. q = 2 , и пусть u(x, t;2 - k + 2q) - решение уравнения (13.32), в котором взято 2 - k + 2q вместо k, такое что u(x, 0; 2 - k + 2q) = ψ(x), ut(x, 0; 2 - k + 2q) = 0. (13.35) Тогда, используя рекуррентную формулу (13.12), получим, что функция u(x, t; k - 2q) = t1-k+2qu(x, t;2 - k + 2q) есть решение уравнения ∂2u k - 2q ∂u (≡γ )xu = ∂t2 + . t ∂t Далее, применяя q раз формулу (13.13), получим, что 2-q Γ 3-k 1 ∂ q u(x, t; k) = есть решение (13.32). (1 - k)Γ 2 3-k+2q 2 t ∂t t1-k+2qu(x, t;2 - k + 2q) (13.36) Покажем, что (13.36) удовлетворяет условиям (13.33). Для u(x, t;2 - k + 2q) ∈ Cq (Ω ) спра- ведлива формула (см. [171, с. 9]) 1 ∂ q q Γ q 2q-sCs 3-k+2q 2 1 ∂ s ev + t ∂t - (t1-k+2qu(x, t;2 k + 2q)) = \ Γ 1-k t1-k+2s t ∂t u(x, t;2 - k + 2q). s=0 2 + s + 1 (13.37) Принимая во внимание (13.37), получим u(x, 0; k) = 0 и 2-q Γ 3-k ∂ 1 ∂ q lim tkut(x, t; k) = 2 lim tk (t1-k+2qu(x, t;2 - k + 2q)) = t→0 (1 - k)Γ 3-k+2q 2 t→0 ∂t t ∂t 2-q Γ 3-k q Γ ∂ q 2q-sCs 3-k+2q 2 1 ∂ s = 2 lim tk \ t1-k+2s u(x, t;2 - k + 2q) = (1 - k)Γ 3-k+2q 2 1-k t→0 ∂t s=0 Γ 2 + s + 1 t ∂t 1 = 1 - k 1 lim tk ∂ t→0 ∂t t1-ku(x, t;2 - k + 2q) = (1 = lim tk - k)t-kv2-k+2q + t1-k ut(x, t;2 - k + 2q) = 1 - k 1 t→0 = 1 - k lim ((1 - k)u(x, t;2 - k + 2q)+ tut(x, t;2 - k + 2q)) = ψ(x). t→0 Получим теперь представление u(x, t; k) через интеграл. Используя формулу (13.20), получим 2tk-2q-1 Γ 3-k+2q rt 2 2 2 1-k+2q-n-|γ| n+|γ|-1 γ u(x, t;2 - k + 2q) = Γ 3-k+2q-n-|γ| 2 Γ n+|γ| (t 2 0 - r ) 2 r Mr [ψ(x)]dr. Заменим r на tr в последней формуле, тогда 2Γ 3-k+2q 1 2 r 2 1-k+2q-n-|γ| n+|γ|-1 γ u(x, t;2 - k + 2q) = Γ Γ 3-k+2q-n-|γ| 2 n+|γ| 2 0 (1 - r ) 2 r Mtr [ψ(x)]dr. Если 2 - k + 2q > n + |γ|- 1, то применяя (13.36) и (13.37), запишем 2-q Γ 3-k q Γ q 2q-sCs 3-k+2q 2 1 k+2s 1 ∂ s u(x, t; k) = (1 - k)Γ 2 3-k+2q 2 \ s=0 + s Γ 3-k 2 t - t ∂t u(x, t;2 - k + 2q) = Γ 3-k q Cs 1-k+2s 1 ∂ s = 2 \ q t 3-k u(x, t;2 - k + 2q) = 1 - k s=0 2sΓ 2 + s t ∂t Γ 3-k+2q Γ 1-k q q 2 2 \ Cs t1-k+2s Γ = 3-k+2q-n-|γ| 2 1 Γ n+|γ| 2 s=0 2sΓ 3-k 2 + s × r 1-k+2q-n-|γ| Mγ 1 ∂ s Что и дает (13.34). × (1 - r2) 0 2 rn+|γ|-1 t ∂t tr [ψ(x)]dr. t Если 2 - k + 2q = n + |γ|- 1, то u(x, t;2 - k + 2q) = Mγ [ψ(x)] и, используя (13.37), получим 2-q Γ 3-k 1 ∂ q γ u(x, t; k) = (1 - k)Γ 2 3-k+2q 2 t ∂t tn+|γ|-2Mt [ψ(x)] = 2-1-q Γ 1-k q 2q-sCsΓ 3-k+2q 1 ∂ s = 2 \ q 2 3-k Mγ t1-k+2s t [ψ(x)] = Γ 3-k+2q 2 s=0 Γ 2 + s t ∂t q Cs Γ q = \ 1-k 2 3-k 1 ∂ s t1-k+2s Mγ t [ψ(x)]. Доказательство закончено. s=0 2s+1Γ 2 + s t ∂t Объединение предыдущих результатов дает решение рассматриваемой задачи с двумя ненуле- выми условиями, представленное в виде суммы двух слагаемых. 2 n+|γ|-k +2 n+|γ|+k-1 2 Теорема 13.4. Пусть ϕ = ϕ(x), ϕ ∈ Cev , ψ = ψ(x), ψ ∈ Cev . Тогда решение задачи + (≡γ )xu = (Bk )tu, u = u(t, x), (t, x) ∈ Rn+1, (13.38) u(x, 0; k) = ϕ(x), lim t→+0 tkut(x, t; k) = ψ(x), (13.39) при k � min{n + |γ|- 1, 1} дается формулой u(x, t; k) = u1(x, t; k)+ u2(x, t; k), где u1(x, t; k) находится либо по теореме 13.2, либо по одной из формул (13.30) или (13.31), и u2(x, t; k) находится по теореме 13.3. Преобразования Ханкеля и задача Коши для общего уравнения Эйлера-Пуассона- Дарбу. В этом пункте найдем решение1 u ∈ Sl (Rn ) × C2 (0, ∞) задачи Коши для общего урав- нения Эйлера-Пуассона-Дарбу вида ev + ev ev при ϕ(x) ∈ Sl + (Bk )tu = (Δγ )xu, u = u(x, t; k), x ∈ Rn , t > 0, (13.40) u(x, 0; k) = ϕ(x), ut(x, 0; k) = 0. (13.41) , k ∈ R, применяя преобразование Ханкеля. Докажем теорему о решении задачи Коши (13.40)-(13.41). В отличие от решений этой задачи, полученного методом операторов преобразования в пункте 13.1, метод преобразования Ханкеля дает возможность представления решения в виде одного выражения для всех k ±= -1, -3, -5,.... 1Обозначение u ∈ S1 (Rn )×C2 (0, ∞) означает, что u(x, t; k) принадлежит S1 (Rn ) по переменной x и принадлежит ev + ev C2 ev + ev (0, ∞) по переменной t. Теорема 13.5. Решение u ∈ Sl (Rn ) × C2 (0, ∞) задачи (13.40)-(13.41) при k ±= -1, -3, -5,... определяется равенством ev + ev 2nt1-k Γ k+1 k-n-|γ|-1 u(x, t; k) = n 2 Γ k-n-|γ|+1 Γ γi+1 ((t2 - |x|2)+,γ 2 ∗ ϕ(x))γ. (13.42) 2 2 i=1 Решение (13.42) единственно при k ;;; 0 и не единственно при k < 0. При k < 0 и k ±= -1, -3, -5,... разность между двумя произвольными решениями зада- чи (13.40)-(13.41) всегда имеет вид At1-k u(t, x;2 - k), (13.43) где A - произвольное комплексное число, u(t, x;2 - k) - решение задачи Коши [(≡γ )x - (B2-k )t ] u = 0, u(x, 0; 2 - k) = τ (x), ut(x, 0; 2 - k) = 0, ev τ (x) - произвольная из Sl . При k = -1, -3, -5,... решение задачи Коши будет содержать слагаемое (13.43) и слагаемое 1 e± 2 πniΓ n+|γ|-k+1 2 k-n-|γ|-1 n 2nΓ 1-k Γ γi+1 t1-k (t2 - |x|2 ± i0)γ 2 ∗ ϕ(x) . γ 2 2 i=1 Доказательство. Применяя к (13.40) по каждой из переменных x1,..., xn преобразование Хан- келя и учитывая (2.19), получим 2 |ξ|2 + ∂ + k ∂ (F ) [u(x, t; k)](ξ) = 0, (13.44) ∂t2 t ∂t γ x ∂(Fγ )x[u(x, t; k)](ξ) lim(Fγ )x[u(x, t; k)](ξ) = Fγ [ϕ(x)](ξ), lim = 0, (13.45) t→0 t→0 ∂t где ξ = (ξ1, ξ2,..., ξn) ∈ Rn соответствует x = (x1,..., xn) ∈ Rn , |ξ|2 = ξ2 + ξ2 + ... + ξ2 . Введем + обозначения + 1 2 n r u(ξ, t; k) = (Fγ )x[u(x, t; k)](ξ) = u(x, t; k) jγ (x; ξ)xγdx R n + ϕ( и ξ) = Fγ [ϕ(x)](ξ). Тогда (13.44)-(13.45) запишется в виде 2 |ξ|2 + ∂ + k ∂ u(ξ, t) = 0, (13.46) ∂t2 t ∂t ut(ξ, 0; k) = 0. (13.47) В [188] получено решение G k (ξ, t) задачи Коши 2 |ξ|2 + ∂ + k ∂ G k (ξ, t) = 0, (13.48) в виде ∂t2 G k (ξ, 0) = 1, t ∂t t G k (ξ, 0) = 0 (13.49) G (ξ, t) = jk 1 (|ξ|t), (13.50) k - 2 для k ;;; 0, | | (13.51) k - 1 k G (ξ, t) = jk 1 (|ξ|t)+ At - 2 J 1-k ( ξ t), 2 2 для k < 0, k ±= -1, -3, -5,..., 1-k k-1 π2 2 1-k G k (ξ, t) = Bt 2 J 1 k (|ξ|t) - (|ξ|t) 2 Y 1 k (|ξ|t), (13.52) для k = -1, -3, -5,.... - Γ 2 2 1-k - 2 В (13.50)-(13.52) A и B - произвольные комплексные числа и Yν (z) - функция Бесселя второго рода. Решения (13.51) и (13.52) зависят от постоянных A и B, поэтому они не единственны (см. [188]). Поскольку функция G k (ξ, t) найдена, то решение (13.44)-(13.45) имеет вид u(ξ, t; k) = G k (ξ, t) · ϕ(ξ), а решение (13.40)-(13.41) есть обобщенная свертка γ u(x, t; k) = ((F-1)ξ [G k (ξ, t)] ∗ ϕ(x))γ = (Gk (x, t) ∗ ϕ(x))γ. γ Найдем теперь решение при k ±= -1, -3, -5,... и A = 0. Полученное решение будет единствен- ным при k ;;; 0 и будет одним из возможных решений при k < 0, k ±= -1, -3, -5,.... Рассмотрим случай, когда G k (ξ, t) = jk-1 (|ξ|t). Используя (7.9) найдем (F-1)ξ [j k-1 (|ξ|t)](x): 2 2 2nt1-k Γ k+1 k-n-|γ|-1 γ - Gk (x, t) = (F-1)ξ [j k 1 (|ξ|· t)](x) = n 2 (t2 - |x|2)+,γ 2 . 2 Γ k-n-|γ|+1 Γ γi+1 Тогда решение (13.40)-(13.41) имеет вид 2 2 i=1 2nt1-k Γ k+1 k-n-|γ|-1 u(x, t; k) = n 2 Γ k-n-|γ|+1 Γ γi+1 (t2 - |x|2)+,γ 2 ϕ(x) , k ±= -1, -3, -5,... (13.53) γ 2 2 i=1 +,γ Поскольку (t2 - |x|2)λ 1 имеет своим носителем замыкание внутренности части сферы S+(n) при x1 ;;; 0,..., xn ;;; 0, можно заключить, что обобщенная свертка существует для произвольного + ϕ(x) ∈ Sl . Заметим теперь, что разность между двумя решениями задачи Коши (13.48)-(13.49) при k < 0 имеет вид 1-k 2 Ct 2 J 1-k (|ξ|t), где C - произвольная комплексная постоянная. Тогда разность между двумя решениями зада- чи (13.40)-(13.41) при k < 0 всегда записывается в виде γ (Gk (x, t) ∗ ϕ(x))γ, где Gk (x, t) = (F-1)ξ [Ct 1-k 2 2 J 1-k (|ξ|t)](x). Принимая во внимание лемму 13.1, запишем разность между двумя произвольными решения- ми (13.40)-(13.41) при k < 0 в виде τ (x))γ = At1-k u(t, x;2 - k), ev где τ (x) ∈ Sl , u(t, x;2 - k) - решение задачи Коши [(≡γ )x - (B2-k )t ] u = 0, u(x, 0; 2 - k) = τ (x), ut(x, 0; 2 - k) = 0, а G2-k (x, t) - решение задачи [(≡γ )x - (B2-k )t ] G 2-k (x, t) = 0, t G2-k (x, 0) = δγ, G2-k (x, 0) = 0. Рассмотрим, наконец, случай k = -1, -3, -5,.... В этом случае решение задачи [(≡γ )x - (Bk )t ] Gk (x, t) = 0, (13.54) t Gk (x, 0) = δγ, Gk (x, 0) = 0, (13.55) имеет другой характер по сравнению с рассмотренными случаями, а именно, оно будет содержать слагаемое Gk (t, x) = π2 k-1 2 (F-1)  1-k ξ t) Y ( ξ t) (x). Γ 1-k 2 2 γ ξ (| | 2 1-k | | Из определений функций Бесселя H(1), H(2) (см. (1.12) и (1.13)) ясно, что в этом случае ν ν k-1 г l k 1 iπ2 2 G - 1-k (1) Γ (1)(t, x) = 1-k (Fγ )ξ 2 (|ξ| t) 2 H 1-k (|ξ| t) 2 (x), 2 iπ2 k-1 Gk 1 г 1-k - (2) l Γ (2)(t, x) = - 1-k (Fγ )ξ 2 (|ξ| t) 2 H 1-k (|ξ| t) 2 (x) также будут решениями (13.54)-(13.55). Тогда, используя (7.17) и (7.18), получим 1 e± 2 πniΓ n+|γ|-k+1 Gk (x, t) = n 2 t1-k (t2 - |x|2 ± i0) k-n-|γ|-1 2 γ . 2nΓ 1-k Γ γi+1 2 2 i=1 ev Обобщенная свертка (Gk (x, t) ∗ ϕ(x))γ существует для f ∈ Sl . Доказательство закончено. Следствие 13.1. Для k > n + |γ| - 1 при f ∈ Cev решение (13.40)-(13.41) существует в классическом смысле и имеет вид u(x, t; k) = 2 2nΓ k+1 r n B+ Γ k-n-|γ|+1 Γ γi+1 (1 - |y|2) 2 γ Ttyϕ(x)yγdy. (13.56) k-n-|γ|-1 x 2 i=1 2 1 (n) Используя весовое сферическое среднее (3.39), u(x, t; k) можно переписать в виде 1 2Γ k+1 r k-n-|γ|-1 γ u(x, t; k) = 2 (1 - ρ2) 2 Mtρ[ϕ(x)]ρn+|γ|-1dρ. (13.57) Γ Γ k-n-|γ|+1 2 n+|γ| 2 0 Доказательство. В случае k > n + |γ|- 1 и f (x) ∈ Cev интеграл в (13.42) существует в клас- сическом смысле. Тогда, рассматривая в (13.42) обычную функцию (t2 - |x|2)λ вместо весовой обобщенной (t2 - |x|2)λ , переходя к интегралу по части шара B+ = {x ∈ Rn :|x|<t} и производя +,γ t + замену переменных x = ty, получим (13.56). Чтобы получить (13.57), перейдем в (13.56) к сферическим координатам y = ρθ и воспользуемся тем, что r γ Ttρθ γ + γ S+ 1 (n) x f (x)θ dS = |S1 (n)|γ Mtρ[ϕ(x)]. Доказательство закончено. Легко видеть, что (13.57) совпадает с полученной методом операторов преобразования формулой (13.20). Замечание 13.1. Решение задачи, близкой к (13.40)-(13.41), было получено в [210] (см. так- же [192, с. 243]) при k ±= -1, -3, -5,... в терминах функции Лауричеллы [277, с. 33]: F (n) 1 n 1 n 1 z \ n ∞ (a1)m ... (an)m (b1)m ... (bn)m zm1 mn γ (a1,..., an, b1,..., bn; c; z1,..., zn) = (c) ... , m ! m ! А именно, в [210] решение задачи m1,...,mn max{|z1|,..., |zn|} < 1. m1+...+mn 1 n ∂2v k ∂v \ n ∂2v λi ∂t2 + t ∂t - ∂x2 + x2 v = 0, v = v(t, x), (13.58) i=1 i i ∂v 1 было найдено в виде v(0, x) = T (x), 1 1 ∂t 1t=0 = 0 (13.59) v(t, x) = Γ k+1 2 n r |t|1-k (t2 - |x - ξ|2) k-n-1 2 T (ξ)× 2 π 2 Γ k-n+1 |x-ξ|=|t| где γ ×F (n) a1,..., an, b1,..., bn; k - n +1 2 ; z1,..., zn dSξ, (13.60) a1 = - 1 1+ √1 4λ ,..., an 2 - n 1+ √1 4λ , b1 = 2 t2 - |x - ξ|2 - - 1 1 √1 4λ ,..., bn = 2 t2 - |x - ξ|2 , 1 - √1 - 4λn 2 γk γk z1 = 2x1ξ1 γ ,..., zn = γ1 . 2xnξn γn - Если λk = 2 1 2 , i = 1,...,n и u = x 2 v = x1 ... xn v, то мы получим нашу задачу (13.40)- 2 2 (13.41). Очевидно, выражение (13.56) дает более удобную формулу для решения задачи (13.40)- (13.41). Метод спуска для общего уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. В этом пункте дока- жем теорему о решении задачи Коши для общего уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу примене- нием теоремы 12.3. n+|γ|-k +2 Теорема 13.6. Пусть ϕ ∈ Cev 2 . Тогда решение задачи Коши + (Bk )tu = Δγu, u = u(x, t; k), (x, t) ∈ Rn+1, (13.61) u(x, 0; k) = ϕ(x), ut(x, 0; k) = 0 (13.62) при n + |γ|- k > 1, k ±= -1, -3, -5,... имеет вид 2t1-k Γ k+1 t d m r n+|γ|-k-1 u(x, t; k) = Γ n+|γ| 2 2 2 Γ m - n+|γ|-k-1 2tdt (t2 - s2)m- 0 s 2 -1sn+|γ|-1M γ [ϕ(x)]ds, где m = г n + |γ|-k - 1 l 2 + 1. Доказательство. Выберем некоторое произвольное натуральное q > 1. Если функция u(x, t; k) u( q , пред- удовлетворяет уравнению (13.61), то функция  x, xll), где xll = (t, xn+2,..., xn+q ) ∈ R+ ставляющая собой продолжение константой функции u(x, t; k) по переменным xn+2,..., xn+q, оче- видно, удовлетворяет B-ультрагиперболическому уравнению  u(x, xll) = (Δν )x11 u(x, xll), (13.63) где ν = (k, ν2,..., νq ), νi > 0, i = 2,..., q. Мультииндекс ν содержит уже заданный в уравне- нии (12.3) параметр k, а остальные параметры ν2,..., νq произвольны. Теперь подберем натураль- ное число q > 1 и вещественные положительные числа νi, i = 2,...,q так, чтобы выполнялось u( равенство n +|γ| = q +|ν|, где |ν| = k + ν2 + ... + νq. Это возможно, поскольку n +|γ|- k > 1. Тогда в силу теоремы 12.3 для функции  x, xll) справедливо равенство весовых сферических средних: γ u(x, xll)] = (Mν )x [u(x, xll)], xll = (t, xn+2,..., xn+q ) ∈ Rq . 1 + (Mr )x[ r  Перепишем это соотношение в виде 1 r γ Trξu(x, y) ξγ dS = 1 r ν Trζ u(x, xll) ζν dS, (13.64) 1 |S+(n)|γ x  S+ 1 (n) 1 |S+(q)|ν 1 S+(q) x11  где S+(n) = {ξ ∈ Rn :|ξ| = 1}, S+(q) = {ζ ∈ Rq :|ζ| = 1}. Поскольку функция u(x, xll) продолжена 1 + по еменным 1 + констант каждый из одномерных  енных сдвигов не пер xn+2,..., xn+q как а, а обобщ меняет констант, то полагая t = 0 в ν T rζu(x, xll), получаем x11  | ν T rζu(x, xll) x11  t=0 = k T rζ1 u(x, t, x t  n+2 ,..., xn+q )|t=0 = u(x, rζ1; k). Следовательно, полагая t = 0 в (13.64) и используя первое из начальных условий (13.62), имеем 1 r γ Trξϕ(x) ξγ dS = 1 r u(x, rζ1; k) ζν dS. 1 |S+(n)|γ x S+ 1 (n) 1 |S+(q)|ν 1 S+(q) Слева в последнем равенстве получилось весовое сферическое среднее заданной начальным усло- вием (13.62) функции ϕ. Поэтому для нахождения функции u = u(x, t; k) остается решить инте- гральное уравнение 1 1 |S+(q)|ν r S+ 1 (q) r u(x, rζ1; k) ζν dS = Mγ [ϕ(x)]. (13.65) Выражение слева в (13.65) сводится к одномерному интегрированию переходом к сферическим координатам ζ1 = cos θ1, ζ2 = sin θ1 cos θ2, ... ζq-1 = sin θ1 sin θ2 ... sin θq-2 cos θq-1, ζq = sin θ1 sin θ2 ... sin θq-2 sin θq-1, dS = sinq-2 θ1 dθ1 sinq-2 θ2 dθ2 ... sin θq Тогда, полагая ν l = (ν2,..., νq ), получим -2 dθq-2 dθq-1. π 2 1 1 |S+(q)|ν r S+ 1 (q) u(x, rζ1; k) ζν dS = 1 r 1 |S+(q)|ν 0 u(x, r cos θ1; k) sinq+|ν 1|-2 θ1 cosk θ1 dθ1 × π π 2 2 r r × sinq+|ν 1|-3 θ2 cosν2 θ2 dθ2 ... 0 0 π π 2 sin1+νq-1 θ2 cosνq θq -1 dθ2 × r × sinνq-1 θ2 cosνq θq 1 -1 dθ2 = + r u(x, r cos θ; k) sinq+|ν 1|-2 θ cosk θ dθ × 0 π 2 π Г sinq+|ν|-2 θ1 cosk θ1 dθ1 2 |S1 (q)|ν 0 π 2 0 r × π 2 Г sinq+|ν|-2 θ1 cosk θ1 dθ1 0 0 sin π r q+ν2-3 θ2 cosν2 r θ2 dθ2 ... 0 sin 1+ν2 θ2 cosνq θq-1 dθ2× Учитывая, что × sinνq-2 θ2 cosνq θq 0 1 2 -2 dθ2. 2 2Γ q+|ν| = = , получаем π/2 , B Γ Г 0 sinq+|ν|-2 θ1 cosk θ1 dθ1 q+|ν1|-1 2 k+1 2 Γ q+|ν 1|-1 2 k+1 2 1 r u(x, rζ1; k) ζν dS = 2 2Γ q+|ν| π 2 r u(x, r cos θ; k) sinq+|ν 1|-2 θ cosk θ dθ = 1 |S+(q)|ν S+ 1 (q) Γ Γ q+|ν 1|-1 2 k+1 2 0 2r2-q-|ν 1|-k Γ q+|ν| r 1 2 k 2 r 2 q+|ν 1|-1 2 - Γ = q+|ν 1|-1 2 Γ k+1 2 0 (r - z ) z u(x, z; k) dz. В силу равенства n + |γ| = q + |ν|, имеем q + |νl| = n + |γ|- k и 1 r 2r2-(n+|γ|)Γ n+|γ| r 1 |S+(q)|ν S+ 1 (q) 1 k u(x, rζ1; k) ζν dS = Γ n+|γ|-k-1 2 2 Γ k+1 2 r (r2 0 - z2) n+|γ|-k-1 2 - z u(x, z; k) dz. (13.66) Для α > 0 определен левосторонний интеграл Эрдейи-Кобера (см. [136, формула 18.1, с. 246]) r α 2r- I 2(α+η) r (r2 s2)α-1 2η+1 a+;2,η f (r) = Γ(α) - a s f (s)ds, поэтому равенство (13.66) можно переписать в виде n+|γ| 1 r Γ 2 u(x, rζ1; k) ζν dS = n+|γ|-k-1 I 2 u(x, r; k). (13.67) 1 Γ |S+(q)|ν S+ 1 (q) k+1 2 0+;2, k-1 2 r Тогда, возвращаясь к (13.65), получим n+|γ|-k-1 Γ k+1 I 2 2 0+;2, k-1 u(x, r; k) = r Γ 2 n+|γ| 2 r Mγ [ϕ(x)]. (13.68) a+;2,η Интеграл Эрдейи-Кобера Iα f (r) связан с интегралом Римана-Лиувилля (Лиувилля) форму- лой: Iα a+;2,η f (r) = y -α-η a2+ (Iα g)(y), g(y) = yη f (r), y = r2, поэтому для этого оператора существует обратный для некоторого класса функций (см. пункт 2.4). a+;2,η Значение обратного оператора к Iα f (r) определяется формулой (см. [136, формула 18.17, с. 247]) вида где (I α a+;2,η ) f (r) = I -1 -α a+;2,η+α f (r), I-α a+;2,η+αf (r) = r d m -2η 2rdr r2(m+η)Im-α a+;2,η+αf (r), m = [α]+ 1. n+|γ|-k-1 Тогда, применяя к обеим частям в (13.68) по r оператор I- 0+;2, 2 n + |γ| 2 , получим -1 Γ k+1 n+|γ|-k-1 или u(x, r; k) = Γ 2 n+|γ| 2 I- 0+;2, 2 1 n+|γ| 2 - r Mγ [ϕ(x)], r u(x, t; k) = t1-k Γ d k+1 2 m t2m+k-1 Im- n+|γ|-k-1 2 Mγ [ϕ(x)]. Поскольку Γ n+|γ| 2 2tdt t 2 -1 0+;2, n+|γ| t t m- n+|γ|-k-1 2t1-2m-k r n+|γ|-k-1 I 2 2 -1 0+;2, n+|γ| то f (t) = Γ 2 m - n+|γ|-k-1 (t2 - s2)m- 0 t 2 -1sn+|γ|-1f (s)ds, 2t1-k Γ k+1 d m r n+|γ|-k-1 u(x, t; k) = Γ n+|γ| 2 2 2 Γ m - n+|γ|-k-1 2tdt (t2 - s2)m- 0 s 2 -1sn+|γ|-1M γ [ϕ(x)]ds, где m = г n + |γ|-k - 1 l 2 + 1. Теорема доказана. Примеры. В этом пункте приведем примеры решения рассмотренных задач Коши в случае, когда x одномерно. Графики построены при помощи Wolfram | Alpha. Для первой задачи Коши имеем ∂2u γ ∂u ∂2u k ∂u ∂x2 + x ∂x = ∂t2 + t ∂t , (13.69) u(x, 0; k) = ϕ(x), ut(x, 0; k) = 0, ϕ(x) ∈ C2 (R 1 ). (13.70) При k > γ > 0 решение (13.69)-(13.70) дается формулой (13.20) ev + 1 2Γ k+1 r k-γ-2 u(x, t; k) = 2 (1 - y2) x 2 γ T tyϕ(x)yγdy. (13.71) Γ Γ k-γ 2 γ+1 2 0 При k < γ решение (13.69)-(13.70) находится по формулам (13.23), (13.30) или (13.31). Обозначим k,γ T t xϕ(x) = C(γ, k) 1 r (1 - y2) 0 k-γ-2 2 x T ty [ϕ(x)]yγ dy, (13.72) 2Γ k+1 C(γ, k) = 2 . Γ Γ k-γ 2 γ+1 2 Оператор (13.72) представляет собой преобразования, поскольку для него справедливо равенство k,γ T t x(Bγ )xϕ(x) = (Bk )t k,γ x T tϕ(x). x Кроме того, k,γ T tjγ-1 (x) = jγ-1 (x)jk-1 (t) (см. пример 13.1). 2 2 2 Рассмотрим теперь вторую задачу Коши. Пусть k < 1, γ > 0 и 2 - k > γ. Для задачи ∂2u γ ∂u ∂2u k ∂u ∂x2 + x ∂x = ∂t2 + t ∂t (13.73) n+|γ|+k-1 u(x, 0; k) = 0, lim tk ∂u = ψ(x), ψ ∈ C 2 . (13.74) t→0 ∂t ev условие 2 - k > γ означает, что можно взять q = 0 в формуле (13.34). Решение u(x, t; k) зада- чи (13.73)-(13.74) имеет вид 1 1 2Γ 3-k t1-k r k+γ u(x, t; k) = (1 - k) t1-k u(x, t;2 - k) = (1 - k)Γ 2 2-k-γ 2 Γ γ+1 2 (1 - ξ2)- 0 x 2 γ T tξψ(x) ξγdξ. (13.75) При 0 < k < 1 и k < γ < 2 - k решение задачи ∂2u γ ∂u ∂2u k ∂u ∂x2 + x ∂x = ∂t2 + t ∂t (13.76) n+|γ|+k-1 u(x, 0; k) = ϕ(x), lim tk ∂u = ψ(x), ψ ∈ C 2 (13.77) имеет вид t→0 ∂t 1 2Γ k+1 r ev k-γ-2 u(x, t; k) = 2 (1 - y2) x 2 γ T tyϕ(x)yγdy+ Γ Γ k-γ 2 γ+1 2 0 1 2Γ 3-k t1-k r k+γ + (1 - k)Γ 2 2-k-γ 2 Γ γ+1 2 (1 - y2)- 0 x 2 γ T tyψ(x) yγdξ. (13.78) Пример 13.1. Найдем решение задачи ∂2u γ ∂u ∂2u k ∂u ∂x2 + x ∂x = ∂t2 + t ∂t , k > γ > 0, ∂u(x, t; k) 1 1 u(x, 0; k) = jγ-1 (x), 2 По формуле (13.71) получим 1 1 ∂t 1t=0 = 0. 2Γ k+1 r k-γ-2 u(x, t; k) = 2 (1 - y2) x 2 γ T tyjγ-1 (x)yγdy. Γ Γ Справедлива формула (3.19): k-γ 2 γ+1 2 2 0 γ T ty x jγ-1 (x) = jγ-1 (x)jγ-1 (ty), следовательно, 2 γ+1 2 2 k+1 1 u(x, t; k) = jγ-1 (x) t 1-γ 2 2 Γ 2 2 r (1 - y2) k-γ-2 2 Jγ-1 (ty) y γ+1 2 dy. Γ 2 k-γ 2 2 0 РИС. 1. u(x, t; k) = j 1 (x)j 3 (t). - 6 4 Используя соотношение [127, формула 2.12.4.6] в виде a r xν+1(a2 - x2)β-1Jν (cx)dx = 0 2β-1aβ+ν cβ Γ(β)Jβ+ν (ac), (13.79) получим a > 0, Re β > 0, Re ν > -1, 5 u x, t; = jγ-1 (x)jk-1 (t). (13.80) 2 2 2 График решения (13.80) при k = 5 2 значения x и t, приведен на рис. 1. Пример 13.2. Рассмотрим задачу и γ = 2 , продолженного четным образом на отрицательные 3 ∂2u γ ∂u ∂2u k ∂u 1 ∂x2 + x ∂x = ∂t2 + t ∂t , 1 - γ � k < γ, k ±= -1, -3, -5,..., γ > 2 , u(x, 0; k) = jγ-1 (x), 1 ∂u(x, t; k) 1 = 0. 2 ∂t 1 1t=0 Решение такой задачи дается формулой (13.23) при n = m = 1: 1 u(x, t; k) = ∂ (tk+1u(x, t; k + 2)), tk ∂t где u(x, t; k + 2) - решение задачи Коши вида (Bk+2)tu = (Δγ )xu, jγ-1 (x) u(x, 0; k + 2) = 2 k +1 , ut(x, 0; k + 2) = 0. РИС. 2. u 1 x, t; 2 t2 = F ; ; - F 5 x2 ; ; - . 3 0 1 3 4 0 1 4 4 Используя предыдущий пример, получим u(x, t; k + 2) = 1 jγ-1 (x)jk+1 (t). и, следовательно, k +1 2 2 γ +1 x2 k +1 t2 - u(x, t; k) = 0F1 ; 2 ; 4 0F1 ; - ; . (13.81) 2 4 График решения (13.81) при k = 1 3 и γ = 3 , продолженного четным образом на отрицательные 2 значения x и t, приведен на рис. 2. Пример 13.3. Найдем решение задачи ∂2u γ ∂u ∂2u k ∂u ∂x2 + x ∂x = ∂t2 + t ∂t , k > γ > 0, ∂u(x, t; k) 1 1 u(x, 0; k) = i γ-1 (x), 2 1 ∂t 1t=0 = 0. Используя формулы (13.71), (3.20) и [127, формула 2.15.2.6], получим 1-γ γ+1 2 2 Γ r k+1 1 k-γ-2 γ+1 u(x, t; k) = i γ-1 (x) t 2 2 (1 - y2) 2 Iγ-1 (ty) y 2 dy = i γ-1 (x)ik 1 (t). Γ 2 2 k-γ 2 2 - 2 0 РИС. 3. u 5 x, t; 2 = i 1 - 6 (x)i 3 4 (t). График решения (13.80) при k = 5 2 и γ = 2 , продолженного четным образом на отрицательные 3 значения x и t, приведен на рис. 3. Пример 13.4. Рассмотрим задачу ∂2u γ ∂u ∂2u k ∂u ∂x2 + x ∂x = ∂t2 + t ∂t , k > γ > 0, 1 u(x, 0; k) = e-x2 , ∂u(x, t; k) 1 = 0. ∂t Учитывая формулы (13.71) и (3.16), будем иметь 1 1 1t=0 2Γ k+1 r k-γ-2 2 u(x, t; k) = 2 (1 - y2) x 2 γ T tye-x yγdy = Γ Γ k-γ 2 γ+1 2 0 1 2Γ k+1 r 2 (ty)2 2 = 2 e-x2 (xt) 1-γ k-γ-2 γ+1 (1 y ) e- I (2xyt) y dy. Γ k-γ - 2 0 Пусть k = 4, γ = 2. Получим 1 2Γ 5 2 r 2 2 3e-x2 γ-1 2 2 1 r 2 u(x, t; 4) = √ 2 πxt e-x 0 e-(ty) sh(2xyt) ydy = 2xt e-(ty) 0 sh(2xyt) ydy = 3 = 8t3  √ π(erf(t - x)+ erf(t + x)) - e-(t+x)2(e4tx-1)  x , (13.82) где erf(z) - функция ошибок (1.11). График решения (13.82), продолженного четным образом на отрицательные значения x и t, приведен на рис. 4. Пример 13.5. Найдем решение задачи ∂2u γ ∂u ∂2u k ∂u ∂x2 + x ∂x = ∂t2 + t ∂t , k > γ > 0, 1 1 u(x, 0; k) = x2m, ∂u(x, t; k) 1 = 0, m N. ∂t 1t=0 ∈ РИС. 4. u(x, t; 4) = 3 8t3  e √π(erf(t - x)+ erf(t + x)) - -(t+x)2(e4tx-1)  . x Используя (13.56) и (3.14), получим 1 2Γ k+1 r k-γ-2 u(x, t; k) = 2 (1 - y2) x 2 γ T tyx2myγdy = Γ Γ k-γ 2 γ+1 2 0 2 2x2mΓ k+1 = x/t r (1 - y2) k-γ-2 2 2F1 -m, 1 - γ - m, γ +1 (ty)2 ; yγdy+ Γ k-γ Γ γ+1 2 2 x2 2 2 2t2mΓ k+1 + 2 0 1 r (1 - y2) k-γ-2 2 2F1 -m, 1 - γ - m, γ +1 x2 ; yγ+2mdy = Γ k-γ Γ γ+1 2 2 (ty)2 2 2 x/t ξ/τ {y2 = η, x2 = ξ, t2 = τ } 2 ξmΓ k+1 = r (1 - η) k-γ-2 2 2F1 -m, 1 - γ - m, γ +1 τη ; γ-1 η 2 dη+ Γ k-γ Γ γ+1 2 2 ξ 2 2 2 τmΓ k+1 + 0 1 r (1 - η) k-γ-2 2 2F1 -m, 1 - γ - m, γ +1 ; ξ γ+2m-1 η 2 dη. Γ k-γ Γ γ+1 2 2 τη 2 2 ξ/τ Применяя соотношение [1, формула 15.4.1] в виде m 2F1(-m, b; c; z) = \ (-m)j (b)j zj , m ∈ N, получим при y2 = η, x2 = ξ, t2 = τ j=0 1-γ (c)j j! ξ/τ ξmΓ k+1 m (-m)j 2 - m j 1 τ j r k γ 2 γ 1 u(x, t; k) = 2 \ (1 - η) - -2 - ηj+ 2 dη+ Γ Γ k-γ 2 γ+1 2 j=0 1-γ γ+1 2 j j! ξ 0 τmΓ k+1 m (-m)j 2 - m 1 1 ξ j + 2 \ j j r (1 - k-γ-2 η) 2 η γ+2m-1 2 - dη. Γ k-γ Γ γ+1 j=0 γ+1 j! τ 2 2 2 j ξ/τ Рассмотрим интеграл в первом слагаемом: ξ/τ γ-1 1 k-γ-2 r (1 - η) 0 j+ k-γ-2 2 η γ-1  2 dη = η = ξ  ξ j+ w = τ τ 2 +1 r ξ - 1 w τ 0 2 wj+ γ-1 2 dw = 2 + j Γ γ+1 γ-1 ξ j+ 2 +1 2+γ - k γ +1 γ +1 ξ = γ+1 τ 2F1 , + j; 2 2 + j + 1; . 2 τ Γ 2 + j +1 Рассмотрим интеграл во втором слагаемом: 1 r ξ/τ (1 - η) k-γ-2 2 η j γ+2m-1 2 - dη =  1 - η = 1 - ξ  w = τ k-γ 1 γ+2m 1 - ξ 2 r k-γ-2 ξ 2 -j = 1 - τ w 2 1 - 0 1 - τ w dw = Γ k-γ 2 - k γ ξ 2 γ - 1 k - γ k - γ ξ = k γ Γ - - 1 τ 2F1 j - m - , ; 2 2 2 + 1; 1 - τ . 2 +1 Будем иметь при y2 = η, x2 = ξ, t2 = τ : γ-1 1-γ ξmΓ k+1 ξ 2 +1 m (-m)j 2 - m 1 2 u(x, t; k) = Γ k-γ 2 2 Γ γ+1 τ 2 \ j=0 γ+1 2 j j j! γ +1+ 2j × 2+γ - k γ +1 γ +1 ξ × 2F1 , + j; 2 2 + j + 1; + 2 τ k-γ 1-γ ξ τmΓ k+1 2 m (-m)j 2 - m j + 2 1 - \ j 1 ξ 2 × Γ k-γ Γ γ+1 τ j=0 γ+1 j! τ k - γ 2 2 γ - 1 k - γ 2 j k - γ ξ × 2F1 j - m - - , ; + 1; 1 = 2 2 2 τ 1-γ Γ k+1 = 2 m (-m)j \ j 2 - m 1 × Γ k-γ Γ γ+1 j=0 γ+1 j!  2ξm 2 - γ 1 ξ 2 2+ γ 2 j k γ +1 γ +1 ξ 2 +1 - × γ +1+ 2j τ k-γ 2F1 j , + j; 2 2 + j + 1; + 2 τ  2τm + k - γ ξ 2 ξ - 1 τ τ 2F1 j - m - γ - 1 , 2 k - γ ; 2 k - γ 2 ξ + 1; 1 - τ . Возвращаясь к x и t, запишем 1-γ Γ k+1 m (-m)j j 2 - m 1 u(x, t; k) = 2 \ × Γ Γ γ-1 k-γ 2 γ+1 2 j=0 γ+1 j! 2 j  2x2m x2 2 +1 2+γ - k γ +1 γ +1 x2 × γ +1+ 2j t2 2F1 , + j; 2 2 + j + 1; + 2 t2 2t2m + k - γ x2 1 - t2 k-γ 2 x2 j t2 2F1 j - m - γ - 1 , 2 k - γ ; 2 k - γ 2 + 1; 1 - ⎤ x2 t2 ⎦ . При k = 4, γ = 2, m = 1, получим u(x, t; 4) = 1 3 \ (-1)j - 3 2 j 1  2x2 x 3 + t2 x2 j x2 F j 3 , 1; 2; 1 x2  = 2 j=0 3 2 j j! 3+ 2j t - t2 2 1 - 2 - t2 3 (-1)0 3 г 2x2 x 3 3 x2 l = - 2 0 2 3 3 - + t2 x2 t 2F1 - 2 , 1; 2; 1 - t2 + 2 0 3 (-1)1 3 г 2x2 x 3 x2 1 x2 l + - 2 1 2 3 5 - + t2 x2 t t2 2F1 - 2 , 1; 2; 1 - t2 = 2 1 3 г 2x5 = 2 + t2 - x5 l + 3 г 2x5 2 + x2 - x5 l = 3 t2 + x2. 2 3t3 5 t3 2 5t3 3 t3 5 График решения при k = 1 и γ = 1, продолженного четным образом на отрицательные значения x 2 и t, приведен на рис. 5. РИС. 5. u(x, t; 4) = 3 t2 + x2. 5 Пример 13.6. Решим задачу ∂2u γ ∂u ∂2u k ∂u ∂x2 + x ∂x = ∂t2 + t ∂t , (13.83) γ-1 u(x, 0; k) = 0, lim tk ∂u = j (x), k < 1, γ > 0, 2 - k > γ. (13.84) t→0 ∂t 2 Используя (13.75) и (3.7), получим 2 2Γ 3-k t1-k jγ-1 (x) 1 r k+γ t1-k u(x, t; k) = 2 (1 - ξ2)- 2 - jγ 1 (tξ)ξγdξ = - jγ 1 (x)j 1 k (t). (13.85) Γ (1 - k)Γ 2-k-γ 2 γ+1 2 0 - 2 1 - k 2 2 График решения (13.85) при k = 1 2 значения x и t, приведен на рис. 6. и γ = 1, продолженного четным образом на отрицательные Пример 13.7. Из рассмотренных примеров следует, что при 0 < k < 1 и k < γ < 2 - k решение задачи ∂2u γ ∂u ∂2u k ∂u ∂x2 + x ∂x = ∂t2 + t ∂t (13.86) РИС. 6. u 1 x, t; 2 = 2 √tj0(x)j 1 4 (t). ∂ u u(x, 0; k) = jγ-1 (x), lim tk = jγ-1 (x), (13.87) имеет вид 2 u(x, t; k) = jγ-1 (x) 2 t→0 jk-1 (t)+ 2 ∂t t1-k 1 - k 2 j 1-k (t) . 2 График решения при k = 1 и γ = 3 , продолженного четным образом на отрицательные значения 2 4 x и t, приведен на рис. 7. РИС. 7. u 1 x, t; 2 = j 1 - 8 j 1 - 4 1 (t)+ 2t 2 j 1 4 (t) . 14. УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА-ПУАССОНА-ДАРБУ СО СПЕКТРАЛЬНЫМ ПАРАМЕТРОМ Решение задачи Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу со спектральным параметром применением преобразования Ханкеля. В этом пункте будем использовать пре- образование Ханкеля для решения задачи обобщенного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу, в котором по каждой из переменных действует оператор Бесселя, а справа присутствует спектраль- ный параметр (см. [266]). Рассмотрим задачу Коши вида + [(≡γ )x - (Bk )t ] u = c2u, k ∈ R, c > 0, u = u(x, t; k), (x, t) ∈ Rn+1, (14.1) u(x, 0; k) = ϕ(x), ut(x, 0; k) = 0. (14.2) ev В случае γi = 0, i = 1,...,n такая задача изучалась в [188]. Будем искать решение u ∈ Sl + (Rn ) × C2 l n 2 ev (0, ∞) задачи (14.1)-(14.2). Принадлежность u ∈ Sev (R+) × Cev (0, ∞) означает, что u(x, t; k) принадлежит Sl (Rn ) по x и принадлежит C2 (0, ∞) по t. ev + ev Теорема 14.1. Решение u ∈ Sl (Rn ) × C2 (0, ∞) задачи (14.1)-(14.2) для k ±= -1, -3, -5,... задается формулой ev + ev k-n-|γ|-1 1 где u(x, t; k) = C(n, γ, k) t1-k (t2 - |x|2)+ 2 C(n, γ, k) = jk -n-|γ |-1 2 2 2nΓ k+1 n + (t2 - |x|2) 2 · c . ϕ(x) , (14.3) γ Γ k-n-|γ|+1 Γ γi+1 2 2 i=1 При k ;;; 0 решение (14.3) задачи (14.1)-(14.2) единственно. В случае k < 0 решение (14.1)-(14.2) не единственно. При k < 0 в случае, когда k ±= -1, -3, -5,..., разность между любыми двумя произвольными решениями имеет вид At1-k u(t, x;2 - k), A = const, (14.4) где u(t, x;2 - k) - решение задачи - t [(≡γ )x - (B2 k ) ] u = c2u, u(x, 0; 2 - k) = τ (x), ut(x, 0; 2 - k) = 0, ev τ (x) - произвольная функция Sev или распределение Sl . При k = -1, -3, -5,... не единственное решение задачи Коши (14.1)-(14.2) будет содержать слагаемое (14.4) и 1 e± 2 πniΓ n+|γ|-k+1 2 k-n-|γ|-1 n 2nΓ 1-k Γ γi+1 t1-k (t2 - |x|2 - c2 ± i0)γ 2 ∗ ϕ(x) . γ 2 2 i=1 Доказательство. Применяя к (14.1) преобразование Ханкеля только по переменным x1,..., xn и используя (2.19), получим 2 |ξ|2 + c2 + ∂ + k ∂ u(ξ, t; k) = 0, (14.5) ∂t2 t ∂t t ϕ(ξ), u (ξ, 0; k) = 0, (14.6) где ξ = (ξ1, ξ2,..., ξn) ∈ Rn соответствует x = (x1,..., xn) ∈ Rn , |ξ|2 = ξ2 + ξ2 + ... + ξ2 , + + 1 2 n r u(ξ, t; k) = (Fγ )x[u(x, t; k)](ξ) = u(x, t; k) jγ (x; ξ)xγdx R n + ϕ( и ξ) = Fγ [ϕ](ξ). Решение G k (ξ, t) задачи Коши 2 |ξ|2 + c2 + ∂ + k ∂ G k (ξ, t) = 0, ∂t2 G k (ξ, 0) = 1, t ∂t t G k (ξ, 0) = 0 получено в [188]. Запишем решения для положительных и отрицательных значений k: при k ;;; 0 - 2 G k (ξ, t) = jk 1 (,1|ξ|2 + c2 t); (14.7) 2. при k < 0, k ±= -1, -3, -5,... | Gk (ξ, t) = At1-k j 1 k (,1 ξ|2 + c2 t)+ jk 1 (,1|ξ|2 + c2 t), (14.8) - - 2 2 где A - произвольное комплексное число, которое может зависеть от c; 3. при k = -1, -3, -5,... π2 -  k 1 2 ,1 1-k 2 G k (ξ, t) = Bt1-kj 1 k (,1|ξ|2 + c2 t) - |ξ|2 + c2 t Y 1 k (,1|ξ|2 + c2 t), (14.9) - Γ 2 2 1-k - 2 где B - произвольное комплексное число, которое может зависеть от c. Из (14.7)-(14.9) заключаем, что задача (14.1)-(14.2) имеет единственное решение только при k ;;; 0. Кроме того, мы замечаем, что разность между двумя произвольными решениями при k < 0 имеет вид | At1-k j 1 k (,1 ξ|2 + c2 t). (14.10) - 2 Найдем γ Gk (x, t) = (F-1)ξ G k (ξ, t) (x). γ Обратное преобразование Ханкеля (F-1)ξ G k (ξ, t) (x) проще всего найти, рассматривая c как дополнительную независимую переменную. Положив ξl = (ξ1,..., ξn, c) запишем G (ξ, t) = jk 1 (|ξ | t) k l - 2 2 для k ;;; 0 и найдем обратное преобразование Ханкеля от jk-1 (|ξl| t) по переменным ξl, используя (7.9). Получим (F-1 l l 2n+1Γ k+1 2 1-k 2 k-n-|γ1|-2 l 2 2 2 γ1 )ξ1 jk-1 (|ξ | t) (x ) = n+1 t Γ k-n-|γ1| Γ γi+1 (t - |x | )+,γ1 , 2 2 i=1 где γl = (γ1,..., γn, γn+1) и γn+1 - произвольное положительное число, xl = (x, σ), σ ∈ R+ - двойственная к c переменная. Теперь для нахождения Gk (x, t) применим прямое преобразование Ханкеля только по одномерной переменной σ. Будем иметь 2 n+1Γ Gk (x, t) = k+1 2 n+1 n+1 t1-k (Fγ )σ (t2 - |x|2 - σ2) k-n-|γ1|-2 2 +,γ1 (c) = Γ k-n-|γ1| Γ γi+1 2 2nΓ k+1 2 i=1 k-n-|γ|-1 1 n = 2 Γ k-n-|γ|+1 Γ γi+1 t1-k (t2 - |x|2)+ 2 jk -n-|γ |-1 2 + (t2 - |x|2) 2 · c . 2 2 i=1 Таким образом, решение (14.1)-(14.2) для k ;;; 0 дается обобщенной сверткой u(x, t; k) = (Gk (x, t) ∗ ϕ(x))γ. (14.11) Легко видеть, что (14.11) остается решением (14.1)-(14.2) и при k < 0, k ±= -1, -3, -5,.... Более того, рассуждая, как при доказательстве теоремы 13.5, получаем, что разность между этим решением и любым другим при k < 0 имеет вид A(t1-k G2-k (x, t) ∗ ψ(x))γ = At1-k u(t, x;2 - k), (14.12) ev где ψ(x) - произвольная функция из Sl , u(t, x;2 - k) - решение задачи Коши 2 [(≡γ )x - (B2-k )t ] u = c u, u(x, 0; 2 - k) = ψ(x), ut(x, 0; 2 - k) = 0. и G2-k (x, t) - решение задачи [(≡γ )x - (B2-k )t ] G 2-k (x, t) = c2G 2-k (x, t), (14.13) t G2-k (x, 0) = δγ (x), G2-k (x, t)(x, 0) = 0. (14.14) Наконец рассмотрим случай k = -1, -3, -5,.... В этом случае решение (14.13)-(14.14) содер- жит слагаемое Gk (x, t) = π2 k-1 2 F-1 ,1 2 2 г ξ + c t 2 Y (,1 ξ 2 + c2 t)l 1-k . Тогда Γ 1-k γ | | 2 2 1-k | | k-1 г 1-k l k iπ2 2 Γ G -1 ,1 2 2 2 (1) ,1 2 2 (1)(x, t) = 1-k Fγ 2 |ξ| + c t H 1-k ( 2 |ξ| + c t) , k-1 г 1-k l k iπ2 2 Γ G -1 ,1 2 2 2 (2) ,1 2 2 (2)(x, t) = - 1-k Fγ 2 |ξ| + c t H 1-k ( 2 |ξ| + c t) тоже будут решениями (14.13)-(14.14). Применяя (7.17) и (7.18), получим 1 e± 2 πniΓ n+|γ|-k+1 Gk (x, t) = n 2 t1-k (t2 - |x|2 - c2 ± i0) k-n-|γ|-1 2 γ . 2nΓ 1-k Γ γi+1 2 2 i=1 Тогда при k = -1, -3, -5,... не единственное решение задачи Коши (14.1)-(14.2) будет содержать слагаемое 1 e± 2 πniΓ n+|γ|-k+1 2 k-n-|γ|-1 n 2nΓ 1-k Γ γi+1 t1-k (t2 - |x|2 - c2 ± i0)γ 2 ∗ ϕ(x) . γ 2 2 i=1 ev Найденная обобщенная свертка существует для ϕ(x) ∈ Sl . ev Следствие 14.1. Решение u ∈ Sl + (Rn ) × C2(0, ∞) задачи Коши для сингулярного уравнения Клейна-Гордона г ∂2 l 2 n+1 (≡γ )x - ∂t2 v = c v, c > 0, v = v(x, t), (x, t) ∈ R+ , (14.15) имеет вид ev v(x, 0) = ϕ(x), vt(x, 0) = 0, ϕ(x) ∈ Sl (14.16) 2n√π n+|γ|+1 1 v(x, t) = n Γ 1-n-|γ| Γ γi+1 + t(t2 - |x|2)- 2 j n+| γ |+1 - 2 + (t2 - |x|2) 2 · c ∗ ϕ(x) . γ 2 2 i=1 (14.17) Это решение получается предельным переходом при k → 0 в (14.3). Уравнение Клейна-Гордона г ∂2 l 2 N ≡z - ∂t2 v = c v, v = v(z, t), z ∈ R (14.18) - наиболее часто используемое волновое уравнения для описания динамики частиц в квантовой механике. Когда функция v радиально симметрична по некоторым группам переменных z1,..., zN в (14.18), мы получаем (14.15) с меньшим числом пространственных переменных. В этом случае числа γi, i = 1,...,n в (14.15) будут натуральными. Классическое решение уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу со спектральным пара- метром. Теорема 14.2. В случае k > n + |γ|- 1 решение задачи Коши + [(≡γ )x - (Bk )t ] u = c2u, c > 0, u = u(x, t; k), (x, t) ∈ Rn+1, (14.19) u(x, 0; k) = ϕ(x), ut(x, 0; k) = 0 (14.20) единственно и имеет вид u(x, t; k) = A(n, γ, k) t1-k t r (t2 - r2) 0 k-n-|γ|-1 2 jk -n-|γ |-1 2 c,1t2 - r2 r rn+|γ|-1M γ [ϕ(x)]dr, (14.21) r где Mγ [ϕ(x)] - весовое сферическое среднее функции ϕ(x), 2 2Γ k+1 A(n, γ, k) = Γ n+|γ| 2 Γ k-n-|γ|+1 . 2 Доказательство. При k > n + |γ|- 1 интеграл в (14.3) существует в обычном (не обобщенном) смысле. Переходя при k > n + |γ|- 1 в (14.3) к сферическим координатам, получим u(x, t; k) = C(n, γ, k) t1-k r B+ t (n) (t2 - |y|2) (t2 - |y|2) 2 · c γ Tyϕ(x) yγdy = k-n-|γ|-1 1 2 jk -n-|γ |-1 x 2 = C(n, γ, k) 1 r r B+ 1 (n) (1 - |y|2) k-n-|γ|-1 (1 - |y|2) 2 · tc γ Ttyϕ(x) yγdy = k-n-|γ|-1 1 2 jk -n-|γ |-1 x 2 1 r = C(n, γ, k) 0 (1 - r2) 2 jk -n-|γ |-1 2 1 (1 - r2) 2 · tc rn+|γ|-1dr S+ 1 (n) x γ Ttrθϕ(x) θγdS = 2Γ k+1 r k-n-|γ|-1 1 = 2 Γ n+|γ| Γ k-n-|γ|+1 (1 - r2) 2 jk -n-|γ |-1 2 rt (1 - r2) 2 · tc rn+|γ|-1M γ [ϕ(x)]dr = 2 2 2 2Γ k+1 t1-k = 0 t r (t2 - r2) k-n-|γ|-1 2 jk n γ 1 1 (t2 - r2) 2 · c rn+|γ|-1M γ [ϕ(x)]dr. Γ n+|γ| Γ k-n-|γ|+1 - -| |- r 2 2 2 0 Докажем теперь теорему о классическом решении задачи (14.19)-(14.20) при k � n + |γ|- 1, k±= - 1, -3, -5,.... n+|γ|-k +2 Теорема 14.3. Пусть ϕ = ϕ(x), ϕ ∈ Cev 2 . Тогда решение (14.19)-(14.20) при k � n + |γ|- 1, k±= - 1, -3, -5,... имеет вид u(x, t; k) = t1-k ∂ t∂t m tk+2m-1u(x, t; k + 2m) n + |γ|-k - 1 , (14.22) где m - наименьшее целое, такое что m ;;; Коши и u(x, t; k + 2m) - решение задачи 2 u(x, 0; k + 2m) = [(≡γ )x - (Bk+2m)t ] u = c2u, c > 0, (14.23) ϕ(x) - (k + 1)(k + 3) ... (k + 2m 1) , ut(x, 0; k + 2m) = 0. (14.24) Доказательство. Для того, чтобы показать, что (14.22) представляет собой решение (14.19)- (14.20) при k � n +|γ|- 1, k±= - 1, -3, -5,..., используем рекуррентные формулы (13.12) и (13.13) вида u(x, t; k) = t1-ku(x, t;2 - k), u(x, t; k)t = tu(x, t;2 + k), справедливые для решения уравне- ния (14.19). Выберем наименьшее целое m, такое что k + 2m > n + |γ|- 1. Используя (14.21), запишем решение задачи Коши вида [(≡γ )x - (Bk+2m)t ] u = c2u, c > 0, ev u(x, 0; k + 2m) = g(x), ut(x, 0; k + 2m) = 0, g ∈ C2 . Имеем u(x, t; k + 2m) = A(n, γ, k + 2m) t1-k-2m t r (t2 - r2) 0 k+2m-n-|γ|-1 2 × ,1 n+|γ|-1 γ где ×jk+2m-n-|γ|-1 c 2 t2 - r2 r Mr [g(x)]dr, 2 2Γ k+2m+1 A(n, γ, k + 2m) = Γ n+|γ| 2 Γ k+2m-n-|γ|+1 . 2 Принимая во внимание (13.12), легко видеть, что tk+2m-1u(x, t; k + 2m) = u(x, t;2 - k - 2m). Применяя (13.13) к последней формуле m раз, получим ∂ m t∂t (tk+2m-1u(x, t; k + 2m) = u(x, t;2 - k). Снова применяя (13.12), запишем u(x, t; k) = t1-k ∂ t∂t m tk+2m-1u(x, t; k + 2m) , (14.25) что и дает решение уравнения (14.19). Теперь найдем функцию g, такую что выполняются (14.20). Из (14.20) следует, что u(x, t; k) = (k + 1)(k + 3) ... (k + 2m - 1)u(x, t; k + 2m)+ Ct u(x, t; k + 2m)+ O(t2), при t → 0, где C - константа. Тогда, если g(x) = ϕ(x) , (k + 1)(k + 3) ... (k + 2m - 1) то функция u(x, t; k), определенная с помощью равенства (14.25), удовлетворяет начальным усло- виям (14.20). ev Учитывая, что для того, чтобы u(x, t; k + 2m) было решением (14.23)-(14.24), достаточно, что- бы ϕ ∈ C2 , получаем, что для того, чтобы u(x, t; k) было решением (14.19)-(14.20), достаточно n+|γ|-k +2 потребовать ϕ ∈ Cev 2 . n+|γ|+k-1 2 Теорема 14.4. Пусть ψ ∈ Cev . Решение u = u(x, t; k) задачи [(≡γ )x - (Bk )t ] u = c2u, c > 0, (14.26) u(x, 0; k) = 0, lim t→+0 tkut(x, t; k) = ψ(x), (14.27) при k < 1 определяется формулой u(t, x; k) = B(n, γ, k, q) t 1 ∂ q r t ∂t (t2 - r2) 1-k+2q-n-|γ| 2 × ,1 0 n+|γ|-1 γ где ×j 1-k+2q-n-|γ| c 2 t2 - r2 r Mr [ψ(x)]dr , (14.28) 2 2-q Γ 1-k B(n, γ, k, q) = Γ Γ n+|γ| 2 2-k+2q-n-|γ|+1 . 2 - Доказательство. Пусть q ;;; 0 - наименьшее положительное целое число, такое что 2 - k + 2q > n + |γ| + k - 3 n + |γ|- 1, т. е. q > , и пусть u(x, t;2 k + 2q) - решение уравнения (14.26) при 2 2 - k + 2q, взятом вместо k, такое что u(x, 0; 2 - k + 2q) = ψ(x), ut(x, 0; 2 - k + 2q) = 0. (14.29) Тогда, используя свойство (13.12), получим, что функция u(t, x; k - 2q) = t1-k+2qu(t, x;2 - k + 2q) есть решение уравнения ∂2v k - 2q ∂v 2 (≡γ )xu - ∂t2 - = c u. t ∂t Далее, применяя q раз формулу (13.13), получим, что 1 ∂ q t ∂t u(t, x; k - 2q) = 1 ∂ q t ∂t t1-k+2qu(t, x;2 - k + 2q) есть решение уравнения (14.26). Для того, чтобы полученное решение удовлетворяло услови- 2-q Γ 3-k ям (14.27), будем использовать множитель (1 - k)Γ 2 3-k+2q 2 . Пусть 2-q Γ 3-k 1 ∂ q u(t, x; k) = (1 - k)Γ 2 3-k+2q 2 t ∂t t1-k+2qu(t, x;2 - k + 2q) . (14.30) Функция (14.30) удовлетворяет уравнению (14.26). Покажем, что u(t, x; k), определенная в (14.30), удовлетворяет условиям (14.29). Используя соотношение [171, формула 1.13, с. 9], получим 1 ∂ q q 2q-sCsΓ 1-k + q + 1 1 ∂ s t ∂t t1-k+2qu(t, x;2 - k + 2q) = \ q 2 Γ 1-k t1-k+2s t ∂t u(t, x;2 - k + 2q) s=0 2 + s + 1 и u(0, x; k) = 0 при k < 1. Для второго условия (14.29) получим 2-q Γ 3-k ∂ 1 ∂ q lim tkut(t, x; k) = t→0 (1 - k)Γ 2 3-k+2q 2 lim tk t→0 ∂t t ∂t t1-k+2qu(t, x;2 - k + 2q) = 2-q Γ 3-k ∂ q 2q-sCs 1-k + q +1 1 ∂ s = 2 lim tk \ q Γ 2 t1-k+2s u(t, x;2 - k + 2q) = (1 - k)Γ 3-k+2q 2 t→0 1 ∂t s=0 ∂ 1-k Γ 2 + s + 1 t ∂t = 1 - k lim tk t→0 ∂t t1-ku(t, x;2 - k + 2q) 1 = 1 - k lim tk × t→0 × (1 - k)t-ku(t, x;2 - k + 2q)+ t1-kut(t, x;2 - k + 2q) = 1 = 1 - k lim ((1 - k)u(t, x;2 - k + 2q)+ tut(t, x;2 - k + 2q)) = t→0 = lim u(t, x;2 - k + 2q) = ψ(x). t→0 Теперь запишем представление u(t, x; k) через интеграл. Используя формулу (14.21), получим t r u(x, t;2 - k + 2q) = A(n, γ, 2 - k + 2q) tk-1-2q 0 (t2 - r2) 1-k+2q-n-|γ| 2 × ,1 n+|γ|-1 γ ×j 1-k+2q-n-|γ| c 2 Принимая во внимание (14.30), запишем t2 - r2 r Mr [ψ(x)]dr. 2-q Γ 3-k u(t, x; k) = A(n, γ, 2 - k + 2q) (1 - k)Γ 2 3-k+2q × 2 t 2 1 ∂ q r 2 1-k+2q-n-|γ| ,1 2 2 n+|γ|-1 γ × t ∂t (t - r ) 0 2 j 1-k+2q-n-|γ| c 2 t - r r Mr [ψ(x)]dr. Упрощая, мы получаем (14.28), что и заканчивает доказательство. Объединение теорем 14.2, 14.3 и 14.4 дает следующее утверждение. 2 n+|γ|-k +2 n+|γ|+k-1 2 Теорема 14.5. Пусть ϕ = ϕ(x), ϕ ∈ Cev , ψ = ψ(x), ψ ∈ Cev . Решение задачи [(≡γ )x - (Bk )t ] u = c2u, c > 0, (14.31) u(x, 0; k) = ϕ(x), lim t→+0 tkut(x, t; k) = ψ(x) (14.32) при k � min{n + |γ|- 1, 1}, k ±= -1, -3, -5,... дается формулой u(x, t; k) = u1(x, t; k)+ u2(x, t; k), где u1(x, t; k) находится по теореме 14.2 или 14.3, а u1(x, t; k) находится по теореме 14.4. Примеры. Приведем примеры решения сингулярной задачи Коши для обобщенного од- нородного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с постоянным потенциалом, в котором опера- тор Бесселя действует вместо каждой второй производной. Графики построены при помощи Wolfram | Alpha. Пример 14.1. Рассмотрим задачу Коши при k > n + |γ|- 1: [(≡γ )x - (Bk )t ] u = c2u, (14.33) u(x, 0; k) = jγ (x; ξ), ut(x, 0; k) = 0. (14.34) В этом случае решение единственно и определяется формулой (14.21): t r u(x, t; k) = A(n, γ, k) t1-k 0 (t2 - r2) k-n-|γ|-1 2 jk -n-|γ |-1 2 2 2Γ k+1 c,1t2 - r2 r rn+|γ|-1M γ jγ (x; ξ)dr, A(n, γ, k) = Γ n+|γ| 2 Γ k-n-|γ|+1 . 2 r Для весового сферического среднего Mγ jγ (x; ξ) имеем формулу (см. [104]) Используя (14.35), получим r jγ (x; ξ) = jγ (x; ξ)jn+|γ| Mγ 2 -1 (r|ξ|). (14.35) 2Γ k+1 u(x, t; k) = Γ t n+|γ| 2 2 Γ k-n-|γ|+1 2 t1-k jγ (x; ξ) × r × (t2 - r2) 0 rn+ γ 1jk n γ 1 k-n-|γ|-1 2 | |- - -| |- 2 c,1 t2 - r2 jn+| γ| 2 -1 (r|ξ|)dr = k-1 2 2 Γ k+1 t r k-n-|γ|-1 n+|γ| k n γ 1 = - -| |- 2 n+|γ| t1-k jγ (x; ξ) (t2 - r2) 4 r 2 Jk -n-|γ |-1 c,1t2 - r2 J n+|γ| (r|ξ|)dr. c 2 |ξ| 2 -1 0 2 2 -1 Применяя соотношение [127, формула 2.12.35.2] в виде t (t2 - x2)m+ 2 xν+1+2lJμ(c,1t2 2 r μ - x )Jν (hx)dx = 0 ∂ m ∂ l μ+ν+m+l+1 = tμ+ν-m-l+1cμhν [(c2 + h2)- 2 Jμ+ν+m+l+1(t,1c2 + h2)], c∂c h∂h t > 0, Re ν > -l - 1, Re μ > -m - 1, будем иметь k = m = 0, ν = n + |γ| - 1, μ = k - n - |γ|- 1 , h = |ξ| и t r (t2 - r2) 0 2 k-n-|γ|-1 4 r n+|γ| 2 Jk -n-|γ |-1 2 2 c,1t2 - r2 Jn+| γ| 2 -1 (r|ξ|)dr = k-1 t 2 c k-n-|γ|-1 2 |ξ| 1 n+|γ| 2 - Таким образом, = (,1c2 + |ξ|2) k-1 2 2 Jk-1 (t,1c2 + |ξ|2). k-1 2 2 Γ k+1 k-1 k-n-|γ|-1 t n+|γ| 2 c 2 |ξ| 2 -1 k n γ 1 u(x, t; k) = - -| |- 2 n+|γ| t1-k jγ (x; ξ) - k 1 Jk -1 (t,1c2 + |ξ|2) = c 2 |ξ| 2 -1 (,1c2 + |ξ|2) 2 2 2 = jγ (x; ξ)jk-1 (t,1c2 + |ξ|2). + В случае, когда x ∈ R1 , решение задачи + [(Bγ )x - (Bk )t ] u = c2u, c > 0, u = u(x, t; k), (x, t) ∈ R2 , (14.36) u(x, 0; k) = jγ (ax), ut(x, 0; k) = 0, (14.37) где γ - 2 � k � γ, k ±= -1, 0<γ, a ∈ R, дается формулой u(t, x; k) = jγ-1 (ax)jk-1 t,1 a2 + c2 . (14.38) 2 2 Пример 14.2. Рассмотрим задачу + [(Bγ )x - (Bk )t ] u = c2u, c > 0, u = u(t, x; k), (t, x) ∈ R2 , (14.39) u(x, 0; k) = 0, lim t→+0 tkut(x, t; k) = jγ (bx), (14.40) где n = 1, k < 1, 0 < γ < 3, b ∈ R. В этом случае будем иметь q = 1. Принимая во внимание (14.28), получим t u(t, x; k) = B(1, γ, k, 1) jγ-1 (bx) 2 1 ∂ r t ∂t 0 (t2 - r2)1- k+γ 1 2 j - k+γ 2 c,1 t2 - r2 jγ-1 (br)rγdr = 2 B(1, γ, k, 1)Γ γ+1 Γ 2 - k+γ rt 2 2 1 ∂ 2 2 2-k-γ = k-1 2 2 b 1 γ-1 2 c - k+γ 2 jγ-1 (bx) 2 t ∂t (t - r ) 4 × 0 ,1 2 2 +1 γ-1 2 где 2 ×J1- k+γ c t - r Jγ-1 (br)r 2 Γ 1-k dr , B(1, γ, k, 1) = . 2 Γ 2 - k+γ 2 2 2Γ γ+1 Применяя соотношение [127, формула 2.12.35.2] в виде t (t2 - x2)m+ 2 xν+1+2lJμ(c,1t2 2 r μ - x )Jν (hx)dx = 0 ∂ m ∂ l μ+ν+m+l+1 = tμ+ν-m-l+1cμhν [(c2 + h2)- 2 Jμ+ν+m+l+1(t,1c2 + h2)], c∂c h∂h получим t > 0, Re ν > -l - 1, Re μ > -m - 1, t r (t2 - r2) 0 2-k-γ 1 4 J - k+γ 2 c,1t2 - r2 Jγ-1 (br)r 2 +1 γ-1 2 dr = 1 γ-1 = b 2 c - 2 2 k+γ 2 (b + c ) k-3 4 t 3-k 2 J 3-k 2 t,1b2 + c2 , 1-k u(t, x; k) = 2 2 B(1, γ, k, 1)Γ γ + 1 2 Γ 2 - k + γ 2 (b2 + c2) k-3 × 4 jγ-1 (bx) 2 1 ∂ 3-k ,1 2 2 × t ∂t t 2 J 3-k t 2 b + c = = 2- k+1 2 Γ 1 - k 2 (,1b2 + c2) k-1 2 jγ-1 (bx) t 2 1-k 2 J 1-k 2 t,1 b2 + c2 = t1-k ,1 = jγ-1 (bx) j 1-k t b2 + c2 . 1 - k 2 2 Принимая во внимание (1.18) и (1.19), легко проверить, что t1-k ,1 t1-k ,1 γ 1 1 k 2 + c2 = -b2 - - jγ 1 (bx) j 1 k t b2 + c2 , (Bγ )x 1 - k j (bx) j - t b 2 2 1 - k 2 2 t1-k ,1 t1-k ,1 γ 1 1 k 2 + c2 = -(b2 + c2) - - jγ 1 (bx) j 1 k t b2 + c2 , (Bk )t 1 - k j (bx) j - t b 2 2 1 - k 2 2 t1-k ,1 lim jγ-1 (bx) j 1-k t b2 + c2 = 0, t→0 1 - k ∂ 2 t1-k 2 ,1 jγ-1 (bx) lim tk j 1-k t b2 + c2 = jγ-1 (bx), 2 что подтверждает, что t→0 ∂t 1 - k 2 t1-k 2 ,1 u(t, x; k) = jγ-1 (bx) j 1-k t b2 + c2 (14.41) удовлетворяет (14.39)-(14.40). 1 - k 2 2 Пример 14.3. Из приведенных примеров следует, что решение задачи Коши вида + [(Bγ )x - (Bk )t ] u = c2u, c > 0, u = u(t, x; k), (t, x) ∈ R2 , (14.42) u(x, 0; k) = jγ (ax), lim t→+0 где 0 < γ < 1 γ - 2 � k � γ, k ±= -1, a, b ∈ R есть tkut(x, t; k) = jγ (bx), (14.43) t1-k ,1 u(t, x; k) = jγ-1 (ax)jk-1 t,1a2 + c2 + jγ-1 (bx) j 1-k t b2 + c2 . (14.44) 2 2 1 - k 2 2 График решения (14.44) при k = 1 , γ = 3 , a = b = 2, c = 1, продолженного четным образом на 2 4 отрицательные значения x и t, приведен на рис. 8. Пример 14.4. Решение задачи + [(Bγ )x - (Bk )t ] u = c2u, c > 0, u = u(t, x; k), (t, x) ∈ R2 , (14.45) u(x, 0; k) = iγ (ax), lim t→+0 tkut(x, t; k) = jγ (bx), (14.46) где 0 < γ < 1, γ - 2 � k � γ, k ±= -1, a, b ∈ R, находится по формуле t1-k ,1 u(t, x; k) = i γ-1 (ax)ik-1 t,1a2 + c2 + jγ-1 (bx) j 1-k t b2 + c2 . (14.47) 2 2 1 - k 2 2 График решения (14.47) при k = 1 , γ = 3 , a = b = 2, c = 1, продолженного четным образом на 2 4 отрицательные значения x и t, приведен на рис. 9. РИС. 8. u 1 x, t; 2 = j 1 - 8 (2x)j 1 - 4 2 1 (√5t)+ 2t 1 j - 8 (2x) j 1 4 (t). РИС. 9. u 1 x, t; 2 = i 1 - 8 (2x)i 1 - 4 2 1 (√5t)+ 2t 1 j - 8 (2x) j 1 4 (t). 15. МЕТОД ПОТЕНЦИАЛОВ РИССА РЕШЕНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА ЭЙЛЕРА-ПУАССОНА-ДАРБУ Потенциалы Рисса являются обобщенными свертками с дробными степенями некоторого рассто- яния (евклидова, лоренцева или другого) до точки. С точки зрения приложений такие потенциалы являются инструментами для решения дифференциальных уравнений математической физики и обратных задач. Например, Марсель Рисс использовал такие операторы для получения решения задачи Коши для волнового уравнения. Современная теория преобразований Радона основана на потенциалах Рисса. В этом разделе мы используем потенциалы Рисса, построенные с помощью обобщенной свертки, для решения волновых уравнений с операторами Бесселя. Во-первых, мы опишем общий метод потенциалов Рисса, введем решаемые уравнения и сопоставим каждому уравнению подходящий потенциал. Затем, используя связь гиперболических B-потенциалов Рисса с операторами Даламбе- ра, в которых вместо вторых производных стоят операторы Бесселя, и аналитических продолжений рассматриваемых потенциалов на требуемые значения параметров, выпишем решения исследуемых уравнений. Наконец, в качестве примеров решим некоторые сингулярные гиперболические началь- ные задачи. Общее неоднородное уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу. В этом пункте мы рассмат- риваем неоднородное уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу с оператором Бесселя, действующим по каждой из переменных, вида + ( k,γ )t,xu = f (x, t), u = u(x, t; k), (x, t) ∈ Rn+1, (15.1) где ∂2 k ∂ \ n ∂2 γi ∂ ( k,γ )t,x = (Bk )t - (Δγ )x, (Bk )t = ∂t2 + t ∂t, (Δγ )x = i=1 i i ∂x2 + x , ∂xi + f (x, t) ∈ Sev (Rn+1). При необходимости f может быть взято из более широкого класса функций, такого что соответствующий B-потенциал Рисса будет существовать и решение u будет иметь желаемые свойства. Для решения уравнения (15.1) будем использовать потенциал, построенный и изученный в разделе 11. В качестве потенциала, обращающего ( k,γ )t,x, будем рассматривать гиперболический B-потен- циал Рисса, изученный в разделе 11, записанный в виде (Iα 1 f )(x, t) = r (τ 2 2 k τ γ y k γ α-n-1-k-|γ| y ) 2 ( T T f (x, t))τ y dτdy, (15.2) k,γ Hn,k,γ (α) K+ n n -| | t x где y = (y1,..., yn), |y| = ), y2, yγ = yγi , K+ = {(t, y) ∈ Rn+1 : t2 ;;; |y|2}, i i=1 i + i=1 Hn,k,γ (α) = 2α-n-1 sin π k +1 π 2 тт k +1 n Γ 2 i=1 γi +1 Γ 2 Γ α 2 Γ α +1- n - k -|γ| . 2 Используя аналитическое продолжение по параметру α гиперболического B-потенциала Рисса Iα 0 k,γ (см. пункт 11.3) и тот факт, что I k,γ - тождественный оператор (см. пункт 11.2), получим решение уравнения (15.1). ∂f 1 Пусть f ∈ Sev и xγi 1 = 0, i = 1,..., n. Применяя оператор Iα+2 к обеим частям (15.1), i 1 ∂xi 1xi=0 k,γ используя равенство (11.14), получим Iα α+2 k,γ u(x, t; k) = I k,γ f (x, t). Переходя в последнем равенстве к пределу при α → 0, с учетом (11.3) будем иметь k,γ u(x, t; k) = (I2 f )(x, t). Найденное решение будет удовлетворять условию k,γ u(x, 0; k) = (I2 Аналогично, если f такова, что 1 1 f )(x, t)1 . 1t=0 x γi ∂ i ∂xi ( γ 1 1 )jf 1 1xi=0 = 0, j = 0,...,m - 1, i = 1,..., n, то решением итерированного уравнения ( k,γ )m n+1 будет t,xu(x, t) = f (x, t), (x, t) ∈ R+ (15.3) k,γ u(x, t) = (I2m f )(x, t). Примеры. Приведем примеры решения задач для неоднородных сингулярных волновых уравнений. Пример 15.1. Рассмотрим задачу + ((B2)t - (Bγ )x) u(x, t; 2) = t2e-tjγ-1 (x), (x, t) ∈ R2 , γ > 0, (15.4) 2 u(x, 0; 2) = 3jγ-1 (x), ut(x, 0; 2) = 0. (15.5) 2 γ-1 РИС. 10. u(x, t; 2) = 1 e-t(t2 + 3t + 3)j (x). 2 2 Решение задачи (15.4)-(15.5), полученное описанным в этом пункте способом, имеет вид 1 u(x, t; 2) = e-t(t2 + 3t + 3)j γ-1 (x). 2 2 График u(x, t; 2) при γ = 1 , продолженной четным образом на отрицательные значения x и t, 2 изображен на рис. 10. Проверяя, получим 1 t 2 1 t 2 (B2)t 2 e- (t + 3t + 3)j γ-1 (x) = 2 2 e- (t 2 - 3t - 3)j γ-1 (x), 1 t -t 2 1 -t 2 (Bγ )x 2 e- e - (t + 3t + 3)j γ-1 (x) = e 2 2 (t + 3t + 3)j γ-1 (x), 2 1 t 2 2 -t ((B2)t - (Bγ )x) 2 e- (t + 3t + 3)j γ-1 (x) = t e 2 jγ-1 (x), 2 u(x, 0; 2) = 3jγ-1 (x), ut(x, 0; 2) = 0. 2 Пример 15.2. Найдем решение начальной задачи 2 (B 1 )t - (B2)x - 1 u(x) = j 1 (t)x2, γ > 0, (15.6) - 4 1 u x, 0; = 2 1 2 (3 - x2), ut 1 x, 0; 2 = 0. (15.7) Решение (15.6)-(15.7) имеет вид u 1 x, 0; = 2 - 1 (3 x2)j 2 1 (t). - 4 График u 1 x, 0; 2 , продолженной четным образом на отрицательные значения x и t, изображен на рис. 11. γ-1 РИС. 11. u(x, t; 2) = 1 e-t(t2 + 3t + 3)j (x). 2 2 Проверим, что найденное решение удовлетворяет поставленной задаче: (B 1 )x1 2 1 2 - 4 2 (3 - x2)j 1 (x1) 2 - 4 1 2 = (x2 - 3)j 1 (x1), 1 2 (B2)x2 2 4 (3 - x2)j- 1 (x1) 1 4 = -3j- 1 (x1), (B 1 )x - (B2)x - 1 (3 - x2)j 1 (x1) = j 1 (x1)x2, 2 1 2 2 1 2 2 - 4 - 4 2 u(0, x2) = 2 (3 - x2), ux1 (0, x2) = 0. Пример 15.3. Рассмотрим задачу t (D2 - (Bγ )x)u(x, t) = θ(t)t2jγ-1 (x), где θ(t) - функция Хевисайда. 2 u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0, Решение этой задачи получим переходом к пределу при k → +0 в I2 θ(t)t2jγ-1 (x). Оно имеет вид t √πjγ-1 (x) r k,γ 2 2 2 1 I - u(x, t) = lim k→+0 2 k,γ 1 θ(t)t2jγ-1 (x) = 2 22 (t τ ) τ 2 J 1 (τ )dτ = 2 0 √πΓ (3) Γ (2) 4 = 3 t 1F2 1; 5 , 3; - t2 jγ-1 (x) = (2(cos t - 1) + t2)jγ-1 (x). 2Γ 2 Γ (5) 2 4 2 2 График u(x, t), продолженной четным образом на отрицательные значения x и t, изображен на рис. 12. Проверяя, имеем: D2 2 t (2(cos t - 1) + t )jγ-1 (x) = -2(cos t - 1)j γ-1 (x), 2 2 (Bγ )x(2(cos t - 1) + t2)jγ-1 (x) = -(2(cos t - 1) + t2)jγ-1 (x), 2 2 t (D2 - (Bγ )x)(2(cos t - 1) + t2)jγ-1 (x) = t2jγ-1 (x), 2 2 u(x, 0) = 0, ut(x, t) = 2(t - sin t), ut(x, 0) = 0. - РИС. 12. u(x, t) = (2(cos t 1) + t2)jγ-1 (x). 2 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Представленные в работе методы, примененные к задачам с оператором Бесселя, могут быть обобщены на случай, когда вместо оператора Бесселя взят какой-либо другой оператор L, для которого может быть построен оператор обобщенного сдвига. Приведем формальные алгоритмы создания инструментов для решения задач с оператором L. Рассмотрим обобщение оператора сдвига, предложенное Ж. Дельсартом (Jean Delsarte) в [197- 200] (см. также [87-90, 109, 246]). x Если f - функция, определенная на вещественной оси, то оператор сдвига Ty, y ∈ R, определяется равенством Ty x f (x) = f (x + y). (15.8) Пусть теперь f ∈ C∞(R). Подход Ж. Дельсарта заключался в нахождении обобщения формулы Тейлора ∞ n Ty \ y d n x f (x) = f (x + y) = n! dx n=0 f (x), (15.9) которая дает разложение оператора сдвига Ty по степеням оператора дифференцирования d . Для x dx yn сдвига (15.8), опираясь на (15.9), Дельсарт сопоставлял функцию ϕn(y) = n! дифференциальному оператору L = d в некотором специальном смысле. А именно, он исходил из того, что решение x dx ϕ(y, λ), y ∈ R, λ ∈ C задачи есть Lyϕ = λϕ, ϕ(0, λ) = 1 (15.10) ϕ(y, λ) = eλy, для каждого вещественного y эта функция является целой функцией λ и ∞ ∞ yn ϕ(y, λ) = \ ϕn(y)λn или eλy = \ n! λn. (15.11) n=0 yn n=0 Функции ϕn(y) = n! , n = 0, 1, 2,... удовлетворяют условиям Lyϕ0 = 0, ϕ0(1) = 1, Lyϕn = ϕn-1, ϕn(0) = 0, n = 1, 2,... C учетом (15.10), Дельcарт обобщает формулу Тейлора (15.9) следующим образом: ∞ Ty x f (x) = \ ϕn(y)(Lx)nf (x), (15.12) n=0 где Lx - некоторый оператор. Очевидно, что поскольку Lyϕ0 = 0 и Lyϕn = ϕn-1, то формально ∞ ∞ ∞ x Ly Tyf (x) = \ Lyϕn(y)(Lx)nf (x) = \ ϕn -1(y)(Lx )nf (x) = \ ϕn (y)(Lx )n+1f (x) = Lx Tyf (x), n=0 n=1 n=0 x то есть Tyf (x) формально удовлетворяет уравнению LxTyf (x) = Ly Tyf (x) (15.13) при начальных условиях Ty x x ∂ y 1 ∂y 1 x f (x)|y=0 = f (x), Tx f (x)1 1y=0 = 0. (15.14) x Операторы Ty Дельсарт назвал операторами обобщенного сдвига и установил для них ряд свойств. Обобщенный сдвиг, соответствующий оператору Бесселя (3.1), является одним из примеров опе- ратора преобразования (см. определение (2.1)). В работе [197] Дельсарт подробно изучает оператор обобщенного сдвига, соответствующий оператору Бесселя ∂2 γ ∂ Lx = (Bγ )x = ∂x2 + x ∂x. Такой обобщенный сдвиг также подробно рассматривается в статье [90]. Таким образом, если для некоторого оператора L и некоторого класса функций может быть построен оператор обобщенного сдвига либо по формуле (15.12), либо как решение задачи (15.13)- (15.14), то, используя этот сдвиг, можно ввести обобщенную свертку, обобщенное сферическое среднее и соответствующие потенциалы и решать задачи с оператором L. Интегральное преобразование FL, удобное для работы с выражениями, содержащими L, стро- ится как интегральный оператор с ядром ϕ, удовлетворяющим уравнению Lϕ = λϕ и условию и подходящей весовой функцией. ϕ(0, λ) = 1 Для использования метода операторов преобразования для решения задач с оператором L можно сконструировать необходимые операторы преобразования композиционным методом (см. [49, 50, 208, 274, 275]). Для решения неоднородных уравнений с оператором L можно построить обобщенный потенци- ал Рисса, порожденный оператором L. Приведем алгоритм построения потенциала, применением которого можно решить уравнение WLu = f, содержащее оператор L, действующий по одной, нескольким или всем переменным, во всем ев- клидовом пространстве или его части. Выберем интегральное преобразование FL, удобное для работы с выражением WL. При этом по тем переменным, по которым действует оператор L, применяется соответствующее ему преобразование FL. Для подходящего класса функций f имеем FLWLf = P FLf, где P - символ оператора WL. Дробная отрицательная степень оператора WL или потенциал Рисса конструируется по фор- муле α W - 2 α 1 - 2 L L f = F- P α FLf. Здесь P - 2 может быть обобщенной функцией, например, порожденной индефинитной квад- ратичной формой. α Интегральное представление полученного потенциала Рисса реализуется в форме обобщен- ной свертки Iαf = (FLP - 2 ∗ f )L. Свертка (·∗ ·)L должна соответствовать выбранному интегральному преобразованию FL. Полученный интеграл Iαf исследуется на абсолютную сходимость для некоторого класса функций f. Находятся значения α, при которых этот интеграл сходится абсолютно. Поми- мо этого могут быть изучены и другие свойства, такие как ограниченность, полугрупповое свойство и др. Выясняются дополнительные условия, которым должна удовлетворять функция f, для того, чтобы выполнялось равенство Iα+k Lf = Iαf для некоторого натурального k (например, k = 2, когда P - квадратичная форма). Конструируя аналитическое продолжение (или обходясь без этого, если возможно), показы- ваем, что при α = 0 потенциал Iαf есть тождественный оператор I0f = f для некоторого класса функций. Используя полученные результаты, легко выписать решение уравнения WLu = f для некоторого класса функций f. Для этого достаточно применить оператор Iα+k к обеим частям уравнения WLu = f : Iα+k WLu = Iαu = Iα+kf. Полагая α = 0, получим u = Ikf. Здесь используется аналитическое продолжение потенциала Iαf, если необходимо. Легко видеть, что, используя эту схему, можно получить решение уравнения W m L u = f, m ∈ N с итерированным оператором WL. Следуя приведенным алгоритмам, можно решать широкий спектр задач с оператором L. Од- нако, чтобы формальные выражения превратились в действующие формулы, требуются строгие доказательства для каждого пункта.

About the authors

E L Shishkina

Voronezh State University

Author for correspondence.
Email: ilina_dico@mail.ru
Voronezh, Russia

References

  1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. - М.: Наука, 1979.
  2. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. - М.: Наука, 1978.
  3. Барабаш О. П., Шишкина Э. Л. Решение общего уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу, содержащее оператор Бесселя по всем переменным// Вестн. Тамбов. ун-та. Сер. Естеств. Техн. науки. - 2016. - № 6. - С. 2146-2151.
  4. Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение. - М.: Мир, 1980.
  5. Березанский Ю. М. Об операторе, порожденном ультрагиперболическим дифференциальным выражением// Укр. мат. ж. - 1959. - 11, № 3. - C. 315-321.
  6. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. - М.: Мир, 1966.
  7. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. - M.: Наука, 1975.
  8. Благовещенский А. С. О некоторых корректных задачах для ультрагиперболического и волнового уравнений с данными на характеристическом конусе// Докл. АН СССР. - 1961. - 140, № 5. - С. 990-993.
  9. Благовещенский А. С. О характеристической задаче для ультрагиперболического уравнения// Мат. сб. - 1964. - 63, № 1. - С. 137-168.
  10. Ватсон Г. И. Теория бесселевых функций. Часть первая. - М.: ИЛ, 1949.
  11. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. Учебн. для физ. и мех.-мат. спец. вузов. - М.: Наука, 1981.
  12. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. - М.: Физматлит, 2004.
  13. Волк В. Я. О формулах обращения для дифференциального уравнения с особенностью при x = 0// Усп. мат. наук. - 1953. - 111, № 4. - С. 141-151.
  14. Воробьева С. А., Глушак А. В. Абстрактное уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу, содержащее степени неограниченного оператора// Дифф. уравн. - 2001. - 37, № 5. - С. 706-709.
  15. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. Учеб. пособие. - М.: Физматлит, 1958.
  16. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. Обобщенные функции. Вып. 3. - М.: Физматлит, 1958.
  17. Глушак А. В. Об одном абстрактном уравнении Эйлера-Пуассона-Дарбу с младшим членом, содержащим особенность// Изв. вузов. Сер. Мат. - 1995. - № 3. - С. 3-7.
  18. Глушак А. В. О возмущении абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу// Мат. заметки. - 1996. - 60, № 3. - С. 363-369.
  19. Глушак А. В. Регулярное и сингулярное возмущения абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона- Дарбу// Мат. заметки. - 1999. - 66, № 3. - С. 364-371.
  20. Глушак А. В. Нелокальная задача для абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу// Изв. вузов. Сер. Мат. - 2016. - № 6. - С. 27-35.
  21. Глушак А. В. Операторная формула сдвига решения задачи Коши для абстрактного уравнения Эйлера- Пуассона-Дарбу// Мат. заметки. - 2019. - 105, № 5. - С. 656-665.
  22. Глушак А. В., Покручин О. А. Критерий разрешимости задачи Коши для абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу// Дифф. уравн. - 2016. - 52, № 1. - С. 41-59.
  23. Глушак А. В., Попова В. А. Обратная задача для абстрактного дифференциального уравнения Эйлера- Пуассона-Дарбу// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2006. - 15. - C. 126-141.
  24. Глушак А. В., Романченко Т. Г. Формулы связи между решениями абстрактных сингулярных дифференциальных уравнений// Научн. ведом. БелГУ. Сер. Мат. Физ. - 2016. - 42, № 6. - С. 36-39.
  25. Гольдман М. Л. Обобщенные ядра дробного порядка// Дифф. уравн. - 1971. - 7, № 12. - С. 2199- 2210.
  26. Гольдман М. Л. Интегральные свойства обобщенных бесселевых потенциалов// Докл. РАН. - 2007. - 414, № 2. - С. 159-164.
  27. Гольдман М. Л. Перестановочно-инвариантные оболочки обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса// Докл. РАН. - 2008. - 423, № 1. - С. 14-18.
  28. Гольдман М. Л. Конус перестановок для обобщенных бесселевых потенциалов// Тр. МИАН. - 2008. - 260. - С. 151-163.
  29. Гольдман М. Л. Оптимальные вложения потенциалов типа Бесселя и Рисса// Докл. РАН. - 2009. - 428, № 3. - С. 305-309.
  30. Гольдман М. Л. Об оптимальных вложениях обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса// Тр. МИАН. - 2010. - 269. - C. 91-111.
  31. Гольдман М. Л., Гусельникова О. М. Оптимальные вложения потенциалов типа Бесселя и типа Рисса. Ч. 1// Вестн. РУДН. Сер. Мат. Информ. Физ. - 2011. - № 3. - С. 4-16.
  32. Гольдман М. Л., Малышева А. В. Об оценке равномерного модуля непрерывности обобщенного потенциала Бесселя// Тр. МИАН. - 2013. - 283. - C. 80-91.
  33. Гордеев А. М. Некоторые краевые задачи для обобщенного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу// Волжский мат. сб. - 1968. - № 6. - C. 56-61.
  34. Дончев Д. С., Ситник С. М., Шишкина Э. Л. Об обобщении биноминальной теоремы, возникающем в теории дифференциальных уравнений// Научн. ведом. БелГУ. Сер. Мат. Физ. - 2017. - 49, № 27. - C. 19-25.
  35. Дончев Д. С., Ситник С. М., Шишкина Э. Л. Об уточнениях неоклассического неравенства и его приложениях в теории стохастических дифференциальных уравнений и броуновского движения// Челябинск. физ.-мат. ж. - 2017. - 2, № 3. - С. 257-265.
  36. Житомирский Я. И. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных производных с дифференциальными операторами типа Бесселя// Мат. сб. - 1955. - 36, № 2. - С. 299-310.
  37. Загорский Г. Я. Смешанные задачи для систем дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа. - Львов: Изд-во Львовского ун-та, 1961.
  38. Ильин В. А. Ядра дробного порядка// Мат. сб. - 1957. - 41, № 4. - С. 459-480.
  39. Йон Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными. - M.: ИЛ, 1958.
  40. Каримов Ш. Т. Многомерный оператор Эрдейи-Кобера и его приложение к решению задачи Коши для трехмерного гиперболического уравнения с сингулярными коэффициентами// Узб. мат. ж. - 2013. - № 1. - C. 70-80.
  41. Каримов Ш. Т. Об одном методе решения задачи Коши для обобщенного уравнения Эйлера- Пуассона-Дарбу// Узб. мат. ж. - 2013. - № 3. - C. 57-69.
  42. Каримов Ш. Т. Решение задачи Коши для многомерного гиперболического уравнения с сингулярными коэффициентами методом дробных интегралов// Докл. АН Респ. Узбекистан. - 2013. - № 1. - C. 11- 13.
  43. Каримов Ш. Т. Решение задачи Коши для трехмерного гиперболического уравнения с сингулярными коэффициентами и со спектральным параметром// Узб. мат. ж. - 2014. - № 2. - C. 55-65.
  44. Каримов Ш. Т. О некоторых обобщениях свойств оператора Эрдейи-Кобера и их приложения// Вестн. КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. - 2017. -№ 2. - C. 20-40.
  45. Каримов Ш. Т. Об одном методе решения задачи Коши для одномерного поливолнового уравнения с сингулярным оператором Бесселя// Изв. вузов. Сер. Мат. - 2017. - № 8. - C. 27-41.
  46. Каримов Ш. Т. Об одном методе решения аналога задачи Коши для поликалорического уравнения с сингулярным оператором Бесселя// Укр. мат. ж. - 2017. - 69, № 10. - C. 1372-1384.
  47. Карп Д. Б., Ситник С. М. Дробное преобразование Ханкеля и его приложения// Тез. докл. Воронежская весенняя математическая школа (17-23 апреля 1996 г.) Современные методы в теории краевых задач. «Понтрягинские чтения-VII». - Воронеж: ВГУ. - 1996. - С. 92.
  48. Катрахов В. В. Общие краевые задачи для одного класса сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений// Мат. сб. - 1980. - 112, № 3. - С. 354-379.
  49. Катрахов В. В., Ситник С. М. Метод факторизации в теории операторов преобразования// В сб.: «Мемориальный сборник памяти Бориса Алексеевича Бубнова: неклассические уравнения и уравнения смешанного типа». - Новосибирск, 1990. - С. 104-122.
  50. Катрахов В. В., Ситник С. М. Композиционный метод построения B-эллиптических, B-параболических и B-гиперболических операторов преобразования// Докл. РАН. - 1994. - 337, № 3. - C. 307-311.
  51. Катрахов В. В., Ситник С. М. Метод операторов преобразования и краевые задачи для сингулярных эллиптических уравнений// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2018. - sl 64, № 2. - C. 211-426.
  52. Киприянов И. А. О краевых задачах для уравнений в частных производных с дифференциальным оператором Бесселя// Докл. АН СССР. - 1964. - 158, № 2. - C. 275-278.
  53. Киприянов И. А. Преобразования Фурье-Бесселя и теоремы вложения для весовых классов// Тр. МИАН. - 1967. - 89. - С. 130-213.
  54. Киприянов И. А. Краевые задачи для сингулярных эллиптических операторов в частных производных// Докл. АН СССР. - 1970. - 195, № 1. - С. 32-35.
  55. Киприянов И. А. Об одном классе сингулярных эллиптических операторов// Дифф. уравн. - 1971. - 7, № 11. - С. 2065-2077.
  56. Киприянов И. А. Об одном классе сингулярных эллиптических уравнений// Сиб. мат. ж. - 1973. - 14, № 3. - С. 560-568.
  57. Киприянов И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. - М.: Физматлит, 1997.
  58. Киприянов И. А., Засорин Ю. В. О фундаментальном решении волнового уравнения с многими особенностями и о принципе Гюйгенса// Дифф. уравн. - 1992. - 28, № 3. - C. 452-462.
  59. Киприянов И. А., Иванов Л. А. О лакунах для некоторых классов уравнений с особенностями// Мат. сб. - 1979. - 110, № 2. - С. 235-250.
  60. Киприянов И. А., Иванов Л. А. Фундаментальные решения для однородных B-гиперболических уравнений// Сиб. мат. ж. - 1980. - 21, № 4. - C. 95-102.
  61. Киприянов И. А., Иванов Л. А. Уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу в римановом пространстве// Докл. АН СССР. - 1981. - 260, № 4. - С. 790-794.
  62. Киприянов И. А., Иванов Л. А. Получение фундаментальных решений для однородных уравнений с особенностями по нескольким переменным// Тр. сем. С. Л. Соболева. - 1983. - № 1. - С. 55-77.
  63. Киприянов И. А., Иванов Л. А. Задача Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в однородном симметрическом римановом пространстве. I.// Тр. МИАН. - 1984. - 170. - С. 139-147.
  64. Киприянов И. А., Иванов Л. А. Задача Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в симметрическом пространстве// Мат. сб. - 1984. - 124, № 1. - С. 45-55.
  65. Киприянов И. А., Иванов Л. А. Потенциалы Рисса на пространствах Лоренца// Мат. сб. - 1986. - 130, № 4. - C. 465-474.
  66. Киприянов И. А., Иванов Л. А. К теории потенциалов Рисса на пространствах Лоренца// Тр. МИАН. - 1987. - 180. - С. 134-135.
  67. Киприянов И. А., Иванов Л. А. Представление Даламбера и равнораспределение энергии// Дифф. уравн. - 1990. - 26, № 3. - С. 458-464.
  68. Киприянов И. А., Катрахов В. В. Об одном классе многомерных сингулярных псевдодифференциальных операторов// Мат. сб. - 1977. - 104, № 1. - С. 49-68.
  69. Киприянов И. А., Катрахов В. В. Краевая задача для эллиптических уравнений второго порядка при наличии особенностей в изолированных граничных точках// Докл. АН СССР. - 1984. - 276, № 2. - С. 274-276.
  70. Киприянов И. А., Катрахов В. В. Об одной сингулярной эллиптической краевой задаче в областях на сфере// Препринт ИПМ ДВО РАН. - 1989.
  71. Киприянов И. А., Катрахов В. В. Сингулярные краевые задачи для некоторых эллиптических уравнений высших порядков// Препринт ИПМ ДВО РАН. - 1989.
  72. Киприянов И. А., Катрахов В. В. Об одной краевой задаче для эллиптических уравнений второго порядка в областях на сфере// Докл. АН СССР. - 1990. - 313, № 3. - С. 545-548.
  73. Киприянов И. А., Ключанцев М. И. О ядрах Пуассона для краевых задач с дифференциальным оператором Бесселя// В сб.: «Дифференциальные уравнения с частными производными». - М., 1970. - C. 119-134.
  74. Киприянов И. А., Кононенко В. И. О фундаментальных решениях уравнений в частных производных с дифференциальным оператором Бесселя// Докл. АН СССР. - 1966. - 170, № 2. - С. 261-264.
  75. Киприянов И. А., Кононенко В. И. Фундаментальные решения B-эллиптических уравнений// Дифф. уравн. - 1967. - 3, № 1. - C. 114-129.
  76. Киприянов И. А., Кононенко В. И. О фундаментальных решениях некоторых сингулярных уравнений в частных производных// Дифф. уравн. - 1969. - 5, № 8. - C. 1470-1483.
  77. Киприянов И. А., Куликов А. А. Фундаментальные решения B-гипоэллиптических уравнений// Дифф. уравн. - 1991. - 27, № 8. - C. 1387-1395.
  78. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1981.
  79. Костомаров Д. П. Задачи Коши для ультрагиперболических уравнений. - М.: Наука, 2003.
  80. Кравченко В. В., Шишкина Э. Л., Торба С. Н. О представлении в виде ряда интегральных ядер операторов преобразования для возмущенных уравнений Бесселя// Мат. заметки. - 2018. - 104, № 4. - C. 552-570.
  81. Кратцер А., Франц В. Трансцендентные функции. - М.: ИЛ, 1963.
  82. Кудрявцев Л. Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений// Тр. МИАН. - 1959. - 55. - C. 3-182.
  83. Кузьмин А. Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их применения в газовой динамике. - Л.: ЛГУ, 1990.
  84. Курант Р. Уравнения с частными производными. - М.: Мир, 1979.
  85. Курант Р., Гильберт Д. Уравнения математической физики. Т. 1. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1933.
  86. Курант Р., Гильберт Д. Уравнения математической физики. Т. 2. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1945.
  87. Левитан Б. М. Некоторые вопросы теории почти периодических функций. I// Усп. мат. наук. - 1947. - 2, № 21. - С. 133-192.
  88. Левитан Б. М. Некоторые вопросы теории почти периодических функций. II// Усп. мат. наук. - 1947. - 2, № 22. - С. 174-214.
  89. Левитан Б. М. Применение операторов обобщенного сдвига к линейным дифференциальным уравнениям второго порядка// Усп. мат. наук. - 1949. - 4, № 29. - С. 3-112.
  90. Левитан Б. М. Разложения по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье// Усп. мат. наук. - 1951. - 6, № 2. - С. 102-143.
  91. Лизоркин П. И. Неизотропные бесселевы потенциалы. Теоремы вложения для пространства Соболева Lp(r1,.., rn) с дробными производными// Докл. АН СССР. - 1966. - 170, № 3. - С. 508-511.
  92. Лизоркин П. И. Поведение функций из лиувиллевских классов на бесконечности. О риссовых потенциалах произвольного порядка// Тр. МИАН. - 1979. - 150. - C. 174-197.
  93. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с сильным вырождением (случай обобщенных решений)// Докл. АН СССР. - 1981. - 259, № 1. - С. 28-30.
  94. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Эллиптическое уравнение с вырождением. Вариационный метод// Докл. АН СССР. - 1981. - 257, № 1. - С. 42-45.
  95. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Эллиптические уравнения с вырождением. Дифференциальные свойства решений// Докл. АН СССР. - 1981. - 257, № 2. - С. 278-282.
  96. Ляхов Л. Н. Об одном классе гиперсингулярных интегралов// Докл. АН СССР. - 1990. - 315, № 2. - С. 291-296
  97. Ляхов Л. Н. Обращение B-потенциалов// Докл. АН СССР. - 1991. - 321, № 3. - C. 466-469.
  98. Ляхов Л. Н. Пространства B-потенциалов Рисса// Докл. АН СССР. - 1994. - 334, № 3. - С. 278-280.
  99. Ляхов Л. Н. Описание пространства B-потенциалов Рисса U γ (Lγ ) с помощью B-производных порядка α p 2[α/2]// Докл. РАН. - 1995. - 341, № 2. - С. 161-165.
  100. Ляхов Л. Н. О символе интегрального оператора типа B-потенциала с однократной характеристикой// Докл. РАН. - 1996. - 351, № 2. - С. 164-168.
  101. Ляхов Л. Н. Весовые сферические функции и потенциалы Рисса, порожденные обобщенным сдвигом. - Воронеж: ВГТА, 1997.
  102. Ляхов Л. Н. Мультипликаторы смешанного преобразования Фурье-Бесселя// Тр. МИАН. - 1997. - 214. - C. 234-249.
  103. Ляхов Л. Н. B-гиперсингулярные интегралы и их приложения к описанию функциональных классов Киприянова и к интегральным уравнениям с B-потенциальными ядрами. - Липецк: ЛГПУ, 2007.
  104. Ляхов Л. Н., Половинкин И. П., Шишкина Э. Л. Об одной задаче И. А. Киприянова для сингулярного ультрагиперболического уравнения// Дифф. уравн. - 2014. - 50, № 4. - С. 516-528.
  105. Ляхов Л. Н., Половинкин И. П., Шишкина Э. Л. Формулы решения задачи Коши для сингулярного волнового уравнения с оператором Бесселя по времени// Докл. РАН. - 2014. - 459, № 5. - С. 533- 538.
  106. Ляхов Л. Н., Шишкина Э. Л. Обобщенные B-потенциалы Рисса смешанного типа// Докл. РАН. - 2006. - 406, № 3. - C. 303-307.
  107. Ляхов Л. Н., Шишкина Э. Л. Общие B-гиперсингулярные интегралы с однородной характеристикой// Докл. РАН. - 2007. - 412, № 2. - C. 162-166.
  108. Ляхов Л. Н., Шишкина Э. Л. Обращение общих B-потенциалов Рисса с однородной характеристикой в весовых пространствах// Докл. РАН. - 2009. - 426, № 4. - C. 443-447.
  109. Марченко В. А. Обобщенный сдвиг, операторы преобразования и обратные задачи// В сб.: «Математические события ХХ века». - М.: Фазис, 2003. - C. 209-226.
  110. Матiйчук М. I. Параболiчнi сингулярнi крайовi задачi. - Ки¨ıв: Iн-т математики НАН Укра¨ıни, 1999.
  111. Матiйчук М. I. Параболiчнi та елiптичнi крайовi задачi з особливостями. - Чернiвцi: Прут, 2003.
  112. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. - М.: ИЛ, 1961.
  113. Муравник А. Б. Функционально-дифференциальные параболические уравнения: интегральные представления и качественные свойства решений задачи Коши// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2014. - 52. - С. 3-141.
  114. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. - М.: Наука, 1977.
  115. Никольский С. М., Лизоркин П. И. О некоторых неравенствах для функций из весовых классов и краевых задачах с сильным вырождением на границе// Докл. АН СССР. - 1964. - 159, № 3. - С. 512- 515.
  116. Ногин В. А., Сухинин Е. В. Обращение и описание гиперболических потенциалов с Lp-плотностями// Деп. в ВИНИТИ. - Москва, 1992. - № 2512-92.
  117. Ногин В. А., Сухинин Е. В. Обращение и описание гиперболических потенциалов с Lp-плотностями// Докл. РАН. - 1993. - 329, № 5. - С. 550-552.
  118. Ногин В. А., Шевченко К. С. Обращение некоторых потенциалов Рисса с осциллирующими характеристиками в неэллиптическом случае// Изв. вузов. Сер. Мат. - 1999. - № 10. - C. 77-80.
  119. Олевский М. Н. Решение задачи Дирихле, относящейся к уравнению Δu + p ∂u = ρ для полусферической области// Докл. АН СССР. - 1949. - 64, № 6. - С. 767-770.
  120. Платонов С. С. Обобщенные сдвиги Бесселя и некоторые задачи теории приближения функций в метрике L2. 1// Тр. ПетрГУ. Сер. Мат. - 2000. - 7. - С. 70-82.
  121. Платонов С. С. Обобщенные сдвиги Бесселя и некоторые задачи теории приближения функций в метрике L2. 2// Тр. ПетрГУ. Сер. Мат. - 2001. - 8. - С. 20-36.
  122. Платонов С. С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой// Изв. РАН. Сер. Мат. - 2007. - 71, № 5. - С. 149-196.
  123. Платонов С. С. Обобщенные сдвиги Бесселя и некоторые обратные теоремы теории приближения функций на полупрямой// Тр. ПетрГУ. Сер. Мат. - 2007. - 14. - C. 44-57.
  124. Платонов С. С. Обобщенные сдвиги Бесселя и некоторые задачи теории приближений функций на полупрямой// Сиб. мат. ж. - 2009. - 50, № 1. - С. 154-174.
  125. Половинкин И. П. Теоремы о среднем для волновых уравнений и уравнений Эйлера-Пуассона- Дарбу// Дис. канд. физ.-мат. наук. - Воронеж, 1992.
  126. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Т. 1. Элементарные функции. - М.: Наука, 1981.
  127. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Т. 2. Специальные функции. - М.: Наука, 1983.
  128. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Т. 3. Специальные функции. Дополнительные главы. - М.: Наука, 2003. p
  129. Пулькин С. П. Некоторые краевые задачи для уравнения uxx ± uyy + xux// Уч. зап. Куйбышев. пед. ин-та. - 1958. - 21.- С. 3-54.
  130. Пулькин С. П. Избранные труды. - Самара: Универс групп, 2007.
  131. Риман Б. О распространении плоских волн конечной амплитуды// В сб. «Сочинения». - М.-Л.: ОГИЗ, 1948. - C. 376-395.
  132. Сабитов К. Б., Ильясов Р. Р. Решение задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом спектральным методом// Изв. вузов. Сер. Мат. - 2004. - № 2. - С. 64-71.
  133. Самко С. Г. Об основных функциях, исчезающих на заданном множестве, и о делении на функции// Мат. заметки. - 1977. - 21, № 5. - C. 677-689.
  134. Самко С. Г. О плотности в Lp(Rn) пространств ΦV типа Лизоркина// Мат. заметки. - 1982. - 31, № 6. - C. 855-865.
  135. Самко С. Г. О плотности пространств ΦV типа Лизоркина в пространствах Lp(Rn) со смешанной нормой// Докл. РАН. - 1991. - 319, № 3. - С. 567-569.
  136. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. - Минск: Наука и техника, 1987.
  137. Ситник С. М. Об унитарных операторах преобразования// Деп. в ВИНИТИ. - Воронеж: ВГУ, 1986. - 13.11.1986, № 7770-В86.
  138. Ситник С. М. О скорости убывания решений некоторых эллиптических и ультраэллиптических уравнений// Деп. в ВИНИТИ. - Воронеж: ВГУ, 1986. - 13.11.1986, № 7771-В86.
  139. Ситник С. М. Операторы преобразования для дифференциального выражения Бесселя// Деп. в ВИНИТИ. - Воронеж: ВГУ, 1986. - 23.01.1987, № 535-В87.
  140. Ситник С. М. Об одной паре операторов преобразования// В сб.: «Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики». - Новосибирск, 1987. - С. 168-173.
  141. Ситник С. М. О скорости убывания решений некоторых эллиптических и ультраэллиптических уравнений// Дифф. уравн. - 1988. - 24, № 3. - С. 538-539.
  142. Ситник С. М. Операторы преобразования для сингулярных дифференциальных уравнений с оператором Бесселя// В сб.: «Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики». - Новосибирск, 1989. - С. 179-185.
  143. Ситник С. М. Унитарность и ограниченность операторов Бушмана-Эрдейи нулевого порядка гладкости// Препринт Ин-та автомат. и проц. управл. ДВО РАН. - Владивосток, 1990.
  144. Ситник С. М. Факторизация и оценки норм в весовых лебеговых пространствах операторов Бушмана- Эрдейи// Докл. АН СССР. - 1991. - 320, № 6. - С. 1326-1330.
  145. Ситник С. М. Оператор преобразования и представление Йоста для уравнения с сингулярным потенциалом// Препринт Ин-та автом. и проц. управл. ДВО РАН. - Владивосток, 1993.
  146. Ситник С. М. Неравенства для полных эллиптических интегралов Лежандра// Препринт Ин-та автом. и проц. управл. ДВО РАН. - Владивосток, 1994.
  147. Ситник С. М. Неравенства для функций Бесселя// Докл. РАН. - 1995. - 340, № 1. - С. 29-32.
  148. Ситник С. М. Обобщения неравенств Коши-Буняковского методом средних значений и их приложения// Чернозем. альманах науч. иссл. Сер. Фундам. мат. - 2005. - № 1. - C. 3-42.
  149. Ситник С. М. Метод факторизации операторов преобразования в теории дифференциальных уравнений// Вестн. Самар. гос. ун-та. Естественнонауч. сер. - 2008. - № 8/1 (67). - С. 237-248.
  150. Ситник С. М. Операторы преобразования и их приложения// В сб.: «Исследования по современному анализу и математическому моделированию». - Владикавказ: Владикавказ. науч. центр РАН и РСО-А, 2008. - C. 226-293.
  151. Ситник С. М. Уточнения и обобщения классических неравенств// В сб.: «Итоги науки. Южный федеральный округ. Сер. Мат. форум. Т. 3. Исследования по математическому анализу». - Владикавказ: Южн. мат. ин-т ВНЦ РАН и РСО Алания, 2009. - С. 221-266.
  152. Ситник С. М. О представлении в интегральном виде решений одного дифференциального уравнения с особенностями в коэффициентах// Владикавказ. мат. ж. - 2010. - 12, № 4. - С. 73-78.
  153. Ситник С. М. Оператор преобразования специального вида для дифференциального оператора с сингулярным в нуле потенциалом// В сб.: «Неклассические уравнения математической физики». - Новосибирск: Ин-т мат. им. С. Л. Соболева СО РАН, 2010. - С. 264-278.
  154. Ситник С. М. О явных реализациях дробных степеней дифференциального оператора Бесселя и их приложениях к дифференциальным уравнениям// Докл. Адыгск. (Черкесск.) Межд. акад. наук. - 2010. - 12, № 2. - С. 69-75.
  155. Ситник С. М. Обзор основных свойств операторов преобразования Бушмана-Эрдейи// Челябинск. физ.-мат. ж. - 2016. - 1, № 4. - С. 63-93.
  156. Ситник С. М. Применение операторов преобразования Бушмана-Эрдейи и их обобщений в теории дифференциальных уравнений с особенностями в коэффициентах// Дисс. д.ф.-м.н. - Воронеж, 2016.
  157. Ситник С. М., Карп Д. Б. Формулы композиций для интегральных преобразований с функциями Бесселя в ядрах// Препринт Ин-та автомат. и проц. управл. ДВО РАН. - Владивосток, 1993.
  158. Ситник С. М., Карп Д. Б. Дробное преобразование Ханкеля и его приложения в математической физике// Препринт. Ин-та автомат. и проц. управл. ДВО РАН. - Владивосток, 1994.
  159. Ситник С. М., Ляховецкий Г. В. Формулы композиций для операторов Бушмана-Эрдейи// Препринт. Ин-та автомат. и проц. управл. ДВО РАН. - Владивосток, 1991.
  160. Ситник С. М., Ляховецкий Г. В. Операторы преобразования Векуа-Эрдейи-Лаундеса// Препринт. Ин-та автомат. и проц. управл. ДВО РАН. - Владивосток, 1994.
  161. Ситник С. М., Шишкина Э. Л. Об одном тождестве для итерированного весового сферического среднего и его приложениях// Сиб. электрон. мат. изв. - 2016. - 13. - С. 849-860.
  162. Ситник С. М., Шишкина Э. Л. Метод операторов преобразования для дифференциальных уравнений с операторами Бесселя. - М.: Физматлит, 2018.
  163. Ситник С. М., Шишкина Э. Л. О дробных степенях оператора Бесселя на полуоси// Сиб. электрон. мат. изв. - 2018. - 15.- С. 1-10.
  164. Скубачевский А. Л. Неклассические краевые задачи. I// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2007. - 26. - С. 3-132.
  165. Скубачевский А. Л. Неклассические краевые задачи. II// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2009. - 33. - С. 3-179.
  166. Смирнов М. М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. - Минск: Вышэйш. школа, 1977.
  167. Сташевская В. В. Метод операторов преобразования// Докл. АН СССР. - 1953. - 113, № 3. - С. 409-412.
  168. Сташевская В. В. Об обратной задаче спектрального анализа для дифференциального оператора с особенностью в нуле// Уч. зап. Харьков. мат. об-ва. - 1957. - № 5. - С. 49-86.
  169. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. - M.: Мир, 1973.
  170. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. - М.: Мир, 1974.
  171. Терсенов С. А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе. - Новосибирск: НГУ, 1973.
  172. Хайруллин Р. С. К теории уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу// Изв. вузов. Мат. - 1993. - № 11. - C. 69-76.
  173. Хе Кан Чер Смешанная задача для обобщенного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в исключительном случае// Мат. заметки. - 1986. - 40, № 1. - C. 87-92.
  174. Хе Кан Чер О явных формулах решения задач Дарбу и Коши-Гурса для вырождающегося гиперболического уравнения// Сиб. мат. ж. - 1999. - 40, № 3. - C. 710-717.
  175. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. 1. Теория распределений. - М.: Мир, 1986.
  176. Чернышев Г. Л. О задаче Коши с сингулярным гиперболическим оператором// Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. - Воронеж: ВГУ, 1973.
  177. Шишкина Э. Л. Обобщенная весовая функция rγ // Вестн. ВГУ. Cер. Физ. Мат. - 2006. - № 1. - С. 215-221.
  178. Шишкина Э. Л. Равенство для интерированных весовых сферических средних, порожденных обобщенным сдвигом// Материалы науч. конф. «Герценовские чтения-2013». - СПб: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2013. - 66. - C. 143-145.
  179. Шишкина Э. Л. Интегральное представление ядра оператора, аппроксимирующего обратный оператор для гиперболического B-потенциала Рисса// Вестн. Тамбов. ун-та. Сер. Естеств. и техн. наук. - 2016. - № 2. - С. 450-458.
  180. Шишкина Э. Л. О свойствах одного усредняющего ядра в весовом классе Лебега// Науч. ведом. Белгород. гос. ун-та. Сер. Мат. Физ. - 2016. - 42, № 6. - С. 12-19.
  181. Шишкина Э. Л. Весовые обобщенные функции, отвечающие квадратичной форме с комплексными коэффициентами// Челябинск. физ.-мат. ж. - 2017. - 2, № 1. - С. 88-98.
  182. Шишкина Э. Л. Дробное уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу и случайные блуждания// Тезисы докл. Второй международной конференции по стохастическим методам. - 2017. - 62, № 4. - C. 837-838.
  183. Шишкина Э. Л. Метод композиционных интегральных преобразований для сингулярных дифференциальных уравнений с оператором Бесселя и его дробными степенями// Дис. докт. физ.-мат. наук. - Москва, 2019.
  184. Asgeirsson L. Uber eine Mittelwertseigenschaft von Losungen homogener linearer partieller Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten// Math. Ann. - 1937. - C. 321-346.
  185. Baker B. B., Copson E. T. The Mathematical Theory of Huygens’ Principle. - New York: Oxford University Press, 1939.
  186. Baleanu D., Diethelm K., Scalas E., Trujillo J. J. Fractional calculus: models and numerical methods. - Jersey-London-Singapore, etc.: World Scientific, 2012.
  187. Bessel F. W. Untersuchung des Teils der planetarischen St orungen, welcher aus der Bewegung der Sonne entsteht// Abhandlungen der Berliner Akademie. - 1824. - С. 1-52.
  188. Bresters D. W. On the equation of Euler-Poisson-Darboux// SIAM J. Math. Anal. - 1973. - 4, № 1. - C. 31-41.
  189. Bresters D. W. On a generalized Euler-Poisson-Darboux equation// SIAM J. Math. Anal. - 1978. - 9, № 5. - C. 924-934.
  190. Campos H., Kravchenko V. V., Torba S. M. Transmutations, L-bases and complete families of solutions of the stationary Schro¨dinger equation in the plane// J. Math. Anal. Appl. - 2012. - 389, № 2. - С. 1222- 1238.
  191. Carroll R. W. Transmutation and operator differential equations. - Amsterdam-New York-Oxford: North Holland, 1979.
  192. Carroll R. W., Showalter R. E. Singular and degenerate Cauchy problems. - N. Y.: Academic Press, 1976.
  193. Castillo-Pe´rez R., Kravchenko V. V., Torba S. M. Spectral parameter power series for perturbed Bessel equations// Appl. Math. Comput. - 2013. - 220. - C. 676-694.
  194. Copson E. T. Some applications of Marcel Riesz’s integrals of fractional order// Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. - 1943. - 61. - C. 260-272.
  195. Craig W., Weinstein S. On determinism and well-posedness in multiple time dimensions// Proc. R. Soc. Lond. Ser. A. Math. Phys. Eng. Sci. - 2009. - 465, № 2110. - C. 3023-3046.
  196. Darboux G. Lec¸ons sur la the´orie ge´ne´rale des surfaces et les applications ge´ome´triques du calcul infinite´simal. Vol. 2. - Paris: Gauthier-Villars, 1915.
  197. Delsarte J. Sur une extension de la formule de Taylor// J. Math. Pures Appl. - 1938. - 17. - С. 217-230.
  198. Delsarte J. Une extension nouvelle de la theorie des fonctions presque-periodiques de Bohr// Acta Math. - 1938. - 69. - C. 259-317.
  199. Delsarte J. Hypergroupes et operateurs de permutation et de transmutation// Colloques Internat. Centre Nat. Rech. Sci. - 1956. - 71. - C. 29-45.
  200. Delsarte J., Lions J.-L. Transmutations d’operateurs differentiels dans le domaine complexe// C. R. Acad. Sci. Paris. - 1957. - 244. - C. 832-834.
  201. Dimovski I. Foundations of operational calculi for the Bessel-type differential operators// Serdica. - 1975. - 1, № 1. - C. 51-63.
  202. Dimovski I., Kiryakova V. Transmutations, convolutions and fractional powers of Bessel-type operators via Meijer’s G-function// Proc. Int. Conf. Complex Anal. and Appl., Varna, 1983. - Sofia, 1985. - C. 45-66.
  203. Dimovski I., Kiryakova V. The Obrechkoff integral transform: properties and relation to a generalized fractional calculus// Numer. Funct. Anal. Optim. - 2007. - 21, № 1-2. - C. 121-144.
  204. Elouadih S., Daher R. Generalization of Titchmarsh’s theorem for the Dunkl transform in the space Lp(Rd, ωl(x)dx)// Int. J. Math. Model. Comput. - 2016. - 6, № 4. - C. 261-267.
  205. Euler L. Tentamen de sono campanarum// Novi Comm. Acad. Petrop. - 1764. - X. - С. 261.
  206. Euler L. Institutiones calculi integralis// Opera Omnia. - 1914. - 1, № 13. - C. 212-230.
  207. Exton H. On the system of partial differential equations associated with Appell’s function F4// J. Phys. A. Math. Gen. - 1995. - 28. - C. 631-641.
  208. Fitouhi A., Jebabli I., Shishkina E., Sitnik S. M. Applications of integral transforms composition method to wave-type singular differential equations and index shift transmutations// Electron. J. Differ. Equ. - 2018. - 2018, № 130. - C. 1-27.
  209. Fourier J. The´orie analytique de la chaleur. - Paris: Firmin Didot, 1822.
  210. Fox D. N. The solution and Huygens’ principle for a singular Cauchy problem// J. Math. Mech. - 1959. - 8. - C. 197-219.
  211. Gadjiev A. D., Guliyev V. S., Serbetci A., Guliyev E. V. The Stein-Weiss type inequalities for the B-Riesz potentials// J. Math. Inequal. - 2011. - 5, № 1. - C. 87-106.
  212. Guliev V. S. Sobolev theorems for B-Riesz potentials// Dokl. Math. - 1998. - 57, № 1. - C. 72-73.
  213. Guliev V. S. Some properties of the anisotropic Riesz-Bessel potential// Anal. Math. - 2000. - 26, № 2. - С. 99-118.
  214. Guliev V. S. On maximal function and fractional integral, associated with the Bessel differential operator// Math. Inequal. Appl. - 2003. - 6, № 2. - C. 317-330.
  215. Guliev V. S. Weighted inequality for fractional maximal functions and fractional integrals, associated with the Laplace-Bessel differential operator// Trans. Natl. Acad. Sci. Azerb. Ser. Phys.-Tech. Math. Sci. - 2006. - 26, № 1. - C. 71-80.
  216. Guliev V. S., Hasanov J. J. Sobolev-Morrey type inequality for Riesz potentials, associated with the Laplace-Bessel differential operator// Fract. Calc. Appl. Anal. - 2006. - 9, № 1. - C. 17-32.
  217. Guliev V. S., Miloud A. On maximal function on the Laguerre hypergroup// Fract. Calc. Appl. Anal. - 2006. - 9, № 3. - C. 1-12.
  218. Hamma M. E., Daher R. Estimate of K-functionals and modulus of smoothness constructed by generalized spherical mean operator// Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci. - 2014. - 124, № 2. - С. 235-242.
  219. Helgason S. Groups and geometric analysis. Integral geometry, invariant differential operators, and spherical functions. - Orlando etc.: Academic Press, 1984.
  220. Ho¨rmander L. The analysis of linear partial differential operators, I-II. - Berlin: Springer, 1983.
  221. Jager E. M. Applications of distributions in mathematical physics. - Amsterdam: Mathematisch Centrum, 1964.
  222. John А. The Ultrahyperbolic differential equation with four independent variables// Duke Math. J. - 1938. - 4, № 2. - C. 300-322.
  223. Karimov S. T. Multidimensional generalized Erde´lyi-Kober operator and its application to solving Cauchy problems for differential equations with singular coefficients// Fract. Calc. Appl. Anal. - 2015. - 18, № 4. - C. 845-861.
  224. Karimov S. T. On some generalizations of properties of the Lowndes operator and their applications to partial differential equations of high order// Filomat. - 2018. - 32, № 3. - C. 873-883.
  225. Karoui I. On the Bessel-Wright harmonic analysis// PhD Thesis. - Universite´ de Carthage, 2017.
  226. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and applications of fractional differential equations. - Amsterdam, etc.: Elsevier, 2006.
  227. Kiryakova V. Applications of the generalized Poisson transformation for solving hyper-Bessel differential equations// Godishnik VUZ. Appl. Math. - 1986. - 22, № 4. - С. 129-140.
  228. Kiryakova V. Generalized fractional calculus and applications. - Harlow: Longman, 1994.
  229. Kiryakova V. Transmutation method for solving hyper-Bessel differential equations based on the Poisson- Dimovski transformation// Fract. Calc. Appl. Anal. - 2008. - 11, № 3. - C. 299-316.
  230. Kiryakova V., Al-Saqabi B. Explicit solutions to hyper-Bessel integral equations of second kind// Comput. Math. Appl. - 1999. - 37.- C. 75-86.
  231. Kravchenko V. V. Applied pseudoanalytic function theory. - Basel: Birkha¨user, 2009.
  232. Kravchenko V. V. Construction of a transmutation for the one-dimensional Schro¨dinger operator and a representation for solutions// Appl. Math. Comput. - 2018. - 328. - С. 75-81.
  233. Kravchenko V. V., Navarro L. J., Torba S. M. Representation of solutions to the one-dimensional Schro¨dinger equation in terms of Neumann series of Bessel functions// Appl. Math. Comput. - 2017. - 314, № 1. - С. 173-192.
  234. Kravchenko V. V., Otero J. A., Torba S. M. Analytic approximation of solutions of parabolic partial differential equations with variable coefficients// Adv. Math. Phys. - 2017. - 2017. - 2947275.
  235. Kravchenko V. V., Torba S. M. Transmutations for Darboux transformed operators with applications// J. Phys. A. Math. Theor. - 2012. - 45, № 7. - 075201.
  236. Kravchenko V. V., Torba S. M. Analytic approximation of transmutation operators and applications to highly accurate solution of spectral problems// J. Comput. Appl. Math. - 2015. - 275. - С. 1-26.
  237. Kravchenko V. V., Torba S. M. Construction of transmutation operators and hyperbolic pseudoanalytic functions// Complex Anal. Oper. Theory. - 2015. - 9, № 2. - С. 379-429.
  238. Kravchenko V. V., Torba S. M. Asymptotics with respect to the spectral parameter and Neumann series of Bessel functions for solutions of the one-dimensional Schro¨dinger equation// J. Math. Phys. - 2017. - 58, № 12. - 122107.
  239. Kravchenko V. V., Torba S. M., Khmelnytskaya K. V. Transmutation operators: construction and applications// Proc. 17th Int. Conf. on Comput. and Math. Methods in Sci. and Engin., Cadiz, Andalucia, Espan˜ a, Jul. 4-8, 2017. - C. 1198-1206.
  240. Kravchenko V. V., Torba S. M. A Neumann series of Bessel functions representation for solutions of Sturm-Liouville equations// Calcolo. - 55, № 11. - 11.
  241. Kravchenko V. V., Torba S. M., Castillo-Pe´rez R. A Neumann series of Bessel functions representation for solutions of perturbed Bessel equations// Appl. Anal. - 2018. - 97, № 5. - С. 677-704.
  242. Lagrange J. L. Sur le proble`me de Ke´pler// Me´m. l’Acade´mie R. Sci. Bell.-Lett. Berlin. - 1771. - XXV.- C. 113-138.
  243. Lyakhov L. N., Polovinkina M. V., Shishkina E. L. Accompanying distributions of singular differential operators// J. Math. Sci. - 2016. - 219, № 2. - C. 184-189.
  244. Lyakhov L. N., Shishkina E. L. Inversion of general Riesz B-potentials// Proc. Int. Conf. Analytic methods of analysis and differential equations, AMADE 2012. - Cottenham: Cambridge Scientific Publishers, 2013. - C. 115-126.
  245. Lyakhov L. N., Shishkina E. L. Weighted mixed spherical means and singular ultrahyperbolic equation// Analysis (Munich). - 2016. - 36, № 2. - C. 65-70.
  246. McGregor J. L. Generalized translation operators// PhD Thesis. - Pasadena: California Institute of Technology, 1954.
  247. Muravnik A. B. On weighted norm estimates for the mixed Fourier-Bessel transforms on non-negative functions// В сб.: «Integral methods in science and engineering. Vol. 1. Analytic methods». - Harlow: Longman, 1997. - С. 119-123.
  248. Muravnik A. B. Fourier-Bessel transformation of measures and singular differential operators// В сб.: «Paul Erdo˝s and his mathematics». - Budapest: Ja´nos Bolyai Math. Soc., 1999. - С. 182-184.
  249. Nikolayev D. I., Schaeben H. Characteristics of the ultrahyperbolic differential equation governing pole density functions// Inverse Problems. - 1999. - 15. - C. 1603-1619.
  250. Obrechkoff N. On certain integral representation of real functions on the real semi-axis// Izvestia Mat. Inst. Sofia. - 1958. - 3.- C. 2-28.
  251. Ortigueira M. D. Fractional calculus for scientists and engineers. - Dordrecht: Springer, 2011.
  252. Owens O. G. Uniqueness of solutions of ultrahyperbolic partial differential equations// Am. J. Math. - 1947. - 69, № 1. - C. 184-188.
  253. Owens O. G. An ultrahyperbolic equation with an integral condition// Am. J. Math. - 1960. - 82, № 4. - C. 799-811.
  254. Poisson S. D. Me´moire sur l’inte´gration des e´quations line´aires aux diffe´rences partielles// J. E´ c. Roy. Polytech. Ser. 1. - 1823. - 19, № 12. - C. 215-248.
  255. Radzikowski J. On the uniqueness of the limit problem for the ultrahyperbolic equation// Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astr. Phys. - 1960. - 8, № 4. - C. 203-207.
  256. Riesz M. Inte´grale de Riemann-Liouville et solution invariantive du proble´me de Cauchy pour l’e´quation de sondes// Comptes Rendus du Congres International des Mathematiciens. - 1936. - 2. - C. 44-45.
  257. Riesz M. L’inte´grale de Riemann-Liouville et le probleme de Cauchy// Acta Math. - 1949. - 81, № 1-2. - C. 1-223.
  258. Rubin B. Fractional integrals and potentials. - Harlow: Addison Wesley Longman, 1996.
  259. Sajgˇlam A., Yıldırım H., Sarıkaya M. Z. On the product of the ultra-hyperbolic Bessel operator related to the elastic waves// Selc¸uk J. Appl. Math. - 2009. - 10, № 1. - C. 85-93.
  260. Sarıkaya M. Z., Yıldırım H., Akin O¨. On generalized Riesz type potential with Lorentz distance// Lobachevskii J. Math. - 2008. - 28. - С. 24-31.
  261. Schwartz L. The´orie des distributions. - Paris: Hermann, 1966.
  262. Shishkina E. L. Inversion of integral of B-potential type with density from Φγ // J. Math. Sci. - 2009. - 160, № 1. - С. 95-102.
  263. Shishkina E. L. On the boundedness of hyperbolic Riesz B-potential// Lith. Math. J. - 2016. - 56, № 4. - С. 540-551.
  264. Shishkina E. L. On weighted generalized functions associated with quadratic forms// Probl. Anal. Issues Anal.- 2016.- 5, № 2. - C. 52-68.
  265. Shishkina E. L. Inversion of the mixed Riesz hyperbolic B-potentials// Int. J. Appl. Math. - 2017. - 30, № 6. - C. 487-500.
  266. Shishkina E. L. Generalized Euler-Poisson-Darboux equation and singular Klein-Gordon equation// J. Phys. Conf. Ser. - 2018. - 973.- С. 1-21.
  267. Shishkina E. L. Properties of mixed hyperbolic B-potential// Progr. Fract. Differ. Appl. - 2018. - 4, № 2. - C. 83-98.
  268. Shishkina E. L. Singular Cauchy problem for the general Euler-Poisson-Darboux equation// Open Math. J. - 2018. - 16. - C. 23-31.
  269. Shishkina E. L. Solution of the singular Cauchy problem for a general inhomogeneous Euler-Poisson- Darboux equation// Carpathian J. Math. - 2018. - 34, № 2. - C. 255-267.
  270. Shishkina E. L., Abbas S. Method of Riesz potentials applied to solution to nonhomogeneous singular wave equations// Мат. заметки СВФУ. - 2018. - 25, № 3. - C. 68-91.
  271. Shishkina E. L., Karabacak M. Singular Cauchy problem for generalized homogeneous Euler-Poisson- Darboux equation// Мат. заметки СВФУ. - 2018. - 25, № 2. - C. 85-96.
  272. Shishkina E. L., Sitnik S. M. General form of the Euler-Poisson-Darboux equation and application of the transmutation method// Electron. J. Differ. Equ. - 2017. - 177. - С. 1-20.
  273. Shishkina E. L., Sitnik S. M. On fractional powers of Bessel operators// J. Inequal. Spec. Funct. - 2017. - 8, № 1. - С. 49-67.
  274. Sitnik S. M. Transmutations and applications: a survey// ArXiv. - 2010. - 1012.3741 [math.CA].
  275. Sitnik S. M. A short survey of recent results on Buschman-Erde´lyi transmutations// J. Inequal. Spec. Funct. - 2017. - 8, № 1. - С. 140-157.
  276. Sitnik S. M. Buschman-Erde´lyi transmutations and applications// Abstr. 8th Int. Conf. «Transform Methods and Special Functions», Bulgaria, Sofia, Aug. 27-31, 2017. - Inst. Math. Inf. Bulg. Acad. Sci., 2017. - C. 59.
  277. Srivastava H. M., Karlsson P. W. Multiple Gaussian hypergeometric series. - Chichester: Ellis Horwood, 1985.
  278. Stellmacher K. L. Eine Klasse Huygenscher Differentialgleichungen und ihre Integration// Math. Ann. - 1955. - 130. - C. 219-233.
  279. Umarov S. R. Introduction to fractional and pseudo-differential equations with singular symbols. - Cham: Springer, 2015.
  280. Urinov A. K., Karimov S. T. Solution of the Cauchy problem for generalized Euler-Poisson-Darboux equation by the method of fractional integrals// В сб.: «Progress in Partial Differential Equations». - Heidelberg: Springer, 2013. - C. 321-337.
  281. Weinstein A. Discontinuous integrals and generalized theory of potential// Trans. Am. Math. Soc. - 1948. - 63, № 2. - С. 342-354.
  282. Weinstein A. Generalized axially symmetric potential theory// Bull. Am. Math. Soc. - 1953. - 59.- С. 20-38.
  283. Weinstein A. On the wave equation and the equation of Euler-Poisson// Proc. Symp. Appl. Math. Vol. V. Wave motion and vibration theory. - New York-Toronto-London: McGraw-Hill, 1954. - C. 137-147.
  284. Weinstein A. The generalized radiation problem and the Euler-Poisson-Darboux equation// Summa Brasil. Math. - 1955. - 3. - C. 125-147.
  285. Weinstein A. Spherical means in spaces of constant curvature// Ann. Mat. Pura Appl. (4). - 1962. - 4, № 60. - C. 87-91.
  286. Weinstein A. Some applications of generalized axially symmetric potential theory to continuum mechanics// В сб.: «Приложения теории функций в механике сплошных сред. Т. 2. Механика жидкости и газа, математические методы». - М.: Наука, 1965. - С. 440-453.

Statistics

Views

Abstract - 236

PDF (Russian) - 202

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies